空间距离（5题型分类）-2025年高考数学一轮复习（原卷版）

专题37空间距离5题型分类

彩题如工总

题型1:求点到直线的距离

题型5：求异面直线间的距离

题型2：求点到面的距离

空间距离5题型分类

题型4：求面到面的距离

题型3：求直线到平面的距离

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1.点到直线的距离

如图，已知直线/的单位方向向量为“，A是直线/上的定点，尸是直线/外一点，设亦=小则向量成在直

线/上的投影向量肢=3"）",在RCAP。中，由勾股定理，得尸°="而2_|超|2=/2一（4."）2.

AQ

2.点到平面的距离

如图，已知平面a的法向量为"，A是平面a内的定点，尸是平面a外一点.过点P作平面a的垂线/,交

平面a于点Q,则n是直线I的方向向量,且点P到平面a的距离就是静在直线/上的投影向量加的长度，

因此力病APnI\AP-n\

PQ==n

\n\I\\

空间距离

（1）点到直线的距离.

①设过点尸的直线/的单位方向向量为n,A为直线/外一点，点A到直线/的距离［='/|丽2_（丽.〃）2；

②若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离.

（2）求点面距一般有以下三种方法.

①作点到面的垂线，求点到垂足的距离；

②等体积法；

③向量法.

题型1：求点到直线的距离

1-1.（2024高三下•广东茂名•阶段练习）菱形ABCD的边长为4,NA=60。，E为AB的中点（如图1）,将VADE

沿直线DE翻折至处（如图2）,连接A3,A'C,若四棱锥A'-EBCD的体积为4指，点/为的

中点，则F到直线BC的距离为（）

A而V23「屈

A•-----DR.-----•-----

224

12（2024•吉林•模拟预测）如图1,在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AB=AD=l,CD=2,DE=EC,沿AE

将VADE折成VAPE,如图2所示，连接P3,PC,得到四棱锥尸-ABCE.

⑴若平面PAE平面PBC=/,求证：Z//BC；

⑵若点T是PC的中点，求点T到直线EB的距离的取值范围.

1-3.（2024高二上•山东•阶段练习）已知直四棱柱-，底面为矩形，AB=1,BC=3,

⑴求证：平行四边形45co为矩形；

⑵若E为侧棱PO的中点，且平面ACE与平面AB尸所成角的余弦值为好，求点8到平面ACE的距离.

4

2-4.（2024・广东）已知正四棱柱48。。-4与62,48=1,/141=2,E为CQ中点，尸为中点.

（1）证明：为22与CG的公垂线;

（2）求点R到面BDE的距离.

2-5.（2024高二上•贵州•期中）埃及金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，若金

字塔P-ABCD的高为3,AB=3应,点“满足尸E=2£B，则点。到平面他C的距离为（）

P

题型3:求直线到平面的距离

3-1.（2024高二上•全国•课后作业）如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABGR中，E为线段的中点,

尸为线段的中点.

4-2.（2024高二上•河北沧州•阶段练习）两平行平面a,尸分别经过坐标原点。和点4（123）,且两平面的一

个法向量”=（-1,0,1）,则两平面间的距离是（）

A.72B.也C.也D.372

2

4-3.（2024高二上•全国•专题练习）直四棱柱A8CD-A耳64中，底面ABCO为正方形，边长为2,侧棱

AA=3,M.N分别为A瓦、A2的中点，E、R分别是G2,与G的中点.

⑴求证：平面AAW//平面EFBD；

⑵求平面AAW与平面EFBD的距离.

题型5:求异面直线间的距离

5-1.（2024高二上•贵州•开学考试）定义：与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线,

公垂线被这两条异面直线截取的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长度,

叫做这两条异面直线的距离，公垂线段的长度可以看作是：分别连接两异面直线上两点，所得连线的向量

在公垂线的方向向量上的投影向量的长度.如图，正方体ABCD-4耳的棱长为1，MN是异面直线AC与

G。的公垂线段，则的长为（）

A.百B-vcTD-T

52（2024高二上•山西运城期中）如图，在三棱柱ABC-A81cl中，底面ABC是边长为2石的正三角形,

9=或，顶点A在底面的射影为底面正三角形的中心，P,。分别是异面直线AG，A»上的动点，则P,

。两点间距离的最小值是（）

C.屈D,近

2

5-3.（2024高二上•浙江杭州•期末）己知直三棱柱ABC-A与G中，侧面的耳8为正方形.AS=BC=2,E,

产分别为AC和CG的中点，BFIA^.

⑴求四棱锥E-BBC歹的体积；

（2）是否存在点。在直线44上，使得异面直线的距离为1?若存在，求出此时线段。E的长；若不

存在，请说明理由.

5-4.（2024•全国•模拟预测）在平行四边形A5CD中，AB=2,AD=1,ZSW=60°,M,N分别为直线AB,CD

上的动点，记M,N两点之间的最小距离为d,将△ABD沿8。折叠，直到三棱锥A-BCD的体积最大时，

不再继续折叠.在折叠过程中，d的最小值为.

炼习与桎升

一、单选题

1.（2024高二上•全国•课后作业）如图所示，在长方体A3CQ-43cl2中，AA=5,A3=12,则直线4G到

6013

C.—D.——

132

2.（2024高二上•广东东莞•阶段练习）如图,在棱长为1的正方体ABC。-AACQ1中，石为线段。2的中

点，尸为8片线段的中点，则直线FG到平面ABE的距离为（）

3.（2024高三■全国•专题练习）在空间直角坐标系Qxyz中，A（l,2,l）,B（2,l,m）,C（0,l,2）,若点C到直

线AB的距离不小于迎，则加的范围为（）

2

A.|^1—>/2,1+A/2JB.|^1—A/2,>/2—1J

C.1—A/2,1+A/2JD.|^>/2—1,1+-\/2^

4.（2024•浙江温州•三模）四面体Q45c满足/4。8=/8。7=/（7。4=90,。4=1,。3=2,小7=3,点£）在

棱OC上，且OC=3OD,点G为ABC的重心，则点G到直线AD的距离为（）

A.—B.；C.—D.-

2233

5.（2024・湖北•模拟预测）如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC/所截得到的，其中

AB=4,BC=2,CC,=3,BE=1,则点C到平面AEC7的距离为（）

4底D.叵

1111

6.（2024高二・全国•课后作业）如图，已知ABC-ABG是侧棱长和底面边长均等于a的直三棱柱，。是侧

棱CG的中点.则点C到平面人耳。的距离为（）

V2

C,也aD.-----a

42

7.（2024高二上•浙江绍兴•期末）空间直角坐标系中A（0,0,0）、8（1,1』）、C（l,0,0））,。（一1,2,1）,其中Aea,

Bea,Cw/i,D^/3,己知平面a〃平面用，则平面a与平面夕间的距离为（)

V13「＞/3

IT35

8.（2024高二上•全国•专题练习）在棱长为1的正方体ABCD-ABCR中，则平面阴。与平面4G。之间的

距离为

A.3

B.

63

2百

rD.

32

9.（2024高二上•湖南邵阳•阶段练习）在棱长为1的正方体ABC。-4月£。中，瓦尸分别是的中点,

则直线BD到平面EFD｝用的距离为（

1

Bc.立D.-

-I43

10.（2024高二上•辽宁沈阳,阶段练习）在长方体ABCD-A4CQ］中，AB=1,BC=2,M=3,则异面

直线AC与3G之间的距离是（）

A.@B.且C.显D.-

5767

IL（2024•北京石景山•模拟预测）如图，已知正方体ABC。-A/SGQ的棱长为2,点尸为线段8G上的动

点，则点尸到直线AC的距离的最小值为（）

A.1B.立C.述D.逅

234

二、多选题

12.（2024高二上•吉林长春・期中）如图，正方体48CQ-A耳6。的棱长为2,E为线段中点，F为线

段8月中点，贝I（）

A.点4到直线用E的距离为撞B.直线AE到直线FG的距离为2

3

C.点8到平面4月E的距离为&D.直线尸G到平面的距离为:

13.（2024•辽宁朝阳•一模）如图，在棱长为1正方体ABCD-ABGR中，股为瓦£的中点，£为4G与。M

的交点，产为与C4的交点，则下列说法正确的是（）

A.4G与。啰垂直

B.E尸是异面直线AG与B。的公垂线段,

C.异面直线AC与BC所成的角为m

D.异面直线AG与4c间的距离为更

3

三、填空题

14.（2024高二上・北京•期中）如图，在长方体ABCO-A耳中，AAl=AB=2,AO=1,点F,G分别

是AB,CG的中点，则点Q到直线GB的距离为.

15.（2024高二上,上海虹口•阶段练习）已知是棱长为1的正方体,则平面A瓦A与平面

的距离为.

16.（2024高二上,黑龙江齐齐哈尔•期中）如图，在长方体ABC。-A4G。中，A\=AB=1,BC=1,E、

尸、目分别是AB、8、44的中点，则直线EC到平面AW的距离为.

17.（2024•福建・一模）已知空间中三点A（l,l,b）,3（1,-l,2）,C（0,0,0）,则点A到直线BC的距离为.

18.（2024高三・全国•专题练习）如图，已知正方体ABC。-A冉G。的棱长为1，则线段A?上的动点P到

直线AG的距离的最小值为

19.（2024高二上•重庆沙坪坝•期中）己知直线A8过点A（3,2,0）,它的一个方向向量为根=（0,0,1）,则点

C（3,0,l）到直线AB的距离为.

20.（2024高二•全国•课后作业）正方体A8CD-4&GQ的棱长为4,M,N,E,F分别为45,AiBi,C1D1,

的中点，则平面4WN与平面EFBD的距离为.

21.（2024高二上•贵州遵义•期中）在空间直角坐标系。孙z中,A（l,2,l）,B（2,l,m）,C（0,l,2）,若点C到

直线AB的距离不小于画，写出一个满足条件的切的值：.

2

22.（2024高二上•广东佛山•期中）如图，正方体ABCO-ABCIR的棱长为2,E为线段。2的中点，F为

线段BBt的中点，则直线FC,到平面ABtE的距离为.

23.（2024高二下•全国・单元测试）在直三棱柱ABC-A14G中，=AB=BC=3,AC=2,。是AC的

中点，则直线到平面48。的距离为

24.（2024高二上•全国•专题练习）在如图所示的实验装置中，正方形框架的边长都是1,且平面平

面ABEF,活动弹子M,N分别在正方形对角线AC,BF上移动,若CM=3N,则长度的最小值为

25.（2024高三・全国•专题练习）如图，在四棱锥尸-ABCD中，PAL平面ABC。，底面ABCD为正方形，

且丛=AB=2,歹为棱PD的中点，点M在Bl上，且PA/=2AM,则的中点E到直线MF的距离是

26.（2024高二•全国•课后作业）如图，在四棱锥尸-ABCD中，ACBD=O,底面ABCD为菱形，边长为

2,ZA5C=60°,尸平面ABC。，异面直线6P与8所成的角为60。，若E为线段0c的中点，则点E到

直线BP的距离为.

27.（2024高三上•福建莆田•期中）已知空间中三点4（2,0,0）,B（0,2,0）,C（2,2,2）,则点C到直线AB的

距离为.

28.（2024高二•全国•课后作业）如图，多面体A8C-4瓦£是由长方体一分为二得到的，M=2>AB=BC=\,

NABC=90。，点。是8月中点，则异面直线与BC的距离是.

29.（2024高二・全国•单元测试）如图，在正方体A8CO-AgGA中，AB=1,M,N分别是棱AB,CC,的

中点，E是的中点，则异面直线AM,EN间的距离为.

30.（2024高三•宁夏银川•阶段练习）在棱长为。的正方体ABC。-A8cA中，点〃是线段DG上的动点,

则M点到直线A2距离的最小值为

31.（2024高三下•山西太原•阶段练习）在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1,且平面ABCQ1

平面ABE尸，活动弹子分别在正方形对角线AC,所上移动，则长度的最小值是.

32.(2024高二•全国•课后作业)已知点AQ,0,0),B(0,l,0),C(0,0,2),P(1-1,0),

则过点尸平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离为.

33.（2024高二上•四川绵阳•阶段练习）已知正三棱柱ABC-A旦G的所有棱长均为2,。为线段C6上的动

点，则A到平面4比）的最大距离为.

34.（2024•广东广州•一模）在棱长为1的正方体ABCD-A与GA中，点区厂分别是棱BC,CG的中点，P是

侧面AD24上的动点.且PC"/平面AEF,则点P的轨迹长为.点尸到直线AF的距离的最小值

为.

35.（2024高二上•浙江宁波・期末）如图，正四棱锥P-ABCD的棱长均为2,点E为侧棱尸。的中点.若点

M,N分别为直线A3,CE上的动点，则MN的最小值为.

四、解答题

36.（2024高二上•广东佛山•阶段练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A4GA中，E为线段。2的中

点，B为线段2月的中点.

⑴求点4到直线与E的距离；

（2）求直线FC,到直线AE的距离；

⑶求直线FG到平面ABF的距离.

37.（2024高二•湖南•课后作业）已知正方体ABCD-ABCiR的棱长为4,设M、N、E、尸分别是

AA，A牛D£,B£,的中点，求平面AMN与平面EEBD的距离.

38.（2024高二上•重庆•期中）如图正方体ABC。-A旦GA的棱长为2,E是棱4G的中点，过AjE的平面

与棱2月相交于点尸

⑴求证：歹是B片的中点；

（2）求点D到平面ADXE的距离.

39.（2024高二上•广东东莞•阶段练习）如图，P、。分别是正四棱柱上、下底面的中心，E

是A8的中点，AB=&4=20.如图建立空间直角坐标系.

⑴求平面PBC的法向量；

⑵求点O到平面PBC的距离.

40.（2024高二・陕西宝鸡・期末）如图，已知菱形A3CO和矩形ACM所在的平面互相垂直，AB=AF=2,

ZADC=60°

⑴求直线BF与平面ABCD的夹角；

⑵求点A到平面FBD的距离.

41.（2024•福建泉州•模拟预测）如图所示，在四棱锥P-ABCZ）中，侧面一K4D是正三角形，且与底面ABCD

垂直，3C〃平面上4D,BC=^AD=1,E是棱PD上的动点.

p

B

C

⑴当E是棱尸。的中点时，求证：CE〃平面7MB；

⑵若AB=1,ABLAD,求点8到平面ACE距离的范围.

42.（2024高二上•广东东莞•阶段练习）如图，在棱长为1的正方体ABC。-AgG。中，E为线段4耳的中

点，尸为线段AB的中点.

⑴求平面AEG的法向量;

⑵求直线FC到平面AEG的距离.

43.（2024•贵州贵阳•一模）底面为菱形的直棱柱ABCO-A46。中，E、F分别为棱4耳、AR的中点.

Di

⑴在图中作一个平面。，使得BDua,且平面尸〃tz.（不必给出证明过程，只要求作出a与直棱柱

ABCD-^QD,的截面）;

（2）若A3=例=2,ZBAD=60,求平面AER与平面a的距离d.

44.（2024高二•湖南•课后作业）在棱长为3的正方体ABC。-44Goi中，E、尸分别是2瓦、。口的中点,

求平面ADE与平面4cl尸之间的距离.

45.（2024高二上洞南,期中）在」.ABC（图1）中，3C=3,NC=45。,AD为BC边上的高，且满足DC=23。，

现将△AB。沿A少翻折得到三棱锥A-3CD（图2）,使得二面角B-AD-C为60。.

图1图2

（1）证明：5C1平面MD；

⑵在三棱锥A—BCD中，M为棱CO的中点，点尸在棱AC上，且AP=2Ac[o<4<；）,若点C到平面PBM

的距离为主叵，求2的值.

13

46.（2024•江苏南京・二模）在梯形ABCD中，ABCD,?D90?,AB=2亚,AD=DC=6,如图L现

将△ADC沿对角线AC折成直二面角尸-AC-3,如图2,点M在线段5P上.

⑴求证：A