基本不等式（含新定义解答题）解析版-2025年高考数学一轮复习训练

第03讲基本不等式（分层精练）

A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）

A夯实基础

一、单选题

1.（2024上•山西长治•高一校联考期末）当XHO时，f+3的最小值为（）

X

A.三B.1C.2D.272

【答案】C

【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解.

【详解】由xwO,可得f>0,贝匠+晨2、4=2,

XVX

当且仅当％2=1=时，即x=±1时，等号成立，故d+t1的最小值为2.

故选：C.

2.（2024上•广东潮州•高一统考期末）设x>0,则函数片/+工+25的最小值为（

)

A.6B.7C.10D.11

【答案】D

【分析】利用基本不等式求解可得答案.

【详角星】x>0,...y='=%+至+122］至+1=11,

XXVX

当且仅当x=325，即x=5时，等号成立,

X

所以函数y=*+尤+25的最小值为［I,

X

故选：D.

3.（2024上•山东青岛•高一统考期末）已知x,y为正实数，则生+土的最小值为（）

xy

A.1B.V2c.2D.2V2

【答案】D

【分析】根据题意利用基本不等式运算求解.

【详解】因为无，y为正实数，则祖+二22、叵三=2近，

xy\xy

当且仅当包=土，即x=&y时，等号成立，

xy

所以工+二的最小值为2忘.

xy

故选：D.

4.（2024上糊北武汉•高三统考期末）已知正数。，b满足a+2b=1,则（）

1111

A.ab>-B.ab>—C.0<ab<—D.0<ab<—

8888

【答案】C

【分析】根据基本不等式直接计算即可.

【详解】由题意得，a>0,b>0,则。匕〉。，a+2b=l>2y[2^b,即

O

当且仅当。=幼，即。=1,6=1时等号成立.

24

故选：C

5.（2024上•山东滨州•高三统考期末）若不等式f一依+420对任意xe[l,3卜恒成立，则实

数。的取值范围是（）

（131

A.[0,4]B.（-8,4]C.I-<».yD.（-oo,5]

【答案】B

【分析】根据给定条件，分离参数再利用基本不等式求出最小值即得.

【详解】不等式Y一方+430对任意尤e[l,可恒成立，则、/尤£[1,3],aK冗H—,

而x+222j32=4,当且仅当冗=—,即x=2时取等号,因止匕aW4,

X\XX

所以实数。的取值范围是（--4].

故选：B

31

6.（2024上•河北沧州•高一统考期末）已知正数x,y满公g3x+2y=2,则丁+一的最小值

2xy

为（）

251325

A.6B.—C.—D.——

422

【答案】B

【分析】借助基本不等式计算即可得.

……311（3I、..、9c3y3x巨+2世马金，

【详解】।（3x+2y）=+2+'+

2xy2\2xy）212xyJ212RxyJ4

3y3x

————oQi

当且仅当Xy，即K=y=：时，等号成立，因此丁+一的最小值为

52xy4

[3x+2y=2

故选：B.

7.（2024上•广西•高一校联考期末）已知/+62=必+4,则的最大值为（

A.2B.4C.8D.2A/2

【答案】B

【分析】利用基本不等式可得关于。+6的一元二次不等式，解不等式即可.

【详解】a2+b2=ab+4,则有（。+6）2=3"+4V3（q-+4,

可得（〃+份2<16,即a+b44,当且仅当〃=6=2时，等号成立.

所以的最大值为4.

故选：B

8.（2024上•湖南•高一校联考期末）已知〃+/=4小1,则曲的最小值为（

11

A.-B.-C.2D.3

23

【答案】A

【分析】利用重要不等式列出不等式求解即可.

【详解】由重要不等式得〃+〃=4M-1N2H,当且仅当，=b时取等，

解得显然A正确，

故选：A

二、多选题

9.（2024上•河南安阳・高一林州一中校考期末）下列说法正确的是（）

A.x>0,xwl,则y=lg^+7*-的最小值是2

Igx

尤+55

B.尤20,则>=表育的最小值是1

C.x>0,则>=2工+:工的最小值是1

4-2

14

D.y=—+--^（1尤1<1）的最小值为9

X1—X

【答案】BD

【分析】根据选项式子的特点，利用函数单调性或者基本不等式可得答案.

【详解】对于A,当x=[时，y=lgx+-^-=-2<2,A不正确；

10Igx

对于B,/=-/：=Jx+4+.:,令/=Jx+422,贝ijy=，+l,

A/X+4VX+4t

由对勾函数的单调性可知，当此2时，y=f+；为增函数，所以》的最小值是g,B正确；

对于C,令y2、由xNO得tzi,y=t+—,

4f

由对勾函数的单调性可知，当时，y=f+3为增函数，所以y的最小值是g,C不正确；

4f4

22

对于D,由0<1可得1_犬2>0,y=^+^-I^（x+l-x）=5+l^+^r>2A/4+5=9,

1_2J_V21

当且仅当v匕二即时，取到等号，D正确.

尤21-X23

故选：BD.

10.（2024上,山东临沂,高一山东省临沂第一中学期末）下列命题中正确的是（）

1V2+3

A.若％<0,则x-i—«—2B.；-N2

冗VX2+2

C.若XER且xwO,贝|x+—22D.X2+—^—>1

xx+1

【答案】ACD

【分析】由已知条件，利用基本不等式验证各选项的结论是否正确.

时有一贝|%+工=

【详解】%v0x>0,

x-x

当且仅当-％=」-,即％=-1时等号成立，A选项正确;

—X

兀？+3炉+2+1

Jx2+2H—，>2

A/X?+2J尤2+24+2

等号成立的条件是^=7言5，即f+2=i,显然不能成立,

X2+3

故下^>2的等号取不到，B选项错误;

V%+2

R且X“，贝"+：=|龙1+1

若工£

W

当且仅当同=看，即％=—1或尤=1时等号成立，C选项正确;

11

%2+=%2+1+-1>2—1=1,

%2+1x2+l

当且仅当即时等号成立,口选项正确;

故选：ACD

三、填空题

11.（2024上•湖北•高一校联考期末）已知x>:,则x的最小值为___________

22x-l

【答案】;+&

【分析】利用基本不等式求得正确答案.

【详解】由于无>彳，所以x—二>0,2x—1>0,

22

111

所以x+不二x---1-+-—---

2x-l22x-l2

11r~1

>2----+—=12+—,

2x-l22

当且仅当苫-工=」一/=受以时等号成立,

22x-l2

所以x+上的最小值为齐应.

故答案为：—+^2

12.（2024上,山西运城•高一统考期末）已知正实数a,6满足a+%+5=ab,且不等式

m〉10-2ab

恒成立，则实数机的取值范围是

2a+ba+2b+5

【答案】根2-18

【分析】分离参数得旌-%力（2〃+匕）恒成立，即诺-||+|j（2a+Z7）,然后结合

基本不等式求解即可.

10—

【详解】因为正实数。，。满足。+如+5=",产m7之.2ab,

所以心°。-23（2。+叭_（2〃+4即2〃+也/Mg

〃+2Z?+5ab\baP7

因为［£+刍］(20+3==+2+8+竺上10+2^^=18,

当且仅当华=竺，即a=b=3+回时取等号,

ba2

所以一

m10-2点

所以不等式>恒成立,只需〃注-18即可.

2a+bQ+2b+5

故答案为：m>-18

四、解答题

13.（2024上•浙江温州•高一统考期末）近年来，"无废城市"、"双碳"发展战略与循环经济

的理念深入人心，垃圾分类政策的密集出台对厨余垃圾处理市场需求释放起到积极作用•某

企业响应政策号召，引进了一个把厨余垃圾加工处理为某化工产品的项目•已知该企业日加

工处理厨余垃圾成本y（单位：元）与日加工处理厨余垃圾量x（单位：吨）之间的函数关系可

148%+6720,0<x<72

表示为：y=<3°.

--X2+9600,72<x<160

12

（1）政府为使该企业能可持续发展，决定给于每吨厨余垃圾以260元的补助，当日处理厨余垃

圾的量在什么范围时企业不亏损？

⑵当日加工处理厨余垃圾量为多少吨时，该企业日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？

【答案】⑴60WXW120

（2）80吨

【分析】（1）利用题中所给解析式，分两段讨论；

（2）当0<x472时，由函数单调性求得最值，当72Vx（160时，由基本不等式求得最值,

得解.

【详解】（1）法一：当0<xV72时，-=148+—<260,

XX

x>60,/.60<x<72,

当72<%W160时，—x+>260,

2x

.-.3X2-520X+19200<0,

解得等4尤W120;.72c20,

综上：当60<x<120时，该企业不亏损；

260x-(148x+6720),0<x<72

法二：由己知得g⑴小小5+96可,72<E6。'

由g(x)20得，60W72或72<xW120,

综上：当604尤4120时，该企业不亏损；

(2)当0<xW72时，^=148+^^>148+^^=241-,

xx724

当72<E6。时，

2=2X+9600.3%X9600=240

尤2尤V2x

（"="当且仅当"x=80"成立）

综上：当日加工处理厨余垃圾量为80吨时，该企业日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最

低.

14.（2024上•四川成都•高一统考期末）如图所示，一条笔直的河流/（忽略河的宽度）两

侧各有一个社区A,B（忽略社区的大小），A社区距离/上最近的点&的距离是2km,8社区

距离/上最近的点稣的距离是1km,且=4km.点尸是线段4为上一点，设&P=akm.

现规划了如下三项工程：

工程1：在点尸处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥；

工程2：将直角三角形AA）P地块全部修建为面积至少1km2的文化主题公园，且每平方千米

造价为亿元；

工程3：将直角三角形8稣尸地块全部修建为面积至少0.25km2的湿地公园，且每平方千米

造价为1亿元.

记这三项工程的总造价为W亿元.

（1）求实数。的取值范围；

（2）问点尸在何处时，W最小，并求出该最小值.

"7"

【答案】（1）1，-

⑵当点尸满足14Pl=3时，W最小，最小值为5.1亿元.

【分析】（1）由直角三角形8线尸地块全部修建为面积至少0.25km2和直角三角形凹尸地

块全部修建为面积至少1km2的文化主题公园湿地公园，列不等式求解即可得出答案.

（2）由题意可得W=［l+工］。+1义\£+0」，由基本不等式求解即可.

【详解】（1）因为直角三角形B稣尸地块全部修建为面积至少0.25km2的湿地公园，

117

所以力旷=万|综尸］忸闻=于1.（4_°）20.25,解得：a<-

直角三角形A&尸地块全部修建为面积至少Ikn?的文化主题公园,

所以SMLJAPIIMUJXZS",解得：a>l,

7

故实数。的取值范围为I,2

4—a

(2)依题意可得：卬=1+•Q+1X-------F0.1

2

94-a…a9…、Ja9…_3_1.

=QH------1--------F0.1=—I------F2.122./一,---F2.1—2xF2.1=5.1,

2a222a722a2

a9

当且仅当二=三，即。=3时取等.

22a

所以当点尸满足14Pl=3时，W最小，最小值为5.1亿元.

B能力提升

1.(2024上•重庆•高一校联考期末)当x>0,y>0,且满足2x+y-2肛=。时，有

2尤+y>/+k-8恒成立，则上的取值范围为()

A.(—4,3)B.[-4,3]C.(—3,4)D.[—3,4]

【答案】A

【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出2x+y的最小值，然后解二

次不等式即可.

[详解]因为2x+y_2P=0即1+工=1且x>0,y>0,

2xy

所以2元+y=(2x+y)(4+，]=2+4+至22+2、l^x—)=4,

(2xy)2尤y\2xy

J^=2x

2xyfx=l

当且仅当,,，即c时等号成立，

WU=2

,2-xy

因为不等式2x+y>3+%-8恒成立，所以^+08<4,

即左2+左一12<0,解得T(上<3,故％的取值范围为(T,3).

故选：A

2

2.(2024上•全国•高一专题练习)设正实数x,y满足y>2,不等式

27三+,3-18/-2'2'机"-2)(3%-2)恒成立，则实数机的最大值为()

A.2-72B.4.72C.8D.16

【答案】D

9r2V29x2v2

【分析】令a=3x-2>0,b=y-2>0,不等式变形为多+^^2切，求出

y-23x-2y-23x-2

的最小值，从而得到实数机的最大值.

2

【详解】尤>§，y>2变形为3x—2>0,y-2>0,

令a=3元—2>0,b=y—2>0,

则27d+/-18/一2y22"（y-2）（3x-2）转化为

9/（3》-2）+文广2）

即至+上>m,

（J-2）（3X-2）-y—23x—2

其中9尤2+y2=（a+2『+S+2『>（2岳）+（2画）

y-23x-2baba

ofa乙lab,

—8—i—户16J-------116,

\ba）xba

4

当且仅当。=8=2,即x==4时取等号，可知m<16.

故选：D

12

3.（2。24•全国•高三专题练习）已知羽川（1,2）且x+y=3,若心+于/“恒成立,

则实数。的范围是

【答案】

fl2112

【分析】依题意得a<7^—+--,利用基本不等式"1"的代换求出^—+—的

（2尤一y2y-x）^2x-y2y__x

最小值，即可得解.

*1

【详解】因为羽丁€（1,2）且无+、=3,若丁—+富一24恒成立，贝|]。<];?^+/一，

2x-y2y-x12元-y2y川

又

2x—y2y—x

l「「2y-x2（2x_y）］1您-x2（2x-y）3+2也

一|DH---------------1-----------------------—3-vL\-----------------=--------

32x-y2y-x3y2x-y2y-x3

当且仅当衿^=2fx-y）,即x=g,y=3-四时等号成立,

2x—y2y-x

所以也，即实数。的取值范围是:亚土芋;

故答案为：J现红苴

4.(2024上•江西上饶•高一校考期末)已知函数〃尤)=x+7+a,若对任意实数a>-2,

关于尤的不等式机在区间1,3上恒成立，则实数机的取值范围为.

【答案】(f0］

【分析】根据对勾函数g(x)=x+』的单调性可得，xe1,3时2Wg(x)4?从而由/(上加

x」3

得工+4+。之机恒成立，由题意得2+a之相对任意实数a>-2恒成立，即可求解.

x

【详解】••・对勾函数g(%)=x+4在；，1上单调递减，在［1,3］上单调递增，

xLz_

gc|)=I，g⑴=2,g(3)=m,

xeI，3时，g(x)111ta=g(1)=2,g(x)皿，=g⑶=5,即2<g(x)(当，

a>—2,贝！J0<2+aWxd----naW—FCL,

x3

由了(龙)之加得x+'+〃之机，即兀+工+aN根恒成立，

由题意得，2+aN相对任意实数a>-2恒成立，

则2+(—2)之加，得切V0,

则实数m的取值范围为(9,0］.

故答案为：(y,。］.

C综合素养

5.(2023上•山东德州•高一校考阶段练习)某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如

下内容：例：求函数》=三-3x(x>0)的最小值.解：利用基本不等式a+6+cN3•勿浣，

(a>0,力>0,c>0),可彳导J+1+123元，于是y-~3x—x'+1+1—3x—223x—3x—2=—2,

当且仅当x=l时，取得最小值-2.

提示：基本不等式a+Z?+c+i/24-血6c4,(a>0,Z?>0,c>0,<7>0)

(1)老师请你模仿例题，研究函数y=x4-4x(x>0)的最小值；

1°

(2)求函数y=§无3-3x(尤>0)的最小值；

(3)当。>0时，求函数)=炉-办(彳>0)的最小值.

【答案】⑴-3

⑵一6

9

【分析】（1）根据新定义可得犬―4%=/+1+1+1・4%—3,求解即可；

1212

（2）根据新定义可得入丁―=+3+3—3x—6,求解即可；

99

（3）根据新定义可得三一方=V+睡+吧一办-生国，求解即可.

3V33A/39

【详角军】（1）x>0,a+b+c+d>4\fabcd,

知/一4%=%4+1+1+1-4%-3>4X-4X-3=-3，当且仅当尤=1时，取至!j最小值一3；

（2）由%>0,a+b+c>3\jabc，

知工%3-3%=:%3+3+3—3%—623%—3%一6=—6,当且仅当％=3时，取至!J最小值一6；

（3）由a+b+c>3%abc,

当且仅当无=因时，取到最小值一生旦.

V39

6.（2024下•安徽•高三池州市第一中学校联考开学考试）基本不等式可以推广到一般的情

形：对于,个正数%,出，,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均，即

q+生：+。"源中2-当且仅当％=%=…=。”时，等号成立.若无穷正项数列｛4｝

同时满足下列两个性质：①三〃>0,凡<M；②｛%｝为单调数列，则称数列｛%｝具有性质P.

（1）若。“="+以，求数列｛%｝的最小项；

n

⑵若切=而:，记判断数