函数的奇偶性与周期性-专项训练-2025届高三数学一轮复习（含解析）

2025高考数学一轮复习23-函数的奇偶性与周期性-专项训练

【A级基础巩固】

一、单选题

1.下列函数中，是偶函数且在区间(0,+8)上单调递减的函数是()

A.y=2xB.y=\/x

C.y=\x\D.j^=—x2+l

Y--2

2.设函数加)=——，则下列函数中为奇函数的是()

x+2

A.八x—2)—1B.寅x—2)+1

C.>+2)-1D.>+2)+1

3.已知函数人x)的图象关于原点对称，且周期为4,八一1)=—2,则道2025)

=()

A.2B.0

C.-2D.-4

4.已知函数於)=sinx+x3+J_+3,若人口)=一1,则五一口)=()

x

A.3B.5

C.6D.7

5.已知偶函数“X)对于任意x©R都有人x+l)=—/(x),且<x)在区间［0,1］上

是单调递增的，则」(—6.5),八一1),义0)的大小关系是()

A.»<A-6.5)<A-1)

B.X-6.5)<A0)<A-l)

c.X-I)<A-6.5)<AO)

D.X-i)<A0)<A-6.5)

6.若函数y(x)=sinx,ln(优的图象关于.v轴对称，则根=()

A.2B.4

C.±2D.±4

7.已知函数段)=阴+7，(e为自然对数的底数)，且义3a—2)况a—1),则实

数。的取值范围是()

-，+0°

\2

\2/\4/

D.［o,|）U（|,+8）

8.已知人工）是定义在R上的奇函数，且对任意的x£R都有加+2）=一"）,

当工£［0,2］时，於）=12+狈+6,则Q+6等于（）

A.0B.—1

C.-2D.2

二、多选题

9.已知y=/（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）

A.尸刎）B.y=J{-x）

C.y=xj［x）D.y=fix）-\-x

10.已知定义在区间［—7,7］上的一个偶函数，它在［0,7］上的图象如图，则下

列说法正确的有（）

A.这个函数有两个单调递增区间

B.这个函数有三个单调递减区间

C.这个函数在其定义域内有最大值7

D.这个函数在其定义域内有最小值一7

11.已知函数人x）是定义在R上的奇函数，於+2）=—大乃，则下列说法正确的

是（）

A.八x）的最小正周期为4

B.八x）的图象关于直线x=l对称

C.小）的图象关于点（2,0）对称

D.八x）在（一5,5）内至少有5个零点

12.已知人乃是定义在R上的奇函数，八2—x）=/（x）,当x©［O,l］时，寅x）=R,

则下列结论错误的是（）

A.寅2021）=0

B.2是小）的一个周期

C.当x£（l,3）时，｛x）=（l—x）3

D.»>0的解集为（4左4左+2）（左©Z）

三、填空题

13.已知函数义x）=2》一2-xlg。是奇函数，则。的值等于.

14.已知奇函数人x）在区间［3,6］上是增函数，且在区间［3,6］上的最大值为8,

最小值为一1,则近6）十八一3）的值为.

15.设道x）是周期为3的函数，当1WXW3时，/）=2x+3,则48）=1.一

2WxW0时，寅x）=.

16.已知函数人x）,对Vx@R满足八1—x）=/（l+x）,寅x+2）=一义乃，且人0）=

1,则126）=.

17.已知定义在R上的奇函数了=1）在（0,+8）内单调递增，且，;）=

0,则加）>0的解集为.

【B级能力提升】

1.设真x）是R上的偶函数，且在（0,+8）上是减函数，若不<0且修+》2>0,

则（）

A.八一修）比一X2）

B.X-xi）=X-x2）

C.八一X1）勺（一》2）

D.八一X1）与八一X2）的大小不能确定

2.（多选题）函数加0的定义域为R,且道x）是奇函数，寅x+1）是偶函数，则（）

A.火0)=1

B.八x)是周期函数

C.加+3)为奇函数

D.寅x+5)为偶函数

3.若定义在R上的奇函数人x)在(一8,0)单调递减，且寅2)=0,则满足求x

—1)20的x的取值范围是()

A.[-1,1]U[3,+8)B.[-3,-l]U[0,l]

C.[-l,0]U[l,+8)D.[-1,0]U[1,3]

4.已知函数人x)的定义域为R,且加+y)+/(x—了)=/旭),寅1)=1,则依)=

()

A.l3B.—2

C.0D.1

5.已知函数/(》)=/32，*一2-工)是偶函数，则。=.

6.函数人X)=?t2是定义在(-8,+8)上的奇函数，且/6j=-.

(1)求实数a,b,并确定函数小)的解析式；

(2)用定义证明>)14(-1,1)上是增函数.

7.已知函数段)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x=l对称.

(1)求证：作)是周期为4的周期函数；

(2)若寅x)='&(0<xWl),求当x@[—5,—4]时，函数五x)的解析式.

参考答案

【A级基础巩固】

一、单选题

1.［解析］A选项，根据了=2工的图象知该函数非奇非偶，可知A错误；B

选项，由的定义域为［0,+8),知该函数非奇非偶，可知B错误C选项，

当X©(0,一阳)时，y=|x|=x为增函数，不符合题意，可知C错误；D选项；由一

(-x)2+l=-x2+l,可知该函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在(0,+8)

上单调递减，可知D正确.故选D.

4

2.［解析］化简函数段)=1——,分别写出每个选项对应的解析式，利用

x+2

44

奇函数的定义判断.由题意得，.^A,加-2)—1=—：是奇函数；

x+2x

4

对B,八x—2)+1=2—一，关于(0,2)对称，不是奇函数；对C,加+2)—1=—

x

4

---,定义域为(一8,—4)U(—4,+°°),不关于原点对称，不是奇函数；对

x+4

4

D,加+2)+1=2—........，定义域为(一8,—4)U(—4,+8),不关于原点对称,

x+4

不是奇函数.故选A.

3.［解析］依题意，函数八%)的图象关于原点对称，则函数八%)是奇函数，

又於)的周期为4,且八—1)=—2,则五2025)=/(l+506X4)=/(l)=一大-1)=2.

4［解析］函数«v)=sinx+x3+-+3黄—x)+/(x)=sin(—x)+(—x)3—3+sin

xx

33

x+x+—+3=-sinx-x—1+5111%+炉+1+6=6,若1/(4)=-1,则_/(-a)=6

XXX

=6—(-1)=7.故选D.

5.［解析］由五x+l)=-»,得义x+2)=—/(x+l)=Ax),.•.函数八%)的周

期是2二.函数八%)为偶函数，...八一6.5)=八一0.5)=寅0.5),八-1)=寅1).•••加)在区

间［0,1］上是单调递增的，.MO)勺(0.5)勺⑴,即火0)勺(一6.5)勺(T).

6.［解析］因为人X)的图象关于了轴对称，所以义X)为偶函数，又了=5m工为

奇函数所以y=ln(mx+，1+4x2)为奇函数即ln［—mx+-\/1+4-(—x)2］=—ln(mx+

■\/l+4x2),解得机=±2.故选C.

7.［解析］显然寅x)为偶函数且在［0,+8)上单调递增，.•m3a—2)次a—

31

l)Q|3〃一2］>|a—1］=(3Q—2)2>(Q—1)204>—或a<-,故选C.

42

8.［解析］因为｛x)是定义在R上的奇函数，且x£［0,2］时，火x)=N+〃x+

b,所以火0)=b=0,火一x)=-#x),又对任意的x£R都有｛x+2)=-#x),所以

>+2)=/(-x),所以函数图象关于直线x=l对称，所以一？=1,解得。=—2,

2

所以a~\~b=-2.

二、多选题

9.［解析］由奇函数的定义八一%)=一/)验证，A项，加一刈=川刈，为偶

函数B项，力一(一x)］=/(x)=—/(—%),为奇函数C项，一研一x)=l/(x)］=

x/(x),为偶函数；D项，八一x)+(—》)=—［/(x)+x］,为奇函数.可知B、D正

确.

10.［解析］根据偶函数在［0,7］上的图象及其对称性，作出其在［—7,7］上的图

象，如图所示.由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间,

在其定义域内有最大值7,最小值不是一7,故选BC.

11.［解析］因为是定义在R上的奇函数，且加+2)=—xx),所以加+4)=

->+2)=»,即於+4)=/)，所以八%)的周期为4,但八%)的最小正周期不一

定为4,如/)=5由(万才卜满足加)为奇函数，且«t+2)=sinw(x+2)=sin

x+371^=—sinxJ=—#x),而/(x)=sin(万XJ的最小正周期为故A错

误；因为八x)为奇函数，且道x+2)=—/)，所以於+2)=八一%),即八%)的图象关

于直线x=l对称，故B正确由於+4)=/(%),及«v)为奇函数可知兀x+4)十八一%)

=0,即八%)的图象关于点(2,0)对称，故C正确；因为八%)是定义在R上的奇函数，

所以八0)=0,又/+2)=一大乃，寅x+4)=/(x),所以人2)=一义0)=0,寅4)=寅0)=

0,故人一2)=一42)=0,八一4)=一八4)=0,所以在(一5,5)内义x)至少有一4,一

2,0,2,4这5个零点，故D正确.故选BCD.

12.［解析］..7(x)是定义在R上的奇函数,

.・贝2—x)=Ax)=—A—X),

..m2+乃=—/),

/./(4+x)=一寅2+x)=/(x),

.•抽%)的最小正周期是4,故B错误；

42021)=/Q)=1,故A错误；

;.当x©［0,l］时，»=x3,小)是定义在R上的奇函数,

.♦.当XG［—1,1］时，»=x3,

当X©(1,3)时，2-%e(-l,l),

»=X2—x)=(2-x)3,故C错误；

易知当x©(0,2)时，»>0,

•.•〃)的最小正周期是4,

:.©>0的解集为(4左4左+2)(左£Z),故D正确.

三、填空题

13.［解析］由题设条件可知，可由函数是奇函数，建立方程寅x)+y(—%)=

0,由此方程求出。的值.函数兀0=28—2-Mga是奇函数，...八%)+/(—x)=0,，2x

—2rlg4+2一工一2*坨a=0,KP2x+2-x—(2%+2-x)lga=0,1ga=1,.,.a=10.

14.［解析］由于人x)在［3,6］上为增函数，所以八%)的最大值为寅6)=8,八%)的

最小值为寅3)=—1,因为八%)为奇函数，所以八一3)=一八3)=1,所以寅6)+八一3)

=8+1=9.

15.［解析］因为段)是周期为3的函数，所以寅8)=寅2)=2乂2+3=7.当一

2WxW0时，寅x)=/(x+3)=2(x+3)+3=2x+9.

16.［解析］V>+2)=-»,

.••加0的周期为4,

•••m6)=义2).

•.•对VxeR有五1-x)=/(1+x),

.\Ax)的图象关于X=1对称，

•••八2)=义0)=1,即寅26)=1.

17.［解析］由已知可构造y=/(x)的示意图象,

所以加)>0的解集为

【B级能力提升】

1.［解析］因为修<0且修+》2>0，所以X2>—Xl>0，又因为小)在(0,+°°)

上是减函数，且小)是R上的偶函数，所以八一切)=/(必)勺(一X1).

2.［解析］因为人x+1)是偶函数，所以函数义%)的图象关于x=l对称，即

X-x)=X2+x),又函数义x)是定义在R上的奇函数，所以义一x)=一/(X),»=

0,于是人2+》)=—/(x),即有力4+x)=—/(x+2)=/(x),所以函数兀t)的一个周期

为4,故A错误，B正确设g(x)=y(x+3),则g(—x)=X—x+3)=X—1+x)=f(x+

3),即g(x)=g(—x),所以兀r+3)为偶函数,C错误设〃(x)=/(x+5),则〃(一x)=

x+5)=y(x-3)=_/(x+5),即h(x)=h(-x),所以义x+5)为偶函数，D正确，故选

BD.

3.［解析］因为定义在R上的奇函数人x)在(一8,0)上单调递减，且义2)=

0,

所以人x)在(0,+8)上也单调递减，且八—2)=0,道0)=0,

所以当x©(—8,-2)U(0,2)Hf,»>0,

当x©(—2,0)U(2,+8)时，｛x)<0,

所以由x/(x—1)>0可得Error!

或Error!或x=0.

解得一IWXWO或1WXW3,

所以满足求x—1)>0的x的取值范围是［―故选D.

4.［解析］因为八1)=1,所以在寅x+y)+/一中，令了=1,得道x+

l)+>-l)=»Al),所以大x+l)+大x—l)=Ax)①，所以人x+2)+Ax)=/a+l)②.

由①②相加，得道x+2)+/(x—1)=0,故人x+3)+道x)=0,所以道x+3)=—/(%),

所以寅x+6)=—/(x+3)=/(x),所以函数的一个周期为6.在寅x+y)+/(x—了)=

中，令X=l,y=0,得八x)+y(x)=Ax)/(0),所以寅0)=2.令x=l,y=l,

得人2)+寅0)=义1区1),所以人2)=—1.由五x+3)=―/(x),得人3)=一八0)=—2,五4)

=—Al)=—1,义5)=一寅2)=1,寅6)=一/(3)=2,所以人1)+人2)+…十46)=1—1

—2—1+1+2=0,根据函数的周期性知，伏)=寅1)+道2)+人3)+八4)=1—1—2—1=

—3,故选A.

5.［解析］解法一(定义法)：因为八%)=好仅2—2，)的定义域为R,且是偶

函数，所以八—x)=/(x)对任意的x©R恒成立，所以(一x)3(tr2r—2》)=x3(/2工一2

-X)对任意的x@R恒成立，所以》3(4一1)(2工+2-工)=0对任意的xGR恒成立，所

以a=\.

解法二(取特殊值检验法)：因为寅x)=x3@2x—2-x)的定义域为R,且是偶函

数，

所以八—1)=AD，所以一停一2)=2a—；,

解得。=1,经检验，加)=》3(28一2-x)为偶函数，

所以。=1.

解法三(转化法)：由题意知道X)=X3(G2X—2=)的定义域为R,且是偶函数.