函数的奇偶性、对称性与周期性（原卷版）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性

目录

第一部分：基础知识.................................................2

第二部分：高考真题回顾.............................................4

第三部分：高频考点一遍过...........................................4

高频考点一：函数奇偶性..........................................4

角度1：判断函数奇偶性........................................4

角度2：根据函数奇偶性求解析式................................5

角度3：函数奇偶性的应用......................................5

角度4：由函数奇偶性求参数....................................5

角度5：奇偶性+单调性解不等式.................................6

高频考点二：函数周期性及其应用..................................7

角度1：由函数周期性求函数值...................................7

角度2：由函数周期性求解析式..................................7

高频考点三：函数的对称性........................................8

角度1：由函数对称性求解析式..................................8

角度2：由函数对称性求函数值或参数............................8

角度3：对称性+奇偶性+周期性的综合应用........................9

第四部分：新定义题（解答题）.......................................10

第一部分：基础知识

1、函数的奇偶性

(1)函数奇偶性定义

奇偶性定义图象特点

如果对于函数/(%)的定义域内任意一个X,都有

图象关于y轴

偶函数

=那么函数"X)是偶函数对称

如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有

图象关于原点

奇函数

/(-%)=-/(%),那么函数/(X)是奇函数对称

注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个X,-X也

在定义域内(即定义域关于原点对称).

(2)常用结论与技巧：

①对数型复合函数判断奇偶性常用/(—%)—/(%)=0或/(—x)+/(X)=0来判断奇偶性.

②于(x),g(x)在它们的公共定义域上有下面的结论：

fM

/(X)g(x)/(x)+g(x)/(x)g(x)

g(x)

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数

③若/(%)是定义在区间。上奇函数，且0e£),则/(0)=0(注意：反之不成立)

2、函数对称性(异号对称)

(1)轴对称：若函数/(幻关于直线％对称，则

①/(a+尤)=/(“-%)；

@f{x)=f(2a-x).

③/(r)=/(2a+x)

(2)点对称：若函数/(x)关于直线(a,0)对称，则

①/(a+x)=-/(a-x)

@f(.x)=-f(2a-x)

③/(-%)=-/(2a+x)

(2)点对称：若函数/(幻关于直线(。力)对称，则

①f(a+尤)=-f(a-x)+2b

②/(%)=-/(2a—幻+2)

③/(-%)=-f(2a+x)+2b

3,函数周期性(同号周期)

(1)周期函数定义

对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数T,使得当工取定义域内的任何值时，都有

/(%+T)=/(x),那么就称函数y=/(x)为周期函数，称T为这个函数的周期，则左T(左eZ)也是

这个函数的周期.

(2)最小正周期

如果在周期函数/(%)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做"％)的最小正

周期(若不特别说明，T一般都是指最小正周期).注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.

(3)函数周期性的常用结论与技巧

设函数y=/(x),xeR,a>0.

①若/(x+a)=/(x—a),则函数的周期T=2a；

②若/(x+a)=—/(%),则函数的周期T=2a；

③若/(x+a)=二二，则函数的周期T=2a；

/(x)

④若/(x+a)=—」则函数的周期T=2a；

/(x)

©f(x+a)=f(x+b),则函数的周期T=|a—0|

第二部分：高考真题回顾

1.（2023•全国•（乙卷理））已知]是偶函数，则"=（）

A.-2B.-1C.1D.2

2.（多选）（2023,全国•（新课标I卷））已知函数的定义域为R,/（孙）=。/（力+//3，则（）.

A./⑼=0B./（1）=0

C.是偶函数D.x=0为的极小值点

3.（2023・全国•（甲卷理））若/（x）=（x-l）2+ax+sin[x+]]为偶函数，则。=.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：函数奇偶性

角度1：判断函数奇偶性

典型例题

例题1.（2024上•广东•高一校联考期末）下列函数是奇函数的是（）

A.f(x)=x2+1B./(x)=d-l

3

C.f(x)=x+^-D./(x)=+2x2

例题2.(2024上•云南昆明•高一期末)下列四个函数中在定义域内为非奇非偶函数的个数是（）

(1)f(^)=x-2

(2)f(x)=3x-2

(3)/(x)=log2x

(4)〃x)=2，

A.1个B.2个C.3个D.0个

例题3.（2024上•广东•高一统考期末）下列函数是偶函数的是（）

X2

A.y=cos(x-1)B.J=|2-1|C.y=(x—l)~D.j=log2(x-l)

角度2：根据函数奇偶性求解析式

典型例题

例题L（2024上,福建漳州,高一统考期末）若函数"X）是偶函数，且当x>0时，〃x）=2*+x+l,则当x<0

时，〃x）=.

例题2.（2024上•广东清远•高一统考期末）已知函数〃x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，

/（x）=e'+sinx-3,则的解析式为/⑺=.

角度3：函数奇偶性的应用

典型例题

例题L（2024上•广东深圳•高一统考期末）已知〃"=炉+加+法+3且〃-2）=5,则"2）的值是（）

A.-3B.-1C.1D.3

例题2.（2024上•云南昆明•高一昆明一中校考期末）已知函数/■（尤）=ln（Jl+9f+3x）+5tanr-4,若

/（。）=2023,则/（-〃）=.

例题3.（2024上•江西上饶•高一统考期末）若函数/（力=加+及+1是［2凡1-句上的偶函数，贝M+b的值

为.

角度4：由函数奇偶性求参数

典型例题

例题L（2024上•山西长治•高一校联考期末）若/（x）=x（x+2）（x-a）为奇函数，贝I。的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

Y+nxx〉0

八3；一八是R上的偶函数，则a+6=________.

{bx—2x,x<（J

例题3.（2024下•浙江•高三校联考开学考试）已知函数/（x）=xln（e*+l）-加是奇函数，贝心=.

角度5：奇偶性+单调性解不等式

典型例题

例题1.（2024上•贵州黔东南•高一统考期末）已知/（X）是定义在R上的偶函数，且对任意的再＞%20,

/（%）-/（%）＜。恒成立.若"-2）=0,则不等式（X-1）/（同＜0的解集是（）

A.（-2,2）B.（—8,—2）。（2,+oo）

C.（-2,0）U（2,+®）D.（-2,1）U（2,+^）

例题2.（2024上•山东威海•高一统考期末）已知函数是定义在R上的偶函数，在[。，+8）上单调递增,

且/（-2）=0,则不等式/（1咤3%）＜0的解集为.

例题3.（2024上•黑龙江齐齐哈尔•高三齐齐哈尔市第八中学校校考期末）/（x）在（-1,1）上满足

/（-%）=-/（%）,且在（一1,1）上是递减函数，^/（l-«）+/（4-3a）＞0,贝匹的取值范围是.

练透核心考点

1.（2024上•湖南娄底•高一校考期末）已知函数/（尤）=垣籍（旧-2）是定义在（-匕力）的奇函数，则「的

取值范围为（）

A.（0,4]B.（0,4）C.（1,4]D.（1,4）

）sx

2.（2024•广西南宁•南宁三中校联考一模）己知〃刈=1+3/

）（』）为奇函数，则。=（）

A.3B.-3C.0D.-1

J%、＞0

3.（2024•黑龙江齐齐哈尔•统考一模）已知=（/C为奇函数，则。=（）

[x+ax,x＜:0

A.-2B.2C.1D.-1

4.（2024下•西藏•高一开学考试）若函数/（x）=f+冰+1是定义〔在（一6,2匕-2）上的偶函数，贝（）

157

A.—B.-C.一D.2

444

5.（2024上•陕西西安・高三统考期末）已知=log3（x+户3）+a（aeR）是奇函数，贝i]/（a+5）=（）

A.-1B.1C.-2D.2

6.（2024下•四川・高三四川省西充中学校联考期末）已知/■（%）=-5x+sinx,则满足f（a2）+/（-4）＞0的实

数。的取值范围是

7(2。24上・陕西商洛・高一统考期末)已知偶函数小)=砥):<：’则不等式/口-1)<〃3)的解集

是.

高频考点二：函数周期性及其应用

角度1：由函数周期性求函数值

典型例题

例题1.(2023上•安徽•高二校联考期中)己知函数“X)对于任意实数x满足〃x+2)=/(x)，若/(-1)=3,

则〃5)=()

A.-5B.-3C.3D.5

例题2.(2024上•河北沧州•高一统考期末)已知函数/*)是定义在R上的奇函数,且满足/(x+1)=/屏-3),

2

当XC(0,2)时，/(无)=尤2一一，贝1/(2023)=.

例题3.(2024•全国•高三专题练习)设函数Ax)的定义域为R,且/Q)=g/(x+2),/(2)=1,贝|

/(20)=.

角度2：由函数周期性求解析式

典型例题

例题1.(2022上•河北•高三校联考阶段练习)已知函数y寸(力是定义在R上的奇函数，且满足

/(x+2)=-/(%),当xe[-2,0]时,/(力=。+彳，则当xe[4,6]时,/(%)=()

A.X2-1X+12B.-X2+9X-20

C.—x~+7x—12D.—x~+9x+20

例题2.(2023•全国•高三对口高考)函数y=/(x)的周期为2,且当时，f(x)=x,则y=〃x),

了42左-1,2左+1乂左€2)的解析式为.

例题3.(2023下•甘肃白银•高二校考期末)若定义在R上的奇函数满足/仅-“寸⑴，当xe[0,l]时,

/(x)=d-2%.

(1)求〃2021)的值；

(2)当xe[3,4]时，求函数“X)的表达式.

练透核心考点

1.（2023•湖南岳阳•校考模拟预测）设函数是定义域为R的奇函数，且/•（x+2）=〃x）,则

〃4）=.

2.（2022•全国•高三专题练习）己知定义在R上的偶函数“X）满足〃2T）-〃X）=0,/（-1）=-A/3,则

"11）=一.

3.（2023上,江苏•高一专题练习）设Ax）是周期为2的奇函数，当0<x<l时，/（x）=sim;+x,贝也<x<2

时，/（尤）=.

4.（2022上•全国•高一专题练习）已知“力是定义在R上周期为2的函数，当xe-1,1］时，〃尤）=同，那

么当xe［-7,-5］时,f（x）=.

高频考点三：函数的对称性

角度1：由函数对称性求解析式

典型例题

例题1.（2021下•江西九江•高二统考期末）若函数“X）与g（"=3'的图象关于直线x=3对称，则〃x）=

（）

A.3A~3B.33Tc.3'jD.36T

例题2.（2022上•安徽合肥•高一统考期末）已知x=l是定义在R上的函数y=/（x）的对称轴，当时，

〃x）=f—4x,则的解析式是.

角度2：由函数对称性求函数值或参数

典型例题

a

例题1.（2023•陕西咸阳•咸阳市实验中学校考一模）函数>=/（力为偶函数，且图象关于直线x对称,

/（5）=4,贝厅（-1）=.

例题2.（2023下•河北石家庄•高三校联考期中）已知y=〃x-l）是R上的奇函数，当x>。时，/（x）=e*T,

则.

角度3：对称性+奇偶性+周期性的综合应用

典型例题

例题1.（多选）（2024下•河南•高一信阳高中校联考开学考试）已知函数/（x）,g（x）的定义域均为

R1（x+l）+/（x—1）=/（尤）,g（x—3）是偶函数,且/（x）+g（x-3）=2,若g（-3）=l,则（）

A./（1）=1

B.””的图象关于点展，”中心对称

C-/（2023）=1

D./（0）+/（1）+/（2）+...+/（2023）=1

例题2.（多选）（2024下•海南省直辖县级单位•高三嘉积中学校考开学考试）已知定义域为R的函数/（尤）

壬意实数x，〉都有/（x）+/（y）=/（三）/（三），且/（0）20"（1）=1,则下列说法正确的是（）

A./（0）=3

B.f（x）=/（-x）

C.函数/*)的图象关于点(g,0)对称

D./(1)+/(