备战中考数学真题题源解密专题10一次函数（11类重点考向）含答案及解析

主题三函数专题10一次函数目录一览知识目标（新课程标准提炼）中考命题趋势（分析考察方向，精准把握重难点）重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）►考向一一次函数的性质►考向二一次函数与系数的关系►考向三一次函数图像上点的坐标特征►考向四一次函数与几何变换►考向五待定系数法求一次函数解析式►考向六一次函数与一元一次方程►考向七一次函数与一元一次不等式►考向八一次函数与二元一次方程（组）►考向九两条直线相交或平行问题►考向十一次函数的应用►考向十一一次函数的综合题最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）1.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；2.会利用待定系数法确定一次函数的表达式；3.能画出一次函数的图象，根据一次函数的图象和表达式y＝kx＋b(k≠0)，探索并理解k>0和k<0时，图象的变化情况；4.理解正比例函数；5.体会一次函数与二元一次方程的关系．6.能用一次函数解决实际问题．一次函数是中考非常重要的函数，年年考查，总分值为10分左右，预计2024年各地中考一定还会考，一般小题的形式考察一次函数的图象及性质，大题主要以应用题或一次函数与几何图形综合。►考向一一次函数的性质1．（2023•长沙）下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（）A．y＝2x+1 B．y＝x﹣4 C．y＝2x D．y＝﹣x+12．（2023•益阳）关于一次函数y＝x+1，下列说法正确的是（）A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点（0，1） C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当x＞﹣1时，y＜03．（2023•无锡）请写出一个函数的表达式，使得它的图象经过点（2，0）：．►考向二一次函数与系数的关系4．（2023•沈阳）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜05．（2023•巴中）一次函数y＝（k﹣3）x+2的函数值y随x增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＞0 B．k＜0 C．k＞3 D．k＜36．（2023•盘锦）关于x的一次函数y＝（2a+1）x+a﹣2，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是►考向三一次函数图像上点的坐标特征7．（2023•乐山）下列各点在函数y＝2x﹣1图象上的是（）A．（﹣1，3） B．（0，1） C．（1，﹣1） D．（2，3）8．（2023•广西）函数y＝kx+3的图象经过点（2，5），则k＝．9．（2023•广安）在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3、A4…在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3…在直线y＝x（x≥0）上，若点A1的坐标为（2，0），且△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，则点B2023的纵坐标为．►考向四一次函数与几何变换10．（2023•娄底）将直线y＝2x+1向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（）A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣311．（2023•雅安）在平面直角坐标系中，将函数y＝x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（）A．y＝﹣x+1 B．y＝x+1 C．y＝﹣x﹣1 D．y＝x﹣112．（2023•内蒙古）在平面直角坐标系中，将正比例函数y＝﹣2x的图象向右平移3个单位长度得到一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象，则该一次函数的解析式为（）A．y＝﹣2x+3 B．y＝﹣2x+6 C．y＝﹣2x﹣3 D．y＝﹣2x﹣6►考向五待定系数法求一次函数解析式解题技巧/易错易混1.待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．2.待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤：①设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）．②把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程．③解方程，求出待定系数k．④将求得的待定系数k的值代入解析式．3.待定系数法求一次函数解析式的一般步骤：①设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．②把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组．③解二元一次方程组，求出k，b．④将求得的k，b的值代入解析式．13．（2023•鄂州）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点（﹣2，﹣1）的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（）A．y＝x+1 B．y＝x﹣1 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣114．（2023•绍兴）一条笔直的路上依次有M，P，N三地，其中M，N两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从M，N两地同时出发，去目的地N，M，匀速而行．图中OA，BC分别表示甲、乙机器人离M地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象．（1）求OA所在直线的表达式；（2）出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？（3）甲机器人到P地后，再经过1分钟乙机器人也到P地，求P，M两地间的距离．15．（2023•北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，1）和B（1，2），与过点（0，4）且平行于x轴的直线交于点C．（1）求该函数的解析式及点C的坐标；（2）当x＜3时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值且小于4，直接写出n的值．►考向六一次函数与一元一次方程解题技巧/易错易混1.任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．2.从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．16．（2021•贺州）直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，1），B（2，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为（）A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝317．（2021•辽宁）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（）A．x＝ B．x＝1 C．x＝2 D．x＝418．（2020•济宁）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（）A．x＝20 B．x＝5 C．x＝25 D．x＝15►考向七一次函数与一元一次不等式解题技巧/易错易混1.任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．2.从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件．19．（2023•丹东）如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），则不等式ax+b＞0的解集是（）A．x＞4 B．x＜4 C．x＞3 D．x＜320．（2022•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，根据图象可知，x的取值范围是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞121．（2022•西宁）如图，直线y1＝k1x与直线y2＝k2x+b交于点A（1，2）．当y1＜y2时，x的取值范围是►考向八一次函数与二元一次方程（组）解题技巧/易错易混1.一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知，一个二元一次方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线．2.从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标．22．（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+b与直线y＝﹣3x+6相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是（）A． B． C． D．23．（2022•贵阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n（a＜m＜0）的图象如图所示．小星根据图象得到如下结论：①在一次函数y＝mx+n的图象中，y的值随着x值的增大而增大；②方程组的解为；③方程mx+n＝0的解为x＝2；④当x＝0时，ax+b＝﹣1．其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．424．（2022•陕西）若方程3x﹣12＝0的解，是一个一次函数的函数值为5时，对应的自变量的值，则这个一次函数可以是（）A．y＝3x﹣7 B．y＝﹣3x+12 C．y＝3x﹣12 D．y＝﹣3x+7►考向九两条直线相交或平行问题25．（2021•贵阳）小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线y＝knx+bn（n＝1，2，3，4，5，6，7），其中k1＝k2，b3＝b4＝b5，则他探究这7条直线的交点个数最多是（）A．17个 B．18个 C．19个 D．21个26．（2020•黔西南州）如图，正比例函数的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象相交于点P，点P到x轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是．27．（2020•南通）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．（1）求直线l2的解析式；（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．►考向十一次函数的应用解题技巧/易错易混1.设定实际问题中的自变量与因变量；2.通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；3.确定自变量的取值范围；4.利用函数性质解决问题；5.检验所求解是否符合实际意义；6.答．28．（2023•郴州）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（）A．途中修车花了30min B．修车之前的平均速度是500m/min C．车修好后的平均速度是80m/min D．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍29．（2023•济南）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，l1和l2分别表示两人到小亮家的距离s（km）和时间t（h）的关系，则出发h后两人相遇．30．（2023•陕西）某农科所对当地小麦从抽穗期到灌浆期连续51天的累计需水量进行研究，得到当地每公顷小麦在这51天内累计需水量y（m3）与天数x之间的关系如图所示，其中，线段OA，AC分别表示抽穗期、灌浆期的y与x之间的函数关系．（1）求这51天内，y与x之间的函数关系式；（2）求当地每公顷小麦在整个灌浆期的需水量．►考向十一一次函数的综合题31．（2023•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．直线y＝x﹣与y轴交于点D，与直线AB交于点C（6，a）．点M是线段BC上的一个动点（点M不与点C重合），过点M作x轴的垂线交直线CD于点N．设点M的横坐标为m．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）以线段MN，MC为邻边作▱MNQC，直线QC与x轴交于点E．①当0≤m＜时，设线段EQ的长度为l，求l与m之间的关系式；②连接OQ，AQ，当△AOQ的面积为3时，请直接写出m的值．32．（2023•河北）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点（x，y）移动到点（x+2，y+1）称为一次甲方式；从点（x，y）移动到点（x+1，y+2）称为一次乙方式．例点P从原点O出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点M（4，2）；若都按乙方式，最终移动到点N（2，4）；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E（3，3）．（1）设直线l1经过上例中的点M、N，求l1的解析式，并直接写出将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式；（2）点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q（x，y）．其中，按甲方式移动了m次．①用含m的式子分别表示x，y；②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为l3，在图中直接画出l3的图象；（3）在（1）和（2）中的直线l1，l2，l3上分别有一个动点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．1．（2022•徐州）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＞0的解集为x＞3．2．（2023•武汉）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S＝N+，其中N，L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知A（0，30），B（20，10），O（0，0），则△ABO内部的格点个数是（）A．266 B．270 C．271 D．2853．（2023•镇江）小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离家的路程s（m）与时间t（min）之间的函数关系，已知小明购物用时30min，返回速度是去商场的速度的1.2倍，则a的值为（）A．46 B．48 C．50 D．524．（2023•荆州）如图，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（）A．（2，5） B．（3，5） C．（5，2） D．（，2）5.（2023•济宁）一个函数过点（1，3），且y随x增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式6．（2023•眉山）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（﹣8，6），过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点C，点A，直线y＝﹣2x﹣6与AB交于点D，与y轴交于点E，动点M在线段BC上，动点N在直线y＝﹣2x﹣6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为7．（2023•天津）若直线y＝x向上平移3个单位长度后经过点（2，m），则m的值为．8．（2023•阜新）德力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美著称．今年5月在此举办的“漠上草原欢乐跑”首届马拉松比赛，吸引了千余名国内外选手参加，甲、乙两名选手同时参加了往返10km（单程5km）的业余组比赛，如果全程保持匀速，甲，乙之间的距离s（km）与甲所用的时间t（h）之间的函数关系如图所示，那么当甲到达终点时，乙距离终点km．9．（2023•齐齐哈尔）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）A，B两地之间的距离是千米，a＝；（2）求线段FG所在直线的函数解析式；（3）货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）10．（2023•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x2﹣6x+8＝0的两个根（OB＞OC．请解答下列问题：（1）求点B的坐标；（2）若OD：OC＝2：1，直线y＝﹣x+b分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，求tan∠MND的值；（3）在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2023•广东）综合运用如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上．如图2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜45°），AB交直线y＝x于点E，BC交y轴于点F．（1）当旋转角∠COF为多少度时，OE＝OF；（直接写出结果，不要求写解答过程）（2）若点A（4，3），求FC的长；（3）如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y＝x于点N，连接FN．将△OFN与△OCF的面积分别记为S1与S2．设S＝S1﹣S2，AN＝n，求S关于n的函数表达式．

主题三函数专题10一次函数正比例函数的概念一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫正比例函数，其中k叫正比例系数．一次函数的定义一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时，y叫做x的正比例函数．一次函数的一般形式一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．一次函数的一般形式的结构特征：1.k≠0，2.x的次数是1；3.常数b可以为任意实数.一次函数与正比例函数的区别与联系正比例函数一次函数区别一般形式y=kx+b（k是常数，且k≠0）y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）图象经过原点的一条直线一条直线k，b符号的作用k的符号决定其增减性，同时决定直线所经过的象限k的符号决定其增减性；b的符号决定直线与y轴的交点位置；k，b的符号共同决定直线经过的象限求解析式的条件只需要一对x，y的对应值或一个点的坐标需要两对x，y的对应值或两个点的坐标联系比例函数是特殊的一次函数．②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．③一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行．④一次函数与正比例函数有着共同的性质：a．当k>0时，y的值随x值的增大而增大；b．当k<0时，y的值随x值的增大而减小．注意1.正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.2.一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.3.判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.正比例函数的图象特征与性质正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．k的符号函数图象图象的位置性质k>0图象经过第一、三象限y随x的增大而增大k<0图象经过第二、四象限y随x的增大而减小一次函数的图象特征与性质一次函数的图象一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线图象关系一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度图象确定因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可函数字母取值图象经过的象限函数性质y=kx+b(k≠0)k>0，b>0一、二、三y随x的增大而增大k>0，b<0一、三、四y=kx+b(k≠0)k<0，b>0一、二、四y随x的增大而减小k<0，b<0二、三、四k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=-，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）．1.当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．2.当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：1.当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；2.当k1=k2，b1=b2，两直线重合；3.当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；4.当k1·k2=–1时，两直线垂直．待定系数法求一次函数解析式1.待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．2.待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤：①设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）．②把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程．③解方程，求出待定系数k．④将求得的待定系数k的值代入解析式．3.待定系数法求一次函数解析式的一般步骤：①设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．②把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组．③解二元一次方程组，求出k，b．④将求得的k，b的值代入解析式．一次函数与一元一次方程1.任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．2.从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．一次函数与一元一次不等式1.任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．2.从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件．一次函数与二元一次方程组1.一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知，一个二元一次方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线．2.从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标．一次函数图象与图形面积解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或两条直线的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高．如果围成的三角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法．主要题型1.求相应的一次函数表达式；2.结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．用一次函数解决实际问题的一般步骤为1.设定实际问题中的自变量与因变量；2.通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；3.确定自变量的取值范围；4.利用函数性质解决问题；5.检验所求解是否符合实际意义；6.答．方案最值问题对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案．正比例函数的概念一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫正比例函数，其中k叫正比例系数．一次函数的定义一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时，y叫做x的正比例函数．一次函数的一般形式一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．一次函数的一般形式的结构特征：1.k≠0，2.x的次数是1；3.常数b可以为任意实数.一次函数与正比例函数的区别与联系正比例函数一次函数区别一般形式y=kx+b（k是常数，且k≠0）y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）图象经过原点的一条直线一条直线k，b符号的作用k的符号决定其增减性，同时决定直线所经过的象限k的符号决定其增减性；b的符号决定直线与y轴的交点位置；k，b的符号共同决定直线经过的象限求解析式的条件只需要一对x，y的对应值或一个点的坐标需要两对x，y的对应值或两个点的坐标联系比例函数是特殊的一次函数．②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．③一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行．④一次函数与正比例函数有着共同的性质：a．当k>0时，y的值随x值的增大而增大；b．当k<0时，y的值随x值的增大而减小．注意1.正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.2.一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.3.判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.

主题三函数专题10一次函数目录一览知识目标（新课程标准提炼）中考命题趋势（分析考察方向，精准把握重难点）重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）►考向一一次函数的性质►考向二一次函数与系数的关系►考向三一次函数图像上点的坐标特征►考向四一次函数与几何变换►考向五待定系数法求一次函数解析式►考向六一次函数与一元一次方程►考向七一次函数与一元一次不等式►考向八一次函数与二元一次方程（组）►考向九两条直线相交或平行问题►考向十一次函数的应用►考向十一一次函数的综合题最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）1.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；2.会利用待定系数法确定一次函数的表达式；3.能画出一次函数的图象，根据一次函数的图象和表达式y＝kx＋b(k≠0)，探索并理解k>0和k<0时，图象的变化情况；4.理解正比例函数；5.体会一次函数与二元一次方程的关系．6.能用一次函数解决实际问题．一次函数是中考非常重要的函数，年年考查，总分值为10分左右，预计2024年各地中考一定还会考，一般小题的形式考察一次函数的图象及性质，大题主要以应用题或一次函数与几何图形综合。►考向一一次函数的性质1．（2023•长沙）下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（）A．y＝2x+1 B．y＝x﹣4 C．y＝2x D．y＝﹣x+1【思路点拨】根据一次函数的增减性与系数的关系分别判断即可．【规范解答】解：在一次函数y＝2x+1中，∵2＞0，∴y随着x增大而增大，故A不符合题意；在一次函数y＝x﹣4中，∵1＞0，∴y随着x增大而增大，故B不符合题意；在一次函数y＝2x中，∵2＞0，∴y随着x增大而增大，故C不符合题意；在一次函数y＝﹣x+1中，∵﹣1＜0，∴y随着x增大而减小，故D符合题意，故选：D．【真题点拨】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．2．（2023•益阳）关于一次函数y＝x+1，下列说法正确的是（）A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点（0，1） C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当x＞﹣1时，y＜0【思路点拨】根据一次函数的性质逐个进行分析判断即可做出选择．【规范解答】解：∵一次函数y＝x+1中，k＞0，b＞0，∴图象经过第一、二、三象限，故A不正确；当x＝0时，y＝1，∴图象与y轴交于点（0，1），故B正确；∵一次函数y＝x+1中，k＞0，∴函数值y随自变量x的增大而增大，故C不正确；∵当x＝﹣1时，y＝0，函数值y随自变量x的增大而增大，∴当x＞﹣1时，y＞0，故D不正确；故选：B．【真题点拨】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解决问题的关键．3．（2023•无锡）请写出一个函数的表达式，使得它的图象经过点（2，0）：y＝x﹣2（答案不唯一）．【思路点拨】根据一次函数的定义，可以先给出k值等于1，再找出符合点的b的值即可，答案不唯一．【规范解答】解：设k＝1，则y＝x+b，∵它的图象经过点（2，0），∴代入得：2+b＝0，解得：b＝﹣2，∴一次函数解析式为y＝x﹣2，故答案为：y＝x﹣2（答案不唯一）．【真题点拨】本题主要考查对一次函数的常数k、b的理解和待定系数法的运用，是开放型题目．►考向二一次函数与系数的关系4．（2023•沈阳）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0【思路点拨】本题考查一次函数的系数k，b对图象的影响．一次函数图象经过第一、三、四象限，则k＞0，b＜0．【规范解答】解：由图可知该一次函数图象经过第一、三、四象限，则k＞0，b＜0．故答案为B．【真题点拨】本题考查了一次函数的系数k，b对图象的影响，这属于常考的基础题型．要理解k＞0时，图象过一、三象限，k＜0时，图象过二、四象限；b是图象与y轴交点的纵坐标，这样就可以很容易找出正确答案．5．（2023•巴中）一次函数y＝（k﹣3）x+2的函数值y随x增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＞0 B．k＜0 C．k＞3 D．k＜3【思路点拨】根据一次函数y＝（k﹣3）x+2的函数值y随x增大而减小得到k﹣3＜0，从而求出k的取值范围．【规范解答】解：∵一次函数y＝（k﹣3）x+2的函数值y随x增大而减小，∴k﹣3＜0，∴k＜3，故选：D．【真题点拨】本题主要考查了一次函数图象的性质，熟知：对于一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0），当k＞0，y随x增大而增大；当k＜0时，y随x增大而减小．6．（2023•盘锦）关于x的一次函数y＝（2a+1）x+a﹣2，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是﹣＜a＜2．【思路点拨】y随x的增大而增大，说明x的系数大于0；图象与y轴的交点在x的下方，说明常数项小于0，据此作答．【规范解答】解：根据题意得，解得：﹣＜a＜2．故答案为：﹣＜a＜2．【真题点拨】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．►考向三一次函数图像上点的坐标特征7．（2023•乐山）下列各点在函数y＝2x﹣1图象上的是（）A．（﹣1，3） B．（0，1） C．（1，﹣1） D．（2，3）【思路点拨】利用一次函数图象上点的坐标特征，逐一对四个选项进行验证即可求解．【规范解答】解：A．当x＝﹣1时，y＝2×（﹣1）﹣1＝﹣3，∴点（﹣1，3）不在函数y＝2x﹣1图象上；B．当x＝0时，y＝2×0﹣1＝﹣1，∴点（0，1）不在函数y＝2x﹣1图象上；C．当x＝1时，y＝2×1﹣1＝1，∴点（1，﹣1）不在函数y＝2x﹣1图象上；D．当x＝2时，y＝2×2﹣1＝3，∴点（2，3）在函数y＝2x﹣1图象上；故选：D．【真题点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是直线上任意一个点的坐标都满足函数解析式y＝kx+b．8．（2023•广西）函数y＝kx+3的图象经过点（2，5），则k＝1．【思路点拨】将点（2，5）代入函数关系式，计算可求解．【规范解答】解：将点（2，5）代入y＝kx+3中，得5＝2k+3，解得k＝1，故答案为：1．【真题点拨】本题主要考查一次函数图象上点的特征，将点的坐标代入关系式进行计算是解题的关键．9．（2023•广安）在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3、A4…在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3…在直线y＝x（x≥0）上，若点A1的坐标为（2，0），且△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，则点B2023的纵坐标为×22022．【思路点拨】设等边△BnAnAn+1的边长为an，可得△BnAnAn+1的高为an•sin60°＝an，即Bn的纵坐标为an，由点A1的坐标为（2，0），可得a1＝2，a2＝2+2＝4，a3＝2+a1+a2＝8，a4＝2+a1+a2+a3＝16，…，故an＝2n，即可得到答案．【规范解答】解：设等边△BnAnAn+1的边长为an，∵△BnAnAn+1是等边三角形，∴△BnAnAn+1的高为an•sin60°＝an，即Bn的纵坐标为an，∵点A1的坐标为（2，0），∴a1＝2，a2＝2+2＝4，a3＝2+a1+a2＝8，a4＝2+a1+a2+a3＝16，…，∴an＝2n，∴Bn的纵坐标为×2n﹣1，当n＝2023时，∴Bn的纵坐标为×22022，故答案为：×22022．【真题点拨】本题考查一次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握等边三角形的性质，能熟练应用含30°角的直角三角形三边的关系．►考向四一次函数与几何变换10．（2023•娄底）将直线y＝2x+1向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（）A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣3【思路点拨】根据函数图象平移的法则进行解答即可．【规范解答】解：直线y＝2x向右平移2个单位后所得图象对应的函数解析式为y＝2（x﹣2）+1，即y＝2x﹣3．故选：D．【真题点拨】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．11．（2023•雅安）在平面直角坐标系中，将函数y＝x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（）A．y＝﹣x+1 B．y＝x+1 C．y＝﹣x﹣1 D．y＝x﹣1【思路点拨】找出y＝x上一个点坐标，进而旋转90°后对应点的坐标，即可得到旋转后一次函数解析式，再根据上加下减的平移规则即可求得直线的函数表达式为y＝﹣x+1．【规范解答】解：在函数y＝x的图象上取点A（1，1），绕原点逆时针方向旋转90°后得到对应的点的坐标A′（﹣1，1），则旋转后的直线的解析式为y＝﹣x，再向上平移1个单位长度，得到y＝﹣x+1．故选：A．【真题点拨】此题考查了一次函数的图象与几何变换，熟练平移的规则是解本题的关键．12．（2023•内蒙古）在平面直角坐标系中，将正比例函数y＝﹣2x的图象向右平移3个单位长度得到一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象，则该一次函数的解析式为（）A．y＝﹣2x+3 B．y＝﹣2x+6 C．y＝﹣2x﹣3 D．y＝﹣2x﹣6【思路点拨】根据一次函数图象平移的规律解答即可．【规范解答】解：正比例函数y＝﹣2x的图象向右平移3个单位长度得到一次函数的解析式为y＝﹣2（x﹣3）＝﹣2x+6．故选：B．【真题点拨】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”是解题的关键．►考向五待定系数法求一次函数解析式解题技巧/易错易混1.待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．2.待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤：①设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）．②把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程．③解方程，求出待定系数k．④将求得的待定系数k的值代入解析式．3.待定系数法求一次函数解析式的一般步骤：①设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．②把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组．③解二元一次方程组，求出k，b．④将求得的k，b的值代入解析式．13．（2023•鄂州）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点（﹣2，﹣1）的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（）A．y＝x+1 B．y＝x﹣1 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣1【思路点拨】根据棋子“帅”位于点（﹣2，﹣1）的位置，求出“马”所在的点的坐标，由此解答即可．【规范解答】解：∵“帅”位于点（﹣2，﹣1）可得出“马”（1，2），设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+1，故选：A．【真题点拨】本题考查了点的坐标和用待定系数法求一次函数的解析式，掌握一次函数解析式的求法是解题的关键．14．（2023•绍兴）一条笔直的路上依次有M，P，N三地，其中M，N两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从M，N两地同时出发，去目的地N，M，匀速而行．图中OA，BC分别表示甲、乙机器人离M地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象．（1）求OA所在直线的表达式；（2）出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？（3）甲机器人到P地后，再经过1分钟乙机器人也到P地，求P，M两地间的距离．【思路点拨】（1）利用待定系数法，将（5，1000）代入解析式中，求出答案；（2）俩机器人相向而行，同时出发，相遇时两人路程应为MN的长度，列出方程即可；（3）设甲到P地时间为t分钟，乙到P地时间为（t+1）分钟，分别求出两人到P地时，与M的距离，列出方程，解出答案．【规范解答】解：（1）由图象可知，OA所在直线为正比例函数，∴设y＝kx，∵A（5，1000），1000＝5k，k＝200，∴OA所在直线的表达式为y＝200x．（2）由图可知甲机器人速度为：1000÷5＝200（米/分钟），乙机器人速度为：1000÷10＝100（米/分钟），两人相遇时：＝（分钟），答：出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇．（3）设甲机器人行走t分钟时到P地，P地与M地距离为200t，则乙机器人（t+1）分钟后到P地，P地与M地距离1000﹣100（t+1），由200t＝1000﹣100（t+1），解得t＝3，∴200t＝600，答：P，M两地间的距离为600米．【真题点拨】本题以一次函数综合运用为背景，考查了学生在函数中数形结合的能力，此类题目的关键是弄懂题意，求出每个人的速度，明确相向而行时相遇时两人的路程和等于总路程，进而求解．15．（2023•北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，1）和B（1，2），与过点（0，4）且平行于x轴的直线交于点C．（1）求该函数的解析式及点C的坐标；（2）当x＜3时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值且小于4，直接写出n的值．【思路点拨】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可；（2）根据函数图象得出当y＝x+n过点（3，4）时满足题意，代入（3，4）求出n的值即可．【规范解答】解：（1）把点A（0，1），B（1，2）代入y＝kx+b（k≠0）得：b＝1，k+b＝2，解得：k＝1，b＝1，∴该函数的解析式为y＝x+1，由题意知点C的纵坐标为4，当y＝x+1＝4时，解得：x＝3，∴C（3，4）；（2）由（1）知：当x＝3时，y＝x+1＝4，因为当x＜3时，函数y＝x+n的值大于函数y＝x+1的值且小于4，所以当y＝x+n过点（3，4）时满足题意，代入（3，4）得：4＝×3+n，解得：n＝2．【真题点拨】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．►考向六一次函数与一元一次方程解题技巧/易错易混1.任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．2.从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．16．（2021•贺州）直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，1），B（2，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为（）A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3【思路点拨】所求方程的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点横坐标，确定出解即可．【规范解答】解：方程ax+b＝0的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标，∵直线y＝ax+b过B（2，0），∴方程ax+b＝0的解是x＝2，故选：C．【真题点拨】此题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．17．（2021•辽宁）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（）A．x＝ B．x＝1 C．x＝2 D．x＝4【思路点拨】首先利用函数解析式y＝2x求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程kx+b＝2的解可得答案．【规范解答】解：∵直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），∴2＝2m，∴m＝1，∴P（1，2），∴当x＝1时，y＝kx+b＝2，∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝1，故选：B．【真题点拨】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．18．（2020•济宁）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（）A．x＝20 B．x＝5 C．x＝25 D．x＝15【思路点拨】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．【规范解答】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）∴方程x+5＝ax+b的解为x＝20．故选：A．【真题点拨】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图象上看，一元一次方程的解，相当于已知两条直线交点的横坐标的值．►考向七一次函数与一元一次不等式解题技巧/易错易混1.任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．2.从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件．19．（2023•丹东）如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），则不等式ax+b＞0的解集是（）A．x＞4 B．x＜4 C．x＞3 D．x＜3【思路点拨】写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可．【规范解答】解：∵直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），当x＜4时，y＞0，∴不等式ax+b＞0的解集为x＜4．故选：B．【真题点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．20．（2022•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，根据图象可知，x的取值范围是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1【思路点拨】根据题意和函数图象，可以写出当kx+b＜x时，x的取值范围．【规范解答】解：由图象可得，当x＞3时，直线y＝x在一次函数y＝kx+b的上方，∴当kx+b＜x时，x的取值范围是x＞3，故选：A．【真题点拨】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．（2022•西宁）如图，直线y1＝k1x与直线y2＝k2x+b交于点A（1，2）．当y1＜y2时，x的取值范围是x＜1．【思路点拨】根据两函数的交点坐标和函数的图象得出x的范围即可．【规范解答】解：∵直线y1＝k1x与直线y2＝k2x+b交于点A（1，2），∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜1，故答案为：x＜1．【真题点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能正确根据函数图象得出不等式的解集是解此题的关键．►考向八一次函数与二元一次方程（组）解题技巧/易错易混1.一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知，一个二元一次方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线．2.从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标．22．（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+b与直线y＝﹣3x+6相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是（）A． B． C． D．【思路点拨】由图象交点坐标可得方程组的解．【规范解答】解：由图象可得直线的交点坐标是（1，3），∴方程组的解为．故选：B．【真题点拨】本题考查一次函数与二元一次方程的关系，解题关键是理解直线交点坐标中x与y的值为方程组的解．23．（2022•贵阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n（a＜m＜0）的图象如图所示．小星根据图象得到如下结论：①在一次函数y＝mx+n的图象中，y的值随着x值的增大而增大；②方程组的解为；③方程mx+n＝0的解为x＝2；④当x＝0时，ax+b＝﹣1．其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】①根据一次函数的函数的增减进行判断便可；②根据一次函数与二元一次方程组的关系判断便可；③根据一次函数图象与x的交点坐标进行判断便可；④根据一次函数图象与y轴交点坐标进行判断便可．【规范解答】解：①由函数图象可知，直线y＝mx+n从左至右呈下降趋势，所以y的值随着x值的增大而减小，故①错误；②由函数图象可知，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n（a＜m＜0）的图象交点坐标为（﹣3，2），所以方程组的解为，故②正确；③由函数图象可知，直线y＝mx+n与x轴的交点坐标为（2，0），所以方程mx+n＝0的解为x＝2，故③正确；④由函数图象可知，直线y＝ax+b过点（0，﹣2），所以当x＝0时，ax+b＝﹣2，故④错误；故选：B．【真题点拨】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数与二元一次方程的关系，关键是综合应用一次函数的图象与性质解题．24．（2022•陕西）若方程3x﹣12＝0的解，是一个一次函数的函数值为5时，对应的自变量的值，则这个一次函数可以是（）A．y＝3x﹣7 B．y＝﹣3x+12 C．y＝3x﹣12 D．y＝﹣3x+7【思路点拨】由3x﹣12＝0得x＝4，再分别求出各选项在x＝4时的函数值，即可得到答案．【规范解答】解：由3x﹣12＝0得x＝4，当x＝4时，y＝3x﹣7＝3×4﹣7＝5，故A符合题；y＝﹣3x+12＝﹣3×4+12＝0，故B不符合题意；y＝3x﹣12＝3×4﹣13＝3×4﹣12＝0，故C不符合题意；y＝﹣3x+7＝﹣3×4+7＝﹣5，故D不符合题意；故选：A．【真题点拨】本题考查一次函数与一元一次方程，解题的关键是读懂题意，分别求出各选项在x＝4时的函数值．►考向九两条直线相交或平行问题25．（2021•贵阳）小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线y＝knx+bn（n＝1，2，3，4，5，6，7），其中k1＝k2，b3＝b4＝b5，则他探究这7条直线的交点个数最多是（）A．17个 B．18个 C．19个 D．21个【思路点拨】由k1＝k2得前两条直线无交点，b3＝b4＝b5得第三到五条有1个交点，然后第6条线与前5条线最多有5个交点，第7条线与前6条线最多有6个交点求解．【规范解答】解：∵k1＝k2，b3＝b4＝b5，∴直线y＝knx+bn（n＝1，2，3，4，5）中，直线y＝k1x+b1与y＝k2x+b2无交点，y＝k3x+b3与y＝k4x+b4与y＝k5x+b5有1个交点，∴直线y＝knx+bn（n＝1，2，3，4，5）最多有交点2×3+1＝7个，第6条线与前5条线最多有5个交点，第7条线与前6条线最多有6个交点，∴交点个数最多为7+5+6＝18．故选：B．【真题点拨】本题考查直线相交问题，解题关键是掌握一次函数y＝kx+b中，k与b对直线的影响．26．（2020•黔西南州）如图，正比例函数的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象相交于点P，点P到x轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是y＝﹣2x．【思路点拨】根据图象和题意，可以得到点P的纵坐标，然后代入一次函数解析式，即可得【规范解答】解：∵点P到x轴的距离为2，∴点P的纵坐标为2，∵点P在一次函数y＝﹣x+1的图象上，∴2＝﹣x+1，得x＝﹣1，∴点P的坐标为（﹣1，2），设正比例函数解析式为y＝kx，则2＝﹣k，得k＝﹣2，∴正比例函数解析式为y＝﹣2x，故答案为：y＝﹣2x．【真题点拨】本题考查两条直线相交或平行问题、一次函数的性质、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．27．（2020•南通）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．（1）求直线l2的解析式；（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．【思路点拨】（1）把点C的坐标代入y＝x+3，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式；（2）由已知条件得出M、N两点的横坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标．【规范解答】解：（1）把x＝1代入y＝x+3得y＝4，∴C（1，4），设直线l2的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6；（2）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，∴B（﹣3，0），∴AB＝3﹣（﹣3）＝6，设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6），MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，解得a＝3或a＝﹣1，∴M（3，6）或（﹣1，2）．【真题点拨】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键．►考向十一次函数的应用解题技巧/易错易混1.设定实际问题中的自变量与因变量；2.通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；3.确定自变量的取值范围；4.利用函数性质解决问题；5.检验所求解是否符合实际意义；6.答．28．（2023•郴州）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（）A．途中修车花了30min B．修车之前的平均速度是500m/min C．车修好后的平均速度是80m/min D．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍【思路点拨】根据图象即可判断A选项，根据“路程÷时间＝速度”即可判断B和C选项，进一步可判断D选项．【规范解答】解：由图象可知，途中修车时间是9：10到9：30共花了20min，故A不符合题意；修车之前的平均速度是6000÷10＝600（m/min），故B不符合题意；车修好后的平均速度是（13200﹣6000）÷8＝900（m/min），故C不符合题意；900÷600＝1.5，∴车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍，故D符合题意，故选：D．【真题点拨】本题考查了一次函数的应用，理解一次函数图象上各点的含义是解题的关键．29．（2023•济南）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，l1和l2分别表示两人到小亮家的距离s（km）和时间t（h）的关系，则出发0.35h后两人相遇．【思路点拨】用待定系数法求出l1和l2的函数解析式，再令S1＝S2解方程即可．【规范解答】解：设l1的函数解析式为y1＝kx+b，则，解得，∴l1的函数解析式为S1＝5t+3.5；设l2的函数解析式为S2＝mt，则0.4m＝6，解得m＝15，∴l2的函数解析式为S2＝15t；令S1＝S2，即5t+3.5＝15t，解得t＝0.35，∴出发0.35小时后两人相遇．故答案为：0.35．【真题点拨】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．30．（2023•陕西）某农科所对当地小麦从抽穗期到灌浆期连续51天的累计需水量进行研究，得到当地每公顷小麦在这51天内累计需水量y（m3）与天数x之间的关系如图所示，其中，线段OA，AC分别表示抽穗期、灌浆期的y与x之间的函数关系．（1）求这51天内，y与x之间的函数关系式；（2）求当地每公顷小麦在整个灌浆期的需水量．【思路点拨】（1）依据题意，分0≤x≤20和20＜x≤51两段通过待定系数法可以得解；（2）依据题意，令x＝51时求出需水总量，再减去前20天的需水量，即可得解．【规范解答】解：（1）由题意，当0≤x≤20时，设y＝kx，∴20k＝960．∴k＝48．∴y＝48x．当20＜x≤51时，设关系式为y＝mx+n，∴．∴．∴y＝35x+260．综上，所求函数关系式为y＝．（2）由题意，令x＝51，∴y＝35×51+260＝2045．又当x＝20时，y＝960，∴每公顷小麦在整个灌浆期的需水量＝2045﹣960＝1085（m3）．【真题点拨】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并理解是关键．►考向十一一次函数的综合题31．（2023•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．直线y＝x﹣与y轴交于点D，与直线AB交于点C（6，a）．点M是线段BC上的一个动点（点M不与点C重合），过点M作x轴的垂线交直线CD于点N．设点M的横坐标为m．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）以线段MN，MC为邻边作▱MNQC，直线QC与x轴交于点E．①当0≤m＜时，设线段EQ的长度为l，求l与m之间的关系式；②连接OQ，AQ，当△AOQ的面积为3时，请直接写出m的值．【思路点拨】（1）根据直线y＝x﹣的解析式求出C点的坐标，用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）①用含m的代数式表示出MN，再根据MN＝CQ得出结论即可；②根据面积得出l的值，然后根据①的关系式得出m的值即可．【规范解答】解：（1）∵点C（6，a）在直线y＝x﹣上，∴a＝＝，∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（8，0）和点C（6，），∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6；（2）①∵M点在直线y＝﹣x+6上，且M的横坐标为m，∴M的纵坐标为：﹣m+6，∵N点在直线y＝x﹣上，且N点的横坐标为m，∴N点的纵坐标为：m﹣，∴|MN|＝﹣m+6﹣m+＝﹣，∵点C（6，），线段EQ的长度为l，∴|CQ|＝l+，∵|MN|＝|CQ|，∴﹣＝l+，即l＝（0≤m＜）；②∵△AOQ的面积为3，∴OA•EQ＝3，即，解得EQ＝，由①知，EQ＝6﹣，∴|6﹣|＝，解得m＝或，即m的值为或．【真题点拨】本题主要考查一次函数的知识，熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式等知识是解题的关键．32．（2023•河北）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点（x，y）移动到点（x+2，y+1）称为一次甲方式；从点（x，y）移动到点（x+1，y+2）称为一次乙方式．例点P从原点O出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点M（4，2）；若都按乙方式，最终移动到点N（2，4）；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E（3，3）．（1）设直线l1经过上例中的点M、N，求l1的解析式，并直接写出将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式；（2）点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q（x，y）．其中，按甲方式移动了m次．①用含m的式子分别表示x，y；②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为l3，在图中直接画出l3的图象；（3）在（1）和（2）中的直线l1，l2，l3上分别有一个动点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．【思路点拨】（1）由待定系数法可求直线l1的解析式；由平移的性质可求直线l2的解析式；（2）①由题意可得：点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为（2m，m），再得出点（2m，m），按照乙方式移动（10﹣m）次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果；②由①的结果可得直线l3的解析式，进而可画出函数图象；（3）由题意可得点A，点B，点C的坐标，由待定系数法可求直线AB的解析式，即可求解．【规范解答】解：（1）设l1的解析式为y＝kx+b，由题意可得：，解得：，∴l1的解析式为y＝﹣x+6，将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式为y＝﹣x+15；（2）∵点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次，∴点P按照乙方式移动了（10﹣m）次，∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为（2m，m），∴点（2m，m）按照乙方式移动（10﹣m）次后得到的点的横坐标为2m+10﹣m＝m+10，纵坐标为m+2（10﹣m）＝20﹣m，∴x＝m+10，y＝20﹣m；②∵x+y＝m+10+20﹣m＝30，∴直线l3的解析式为y＝﹣x+30；函数图象如图所示：（3）∵点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，∴点A（a，﹣a+6），点B（b，﹣b+15），点C（c，﹣c+30），当a≠b≠c，﹣a+6≠﹣b+15≠﹣c+30时，设直线AB的解析式为y＝mx+n，由题意可得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝（﹣1+）x+6﹣，∵点A，点B，点C三点始终在一条直线上，∴c（﹣1+）+6﹣＝﹣c+30，∴5a+3c＝8b，当a＝b＝c时，则点A，点B，点C共线，则5a+3c＝8b，当﹣a+6＝﹣b+15＝﹣c+30时，﹣2a+b+c＝33，则5a+3c＝8b，∴a，b，c之间的关系式为5a+3c＝8b．【真题点拨】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，平移的性质，掌握平移的性质和一次函数的性质是解题的关键．1．（2022•徐州）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＞0的解集为x＞3．【思路点拨】利用待定系数法求得b＝﹣2k，再利用一元一次不等式解法得出答案．【规范解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象过点（2，0），∴2k+b＝0，∴b＝﹣2k，∴关于kx+b＞0∴kx＞﹣×（﹣2k）＝3k，∵k＞0，∴x＞3．故答案为：x＞3．【真题点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，利用待定系数法求得b＝﹣2k是解题的关键．2．（2023•武汉）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S＝N+，其中N，L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知A（0，30），B（20，10），O（0，0），则△ABO内部的格点个数是（）A．266 B．270 C．271 D．285【思路点拨】根据公式，先计算出S和L的值，即可求出N的值．【规范解答】解：由A（0，30）可知边OA上有31个格点（含点O，A），∵直线OB的解析式为y＝x，∴当x为小于或等于20的正偶数时y也为整数，即OB边上有10个格点（不含端点O，含端点B）；∵直线AB的解析式为y＝﹣x+30，∴当0＜x＜20且x为整数时，y均为整数，故边AB上有19个格点（不含端点），∴L＝31+19+10＝60，∵△ABO的面积为S＝×30×20＝300，∴300＝N+×60﹣1，∴N＝271．故选：C．【真题点拨】本题考查新定义的理解，也考查了学生分析、解决问题的能力，注意区分多边形内部格点数和边界格点数是解本题的关键．3．（2023•镇江）小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离家的路程s（m）与时间t（min）之间的函数关系，已知小明购物用时30min，返回速度是去商场的速度的1.2倍，则a的值为（）A．46 B．48 C．50 D．52【思路点拨】设小明家距离商场为sm，先根据题意求出小明去商场的所用时间，再根据速度＝得出小明去商场时的速度速度，，再根据返回速度是去商场的速度的1.2倍，求出小明返回时所用时间即可．【规范解答】解：设小明家距离商场为sm，∵小明购物用时30min，∴小明从家到商场所用时间为42﹣30＝12（min），∴小明从家到商场的速度为（m/min），∵小明返回速度是去商场的速度的1.2倍，∴小明返回所用时间为＝10（min），∴a＝42+10＝52，故选：D．【真题点拨】本题考查了函数的图象，利用数形结合的思想方法是解答本题的关键．4．（2023•荆州）如图，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（）A．（2，5） B．（3，5） C．（5，2） D．（，2）【思路点拨】先根据坐标轴上点的坐标特征求出B点坐标为（0，3），A点坐标为（2，0），则OA＝2，OB＝3，再根据旋转的性质得∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，然后根据点的坐标的确定方法即可得到点D的坐标．【规范解答】解：当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则B点坐标为（0，3）；当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝2，则A点坐标为（2，0），则OA＝2，OB＝3，∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△ACD，∴∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，即AC⊥x轴，CD∥x轴，∴点D的坐标为（5，2）．故选：C．【真题点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点、一次函数的性质及旋转的性质，熟知图形旋转后对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等是解题的关键．5.（2023•济宁）一个函数过点（1，3），且y随x增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式y＝x+2（答案不唯一）．【思路点拨】设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k+b＝3，利用一次函数的性质可得出k＞0，取k＝1，b＝2即可得出结论．【规范解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）．∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3），∴3＝k+b，又∵函数值y随自变量x的增大而增大，∴k＞0，∴k＝1，b＝2符合题意，∴符合上述条件的函数解析式可以为y＝x+2．故答案为：y＝x+2（答案不唯一）．【真题点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．6．（2023•眉山）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（﹣8，6），过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点C，点A，直线y＝﹣2x﹣6与AB交于点D，与y轴交于点E，动点M在线段BC上，动点N在直线y＝﹣2x﹣6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为（﹣8，6）或（﹣8，）．【思路点拨】过点N作PQ⊥y轴交y轴于