函数的极值（原卷版）-2025年天津高考数学一轮复习

第13讲函数的极值

（5类核心考点精讲精练）

I他.考情探究•

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

2024年天津卷，第20题,16利用导数证明不等式利用导数研究不等式恒成立问题由导数求求在曲

分线上一点处的切线方程（斜率）函数的最值（含参）

2023年天津卷，第20题,16求在曲线上一点处的切线方程（斜率）利用导数证明不等式利用导数研究

分不等式恒成立问题

2022年天津卷，第20题,16求在曲线上一点处的切线方程（斜率）利用导数研究不等式恒成立问题利

分用导数研究函数的零

2021年天津卷，第20题,16求在曲线上一点处的切线方程（斜率）

分利用导数研究能成立问题函数极值点的辨析

2020年天津卷，第20题,16

利用导数证明不等式

分

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为16分

【备考策略】1.理解、掌握函数极值的定义，能够通过导数求解函数的极值问题

2.能掌握函数极值与图像的关系

3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像求解函数的极值与不等式等问题

4.掌握函数图像与极值的关系

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数的解析式求解函数的极值，或通过极值求

参数的取值范围等。

「立•考点梳理，

函数极值辨析

求不含参函数的极值

求含参函数的极值

由极值求参数

知识讲解

知识点一.函数的极值

1.函数极值的定义：

如图，函数y=/(x)在点x=a的函数值/(a)比它在点尤=。附近其他点的函数值都小，/(a)=0；而且在点x

=a附近的左侧尸(x)<0,右侧尸(无)>0.类似地，函数y=/(x)在点x=b的函数值/(b)比它在点x=b附近其他

点的函数值都大，/(6)=0；而且在点尤=6附近的左侧尸(无)>0,右侧尸(无)<0.我们把。叫做函数y=/(x)的极

小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值;b叫做函数y=f(x)的极大值点,1(6)叫做函数y=f(尤)的极大值.极

小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值.

2.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件：

一般地，函数y=f(尤)在某一点的导数值为0是函数y=f(x)在这点取得极值的必要条件.可导函数y=/(x)

在x=xo处取极大(小)值的充分条件：

①尸(xo)=O；

②在％=尤0附近的左侧尸(加)>0(<0),右侧尸(迎)<0(>0).

3.导数求极值的方法：

解方程广(劝=0,当/'(xo)=O时，如果在无o附近的左侧尸(x)>0,右侧尸(x)<0,那么f(xo)是极大值;如果

在迎附近的左侧广(x)<0,右侧广(无)>0,那么f(xo)是极小值.

注意对于可导函数/(x),"f(xo)=O”是“函数/(力在苫=双处有极值”的必要不充分条件.

知识点二.三次函数的图象、单调性、极值

设三次函数/(%)=〃%3+加；2+6；+或〃#0),则/XX)=3QN+2bx+c,记/=4抉一1lac=4(/?2—3ac),并设x\,

X2是方程/(%)=0的根，且

J>0J<0

图象

在（一GO,Xl）,（&,+◎上单调递增；在

单调性在R上是增函数

（xi,X2）上单调递减

极值点个数20

(2)。<0

J>0J<0

1

图象

1匹X2、元1

在（XI,X2）上单调递增；在（一00,X。，（如

单调性在R上是减函数

+co）上单调递减

极值点个数20

考点一、函数极值辨析

典例引领

'3%,x<0,

1.（2024.北京海淀.二模）函数/（%）=小；［二是（）

阳，%>°

A.偶函数，且没有极值点B.偶函数，且有一个极值点

C.奇函数，且没有极值点D.奇函数，且有一个极值点

2.(23-24高三下•四川巴中•阶段练习)函数/(x)=-2cos(o>x++1(3>0)相邻极值点的距离为:，则3为

()

A.3B.4C.1D.2

即时检测

1.(2024・辽宁.三模)下列函数中，既是定义域上的奇函数又存在极小值的是()

A./(%)=%sin%B./(%)=%+：

-1

C.f(x)=e*+2D./(x)=|x+l|-|x-l|

e

2.(2024•江西•模拟预测)已知函数/(久)=sinwx+V3coso>x(a)>0)在区间(。,兀)上恰有两个极值点刈不，

则/(向+冷)的值为()

A.1B.V3C.-V3D.2

3.(23-24高三下•广东广州•阶段练习)“均是函数f(x)的一个极值点”是»0)在久。处导数为。”的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

考点二、求不含参函数的极值

典例引领

1.(2017.全国•高考真题)若x=—2是函数f(x)=(x123+ax-1)1-1的极值点，则/。)的极小值为.

-3-3

A.-1B.-2eC.5eD.1

2.(2024•全国•高考真题)2知函数f(%)=(1-ax)jn(l+%)-%.

(1)当a=-2时，求/(%)的极值；

(2)当久之0时，f(x)>0,求a的取值范围.

1.(2024・甘肃张掖・三模)已知函数/(%)=『—Ex—^图象在％=2处的切线斜率为*

(1)求a；

(2)求函数/(久)的单调区间和极大值.

2.(2024•江苏•三模)已知函数f(%)=ax-2sjn%,%e(0,兀).

(1)若a=1,求/(%)的极小值；

(2)若/(%)是单调函数，求a的取值范围.

3.(23-24高三上•广东江门•开学考试)已知函数f(%)=a/—6%+m%,(0beR).

(1)若a=l,b=3,求函数f(x)的单调区间及极值；

(2)若b=0时，不等式/'(%)<。在［1,+8)上恒成立，求参数a的取值范围.

4.(23-24高三上•天津•期中)已知函数/(%)=4K3—3——18*+27,xeR.

(1)求f(x)的单调区间与极值；

(2)求f(x)在区间［0,3］上的最大值与最小值.

5.(24-25高三下•重庆•阶段练习)已知函数/(x)=\nx+x12-kx+1在点(2,(⑵)处的切线Z与直线3久-2y=

0平行.

(1)求k的值及切线/的方程；

(2)求/(乃的单调区间和极值.

考点三、求含参函数的极值

典例引领

x+1

1.(2024•辽宁・模拟预测)已知函数/(%)=(ax—l)e+3(aW0).

⑴求f(%)的极值；

(2)设a=l,若关于％的不等式/(%)工(b-l)e*+i-久在区间［一L+8)内有解，求b的取值范围.

2

2.(24-25高三上•上海•单元测试)已知/(%)=-|ax+%-jn(l+%),其中a>0.

(1)若函数/(%)在第=3处的切线与久轴平行，求a的值；

(2)求/(%)的极值点；

⑶若f(%)在［0,+8)上的最大值是0,求a的取值范围.

xx

1.(2024高三•全国•专题练习)已知函数/(汽)=e-ax+2(aGR),g(%)=xQ+3.

⑴求函数/(%)的极值；

(2)当久NO时，/(%)<g(%)恒成立，求证：a>0.

2.(2024•山东威海•二模)已知函数/(%)=In%—ax+1.

⑴求/(%)的极值；

x

(2)证明：In%+%+1<xQ.

32

3.(20-21高三上•四川宜宾•阶段练习)设函数/(%)=-|x+/+(m-1)x(%eR),其中zn>0.

⑴当租=1时，曲线y=/(%)在点处的切线斜率;

(2)求函数f(x)的单调区间与极值.

4.⑵-24高三上•安徽合肥•阶段练习)已知函数/(%)=［-binx.

(1)当b>0时，求函数的单调区间和极值

(2)若f(x)在区间(1^2］内恰好有两个零点，求b的取值范围.

5.(23-24高三上•广东深圳•阶段练习)已知f(x)=ax-lnx,aER.

⑴讨论/(久)的单调性和极值；

(2)若xe(0,9时，〃久)43有解，求a的取值范围.

考点四、由极值求参数

典例引领

1.(24-25高三下•重庆•阶段练习)若函数/0)=(a/+切丁在x=1时有极小值—2e，则ab=()

A.-2B.-3C.—eD.-1

2.(2024.重庆.模拟预测)若函数/(久)=/一x+alnx有极值，则实数a的取值范围是()

A•("B.(词C,(-oo,0D.(-oo)!］

.即时__检__测___

1.(2024・重庆・模拟预测)已知f(x)=/+aln(l-x)

(1)若/'(x)在久=0处的切线平行于x轴，求a的值；

(2)若存在极值点，求a的取值范围.

2.(2024・辽宁・二模)已知函数/'(x)=a/一：(3a+1)久2+%,aeR.

⑴讨论函数/(©的单调性；

(2)若函数/(%)的极小值为-1,求实数a的取值集合.

2

3.(22-23高三上•全国•阶段练习)已知函数f(%)=/+ax—1,在％=-1时取得极值.

(1)求/(%)的解析式；

(2)若函数y=f(x)-2有一个零点，求实数4的取值范围.

4.(23-24高三上•辽宁丹东•期中)已知函数/(%)=一租X+4.

(1)讨论/(%)的单调性;

(2)若/(乃的极小值为-点求m的值.

5.(23-24高三上•陕西汉中•阶段练习)已知函数〃久)=a—+6婷在％=1处有极值1

(1)求a,b的值；

(2)若函数g(%)=/(%)-?n%在［一1,1］上单调递增，求机的取值范围.

考点五、函数极值(点)与图像

典例后阚

1.（2023•安徽马鞍山•模拟预测）已知函数/（%）的导函数/（久）的部分图象如图，则下列说法正确的是（）

A./(I)>/(3)B.八-1）＜"2）

C.f(x)有三个零点D.f（x）有三个极值点

2.（2024高三•全国•专题练习）已知函数f（x）的导函数f（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A.曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线斜率小于零

B.函数f（x）在区间（—1,1）上单调递增

C.函数f（x）在x=l处取得极大值

D.函数f（x）在区间（—3,3）内至多有两个零点

即时甄L

2.（23-24高三上•湖南长沙•阶段练习）已知函数/（久）的导函数尸（久）的图象如图所示，则下列说法正确的是

A.函数fO)有最小值

B.函数/(久)有最大值

C.函数/(久)有且仅有三个零点

D.函数/(x)有且仅有两个极值点

3.(24-25高三・上海•随堂练习)定义在R上的函数/'(久)的导数/(久)的大致图象如题图所示，则函数y=/(%)

的单调增区间为,y=/(x)的极大值点为久=.

好题冲关・

A基础过关

1.(2024•山西阳泉三模)已知等差数列｛an｝中，是函数/(X)=Sin(2x-方的一个极大值点，则tanQ+ag)

的值为()

A.亨B.V3C.+V3D.-V3

2.(2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)若函数f(x)=J-依在区间(0,2)上有极值点，则实数a的取值范围是

()

2

A.(0,|)B.C.(l,e)D.(0,1)

3.(2024・河北承德•二模)设a为实数，若函数/(x)=|%3-ax2+3在x=1处取得极小值，贝必=()

A.1B.|C.0D,-1

4.(2024高三.全国・专题练习)设aCR,若函数/(x)=ea，+3x(x6R)有小于零的极值点，贝b的取值

范围是()

A.(-a>,-3)B.(-3,0)C.D.(一？-

5.(2024高三下•全国•专题练习)已知函数/(%)=ax3+bx2+%+c,其导函数y=((%)的图象如图所示，

过点&。)和(1,0).函数f(x)的单调递减区间为，极大值点为.

y

O\l\_/ix

|T1

6.（2024・河南•三模）已知函数/（久）=＜2久—Inx,且/（久）在久=1处的切线方程是x-y+6=0.

（1）求实数a,b的值；

（2）求函数f（x）的单调区间和极值.

7.（2024•山东潍坊・二模）已知函数/（x）=（x-I）/-a/+匕，曲线y=/（久）在点处的切线方程

-

为y—（e2）久+3-e，

⑴求实数a,b的值；

（2）求f（x）的单调区间和极值.

能力提升

1.（2024•陕西铜川•三模）若函数/（久）=a/+手有两个极值点，则实数a的取值范围为（）

A.（-已。）B.（0点C.（0j）D.（/总

2.（2024•陕西宝鸡•三模）若函数/（久）=-枭/+4x-21nx有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是

（）

A.（0,2）B.（0,1）C.（-co,1）D.（2,+8）

3.（2024・四川成都•模拟预测）已知函数/（久）=炉一乂+1,则（）

A./（x）有三个极值点B./（©有三个零点

C•点（0,1）是曲线y=f（x）的对称中心D.直线y=2x是曲线y=f（x）的切线

4.（2024•青海西宁•一模）等差数列中的a2,。2。24是函数/（久）=/—6/+4x—2024的极值点，则

log2al013=（）

11

A.-B.1C.-1D.--

22

5.（2023•天津和平•三模）已知函数/（%）=次《沁3*门《3%—工qin（23%一匹）（3ER,且3〉0）,XER,

，oiiiuuo2\2/

若函数/（%）在区间（0,2兀）上恰有3个极大值点，则3的取值范围为（）

儿[尤）B.e,卦C.繇）D.g,g]

2x

6.（2024・吉林•模拟预测）已知函数/（%）=（%—ax—a）Q.

（1）当a=0时，求函数/（%）的极值；

（2）求证：当0＜。＜1,汽＞0时，/（%）＞

CL—1

7.（23-24高三上•四川内江•阶段练习）已知函数/（久）=（久一l）eX-ax（aeR且a为常数）.

(1)当a=0,求函数/(%)的最小值；

(2)若函数/(久)有2个极值点，求a的取值范围；

C

1.(2023•北京・高考真题)设函数/⑺=%—x\ax+b,曲线y=/(久)在点(l,f⑴)处的切线方程为y=-x+1.

(1)求