函数的极值（解析版）-2025年天津高考数学一轮复习

第13讲函数的极值

（5类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

2024年天津卷，第20题,16利用导数证明不等式利用导数研究不等式恒成立问题由导数求求在曲

分线上一点处的切线方程（斜率）函数的最值（含参）

2023年天津卷，第20题,16求在曲线上一点处的切线方程（斜率）利用导数证明不等式利用导数研究

分不等式恒成立问题

2022年天津卷，第20题,16求在曲线上一点处的切线方程（斜率）利用导数研究不等式恒成立问题利

分用导数研究函数的零

2021年天津卷，第20题,16求在曲线上一点处的切线方程（斜率）

分利用导数研究能成立问题函数极值点的辨析

2020年天津卷，第20题,16

利用导数证明不等式

分

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为16分

【备考策略】L理解、掌握函数极值的定义，能够通过导数求解函数的极值问题

2.能掌握函数极值与图像的关系

3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像求解函数的极值与不等式等问题

4.掌握函数图像与极值的关系

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数的解析式求解函数的极值，或通过极值求

参数的取值范围等。

「立•考点梳理，

函数极值辨析

求不含参函数的极值

求含参函数的极值

由极值求参数

知识讲解

知识点一.函数的极值

1.函数极值的定义：

如图，函数在点x=a的函数值/(a)比它在点尤=。附近其他点的函数值都小，/(")=0；而且在点x

=。附近的左侧尸(x)<0,右侧尸(尤)>0.类似地，函数y=/(x)在点x=b的函数值/(b)比它在点x=b附近其他

点的函数值都大，/3)=0；而且在点尤=6附近的左侧尸(无)>0,右侧尸(无)<0.我们把a叫做函数y=f(x)的极

小值点，叫做函数y=〃x)的极小值;b叫做函数v=〃x)的极大值点，”6)叫做函数y=f(尤)的极大值.极

小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值.

2.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件：

一般地，函数y=f(x)在某一点的导数值为0是函数y=f(无)在这点取得极值的必要条件.可导函数y=/(尤)

在x=xo处取极大(小)值的充分条件：

①〃(xo)=O;

②在x=xo附近的左侧尸(的)>0(<0),右侧尸的<0(>0).

3.导数求极值的方法：

解方程广任)=0,当/(xo)=O时，如果在xo附近的左侧尸(x)>0,右侧/(x)<0,那么尸(的)是极大值;如果

在尤o附近的左侧尸㈤<0,右侧尸(无)>0,那么〃xo)是极小值.

注意对于可导函数/(x),(xo)=O”是“函数/(x)在x=w处有极值”的必要不充分条件.

知识点二.三次函数的图象、单调性、极值

设三次函数/（^^加+加+⑦:+或存。），则尸（XtuBaf+Zbx+c,记』=4/72—12QC=4（Z?2—3QC）,并设修,

%2是方程/（%）=0的根，且X1<X2.

J>0J<0

图象

在（一00,X1）,（必+oo）上单调递增；在

单调性在R上是增函数

（xi，X2）上单调递减

极值点个数20

(2)a<0

J>0J<0

图象X

1匹X2、元1

在（阳，X2）上单调递增；在（一8,X1）,（M

单调性在R上是减函数

+oo）上单调递减

极值点个数20

考点一、函数极值辨析

典例引领

'3%,x<0,

1.（2024.北京海淀.二模）函数/（%）=小；［二是（）

阳，%>°

A.偶函数，且没有极值点B.偶函数，且有一个极值点

C.奇函数，且没有极值点D.奇函数，且有一个极值点

【答案】B

【分析】根据函数奇偶性定义计算以及极值点定义判断即可.

【详解】当xW0时，一x>0,则〃一久)=(|)-%=3"=/(%),

当x>0时，一刀<0,则f(一%)=3T=(|)x=/(x),

所以函数f(x)是偶函数，由图可知函数f(x)有一个极大值点.

2.(23-24高三下•四川巴中•阶段练习)函数/(久)=一2cos(3久+/)+1(。>0)相邻极值点的距离为泉则3为

()

A.3B.4C.1D.2

【答案】D

【分析】

由题意，根据函数极值点的定义可得(=会结合公式7=含计算即可求解.

【详解】因为函数/(乃的相邻极值点之间的距离为土

所以得?=无，又7=若，

所以3=2.

故选：D

♦♦即时检测

1.(2024.辽宁.三模)下列函数中，既是定义域上的奇函数又存在极小值的是()

A./(%)=xsinxB./(x)=%+§

-1

C./(x)=ex+—D./(%)=|x+1|—|x—1|

【答案】B

【分析】根据函数的奇函数和极值点的概念，结合导数，逐项分析判断即可得解.

【详解】对A,xER,/(-x)=(-x)sin(-x)=xsinx=/(%),故/(%)为偶函数，不符题意；

对B,xG(-oo/O)U(O,+oo),/(一久—为奇函数，

/'(%)=1—5=0,得x=±1,

当％e(0,1)时广(%)<0,xe(1,+8)时/(%)>o,

故f(l)的极小值，故B正确;

对C,/(一切=6-，+击=^+/=/0)为偶函数，不符题意；

2,x>1

对D,/(x)=，2%-2,-1WxW1无极值，不符题意，

.-2,x<—1

故选：B

2.(2024•江西•模拟预测)已知函数f(x)=sin3久+V^costo久(3>0)在区间(0,兀)上恰有两个极值点久〃久2，

则/(与+冷)的值为()

A.1B.V3C.-V3D.2

【答案】C

【分析】先利用辅助角公式化一，再根据%1，犯是f(x)在区间(0，兀)上的两个极值点，求出3(X1+冷)，即可

得解.

【详解】/(%)=sin(ox+VScostox=2sin(3久+

因为X€(0,71),所以3X+16,713+,

因为勺,％2是/'(X)在区间(0,兀)上的两个极值点，不妨设刀1<尤2，

则n3所以30+幻=年

MX-,+-=—3

、Z32

所以/(%1+x2)=2sin[3(/+%2)+|]=2siny=-V3.

故选：C.

3.(23-24高三下•广东广州•阶段练习)“%o是函数/(%)的一个极值点”是“/(%)在比处导数为0”的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】利用导数的四则运算与函数极值点的定义，举反例说明即可得解.

【详解】当f(x)=一时,f'(x)=3x2,则/'(x)在x=0处导数为0,但。不是它的极值点；

当/0)=田时，则f(X)在x=0处导数不存在，但0是它的极值点；

因此题干两条件是既不充分也不必要条件.

故选：D.

考点二、求不含参函数的极值

典例引领

1.(2017•全国•高考真题)若％=-2是函数/0)=(/+3-1)靖-1的极值点，则f(x)的极小值为.

A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1

【答案】A

【详解】由题可得/''(%)=(2x+a)ex~1+(x2+ax—l)ex~1=[x2+(a+2)x+a—

因为尸(—2)=0,所以a=-1,f(x)=(%2—x—l)ex-1,故尸(x)=(x?+x—2)e*T,

令/''(%)>0,解得x<一2或久>1,

所以f(x)在(―8,-2),(1,+8)上单调递增，在(—2,1)上单调递减，

所以/(%)的极小值为/(I)=(1—1一l)e1T=-1,故选A.

【名师点睛】(1)可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是「(x0)=0,且在xO左侧与右侧「(x)

的符号不同；

(2)若f(x)在(a,b)内有极值，那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有

极值.

2.(2024・全国•高考真题)已知函数/'(久)=(1—ax)ln(l+久)—x.

(1)当a=—2时，求f(x)的极值;

(2)当xNO时，/(%)>0,求a的取值范围.

【答案】(1)极小值为0,无极大值.

(2)a<-|

【分析】(1)求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.

(2)求出函数的二阶导数，就a4—：、—[<a<0、a2。分类讨论后可得参数的取值范围.

【详解】(1)当。=一2时，/(%)=(1+2x)ln(l+x)-x,

故尸(x)=21n(l+x)+^_l=21n(l+x)一±+l,

因为y=21n(l+x),y=一士+1在(-1,+8)上为增函数，

故尸(X)在(-1,+8)上为增函数,而尸(0)=0,

故当-l<x<0时,尸(x)<0,当%>0时，f'(x)>0,

故/(x)在x=0处取极小值且极小值为/(0)=0,无极大值.

(2)/(x)=-aln(l+%)4■-------1=-ciln(l+%)一([+，,%>0,

设s(x)=—aln(l+x)—x>0,

rji.i,(、—CL(a+1)CL(X+1)+Cl+1CLX+2Q+1

人JS^x)=--(1+x)2=(l+%)2-=—(l+%)2'

当a<一机寸，s"(x)>0,故s(%)在(0,+8)上为增函数,

故s(%)>s(0)=0,即f'(%)>0,

所以/(%)在[0,+8)上为增函数，故/(%)>/(0)=0.

当—1<a<0时，当0<%V—时，s，(%)<0,

故s。)在(0,—等)上为减函数，故在(0,—等)上sQ)<s(0),

即在(0,-等)上广(x)<0即/0)为减函数，

故在(0,-等)上/(x)</(0)=0,不合题意，舍.

当a>0,此时s，Q)<0在(0,+8)上恒成立,

同理可得在(0,+8)上/(%)</(0)=0恒成立，不合题意，舍；

综上，aW

【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导

数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.

即时啊

1.(2024・甘肃张掖・三模)已知函数f0)=，-Inx-(图象在％=2处的切线斜率为点

⑴求a；

(2)求函数/(久)的单调区间和极大值.

【答案】(l)a=2

(2)答案见解析

【分析】(1)直接求导，根据广(2)=[得到方程，解出即可；

(2)直接求导，根据导数分析其单调性和极大值.

【详解】(1)因为尸(X)=_4+白=。4号1)_号=(>1)(

由已知/(2)=；,即(=；，解得a=2.

(2)由(1)知a=2,则2(x)==0,

解得％=1或久=2-ln2,

当0V%V1时，%—1<0,2ex-2—1<0,贝行，(%)>0；

x2

当lV%V2-ln2时，x-l>0/2e--l<0,贝1」尸(久)V0；

当%>2—ln2时，x—1>0,2ex~2—1>0,则f'(%)>0,

所以/(久)的单调递增区间为(0,1)和(2—ln2,+8),减区间为(1,2—ln2),

函数“X)的极大值为"1)=|-1.

2.(2024•江苏•三模)已知函数/(%)=ax-2sinx,xE(0,兀).

⑴若a=1,求/(%)的极小值;

(2)若/(%)是单调函数，求a的取值范围.

【答案】(％-苗

(2)(—oo,-2]U[2,+8)

【分析】(1)求导后，借助导数可得其单调性，即可得其极小值；

(2)求出导数后，分/(第)是单调递增函数与单调递减函数讨论即可得.

【详解】(1)当时，/(x)=x—2sinx,=1—2cosx,

令f'(久)=0，由％W(0,71),则久=p

当0<x<]时，尸(x)<0,即"x)在(0,9上单调递减，

当g<x<兀时，f'M>0,即/(£)在(；,兀)上单调递增，

故/⑺的极小值为/图=>2x亨=、b；

(2)/'(%)=a—2cos%,

若/(%)在(0,兀)上单调递增，则广@)>0恒成立，

即a>2cos%对V%6(0,兀)恒成立，则a>2cos%恒成立，又cos%6[—1,1],故a>2,

若/(%)在(0,兀)上单调递减，贝行，(%)<0恒成立，

即a<2cos%对V%6(0,兀)恒成立，则a<2cos%恒成立,故a<—2,

综上所述，a的取值范围为(―8,—2]u[2,+8).

3.(23-24高三上•广东江门•开学考试)已知函数/(%)=a/—力％+in%,(a,beR).

(1)若a=l,b=3,求函数/(%)的单调区间及极值；

(2)若b=0时，不等式/(%)<0在[1,+8)上恒成立，求参数a的取值范围.

【答案】(l)f(x)的单调递增区间为(0乡，(1,+8),单调递减区间为G，l)；“X)的极大值为—ln2,极小

值为-2

⑵(-8，-日

【分析】(1)利用导数求出单调区间，即可求出极值；

(2)问题等价于a<一等在区间[1,+8)恒成立，设g(x)=—詈，乂>1,利用导数求贝》)最小值即可得a的

取值范围.

【详解】(1)a=Lb=3时，/(%)=%2-3x+Inx,函数定义域为(0,+8),

f'(x)=2x-3+-=(2*T)(XT),

XX

令尸(久)>0,解得：0<%<(或%>1,令尸(x)<0,解得：|<%<1

1

X1(l,+oo)

(4)2加

f'M+0-0+

fM单调递增极大值单调递减极小值单调递增

%=凯寸，f(x)有极大值f(J=_>ln2,

x=l时，f(%)有极小值/(I)=—2.

故f(x)的单调递增区间为(03，(1,+8),单调递减区间为©,1),

/0)的极大值为-ln2,f(x)的极小值为-2

4

(2)b=0时，/(%)=ax2+Inx<0在［L+8)上恒成立,

即Q<一詈在区间口+8)恒成立.

设g(%)——詈,工工L则g'(%)=2/T,

令"(%)>0,解得汽>Ve,此时g(%)单调递增，

令“(%)<0,解得1<%<Ve,此时g(%)单调递减，

X(0,㈣代(Ve,+8)

尸(久)-04-

fix)单调递减极小值单调递增

故g(x)min=.9(Ve)=一卷，故aW一看

故a的取值范围为(-8,一百.

4.(23-24高三上•天津•期中)已知函数/(%)=4x3-3x2-18%+27,x6R.

(1)求f(x)的单调区间与极值；

(2)求/0)在区间［0,3］上的最大值与最小值.

【答案】(1)答案见解析；

(2)最大值为54,最小值为孑.

【分析】(1)利用导数研究的单调性，并求出极值即可；

(2)根据(1)结果，比较区间内端点值、极值大小，即可得最值.

【详解】(1)由题设/'(%)=12/-6久-18=12(x+l)(x-|),令尸(x)=0,得％=-1或x=|,

当尸(x)>。时，即12(x+l)(x—|)>。，解得或x<—1,单调递增区间为(—8,—1)和(|,+8).

当尸(x)<0时，即12(x+l)(x—|)<0,解得一l<x<|,单调递减区间为(—1,|).

函数〃%)的极大值为f(-l)=38,极小值为f(|)=*

(2)由|S［0,3］,/(0)=27,f(3)=54,则居)</(0)<f(3)

且/(x)在区间［0,3］上连续，函数/(X)在区间［0,3］内的最大值为54,最小值为学.

5.(24-25高三下•重庆•阶段练习)已知函数/(X)=In%+x2-kx+1在点(2,/(2))处的切线2与直线3*—2y=

0平行.

(1)求k的值及切线/的方程；

(2)求f(x)的单调区间和极值.

【答案】(l)k=3,y=|x+In2-4

(2)单调递增区间为(0,J和(1,+8),单调递减区间为G，l),极大值为极小值为一1

【分析】(1)求出函数的导函数，根据导数的几何意义求出匕即可求出f(2),再由点斜式求出切线方程;

(2)求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间与极值.

【详解】(1)因为f(%)=Inx+x2—kx+1,所以/''(x)=^+2x—k,

则尸(2)=|-/c,故f(x)在％=2处的切线斜率为《一k,

|=|,解得k=3,即/'(%)=Inx+/—3久+1,

因此f(2)=ln2+4-6+1=In2-1,

所以函数在点(2,/(2))处的切线八y-(ln2-l)=|(%-2),即y=|x+ln2-4.

(2)由(1)可得/(%)=In%+/—3%+1,定义域为(0,+8),

又广(X)=工+2%—3=2--3支+1=(2XT)(XT),

XXX

令尸(%)>0,解得0<x<g或x>1；令/''(%)<0,解得［<%<1,

所以f(x)在(0彳)上单调递增，在(1,+8)上单调递增，在6,1)上单调递减，

则f(x)在尤=(处取得极大值，在x=1处取得极小值，

即极大值为(=ln1-1,极小值为"1)=-1,

综上所述，/(x)的单调递增区间为(0,£)和(L+8),单调递减区间为C，l),极大值为极小值为一1.

考点三、求含参函数的极值

1.(2024・辽宁•模拟预测)已知函数/(久)=(ax—l)ex+1+3(a10).

(1)求/O)的极值；

(2)设a=l,若关于x的不等式/'(x)W(6-l)e久+】一久在区间［一1,+oo)内有解，求b的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)［1,+8).

【分析】(1)利用导数分类讨论函数的单调区间，可求极值；

(2)问题等价于b2露+X在区间［—1,+8)内有解，令g(x)=M+x(x2一1),利用导数求函数最小值

即可得b的取值范围.

【详解】(1)/'(x)=(ax—1+a)e*+i,令尸(x)=0,得X=匕^.

当a>0时，由尸(%)<0,得x〈詈，由尸(x)>0,得x>?,

故/(x)在区间(-8,0内单调递减，在区间(停,+8)内单调递增,

所以f(x)在久=?处取得极小值，且极小值为/=3—ae«,无极大值;

当a<0时，由尸(%)>0,得％<拶，由/'(久)<0,得无>拶，

故f(X)在区间(-8,工于)内单调递增，在区间(早,+8)内单调递减，

所以f(x)在x=m处取得极大值，且极大值为/(^)=3—aea,无极小值.

1

综上，当a>0时，/(%)的极小值为3-。而，无极大值；

当a〈0时，/(%)的极大值为3-ae£,无极小值.

(2)。=1时，/(%)W(b-l)e%+i-％等价于bN*+%，则力之黑+%在区间［-1,+8)内有解.

令9(比)=霁+比(久2-1),则g'(x)=：:)，

令h(x)=ex+1—(%+2),x>—1,贝!J"(X)=ex+1—1在［—1,+8)上单调递增，有〃(久)>〃(—1)=0,

所以无0)在区间［—1,+8)内单调递增，即似X)>h(-l)=0,

所以g'(x)>0在区间［-1,+8)内恒成立，

所以g(x)在区间［—1,+8)内单调递增，即g(x)2g(—1)=1,即b21,

故b的取值范围是［1,+8).

2.(24-25高三上•上海•单元测试)己知/(%)=-鼻/+久—皿1+x),其中a>0.

(1)若函数/(x)在x=3处的切线与x轴平行，求a的值；

(2)求人久)的极值点;

(3)若f(x)在［0,+8)上的最大值是0,求a的取值范围.

【答案】(l)a=［;

(2)答案见解析；

(3)［1,+8).

【分析】(1)利用函数导数的几何意义与直线斜率的关系求得a的值;

(2)先对函数进行求导，结合对参数分类讨论，计算函数极值点;

(3)对参数进行分类讨论，结合函数单调性找到最大值是0,求得a的取值范围;

【详解】(1)函数f(x)的定义域为(一1,+8),

f'(X)=—CLX+1----，

'、'1+X

因为函数f(x)在x=3处的切线与X轴平行，

所以尸(3)=—3a+1-/-=0,解得a=》

1+34

(2)函数f(x)的定义域为(-1,+8),

-ax(l+x)+l+x-l_x(l-a-ax)

1+X1+X

令/''(X)=0得X］=0或£2==5—1，

所以当乙一1<0,即a>l时，

a

/'(X)>0的解集为弓一1,0),/(x)<0的解集为(一1(—1)U(0,+8),

所以函数/O)在区间(—1(—1)和(0,+8)上严格减，在区间弓-1,0)上严格增,

x=0是函数/(x)的极大值点，X=｝一1是函数/'(X)的极小值点；

当(―1=。，即a=l时，/(x)W0在区间(―1,+8)上恒成立，此时函数/(x)在区间(—1,+8)上严格减，无

极值点；

当工-1>0,即0<a<1时，

a

f'M>0的解集为(03-1),尸(x)<0的解集为(—1,0)Ug-1,+8),

所以函数f(x)在区间(一1,0)和G-1,+8)上严格减，在区间(03-1)上严格增，

X=0是函数/(X)的极小值点，x=(一1是函数f(x)的极大值点；

综上，当a>l时，x=0是函数/'(%)的极大值点，％=5-1是函数/(x)的极小值点；

当a=l时，函数/(%)在区间(—1,+8)上严格减，无极值点；

当0<a<l时，x=0是函数f(x)的极小值点，x=1-1是函数/Xx)的极大值点.

(3)由(2)知，当0<a<l时，函数/(x)在区间&—1,+8)上严格减，

在区间(03一1)上严格增，故函数/(x)在［0,+8)上的最大值是「@一1)>/(0)=0,

与已知矛盾；

当a=l时，函数/(%)在区间［0,+8)上严格减，最大值f(X)max=f(0)=0,满足条件；

当a>l时，函数/(£)在区间［0,+8)上严格减，最大值是/(x)max="0)=0,满足条件；

综上,a的取值范围是［1,+8).

即时检测

I____________________

1.(2024高三・全国・专题练习)已知函数/(%)=ex—ax+2(a6R),g(x)=xex+3.

(1)求函数/(%)的极值；

(2)当%>0时，/(x)<g(%)恒成立,求证：a>0.

【答案】(1)极小值Q-alna+2,无极大值

⑵证明见解析

【分析】(1)利用导数即可求得函数/(%)的极值；

(2)构造新函数，并利用导数求得新函数的最大值，即可证得aN0.

【详解】(1)/'(%)=ex-a,

a40时，/(%)>0,此时函数/(%)单调递增，无极值.

a>0时，令尸(%)=ex—a=0,解得第=Ina.

则%>Ina时,r(%)>0,此时函数/(%)单调递增；

%Vina时,//(%)<0,此时函数/(%)单调递减，

可得:%=Ina时,

函数/(%)取得极小值/(Ina)=elna—alna+2=a—alna+2.

f(x)无极大值.

(2)解法一:

/(%)<g(x),只需证明e*—ax+2<xex+3.

%=0时，不等式成立;

只需证明x>0时，a2士主

X

-x2ex-ex+l+xex

令九(%)=e-1一祀_,久〉0,则九'(%)=

xX2

令〃(%)=—x2ex—ex+1+xex,%>0,

“'(汽)=—2xex—x2ex—ex+ex+xex=—xex—X2QX<0,

Au(%)<u(0)=0.A/i^x)<0,

/l(%)在(0,+8)上单调递减.

...利用洛必达法则：1皿巴上"=lim=*=0,

x-»0xx->01

/.a>0.

解法二：(切线放缩)

要证明/(%)<g(%),只需证明e*-ax+2<xex+3,

只需证明-a%-1<ex(x-1),

令m(%)=—ax—1(%>0),n(x)=ex(x—1),

则%>0时，n\x)=xex>0,则九(%)单调递增,

x<0时，nf(x)=xex<0,则九(%)单调递减,

则％=0时n(%)取得极小值几(0),

/.n(x)min=n(0)=-1,画出m(%)和九(汽)图象如图所示，

当久>0时，m(x)<几(%)恒成立即zn(%)图象必须在以X)下方,

n(x)=ex(x—1)在％=0时取得极值7i(0)=—1,

y=-1为以%)在点(0,-1)处的切线,

**•一ciW0,aN0.

2.(2024•山东威海•二模)已知函数f(%)=In%—a%+1.

⑴求武支)的极值;

(2)证明：Inx+x+1<XQX.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)求出函数的导数，利用导数与函数单调性以及极值的关系，即可求得答案；

(2)根据要证明的不等式的结构特点，设g(x)=xd—Inx-x—l,x>0,求出其导数，利用导数判断其

单调性，结合其最值，即可证明结论.

【详解】(1)由题意得/1⑺=Inx-ax+1的定义域为(0,+8),

则尸(%)=1_a=手，

当aWO时，f'(x)>0,/(%)在(0,+8)上单调递增,无极值；

当a>0时，令尸(x)<0,则;c>，，令尸(%)>0,则0<x<(,

即f(x)在(0点上单调递增，在(%+8)上单调递减，

故x=(为函数的极大值点，函数极大值为/(£)=-lna,无极小值；

(2)证明：设g(x)=—In%—%—1,%>0,

g\x)=(%+l)ex——1,令九(%)=(%+l)ex——1,

则九，(%)=(%+2)ex+/>0,(%>0),即h(%)在(0,+8)上单调递增，

hG)=|e5—3V0,ft(e)=(e+l)ee-j—1>0,

x

故e(|,e)，使得h(%o)=0,BP%oe°=1,

当汽G(O,%o)时，ft(x)<0,g(x)在(O,%o)上单调递减，

当%e(%o，+8)时，ft(x)>0,g(%)在(g,+8)上单调递增,

x

故g(%)min=g(%o)=Xoe°-In--XQ-1=0

即g(%)>0,BP%ex>Inx+%+1,则In%+%+1<xex.

3.(20-21高三上•四川宜宾•阶段练习)设函数/(%)=-：/+%2+(根2一1)与(％61<),其中租>0.

⑴当租=1时，曲线y=/(%)在点(1,/(1))处的切线斜率；

⑵求函数f(x)的单调区间与极值.

【答案】(1)1

(2)答案见解析

【分析】(1)利用导数的几何意义，结合导数的四则运算即可得解；

(2)利用导数与函数的性质的关系即可得解.

【详解】(1)当m=1时，/(%)=—+%2,

则/(%)=-x2+2%,故/(1)=1

所以曲线y=/(%)在点(1)(1))处的切线斜率为1.

(2)因为/(%)=—+%2+(m2_1)居(％eR),

所以/'(%)=—%2+2x+m2—1,

令/(久)=0，得到％=1—mlx=14-m

因为zn>0,1+m>1—m,

当x变化时，/(%)与/(%)的变化情况如下表：

X(—8,1—m)1—m(1—m,1+m)1+m(1+m,+8)

fix)—0+0—

fix)极小值极大值

所以/(%)的单调递减区间为(一8,1-7n)和(1+m,+oo),单调递增区间为(1一m,l+m),

函数/(汽)在久=1+m处取得极大值/(I+m),且/(1+m)=|m3+m2—

函数/(%)在％=1—m处取得极小值/(I—m),且/(I—m)=—|m3+m2—

4.⑵-24高三上•安徽合肥•阶段练习)已知函数/(%)=y-blnx.

(1)当b>0时，求函数的单调区间和极值

(2)若f(%)在区间(1通2］内恰好有两个零点，求b的取值范围.

【答案】(1)单调递增区间为［VE+8),单调递减区间为(o,VF),极小值为/(VF)=月地,无极大

(2)e<b<-

4

【分析】(1)根据题意，求导得/'(X),即可得到结果；

(2)根据题意，分bWO与b>0讨论，列出不等式，代入计算，即可得到结果.

【详解】⑴由/(x)=^■-blnx得尸(x)=%-g=+三且定义域为(0,+8)

'.'£>>0,令/(%)>0,即/—b>0,解得x>

令尸(x)<0,解得0<x<\fb,

则/(X)的单调递增区间为［VF,+00),单调递减区间为(o,VF)；

f(X)在％=伤处的极小值为/(死)=”也，无极大值.

(2)当bW0,r(x)>0恒成立，f(x)在(0,+8)上单调递增，

故/O)在区间(1,e2］内至多只有一个零点；

当b>0时，由(1)得/⑺在(0,+8)上最小值为〃yF)=号2

1<Vb<e2

若/(久)在区间(l,e2］内恰有两个零点，则需满足，，整理得

I/(e2)>0

5.(23-24高三上•广东深圳•阶段练习)己知/(x)=ax-In无,aeR.

(1)讨论/(x)的单调性和极值；

(2)若xe(0,e]时，f(£)W3有解,求a的取值范围.

【答案】(1)见解析

(2)(-oo,e2]

【分析】(1)首先求函数的导数，尸(K)=平,0>0),讨论aW0和a>0两种情况讨论函数的单调性和

极值；

(2)首先不等式参变分离为a<|+等，在xe(0,e]时有解，再构造函数g(x)=：+等，xe(0,e],转化为

利用导数求函数的最大值.

【详解】(1)f'(x)-a-^=笠30>0),

当aW0时，/(x)<0恒成立，函数在区间(0,+8)上单调递减，无极值；

当a>0时，令f'(x)=0,得x=

/'0)<o,得o<x</函数在区间(o,£)上单调递减，

尸(x)>0,得£>[,函数在区间弓,+8)上单调递增，

当X.函数取得极小值fQ=1+lna,

综上可知，aWO时，函数的单调递减区间是(0,+8),无增区间，无极值；

a〉0时，函数的单调递增区间是+8),单调递减区间(0,£),极小值1+lna,无极大值.

(2)由题意可知，ax—Inx<3,%€(0同时有解，

则在％W(0,e]时有解,即Q4(2+电，,x6(0,e],

xx\xx7max

设g(%)=1xE(0,e],

，/、3,l-lnx-2-lnx

g(x)=—+==r^，

令g，(x)=0,得x-

当0<%<己时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

当时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

所以g(x)的最大值为g(3=e2,即a。2,

所以实数a的取值范围是(-8,e2].

考点四、由极值求参数

典例引典

1.(24-25高三下•重庆•阶段练习)若函数/⑺=(ax2+6)1在久=1时有极小值—2e,则尤=()

A.-2B.-3C.—QD.—1

【答案】B

【分析】先求出了'(%),再根据极值的定义列等式求出。和b,然后检验此时/(%)在％=1时是否有极小值，即

可确定a和b的值，进而得到ab.

【详解】尸(%)=(ax2+2ax+h)ex,因为/(%)在％=1时有极小值—2e,

-/⑴=°gn常螳:二〉解得｛建

所以/⑴=-2」即

此时/''(X)=(x2+2x—3)e*=(x+3)(x—l)ex,

x<—3或x>1时，/(x)>0,-3<%<1时，尸(x)<0,

f(x)在x=1时有极小值成立，所以a=l,b=-3,ab=-3.

故选：B.

2.(2024・重庆・模拟预测)若函数/(久)=/一乂+a也久有极值，则实数a的取值范围是()

A•(咽B.(琨)C,(-oo,!)D.(-co,l]

【答案】C

【分析】求出函数的定义域与导函数，依题意可得尸(久)在(0,+8)上有变号零点，结合二次函数的性质得到

△>0,解得即可.

【详解】函数/'(无)=一久+alnx的定义域为(0,+8),且/(x)=2x-1+£=之子蛆，

因为函数/(x)有极值，所以/(%)在(0,+8)上有变号零点，

即2——%+a=0在(0,+8)上有解(若有两个解，则两个解不能相等)，

因为二次函数y=2x2-x+a的对称轴为x=%开口向上，

所以只需△=(—1)2—8a>0,解得a<%即实数a的取值范围是(一8谭).

故选：C

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1.(2024.重庆.模拟预测)已知/(X)=ex+aln(l-x)

(1)若/(x)在x=0处的切线平行于x轴，求a的值；

(2)若/"(>)存在极值点，求a的取值范围.

【答案】(l)a=1

(2)0<a<1

【分析】(1)求出函数的导数，根据已知条件有尸(0)=0,解方程即可求出a；

(2)根据条件有尸(x)在Xe(-8,1)上至少有一个变号零点，即a=ex(l-x)(x<1)至少有一解，构造函

数g(x)=e«l-x)(%<1),对g(x)求导，利用导数判断函数单调性，求出函数最值，进而即得.

【详解】(1)因为/(X)=e*+aln(l-％)(x<1),所以r(x)=e*-2(x<1),

1-X

根据题意有尸(0)=0,即©。一。=0,解得a=1,

检验，此时/(0)=1,切线为y=l,平行与无轴，故a=1符合题意.

(2)因为/(%)=ex+aln(l—%)(%<1),所以广(%)=ex———(%<1),

1-X

因为/(%)存在极值点，所以/'(%)在％G(-8,1)上至少有一个变号零点，

即a=ex(l—x)(x<1)至少有一解，令g(久)=ex(l—x)(x<1),

则g'(%)=—xex(%<1),令gO=0,即—%e*=0,解得%=0,

所以当％6(-8,0)时，g\x)>0,g(x)单调递增；

当%G(0,1)时,“(%)<0,g(%)单调递减,

所以g(%)max=9(0)=1，又当％1-8时，g(%)—o+,

所以0<a<1.

2.(2024・辽宁•二模)已知函数/(%)=a/—1(3a+I)/+%,0eR.

⑴讨论函数/(%)的单调性；

(2)若函数/(x)的极小值为-|,求实数a的取值集合.

【答案】(1)答案见解析

(2)a£｛一品出

【分析】(1)对函数求导，根据a的不同范围，分别求出函数的单调性；

(2)结合(1),由a的不同范围确定极小值点，列出方程求解即可.

【详解】(1)/'(%)=3ax2—(3a+l)x+1=(3ax—1)(%—1),

①当a=0时，令/'(%)=—(%—1)=0,x=1,

当%6(一8,1)时，((%)>0,/(%)单调递增，

当第6(1,+8)时，尸(%)v0,f(%)单调递减;

②当a<0时，令尸(%)=(3ax—1)(%—1)=0,解得％=1或%=^<0,

当冗G(一8总)和(L+8)时，/(%)<0,/(%)单调递减；

当久€身,1)时，/'(%)>0,/(%)单调递增;

③当a>0时，令广(%)=(3ax—1)(%—1)=0,解得％=(或%=^>0,

i)当专VI时，即a>削寸，

当工€(-8涓)和(1,+8)时，f(x)>0,/(%)单调递增；

当汽6(9，1)时，f'(x)<0,/(%)单调递减；

ii)当亲>1时，即0<aV：时，

当％e(一8,1)和马,+8)时，/(%)>0,/(%)单调递增；

当％e(1浸)时，/'(%)v°，/O)单调递减；

适)当卷=1时，即。=(时，/⑴>o,/(%)在R上单调递增；

综上所述，当a〈o时，/(%)在(-8,；)和(1,+8)单调递减，/(%)在(2,1)单调递增;

当a=0时，/(%)在(一8,1)单调递增，/(久)在(1,+8)单调递减；

当a=［时，fO)在R上单调递增；

当a>巳时，f(x)在(—8点和(1,+8)单调递增，“%)在金1)单调递减；

当0<a<：时，f(x)在(-8,1)和舄,+8)时单调递增；了⑺在(1,分单调递减.

(2)①当a=［时，"X)在R上单调递增，无极值；

②当a<0时，f(x)在(一8总和(1,+8)单调递减，/(%)在昼,1)单调递增；

所以f(%)的极小值为〃专)，

故f忘)=a矗③-i(3a+1)(J2+5=—I，

化简得，(：-12)(：+3)=0,解得a=V或a=V(舍去)；

③当a>1时，f(x)在(—%表)和(1,+8)单调递增，f(x)在屏,1)单调递减，

所以"X)的极小值为/(I),

故f(1)=a--(3a+1)+1=—弓，解得a--符合题意；

④当0<a<［时，/0)在(一8,1)和舄,+8)时单调递增；f(x)在(1,专)单调递减，

所以“X)得极小值为/总，

故f导=。㈢3+1)(勺2+'=一|,解得&=七或。=-1(舍去).

故实数a

3.(22-23高三上•全国•阶段练习)己知函数/(*)=炉+ax2-1在x=-1时取得极值.

(1)求/(久)的解析式；

(2)若函数y=/(x)-4有一个零点，求实数4的取值范围.

【答案】(1)/0)=/+|%2一1

(2)(-00,-1)U(一1，+8)

【分析】(1)由已知可得尸(-1)=3-2a=0,可得出关于实数a的方程，解出a的值，即可得出函数f(x)的

解析式；

(2)分析可知，直线y=4与函数/(x)的图象有1个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结

合可得出实数4的取值范围.

【详解】(1)因为/(%)=/+一1,则/(%)=3/+2a%,

由题意可得f(-1)=3—2a=0,解得a=|,

所以/(汽)=7+1/—1,此时，f'(x)=3%2+3%,

经检验可知，函数/(%)在%=-1处取得极值，

因此/(久)=%3+1%2—1；

(2)问题等价于/(第)=a有一个的实数根，求a的范围，

由((%)=3%2+3%>0,得x<—1或%>0,

由/'(%)=3/+3%V0,得-1<%VO,所以f(%)在(-8,-1)、(0,+8)上单调递增,

在(-1,0)上单调递减，则函数f(x)的极大值为f(-l)=-i,

极小值为/(0)=-1,如下图所示：

由图可知，当2>—［或2<—1时，直线y=4与函数/(£)的图象有1个交点,

因此，实数2的取值范围是(一8,-1)U+8).

4.(23-24高三上•辽宁丹东