函数的概念及其表示（含新定义解答题）（解析版）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

第01讲函数的概念及其表示(分层精练)

A夯实基础B能力提升C综合素养(新定义解答题)

A夯实基础

一、单选题

1.(2023•湖南岳阳•校联考模拟预测)函数y=4+^/i二工的定义域是()

A.(0,1)B.[0,1]C.[0,+co)D.{0,1}

【答案】B

【分析】根据开偶数次方根号里的数大于等于零即可得解.

【详解】由y=Vx+Jl-x,

fx>0

得〈解得OVxMl,

所以函数y=«+«7的定义域是[0』.

故选：B.

2.(2023上•陕西榆林•高一校考阶段练习)函数/(无)=亚彳-工的定义域为()

X

A.g+sjB.(-co,0)u^0,1C.(-co,-2]D.[o,g

【答案】B

【分析】结合函数有意义的条件计算即可得.

【详解】由题意可知2-4*20,xwO,解得尤且xwO；

故该函数定义域为(-8,O)u(o].

故选：B.

3.(2023上・全国・高一期末)函数/(%)的定义域为区，若/(%+,)=/。)+/3，/(8)=3,

则〃2)=()

131

A.1B.-C.-D.—

442

【答案】c

【分析】利用赋值法求值即可.

【详解】因为〃x+y)=〃x)+/(y),*8)=3,

所以令x=y=4,得〃8)=2〃4),得〃4)=会

3

所以令x=y=2,得〃4)=2/(2),W/(2)=1.

故选：C

8x,x>0

4.(2023上•江苏常州,高一统考期中)已知函数3)八，则〃T)=()

〔I2J

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】根据分段函数解析式计算可得.

8x,x>0

【详解】因为〃x)=/x+3[x<0'

[I2J

所以"-4)={|]=止1)=唱[=8xg=4.

故选：B

5.(2023・全国•高一假期作业)下面各组函数中为相同函数的是()

A.f(x)=/x-l)2与g(x)=x-lB.〃x)=&-1与g(x)=Jx+ld-1

C.〃x)=lneWg(x)=*D.〃x)=x°与g(x)=。

【答案】D

【详解】函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A,/(尤)=卜-1|与8(尤)对应关系

不同，故排除选项A；选项B、C中两函数的定义域不同，排除选项B、C.故选D.

6.(2023•湖南岳阳•校联考模拟预测)已知函数/(%)=]吸(尤+?'尤>\若/㈣=2,则

[x,0<x<l

m-()

A.8B.7C.2D.0.5

【答案】A

【分析】分类讨论结合指对互换求解〃2的值即可.

【详解】当0<%<1时，0</(x)=x<l<2,所以若〃〃。=2,则只能〃z>l,log3(m+1)=2,

所以根+1=32=9,所以机=8>1满足题意.

故选：A.

f2"T1<x<3

7.(2023上•甘肃酒泉•高一统考期末)已知函数/(%)=依-2,g(尤)=(2,：1‘1对

、7-x2+l,-3<x<l,

气£[-3,3],3x2e[-3,3],使得/(%)=g(%)成立，则实数。的取值范围是()

A.[-1,1]B.[0,4]C.[1,3]D.[-2,2]

【答案】D

【分析】先根据g(x)的解析式求出其值域，分类讨论求出Ax)的值域，结合两值域的关系

可得答案.

2'Ll4尤43,

【详解】因为g(x)=

—龙？+1,—34尤<1,

所以马3,1)时,g(%)=-r+1目-8』,范e[l,3]时,g㈤

综上g(x2)G[—8,4].

当a>0时，e[-3,3],/(占)w[-3。-2,3。-2],

由题意，[-3a-2,3a-2k[-8,4],叫3a-2<4'解得

当。=0时，/(为)=-2,符合题意；

当a<0时，Vxje[-3,3],/a)e[3"2,-3。-2],

「1「1(3”—22—8

由题意，3a—2,—3a—2k—8,4,即。.，，解得—24a<0；

[-3a-2<4

综上可得aw[-2,2].

故选：D.

8.(2024上•贵州毕节•高一统考期末)若函数=卜「之二〃”?<3的值域为卜3,+功，

[msinx+l,x>3

则实数加的可能值共有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】先得到当xv3时，f(x)>-m,再分机=0,机>0和相<0三种情况，结合函数值

域得到方程，求出相应的实数机的值，得到答案.

【详解】当尤<3时，/(x)=x2-2x-m+\={x-Vj1-m>-m,

当％23时，/(x)=msinx+l,

若根=0,当xv3时，F(X)N。，当x23时，/(x)=l,

此时/(%)的值域为[0,+动，不合题意；

若m>0,则时，/(x)G[-m+l,m+l],f(x)^=-m+1,

由于一根+1>-m,由题意需使一m=-3,.,.根=3；

若mv0,则3时，/(x)G[rn+l,-m+l],/(x)min=m+l,

由于一相>0,故需使机+1=-3,.,.%=-4,

即实数机的可能值共有2个.

故选：B.

二、多选题

9.(2024下•重庆•高三彭水苗族土家族自治县中学校校联考开学考试)已知函数〃x)=

lg(x-3)

r——下列结论不正确的是(

425-x1

定义域为卜5,5)定义域为[-5,5]

定义域为(3,5)定义域为[3,5)

【答案】ABD

【分析】根据函数的定义，求得x的取值范围.

fx-3>0fx>3

【详解】若函数有意义，需满足L2八，即，<，则3<%<5,即/(%)的定义域

[25-x>0[-5<%<5

为(3,5)；

故选：ABD

10.(2024上•安徽淮北•高一淮北市实验高级中学校考阶段练习)数学上，高斯记号是指对

取整符号和取小符号的统称，用于数论等领域定义在数学特别是数论领域中，有时需要略去

一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分只研究小数部分，因而引入

高斯记号.设xeR,用国表示不超过x的最大整数.比如：==卜1.2]=-2.

[1.3]=1-,已知函数〃x)=x-[x],g(x)=中,(尤>0)则下列选项中正确的是()

A.[”2.5)]=0B./⑺的值域为[0』

17

C.方程g(x)=5无实根D.方程g(x)=内仅有一个实根

【答案】ACD

【分析】先进行分段化简函数，并画函数"x)=x-[x],g(x)=l|l图象，再结合图象逐项

判断即可.

【详解】由高斯函数的定义可得：当0<x<l时，区=0,则x-[x|=x,

当Uv2时,[x]=1,贝!J]—[同=%—1,当2Wx<3时，[x]=2,贝！j九一[九]=%一2,

当3<九<4时，国=3,则九一国=%—3,当4«尤<5时，[%]=4,贝！]%—[%]=%—4,

绘制〃£)=%-回函数图象如图所示，

^[/(2.5)]=[2.5-2]=[0.5]=0,故A正确；

由图可知，f(尤)的值域为[0,1),故B错误；

由高斯函数的定义可得：当0<x<l时，国=0,则曰=0,

X

当l〈x<2时，3=1,则区=L当2Wx<3时，[可=2,则区=2,

XXXX

当3Vx<4时，国=3,则国=。，当44x<5时，[%]=4,则国=2,

XXXX

绘制g(x)=kl函数图象如图所示，

X

对于C,由选项A知，g(x)在(0,+8)上的值域为U{0},

所以方程8(力=^无实根，故C正确；

71719

对于D,当14九<2时，@(X)=高即一=不，解得了=方£口,2),

L/X1N/

当2。<3时，g(x)=历7即9;=7A，解得尤=7]4定[2,3),

710

结合函数g(x)图象知，方程g(x)=^仅有一个实根故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

cosfx+—^+―,x<0

11.(2024上•广东肇庆•高一统考期末)已知函数/(x)=I3)2，则

log2x,x>0

/(/(-2024K))=.

【答案】1

【分析】根据分段函数的性质及诱导公式计算即可.

【详解】由题意可知：f（-202471）=cos|-2024?t+^j+|=cos^+|=-cos1=2,

八2）=1，

所以/（〃-20247r））=1.

故答案为：1

12.（2024上•广东广州•高一统考期末）函数，（尤）=[加的函数值表示不超过x的最大整数,

例如，[-3.5]=<[2.1]=2,则函数y=[x+2]-x的值域是.

【答案】（1,2]

【分析】根据题意，当xe[",〃+l）时，得到[x+2]=〃+2,结合不等式的性质，即可求解函

数的值域，得到答案.

【详解】由函数/（无）=口]的函数值表示不超过x的最大整数，

当时,可得反|=",则[x+2]="+2,

可得y=[x+2]—x=〃+2—X,

因为+可得"+2-xe（l,2],所以函数丁=[犬+2]-X的值域是（1,2].

故答案为：（1,2].

四、解答题

13.（2024上•山东枣庄•高一期末）已知函数/（x）=^—.

x-6

⑴点（3,14）在“力的图象上吗?

（2）当尤=4时，求的值；当〃制=2时，求x的值.

【答案】⑴不在

⑵当X=4时，y（x）=-3；当〃x）=2时，x=14.

【分析】（1）计算出"3）的值，即可得出结论；

（2）代值计算可得出〃4）的值，解方程〃x）=2,可得出尤的值.

a.75

【详解】（1）解：因为〃3）=受=-?214,所以，点（3,14）不在〃x）的图象上.

3—63

4+2

（2）解：当x=4时，/（4）=--=-3；

4—0

_i_7

若/（力=2,贝U=r=2,即2x-12=x+2,解得x=14.

14.（2024上•江苏扬州•高一统考期末）已知函数"x）=logi（4-力+~^^的定义域为集

2y/X-1

合A,函数g（%）=mj2%+5]九£一;弓]的值域为反

⑴当m=1时，求ADB；

⑵若XGA是XGB的必要不充分条件，求实数用的取值范围.

【答案】⑴。,4]

(2)!＜m＜l

【分析】(1)分别求出集合A、B,再求两个集合的并集；

(2)根据题意，确定两个集合的包含关系，然后求加得取值范围.

f4—x＞0,

【详解】(1)由题意得[n

所以l＜x＜4,所以A=(l,4)；

当m=1时，g(x)=j2x+5在-g,；上单调增，则3=[2,4],

/.AuB=(l,4]；

(2)若无eA是1的必要不充分条件，则3是A的真子集.

当相＞0时，g(x)=?nj2x+5在-;,2上单调增，

则5=[2m,4帆],所以1＜2用＜4根＜4,解得;〈根＜1；

当机=0时，B={0},不符合题意；

当机＜0时，g(%)二川2.+5在-；，2上单调减，则区=[4m,2间，不符合题意；

综上，；＜加＜1.

B能力提升

1.(2024上•河南商丘•高一校考期末)若函数〃x)=(9,(2申|+4的定义域为R，

则实数。的取值范围是()

A.(-1,0)B.(0,+e)C.(-2,0)D.(-2,—1)D(-1,+功

【答案】A

【分析】将问题转化为对任意xeR,卜2-W-owO,同时州+1”恒大于0且恒不为1,分情

况讨论求实数。的取值范围即可.

【详解】小)=—Z疝所包的定义域为R，

则对任意xeRjf-d-awO,同时吩恒+a恒大于0且恒不为1,

对于y-口/。，若a'O,贝！Jx=0时,-a=0,不满足题意；

若a<0,则一a>0恒成立，

因为2KM+aN2+a，要满足沙田+a恒大于。且恒不为1,则2+a>l,a>—l,

所以。的取值范围是(-1,0).

故选:A.

2

logt(x+2a),x<l

2.(2024上•福建泉州•高一统考期末)若函数〃x)=2存在最大值，则

1-31-X,x>l

实数。的取值范围为()

(1111(11111

A.-co,-B.0,-C.D.0,-

(4」I4」I22」I2」

【答案】B

【分析】判断时，/(x)e[0,l),无最大值，由判断y=V+2a在x<l时的单调性，可

得/(村=1。8/9+20)单调性，确定最大值，结合题意列出不等式，即可求得答案.

2

【详解】当X21时，〃元)=1-31在口,+8)上单调递增，此时〃x)e[0,l),无最大值；

又因为y=/+2。在(』,0]上单调递减，在[0,1)上单调递增，

故〃x)=log।(f+2a)在(_叫0]上单调递增，在[0,1)上单调递减，

2

所以当x<l时，〃x)a="°)T°g|(2"),

2

结合题意可得10§1(2。)21,解得0<2“W10<a<：,

224

即实数。的取值范围为，

故选：B

3.(2024上•天津滨海新•高一统考期末)若函数=.有最小值，则实

[x—2ax4-3a,x>2

数。的取值范围是()

A.(0,l)u(3,+oo)B.[4,+co)

C.(^»,0)u(l,+co)D.(-oo,2]

【答案】B

【分析】由分段函数解析式，结合指数、二次函数的性质，讨论aW2、。>2研究Ax)有最

小值情况下参数范围.

【详解】由y=3*-a在(f,2)上递增,且值域为由a,9-a),

由>=尤2-2〃l+3。=（尤-a）2+3a-02,开口向上且对称轴为x=a,

所以，二次函数在（-s,a）上递减，在3,+®）上递增，

要使〃无）有最小值，

当aW2时，/（2）=4-a4-。显然不成立；

当a>2时，f（a）=3a-a2<-a,贝Ua?-4a20,可得oN4；

综上，实数。的取值范围是［4,y）.

故选：B

4.（2024上•湖南株洲•高一株洲二中校考期末）函数〃耳=1嗯（3加-46+2）的定义域为

全体实数，则ae（）

A.RB.（0,+8）C.0,|jD.（0，T

【答案】C

【分析】依题知，xeR时，3aI2—4QV+2>0恒成立，讨论a=0和aw。两种情况，列出条

件，解出即可.

【详解】因为函数〃x）=bg2（3--4办+2）的定义域为全体实数，

则xeR时，302一4办+2>0恒成立，

当a=0时，不等式为2>0,恒成立，符合题意；

3<7>0

当〃。0时，贝/、2，

△=（—4。）—4x3〃x2<0

3

解得0<〃<?

综上知，ae0，m）,

故选：C.

x2+ax,x<0

5.（2024下•内蒙古赤峰高三校考开学考试）已知函数〃力二x八的最小值为-1，

--------,x>0

、x+1

则〃=.

【答案】2

【分析】由题意得出函数y=—在（-8,0）上取得最小值-1,由此即可列出式子求解.

Y1

【详解】当时，y==

x+1x+1

因为〃尤）的最小值为-1,所以函数y=Y+办在0）上取得最小值-1,

2

则2，解得4=2.

--=-1

14

故答案为：2.

6.(2024上•新疆乌鲁木齐,高一乌鲁木齐市第十一中学校考期末)已知函数

X?—x,xF[—2,0)

/(%)=<0,x=0.

―尤？_x,尤e(0,2]

(1)判断函数一(X)的奇偶性，并证明.

(2)若/⑴2病-2a根-9对所有xe[-2,2],恒成立，求实数机的取值范围.

【答案】(1)奇函数，证明见解析；

(2)-1<772<1.

【分析】(1)根据给定的函数解析式，利用奇函数、偶函数定义判断即得.

(2)探讨函数AM的单调性，并求出最小值，再借助一次型函数图象与性质列出不等式,

求解即得.

X2-x,xe[-2,0)

【详解】(1)函数/(x)=，0,x=。是奇函数，

—X?—尤，尤e(0,2]

当xe[-2,0)时，-xe(0,2],贝l]/(-无)=-(-x)?-(-x)=-/+x=-/(x),

当x=0时，/(-x)=0=-/(%),

当xe(0,2]时，-xe[-2,0),贝lj/(-无)=(-媛-(-无)=尤。+苫=-/(尤)，

因止匕xe[-2,2],恒有f(-x)=-/(x)成立,

所以函数Ax)是奇函数.

(2)当xw[-2,0)时，/(x)=V_x单调递减，当xw(0,2]时，/(x)=-无?-彳单调递减，又

/(0)=0,

因此函数/(X)在[-2,2]上单调递减，/(^„=/(2)=-6,

由/(x)N〃展—2a07—9对所有xw[―2,2]恒成立，得加之——9W—6,BPm2—2am-3<0,

g(a)=-2ma+m2-3<0,依题意，任意。g(a)<Q,

g(—1)=m2+2m—3<0

于是解得一iWmWl,

g⑴=m2—2m-3<0

所以实数机的取值范围是-1<机<1.

C综合素养

7.(2024上•北京西城•高一统考期末)对于函数y=〃x),记所有满足Vs>t>0,都有

的函数构成集合A；所有满足Vs,re(O,+«)),都有〃s+f)上〃s)+〃，)的函数构

成集合反

⑴分别判断下列函数是否为集合8中的元素，并说明理由，

①/(x)=2x+l；(2)/(x)=x2；

⑵若〃x)=log4x+a)"之0)是集合B中的元素，求。的最小值；

2

⑶若g(x)=^(x)，求证：f(x)eA是g(x)e3的充分不必要条件.

【答案】(1)答案见解析

(2)1

⑶证明见解析

【分析】⑴判断①时，取s=t=l结合定义进行分析；判断②时，根据〃s+A/(s)T(。

的结果进行分析；

(2)分别考虑：然后根据定义结合对数运算以及对数函数单调性分析出。=1

时/'(x)ejB,OWa<l时/'(•¥)任3,由此可确定出。的最小值；

(