函数的单调性与最大（小）值 （含新定义解答题）解析版-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

第02讲函数的单调性与最大（小）值（分层精练）

A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）

A夯实基础

一、单选题

1.（2024上•广东茂名•高一统考期末）下列函数中，在（0,+8）上为减函数的是（）

1（1Y+1

A.y=GB.y=--C.y=-D.y=log2x

x口

【答案】C

【分析】根据幕指对函数的增减性的判定即可得出答案.

【详解】y=«=£，因为:>°，所以y=4在（0，+◎上为增函数，故A错误；

产」在（0,+8）上为减函数，所以y=-工在（0,+⑹上为增函数，故B错误；

%X

0<|<1,所以y=g）在（0,+◎上为减函数，故C正确；

2>1,所以y=log2尤在（0，+⑹上为增函数，故D错误；

故选：C.

2.（2024上•四川凉山•高一统考期末）如果函数y=4/+质+8在区间［1,4］上单调递减，那

么实数上的取值范围是（）

A.）t>32B.k>-8

C.一32W无W-8D.左W-32

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列式计算即得.

【详解】函数>=4/+辰+8的单调递减区间是（-8,-勺，依题意，［1,4仁（一巴-，，则

88

-1>4,解得左W—32,

8

所以实数%的取值范围是左W-32.

故选：D

9T

3.（2024上•山东枣庄•高三枣庄八中校考阶段练习）记函数/（x）=一在区间［3,町上的最

x-2

大值和最小值分别为M和m,则史等于（）

M

2338

A.-B.-C.一D.-

3823

【答案】D

【分析】将函数/(x)分离常数变形后，判断出其单调性，根据单调性求出最值即可得解.

【详解】因为/(x)=2d,+4=2+2，

x-2x-2

所以/(X)在［3,4］上是减函数.

所以m=/(4)=4,M=f(3)=6.

所以贮=更=］.

M63

故选：D.

【点睛】本题考查了复合函数单调性的判断，考查了利用函数单调性求函数最值，属于基础

题.

4.(2024上•浙江金华•高一统考期末)若对于任意xe［l,2］,不等式加+2-丁VO恒成立,

则实数机的取值范围是()

A.m<—1B.m<Q

C.m£lD.m<272

【答案】A

【分析】根据给定条件，求出函数/(%)=机+2-V在口2］上的最大值即得.

【详解】令函数f(%)=%+2-显然/⑺在［1,2］上单调递减，/(x)max=/(l)=rn+l,

因为任意%«1,2］,不等式机+2-£<0恒成立，于是根+1<0,

所以加4-1.

故选：A

5.(2024上•江西九江•高一九江一中校考期末)已知函数〃力=阴+国，则满足

的x的取值范围是()

(12、「12、(12、「121

【答案】C

【分析】先确定函数的奇偶性与单调性，然后由奇偶性和单调性解不等式.

【详解】由已知/(—幻=尸+卜工卜阴+国=/(幻，/(X)是偶函数,

又尤20时，f(x)=e*+x是增函数，

所以不等式〃2x-l)<U化为川21|)<吗)，则|2x-l|<g,解得;<x<1,

故选：C.

6.(2024上•浙江湖州•高一统考期末)已知函数”x)=e-er,贝U使/(|动<+4)成

立的实数X的取值范围是()

A.(-1,0)B.(-1,+co)C.(-1,1)D.(L+00)

【答案】C

【分析】首先判断函数的单调性，再根据函数的单调性转化不等式国<-3/+4,再求

解不等式.

【详解】函数y=e*单调递增，函数y=e-、单调递减，所以函数/("=炉-1工单调递增，

所以/(国)<7(-3/+4)o冈<-3x2+4,

即31d<0,(|x|-l)(3|x|+4)<0,得国<1,

解得：-1<X<1

所以不等式的解集为(-1,1).

故选：C

7.(2024上•湖北•高一校联考期末)若函数了(无)=loSi(一/+6x-5)在区间0加—2,〃?+2)内

2

单调递增，则实数机的取值范围为()

「51「5」「5J「5.I

L3)13」|_3」L3)

【答案】D

【分析】利用对数函数及复合函数的单调性计算即可.

【详解】由已知得-X2+6X-5>0,解之得xe(L5),即/⑺的定义域为(1,5),

又“X)在区间(痴-2,m+2)内单调递增，根据复合函数的单调性,

3m-2>3解得沁<2.

可得:

3m-2<m+2<5

故选：D

8.(2024下■全国•高二专题练习)若/(x)=-gx3+；x2+2无+］是区间(〃?_］,加，+4)上的单

调函数，则实数优的取值范围是()

A.m<-5B.m>3

C.m<-5^m>3D.-5<m<3

【答案】C

【分析】求导，分析导函数的正负得到原函数的单调性，再由已知建立关于机的不等式组，

解出即可.

［详解］由题意，r(x)=-x2+x+2=-(%-2)(%+l),

令/曲)>0,解得一1<尤<2,令/'(x)<0,解得彳<一1或x>2,

所以/（X）在（-1,2）上单调递减，在（9,-1）,（2,+◎上单调递减，

若函数“X）=——X3+5Y+2x+l在区间（加—1,m+4）上单调，

、—\N_1、、_

则根+4工一1或加一1>2或〈/八，解得根4一5或机>3或根£0,

[m+4<2

即机4—5或m）3.

故选：C.

二、多选题

%2—ox+5,x<l

9.（2024・全国•高一专题练习）已知函数/（%）=〃满足对任意玉W9，都有

—,%>1

“%）一"/）<。成立，则实数。的取值可以是（）

玉-x2

A.-2B.1C.2D.3

【答案】CD

【分析】由题意可知函数/（%）在定义域上单调递减，由分段函数的单调性可运算求得答案.

【详解】由对任意占*%，"%）—）<0,可得函数F（x）在定义域上单调递减，

昌1

2a>2

贝卜Q>0即<〃>0,可得2<〃<3,

1~—〃+5a<3

结合选项可知AB错误，CD正确.

故选：CD.

10.（2023上•湖北恩施•高二恩施市第一中学校联考阶段练习）已知〃x）=x+l,

g（x）=^^+a,若对任意占e[3,4],存在使/&）二（%）,则实数。的取值可

以是（）

A.-1B.2C.3D.4

【答案】ABC

【分析】结合函数单调性求得F（x）,g（x）的最小值，由题意可推出故得

到相应不等式，求出。的范围，即可求得答案.

【详解】由题意xe[3,4]时，f（x）=x+l^[4,5]即/⑺1nb=4；

2X+2+a,x>-2

而g(x)=2吟

2*~x<—2

故g（无）在［-3,-2］上单调递减，在［-2,1］上单调递增,

所以gGX=g（-2）=l+。，

由于对任意％e［3,4］,存在9e|-3,l］,使/（占）会（三），

过/（龙）minNgOLn，即421+<3，

结合选项，故实数。的取值可以是-1,2,3,

故选：ABC

三、填空题

11.（2024上•广东茂名•高一高州市第四中学校考期末）已知函数/（力=31+«,若

/（3a+l）</（16-2«）,则实数。的取值范围是—.

【答案】,31

【分析】先由解析式的和式结构判断函数的单调性，再利用函数单调性解抽象不等式.

【详解】/（力=31+«的定义域为［0,+8）,

又y=3x2,y=&在［0,+动上单调递增，

所以〃x）在［0,+动上单调递增，

由/（3a+1）</（16—2a）,得043a+l<16—2a,解得—§Wa<3,

即实数。的取值范围是-gj

故答案为：-；，3］

12.（2024上•云南昆明•高二校考期末）已知关于尤的不等式尤2一办+1>。在［2,4］上有解,

则。的取值范围为.

【答案】"彳17

4

【分析】由参变量分离法可知，。。+［在［2,4］有解，贝+口，利用双勾函数的

X\Jmax

单调性求出函数y=x+：在［2,4］上的最大值，即可得出实数。的取值范围.

【详解】原不等式等价于a<x+!在［2,4］有解，贝，

XV'/max

111717

又因为函数丫=*+上在［2,4］上单调递增，贝打1mx=4+：=?,所以a〈一.

X444

17

故答案为：a<—~.

4

四、解答题

13.(2024上•天津•高一校联考期末)若函数f(x)=(--3加+3)/+22为累函数，且在

(0,茁)单调递减.

⑴求实数加的值；

⑵若函数g(尤)=%一/(无)，且尤e(0,+<»),

(I)写出函数g(x)的单调性，无需证明；

(ii)求使不等式g(21-l)<g⑺成立的实数/的取值范围.

【答案】(1)1

(2)(i)g(x)在区间(0,+8)单调递增；(ii)

【分析】(1)根据幕函数的定义求出加的值再由题设条件取舍；

(2)(i)根据单调性相同的两函数在公共区间上具有相同的单调性性质即得；

(ii)利用(i)的结论求解抽象不等式即得.

【详解】(1)由题意知用-3〃?+3=1,解得：机=1或m=2,

当机=1时，塞函数y=此时塞函数在(0,+8)上单调递减，符合题意；

当机=2时，幕函数y=/,此时幕函数在(0,+s)上单调递增，不符合题意；

所以实数〃，的值为L

(2)(i)g{x}=x-f(x)=x--,g(x)在区间(0,+◎单调递增.证明如下：

X

任取0<%<%2，则g(%)—g(%2)=(xi---)一(%2---)=(%—%)—(------)-(%—工2)(1H-----),

-X]x2玉x22

由。<斗<%2可得：玉一々<0，1+」一>。，贝!Jg(%)—g(X2)<。，即g(X)<g(%2)，

XxX2

故g(x)在区间(0,+8)单调递增.

(ii)由(i)知，g(x)在区间(。,+8)单调递增，又由g(2"l)vg知可得:

2r-l>0

则<t>Q,解得

14.(2024上•广东茂名•高一统考期末)已知函数/'(；0=/+2办-1.

(1)若/⑴=2,求实数。的值，并求此时函数“X)的最小值；

⑵若〃尤)为偶函数，求实数。的值；

⑶若/(X)在(-8,4]上是减函数，求实数。的取值范围.

【答案】(1)。=1,/(XUL—2

(2)a=0

⑶(-00,-4]

【分析】(1)由/⑴=2求出。的值，再利用二次函数的性质可求出其最小值；

(2)根据偶函数的定义可求出。的值；

(3)先求出〃元)的减区间，再根据f(x)在(f,4)上是减函数，可求出实数。的取值范围.

【详解】(1)由题可知，/(1)=1+2。-1=2,即。=1,

此时函数于(x)=/+2尤一1=(x+l)2—22—2,

故当尸-1时，函数/⑺.=-2.

(2)若Ax)为偶函数，则有对任意xwR,

都有F(-x)=(-x)2+2a(-x)-1=/(x)=x2+lax-1,

即4ax=0,故。=0.

(3)函数f(x)=x2+2ax-l的单调减区间是(-co,-a],

而f(.x)在(-co,4]上是减函数，

4〈—a,即aW—4,

故实数。的取值范围为(-8,-4].

15.(2024上•陕西安康•高一校考期末)已知函数〃司=1082尹4(。为常数)是奇函数.

⑴求a的值与函数八刈的定义域；

(2)若/(x)+log2(l-x)<〃7恒成立，求实数加的取值范围.

【答案】=函数的定义域为(-M)

(2)[1,+8)

【分析】(1)根据/(-x)=-/(x)求出参数的值，再根据对数函数的性质求出函数的定义

域；

(2)由(1)可得〃尤)+log2(l-尤)=log2(尤+1),则log2(x+l)<〃z对任意的xe(—1,1)恒成

立，根据对数函数的性质计算可得.

【详解】(1)因为函数〃元)=log2*(。为常数)是奇函数，

所以=贝Hog2：^=Tog。产，

1+x1-x

-x+a]x+a八-x+ax+a1

REnPilog-——+log--=0,所以一；--------=1,

21+x21-x1+x1-x

即〃2=1,解得Q=±1,

当a=l时〃x)=log2与,则令部>0,解得一1<X<1,

1-x1-x

1

即函数的定义域为(-M),且f(-x)=log2=log2=-log2=-/(X),

所以/(X)为奇函数，符合题意，

当。=一1时/(x)=log,3=log,卫⑹函数无意义，故舍去；

1-x1-x

综上可得a=l,函数的定义域为(-M).

Y-1V*_1_1

(2)因为〃x)=log2——,贝lj/(x)+log2(l-x)=log2-;——+log(l-x)=log(^+1),

；1—X1—X22

因为/。)+1。82(1-》)<次恒成立，

所以log2(x+1)<m对任意的xe(-1,1)恒成立，

又y=log2(x+l)在(-1,1)上单调递增，所以log2(x+l)<log?2=1,

所以m27,即"?的取值范围是[1,+oo).

B能力提升

1.(2024下•四川成都•高三成都七中校考开学考试)已知函数/(力=2一工一2工，若不等式

〃依+l)+/(lnx)>0在(0,+s)上恒成立，则实数。的取值范围是()

A.1-1',+00]B.(-1,+co)C.^-oo,D.(-oo,-l)

【答案】D

【分析】判断函数外力=2一一2'的奇偶性以及单调性，从而将不等式“依+1)+/(1时>0

在(0,+e)上恒成立，转化为分+l<-lnx在(0,+8)上恒成立，参变分离，再结合构造函数,

利用导数求得函数的最小值，即可得答案.

【详解】由于函数〃x)=27—2"定义域为R,满足『(r)=2-2-，=-=(x),

得了(X)是奇函数，且在R上为减函数.

■：f(ax+l)+/(Inx)>0在(0,+8)上恒成立，/(依+1)>-/(Inx)=/(-Inx)在(0,+<»)上恒

成立，

:.ax+\<-Inx在(0,+(»)上恒成立，二a<-111匚11在(0,+动上恒成立.

令8(耳=一与^”(0,+功，贝i]g，(x)=?，

当0<xvl时，g'(x)<0,当x>l时，g'(x)>0,

故g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,依)上单调递增,

g(x)>g(1)=-1,a<-l,即a的取值范围为(ro,-1),

故选：D.

2.(2024上•江苏常州•高一统考期末)已知函数/(幻=1吗-的定义域为12,0],若

存在孙々e[-2,0],满足|〃不)_/d)|23,则实数。的取值范围是()

A.B.]|』

C[?4]D。M

【答案】D

【分析】由已知结合函数的单调性可求f(尤)的最大值与最小值，然后结合存在性问题与最

值关系的转化即可求解.

【详解】令=且“X)在-2,0]单调递减，所以"(x)的最小值为"(0)=1-。>0,

可得a<1,Mi/(x)e[l-a,4-cz],

所以g(")=logz〃在口-a,4一句上单调递增,所以g(”)e[log2(l-a),log2(4-a)]

因为存在占，％e|-2,0],满足占)-〃彳2)性3,

则而一

所以g("Lx-g("U=log2(4-a)-log2(l-a)=log,-—>3

1—u

4

解得：

故选：D.

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数y=/(尤),y=g(^x),x&[c,d]

⑴若％e[a,司,网十,心，总有"M<g(x2)成立，故"X)1mx〈8伍)1n小

(2)若％e[a,b],玉24G司,有了⑷<g(w)成立,故/(》)1mx<g(%)厘;

(3)若叫e[a,句,叫e[c,d],有/&)<g伍)成立，故〃x)1n<g(%)1Mx;

(4)若%肉,上2c[c,d],有〃％)=8(々),则的值域是g(x)值域的子集.

3.(2024上•辽宁大连•高一统考期末)已知函数/(尤)=2加-1,对于任意//目-3,-2]且

项4%，都有""2)一"占)<4,则实数。的取值范围是()

々一玉

1

A.B.(-oo,2]C.2D.——,4-oo

4-3

【答案】D

【分析】由题意通过构造函数g（"=/（力—4x=2依2—4x—1,说明其在［-3,-2］上单调递减，

对。分类讨论即可得解.

【详解】由题意不妨设g（x）=/（x）—4x=2依

又对于任意4％e［-3,-2］且x产毛,都有"6"不）＜4,

即对于任意和W目-3,-2］且x产尤＞都有''）-4尤2-（〃玉）-4玉）＜0,即

x2—xl

g（a）-g（西）＜0,

x2—x1

所以g（%）=2G;2—4%—i在上单调递减，

当a=0时，则且（同=~^_1在［_3,-2］上单调递减，满足题意；

当awO时，g（x）=2办2—4%—1在［―3,—2］上单调递减，此时对称轴为％=—,

若a＞0,贝（］—之一2,即—,故a＞0满足题意；

a2

若a＜0,则一W—3,即—7＜。＜。满足题意；

a3

综上所述，实数。的取值范围是-g+s］

故选：D.

4.（2024上•河北沧州•高一统考期末）已知函数/（尤）="+［（。＞1），若/（2a+3）＞/（2-4a）,

a

则实数a的取值范围为.

【答案】6

【分析】定义法证明/（X）为偶函数，结合对勾函数的性质可得Ax）在Xe［0,+⑹上单调递增，

不等式/（2a+3）＞〃2-4a）等价于川2。+3|"川2-4时,即闫2一4a「求解即可・

【详解】因为/（X）的定义域为R,又/（-尤）=［+优=/（无），所以/（X）为偶函数.

a

设。=优，当时，t＞l,则y=/+1QNl）,

t

由对勾函数性质知，y=f+l在上单调递增,

所以/(元)="+1(a>1)在xe[0,-H»)上单调递增,

a

则/(2a+3)2/(2—4。)等价于/(|2。+3|)2/(|2—44)，

\a>\,5

所以在+3印一4d解得』/，

故实数”的取值范围为，1.

故答案为：[1，|,

5.(2024上•湖北武汉•高一华中师大一附中校考期末)若幕函数〃x)=(疗+加—5)-3"3

为偶函数，则不等式〃2x-l)>〃x+3)的解集为.

【答案】■1(4,+CO)

【分析】由幕函数的概念和性质确定加的值，再根据单调性求解不等式.

【详解】因为"》)=(一+〃7-5)/d+3为嘉函数，

贝(J根2+m—5=1,解得m=—3,或m=2,

当帆=2时，/(x)=x3,为奇函数，不符合题意；

当帆=-3时，f(x)=/，为偶函数，符合题意，

且在(-*。)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

若〃21)>/(彳+3),则—+3(

解得x<-g或x>4,即不等式的解集为[巴-g]u(4,+s).

故答案为：18,_：卜(4,+00).

6.(2024上,云南,高一■统考期末)若不等式厂+(a-4)x+4-2a之。对任意ae[0/恒成立，

则x的取值范围为.

【答案】(-=0,1]<->[2,+00)

【分析】将问题化为了⑷=5-2)a+(x-2)220对任意a恒成立，结合一次函数性质

求x的取值范围.

[详解]^/(a)=%2+(a-4)%+4-2a=(x-2)a+(x-2)2,

所以于(a)N0对任意ae[0』恒成立,

当x-220,即只需/(0)=(x-2)220,显然满足；

当无一2＜0,即x＜2,只需/(1)=。一2)+(无一2)2=(X-2)(X—1)N0,可得xWl；

综上，XW(―00,1］。［2,+8).

故答案为：(-K＞,1］^［2,+CO)

C综合素养

7.(2024上•江西抚州•高一统考期末)对于区间勿(。＜。)，若函数＞=/(x)同时满足：

①在侬,句上是单调函数，②函数y=/(x)的定义域为侬,切时，值域也为则称

区间团,句为函数"X)的"保值”区间.

⑴求函数f(x)=--x2+^的所有“保值"区间.

44

⑵函数y=Q±巫Z=的一个“保管，区间为［〃7,川，当/变化时，求"沉的最大值.

X

【答案】⑴［1,3］；

(2)吨.

3

【分析】(1)求出函数"X)的单调区间，利用"保值"区间的定义分类讨论求解即得.

(2)分析函数的单调性，利用"保值"区间的定义建立方程，再转化为一元二次方程求解即

可.

113

【详解】(1)函数/(x)=-在(_*()］上单调递增，在［0,+8)上单调递减，

44

令区间为函数/(%)的〃保值〃区间,则〃%)在刈加上单调,即有"后。或0K”),

113

"/、—a2H=a

f(a)=a44

J,,即：：，

{“b)=b*+%

I44

i13

于是。、匕是方程-T/+—=X,即Y+4X-13=0的两个不同的非正实根，

44

显然出＞=—13＜0,方程两根异号，与。＜640矛盾，即。＜640不符合题意；

1213

［f(a)=b4^+4-［fl=1

当时，Ax)在区间口,勿上单调递减，则［二，即:：，则有1°，

〔/S)=a_%+»="口=3

144

所以函数“X)的"保值"区间为口,3］.

(2)令g(x)=(2+，)i=(2+力上,显然函数g(x)在(-*0),(0,+«0上单调递增，

XX

由阿，川是函数g(x)的一个"保值"区间,得［m,n］c(-oo,0)或［m,n］c(0,+8),且g(x)在［m,n］

上单调递增，

则U（s（om）”=m即E是方程gd‘即."—c』的两个同号的不等根'

cc2m+n=2+t

于是A=（2+%）—4?＞0,解得—q＜/＜2,且＜2，

3\mn=r

因此〃-机=7（«+m）2-4mw=J-3/+由+4=J-3（?-1）2+y＜殍，当且仅当t=1时取等

号

所以当时，-一根取得最大值逑.