河南省信阳市2024-2025学年高二年级上册11月期中考试 数学试题（含解析）

*2024年11月13日

2024-2025学年普通高中高二上学期期中教学质量检测

数学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上，

在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1.答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准

考证号填涂在相应位置。

2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择

题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。

第I卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知向量a=（2,1,2）,Z?=（m-2,m,5）,若a_L6,则相等于（）

A.-4B.-2C.2D.4

2.已知A（l,—2）,3（2,1）,C（0,-l）,经过点C作直线/,若直线/与线段A8没有公共点，则直线/的倾

斜角的取值范围为（）

一c兀

A.B.0,—

丐4

3.已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1〜5之间的随机数，当出现随机数1时，表

示设备一年内需要维修，其概率为0.2,由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内

需要维修的情况，现产生20组随机数如下：

412451312533224344151254424142

435414335132123233314232353442

据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（）

A.0.4B.0.45C.0.55D.0.6

4.口袋中装有质地和大小相同的6个小球，小球上面分别标有数字1,1,2,2,3,3,从中任取两个小球，

则两个小球上的数字之和大于4的概率为（）

1231

B.-D.——

35515

5.曲线C：（V+y2—I].8（/+力+15=0的周长为（）

A.307rB,4^271C.6071D.12^271

6.某大学选拔新生进“篮球”“舞蹈”“美术”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团

成功与否相互独立.假设某新生通过考核选拔进入“篮球”“舞蹈”“美术”三个社团的概率依次为工，如

2

17

n,已知三个社团他都能进入的概率为一，至少进入一个社团的概率为一，则（）

189

11212111

A.m=—,n=—B.m=—,n=—C.m=—,n=—D.m=—,n=—

33323332

7.在长方体ABC。—AgGA中，AG与平面AB。所成的角为a，AC1与4与所成的角为夕，则下列

关系一定成立的是（）

A.a>J3B.a+）3=90°C.a+J3>90°D.a+/3<90°

8.已知圆C：x2+y2-2x-4y-4^0,尸为直线/：x+y+2=0上一点，过点P作圆C的两条切线，切

点分别为A和8,当四边形出CB的面积最小时，直线A8的方程为（）

A.5x+5y+3=0B.5x-5y+3=0C.5%+5y-3=0D.5x-5y-3=0

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件4="第一次出现2点"，B="第二次的

点数小于5"，C="两次点数之和为奇数”,D="两次点数之和为9”,则下列说法正确的有（）

A.A与8不互斥且相互独立B.A与。互斥且不相互独立

C.8与。互斥且不相互独立D.A与C不互斥且相互独立

10.已知圆。：x~+y~=4与圆C：x~+_y~—2.x+4y+4=0相父于A,B两点，直线/：x~2y+5=0,

点尸为直线/上一动点，过尸作圆。的切线尸M,PN（M,N为切点），则下列说法正确的有（）

4d5

A.直线AB的方程为x—2y+4=0B.线段的长为天一

C.直线MN过定点D.\PM\的最小值是1

11.在三棱锥PABC中，PC_L平面ABC,PC=AB=3,平面ABC内动点D的轨迹是集合

M={MD4|=2|DB|}.已知且在棱A8所在直线上，i=l,2,则（）

A.动点D的轨迹是圆B.平面PCD,1平面PCD2

三棱锥体积的最大值为三棱锥外接球的半径不是定值

C.PABC3D.P-DXD2C

第n卷

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知空间内A,B,C,。四点共面，且任意三点不共线，若尸为该平面外一点，PA=-PB-xPC--PD,

33

贝口=.

13.已知事件A与事件B相互独立，若尸（A）=0.3,P（B）=0.4,则尸（初）=.

14.若直线无一ysin8+2=0与圆f+Q—1J=i只有一个公共点，则1©。=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

已知圆C的圆心在直线x-2y=0上，且与y轴相切于点（0,1）.

（1）求圆C的方程；

（2）若圆C与直线/：%—y+m=0交于A,B两点,且,求根的值.

从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：

®ZACfi=120°；@|AB|=2^.

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

16.（本小题满分15分）

某校田径队有3名短跑运动员，根据平时的训练情况统计：甲、乙、丙3名运动员100m跑（互不影响）的

311

成绩在13s内（称为合格）的概率分别是一，一，-.若对这3名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检

423

测.

（1）3名运动员都合格的概率与3名运动员都不合格的概率分别是多少？

（2）出现几名运动员合格的概率最大？

17.（本小题满分15分）

如图，在三棱锥中，ABLBC,AB=2,BC=20,APfiC为等边三角形，BP,AP,BC的中

点分别为。，E,O,且49=6。。.

p

(1)证明：平面ABC_L平面P8C.

(2)若P为AC的中点，求点C的平面BEF的距离.

18.(本小题满分17分)

在梯形ABC。中，AB//CD,ADLCD,尸为AB中点，AB=2AD=2,CD=3,EC=2DE,如

图，以EF为轴将平面ADEF折起，使得平面石尸，平面8CEF.

(1)若M为EC的中点，证明：Mb〃平面48C；

(2)证明：平面5DE_L平面BCD；

(3)若N是线段OC上一动点，平面8NE与平面夹角的余弦值为逅，求。N的长.

6

19.(本小题满分17分)

在平面直角坐标系尤。V中，圆O为AABC的内切圆，其中3(2,-1),C(-l,3).

(1)求圆。的方程及点A的坐标；

(2)在直线A0上是否存在异于点A的定点Q,使得对圆0上任意一点P,都有|以|=川尸。］(2为常

数)？若存在，求出点。的坐标及力的值；若不存在，请说明理由.

2024-2025学年普通高中高二上学期期中教学质量检

测数学参考答案

一、选择题

1.B

【解析】由〃_Lb,a=(2,l,2),b=(m—2,m,5),得2小一4+相+10=0.解得根=-2.

2.C

【解析】直线的倾斜角为乙7T，直线AC的倾斜角为37r叫，根据倾斜角定义，故选C.

44

3.C

【解析】由题意可知，代表事件”一年内3台设备都不需要维修”的数组有533,224,344,254,424,435,

335,233,232,353,442,共11组.所以一年内这3台设备都不需要维修的概率为P=—=0.55.

20

4.A

【解析】记两个标有数字1的小球分别为A,a,两个标有数字2的小球分别为2,b,两个标有数字3的小

球分别为C,c.从中任取两个小球的所有可能结果有AmAB,Ab,AC,Ac,aB,ab,aC,ac,Bb,BC,

Be,bC,be,Cc,共15种情况，其中满足两个小球上的数字之和大于4的有BC,Be,bC,be,Cc,共5

种情况.所以两个小球上的数字之和大于4的概率为P=-=-.

153

5.C

【解析】由(V+y2—1)2—8(f+)2)+15=。，得(-+/—1)2—8(Y+y2—1)+7=0,即

[(X2+/-l)-l][(x2+/-1)-7]=0,即％2+y2=2或/+/=8.所以曲线C表示两个同心圆，且

这两个圆的半径分别为点，20.所以曲线C的周长为2兀义(应+20)=6071.

6.A

1

m=—

【解析】依题意,解得4J

17

7.D

【解析】因为CC1，平面ABCD,所以NC]AC=a.易知NGA3]=，，则sina=CJ,cos/3=^-,

sin£="G.因为CG，与。的大小关系不确定，所以无法确定sina,sin夕的大小关系，则a,夕的

大小不确定，A错误.因为sina=C9,cos夕="白=更£^^—〉,所以sina＜cos/7=sin

AqAC,ACXACX

（90。—4）.因为a,夕均为锐角，所以90。一万也是锐角，则々＜90。—/，即。+尸＜90。.

8.A

【解析】由/+/—2%一4y—4=0=（无一1?+（丁一2）2=9,得圆C的圆心C（l,2）,半径r=3.因为

\AP\=^\PCf-\ACf=s]\PCf-9，所以四边形PACB的面积S=2x^\AP\-\AC\=3^\PCf-9.所以当

x-y+l=0

|PC|最小时,5也最小，此时，PCL.故尸C的方程为y—2=x—l,即x—y+l=0.联立,

x+y+2=0

313.所以直线AB的方程为—1）+（—；—2]（y—2）=9,

解得％=__,y=__,即P

222

化简，得5x+5y+3=0.

二、选择题

9.ABD

【解析】因为A与B可能同时发生，所以它们不互斥，且两者发生的概率互不影响，所以A与8不互斥且

相互独立，A正确.因为当A发生时，两次点数之和不超过8,所以。不可能发生，即A与。不可能同时发

生.所以A与。互斥.又因为A不发生时，。有可能发生，所以A发生与否影响。发生的概率.所以A与。

不相互独立，B正确.同理可得，B与。也不相互独立.因为8与D可能同时发生（如第一次抛出5点，第

二次抛出4点），所以它们不互斥，C错误.显然A与C可能同时发生，所以两者不互斥.因为A发生与否都

有尸（c）=g,所以A与。相互独立，D正确.

10.BCD

+V2—A

【解析】联立1。，两式相减，得x—2y—4=0即为直线AB的方程，A错误.联立

x2+y--2x+4y+4=0

8

x——公

x2+y2=4尤=°或＜

,用＜56,则|AB|=——,B正确.设加（七,另），N值,%）,

x2+y2-2x+4y+4=0[y=-2

因为M,N为圆0的切点，所以直线PM的方程为XX]+»1=4,直线PN的方程为x%+y%=4.设

P（x0,y0},贝4"十%M=4,所以直线MN的方程为5+%丁=4.又因为％—2%+5=0,所以

5OX2+%%=4

4

x=——

2x+y=05

（2x+y）y0-5x-4=0.由<得，即直线MN过定点C正确.因为

-5x-4=0

|0-0+5|

PM2+OM2=PO2,所以当|/网最小时，|「。|最小，且|PO|的最小值为=石，所以此时

|PM|=75^4=1,D正确.

11.ABC

【解析】对于A,在平面ABC内，以点3为坐标原点，54方向为无轴正方向建立如图1所示的平面直角

坐标系，则3（0,0）,A（3,0）.设£＞（羽y）,贝可£＞时=必+/,口不=（%一3『+/.又12Ml=2Q@,

所以（x—3）2+寸=4（必+力，即（九+行+/=4,则点。的轨迹是以（_1,0）为圆心，2为半径的圆,

A正确.

图1

对于B,由A的分析可知，22为圆的直径，又点c在圆上，所以cp•如图2,因为PC,平面

ABC,CD】u平面ABC,所以PC_LC£>i.又尸CCD2=C，所以CR_L.平面PCZJ•又u平面PCR,

所以平面PC2，平面PCZ＞2,B正确.

图2

对于C,点尸到平面ABC的距离确定了，A3的长度确定了，所以当点C到直线A2的距离最大时，三棱锥

PABC的体积最大.显然点C到直线AB的距离的最大值为2,此时三棱锥PABC的体积

%-板=g|PC|x；忸|x2=（x3x3x2=3,C正确.

对于D,因为平面PC。，平面PC。?，平面两两相互垂直，所以可以将三棱锥P-。。2c补成直

四棱柱，易知直四棱柱的外接球即三棱锥P-。。2c的外接球，直四棱柱的外接球直径等于

+|CD『+|°3「.因为=9，|。。『+|。£>2|2=|口。2「=16,所以三棱锥尸—DQ2c外接球

的半径是定值D错误.

2

三、填空题

1

12.—

3

【解析】由*—X—工=1,解得％

333

13.0.28

【解析】因为事件A与事件8相互独立，所以事件.与事件2相互独立.因为尸（A）=0.3,尸（5）=04,

所以=l—0.3=0.7.所以尸（初）=尸（彳）尸（3）=0.7*0.4=0.28.

,377

14.土二一

7

【解析】圆半径r=1,圆心（0,1）到直线尤―ysin。+2=0的距离为d=W"：.因为直线与圆只有一

Vl+sin20

个公共点，所以d=r，即忸生1=1,解得sin£=a.所以tan6=土地.

Jl+si/e47

四、解答题

15.

（1）设圆心坐标为C（Q,Z?）,半径为八

由圆。的圆心在直线x—2y=0上，得a=2b.

因为圆C与y轴相切于点（0,1）,所以Z?=l,a=2,则尸=|a—0]=2.

所以圆C的圆心坐标为（2,1）,则圆C的方程为（％—2）2+（y—1）2=4.

（2）如果选择条件①：ZACB=nO°,m|C4|=|CB|=2,

|2-1+/司

所以圆心C到直线/的距离d==1.解得加=V2-1或zn=-\/2-1.

如果选择条件②：|AB|=26,而|CM=|CB|=2,

所以圆心C到直线/的距离d=JCA/—包］=1,则d=巴1+时=1.解得加=J5—1或/=-、历—1.

V112^TZT

3

16.设甲、乙、丙3名运动员100机跑合格分别为事件A,B,C,显然A,B,C相互独立，且P（A）="

P"）=；，P（C）J，P（A）=l^=j,P（B）=l-P（B）=i,P（C）=1-P（C）=|.

设恰有左名运动员合格的概率为6（左=0,1,2,3）.

（1）3名运动员都合格的概率为

3111

^=P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=-x-x-=-.

3名运动员都不合格的概率为

^=P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=ix1x|=1.

（2）2名运动员合格的概率为

=P（AJBC+ABC+ABC）=P（A）P（JB）P（C）+P（A）P（B）P（C）+P（A）P（JB）P（C）

3123111115

=—X—X——|——X—X--I——X—X—=——.

42342342312

1名运动员合格的概率为

-W13

88

因为

128812

所以出现2名运动员合格的概率最大.

17.

（1）因为AP3C为等边三角形，D,O分别是BP,BC的中点，且5c=20,所以DO=3D=J5,

AD=6DO=R.

又AB=2,所以=">2,即至，班）.

又因为ABL5C,且BCBD=B,所以AB,平面P8C

又ABu平面ABC,所以平面ABC_L平面P8C.

(2)连接尸O,则PPO_L3C.由(1)可知，平面ABC_L平面PBC.

所以POJ_平面ABC.

因为尸为AC的中点，所以点C到平面BEF的距离等于点A到平面BEF的距离.

在直角AA5C中，可知5歹=生=‘8+2?=后,

22

ApO^2

在直角AABP中，可知5E=——=----------=6

22

因为EF是AACP的中位线，

在z“PC272r-

所以EF==----=72,

22

AfiEF的面积S、BEF=3*6xJ3—

设点A到平面BEF的距离为d,则三棱锥ABEF的体积VA_BEF=—d.

又A4B尸的面积S^BF=；x2x夜=J5,点E到平面A3F的距离为华=乎，

所以三棱锥EABF的体积/MF=Jx0x亚=1

323

山河百俎,2715

由----=—，得d=---------.

635

所以点C到平面8EF的距离为独5.

5

18.

(1)由EC=2Z>E,CD=3,得EC=2,DE=1.因为M为EC的中点，尸为AB中点，AB=2,所

以MC=FB=1,且MC〃EB.所以四边形尸为平行四边形.所以

而仁平面ABC,3Cu平面A8C,所以叱〃平面A8C.

(2)因为平面ADEF_L平面BCER平面ADEFQ平面5CEF=石尸，

DEYEF,所以。石，平面