函数与方程（4题型分类）-2025年高考数学一轮复习

专题09函数与方程4题型分类

彩题生江总

题型4：二分法题型1：求函数的零点或零点所在区间

专题09函数与方程4题型

分*

题型3：嵌套函数的零点问题------------------------------J题型2：利用函数的零点(个数)确定参数的取值范围

彩先正宝库

一、函数的零点

对于函数y=/(%),我们把使〃x)=0的实数尤叫做函数y=/(x)的零点.

二、方程的根与函数零点的关系

方程〃x)=0有实数根O函数y=/(力的图像与x轴有公共点O函数y=〃x)有零点.

三、零点存在性定理

如果函数y=在区间［。,目上的图像是连续不断的一条曲线，并且有〃力/。)<。，那么函数y=

在区间(4力)内有零点，即存在ce(a,b),使得"c)=0,c也就是方程〃x)=0的根.

四、二分法

对于区间0上连续不断且/■(力〃3<0的函数〃元)，通过不断地把函数〃尤)的零点

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程

〃力=0的近似解就是求函数f(x)零点的近似值.

五、用二分法求函数/(x)零点近似值的步骤

(1)确定区间可，验证给定精度£.

(2)求区间(。力)的中点耳.

(3)计算).若〃占)=0,则看就是函数〃尤)的零点；若/(")"&)<0,则令6=%(此时零点/e(心占)).

若〃办〃再）<0,则令。=玉（此时零点X。e（X1,6））

（4）判断是否达到精确度€,即若可<£,则函数零点的近似值为。（或匕）；否则重复第（2）-（4）

步.

用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.

彩他题海籍

（_）

求函数的零点或零点所在区间

求函数/（无）零点的方法：

（1）代数法，即求方程/（x）=0的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数y=/（x）

的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.

题型1:求函数的零点或零点所在区间

（21—5x>0

1-1.（2024高三•全国•专题练习）已知函数〃x）=2工;<o，〃/（T））=——，函数g（x）=/（x）-3的

零点为.

1-2.（2024高三•全国•专题练习）函数〃"=10&-）卜2-7元+13）的零点为.

4x—4,丫<|

1-3.（2007・湖南）函数/（x）={:"।的图象和函数g（x）=logzx的图象的交点个数是

x-4x+3,x>l

A.1B.2C.3D.4

1-4.（2024・湖北）方程2一，+尤2=3的实数解的个数为.

1-5.（2024•北京）己知函数〃x）=£-log2无，在下列区间中，包含“X）零点的区间是

X

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,4）D.（4,-H»）

1-6.（2024高三上•陕西渭南•阶段练习）已知函数〃x）=lnx+3x-7的零点位于区间5，〃+l）（〃eN）内，则

n=.

1-7.（2024高一上•北京•期中）设函数）/=*3与的图象的交点为（xo,yo）,则xo所在的区间是（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

彩物秘籍

（二）

利用函数的零点确定参数的取值范围

本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式,

解不等式，从而获解.

题型2:利用函数的零点（个数）确定参数的取值范围

2-1.（2024•天津北辰•三模）设aeR,对任意实数x,记=min付-2产-温+a+24}.若〃尤）有三

13

个零点，则实数a的取值范围是.22（2024高一上•江西•阶段练习）函数/（x）=2*——。的一个零

尤

点在区间。,3）内，则实数。的取值范围是（）

A.（7,-Foo）B.（-co,-l）C.（^»,-1）U（7,-H»）D.（-1,7）

2-3.（2024高三下•上海浦东新,阶段练习）已知函数/（x）=sinG-asinx在（0,2兀）上有零点，则实数。的取值

范围_________.

24（2024•浙江绍兴•二模）已知函数/（x）=lnx+ax2+》,若尤）在区间［2,3］上有零点，则他的最大值

为.

25（2024・天津）设aeR,函数”引=公2-2》-卜2-依+1］,若〃无）恰有两个零点，贝心的取值范围

为.

2-6.（2024•天津）设aeR,对任意实数x,ia/（x）=min{|x|-2,x2-tzx+3a-5}.若/（x）至少有3个零点,

则实数。的取值范围为.

彩偏题祕籍（二）

嵌套函数的零点问题

1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围.

2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎实.

题型3:嵌套函数的零点问题

3-1.（2024高三上•浙江绍兴•期中）己知函数/（尤）=0£）2+（°-1）0工）+1-0有三个不同的零点国,无2，不淇

中国＜々＜了3，贝！1（1-型项）（1-尤2滓）（1一书力？的值为（）

A.1B.（a-1）?C.—1D.1—a

1

,…/、X2H--X,X0

3-2.（2024•江苏南通,模拟预测）已知函数/（x）=2,若关于尤的方程

—12%—1|+1,x＞0

尸（力-（左+1）犷（X）+丘2=。有且只有三个不同的实数解，则正实数上的取值范围为（）

A.B.g,ju（l，2）C.（O,1）U（1,2）D,（2,+8）

33（2024•河南安阳•模拟预测）已知函数=H-2K1,则关于x的方程r（%）+时⑺+〃=0有7个不

同实数解，则实数"2,"满足（）

A.机＞0且〃＞0B.机＜0且〃＞0

C.0＜机＜1且〃=0D.—l＜m＜0Mn=0

34（2024・四川广安•一模）已知函数设关于x的方程/⑺一列'（x）=9（租©R）有〃个

e

不同的实数解，贝U”的所有可能的值为

A.3B.1或3C.4或6D.3或4或6

彩他题祕籍

（四）

二分法

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程

/（尤）=0的近似解就是求函数f（x）零点的近似值.

题型4:二分法

4-1.（2024高三•全国・专题练习）用二分法求函数〃x）=ln（尤+l）+x-1在区间（0,1）上的零点，要求精确度

为0.01时，所需二分区间的次数最少为（）

A.5B.6C.7D.8

7

4-2.（2024高一上•辽宁•期中）用二分法求方程ln（x+l）=：的近似解时，可以取的一个区间是（）

A.（1,2）B.（2,e）C.（3,4）D.（0,1）

43（2024高一上•四川广安•期中）函数Ax）的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如

下：

/（I）=-2/（1.5）=0.625/（1.25）=-0.984

/（1.375）=-0.260/（1.438）=0.165"1.4065）=-0.052

那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（）

A.1.5B.1.25C.1.41D.1.44

44（2024高一上•贵州遵义•期末）禾！］用二分法求方程1幅彳=3-x的近似解，可以取的一个区间是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

4-5.（2024高三上•宁夏•期末）用二分法求函数〃x）=lgx+x-2的一个零点，根据参考数据，可得函数了⑺

的一个零点的近似解（精确到0.1）为（）（参考数据：lgl.5a0.176,坨1.625。0.211,31.75。0.243,

1g1.875-0.273,lgl.9375«0.287）

A.1.6B.1.7C.1.8D.1.9

46（2024高三上•湖南长沙•期中）用二分法求函数〃x）=ln（x+l）+x-l在区间［0,1］上的零点，要求精确

度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（）

A.6B.7C.8D.9

炼司与梭升

一、单选题

1.（2024・湖北）已知了（无）是定义在R上的奇函数，当X20时，f（x）=x2-3x,则函数g（x）=/（无）-x+3的

零点的集合为（）

A.{1,3}B.{-3,-1,1,3}C.(2-77,1,3}D.{-2-77,1,3)

2.（2024高三•全国•专题练习）已知指数函数为〃#=4工，则函数y=/（x>-2用的零点为（）

A.-1B.0

C.1D.2

3.（2024高三上•江西鹰潭•阶段练习）函数〃»=（3127）111（彳-1）的零点为（）

A.2,3B.2C.（2,0）D.（2,0）,（3,0）

4.（2024•山东）已知当xe[0,l]时，函数y=（〃a-1）,的图象与y=«+的图象有且只有一个交点，则

正实数m的取值范围是

A.（0,1]。[2若,+8）B.（0,l]u[3,+co）

C.(。,衣326+00)D.(0,衣u[3,+8)

5.（2024高三•全国・专题练习）若。<6<c,贝I]函数/（x）=（x-a）（x-Zj）+（x-b）（尤-c）+（尤-c）（x-a）的两个

零点分别位于区间

A.（a,b）和（b,c）内B.（-00,a）和（a,b）内

C.（"c）和（G+8）内D.（-8,a）和（G+8）内

6.（2024•全国）在下列区间中，函数/（x）=e'+4x-3的零点所在的区间为（）

[2-|x|,x<2

7.(2024高三上•宁夏•阶段练习)已知函数〃x)='2,函数g(x)=3-/(2-x),则函数

(x-2),x>2

y=/。）-g（x）的零点个数为（）

A.2B.3C.4D.5

8.（2024高三上•江苏淮安•期中）已知函数〃尤）=V一3元，则函数。（力=/[〃切re,c«-2,2）的零点个

数（）

A.3个B.5个C.10个D.9个

9.（2024高三上•湖北武汉•阶段练习）/（幻=21/%5中1的零点个数为（）

A.1B.2C.3D.4

10.（2024•天津）已知函数/（©="'"上若函数g（x）=〃x）-匿2_2M/eR）恰有4个零点，贝心的

[-X,x<0.11

取值范围是（）

A.1一8,-；）u（2尤什⑹B.

C.(-OO,0)U(0,2A/2)D.(-OO,0)U(2A/2,+OO)

(QX<Q

IL(2024•全国)已知函数/(x)=''-'g(x)=f(x)+x+a.若g(无)存在2个零点，则。的取值范

[In尤，尤>0,

围是

A.[-1,0)B.[0,+8)C.[-1,+8)D.[1,+8)

12.(2024•广西•一模)已知函数〃是奇函数，且〃x)=/i(x)+2,若无=2是函数y=/(x)的一个零点，则

/(-2)=()

A.-4B.0C.2D.4

13.(2024・吉林•模拟预测)已知不是函数/(x)=tanx-2的一个零点，贝Usin2x。的值为()

4334

A.——B.--C.-D.-

5555

14.(2024高三上•山东聊城,阶段练习)已知函数/(x)=2*+尤,g(x)=log2X+x,//(x)=log2X-2的零点依次

为a,b,c,贝U()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

15.(2024•陕西•一模)已知〃x)=e，+lnx+2,若看是方程〃x)—/'(x)=e的一个解，则％可能存在的区

间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

16.(2024•山西阳泉•三模)函数/(力=豌2彳+/+帆在区间(1,2)存在零点.则实数机的取值范围是()

A.(—0,-5)B.(-5,-1)C.(1,5)D.(5,-KO)

2

17.(2024高三・天津•学业考试)已知函数/(%)=〃--二是R上的奇函数，若函数y=2㈤的零点在

2+1

区间(-1,1)内，则，〃的取值范围是()

A.B.(-1,1)C.(-2,2)D.(0,1)

18.(2024高一上•四川资阳•期末)定义在R上函数/(尤)，若函数y=关于点(1,0)对称，且

〃力=[3⑹则关于x的方程r(x)-2时(x)=l(meR)有0个不同的实数解，则n的所有可

能的值为

A.2B.4

C.2或4D.2或4或6

19.（2024•广东揭阳•二模）已知函数f（x）=2x+3G（xW2]的图象上存在点P,函数g（x）=ax-3的图

象上存在点Q,且P,Q关于原点对称，则实数a的取值范围是（）

A.[-4,0]B.0,1C.[0,4]D.1,4

|_oJ|_o_

20.（2024•四川宜宾•模拟预测）已知函数/（x）=e，,函数g（x）与-3的图象关于直线y=x对称，若

Z/（X）=g（X）-右无零点，则实数k的取值范围是（）

A.B.C.（e,+co）D.g'+0°]

21.（2024•河南洛阳•一模）已知函数y=a-21nx,pWxWe）的图象上存在点函数y=炉+1的图象上存

e

在点N,且“，N关于x轴对称，贝U。的取值范围是（）

22.（2024高三上期南衡阳・阶段练习）已知函数8（同=。-/（工4X40/为自然对数的底数）与/1（力=2111%

e

的图象上存在关于X轴对称的点，则实数。的取值范围是（）

A.-+2B.[1,/-2]

C.—+2,e2—2D.「/—2,+8）

eJL7

23.（2024高二下•浙江宁波•期末）若函数/（x）=--2e,十如一inx至少存在一个零点,则用的取值范围

x

为（）

A.B./+J_,+QO]c.D.e+L+oo）

24.（2024高二下糊北•期中）设函数/（%）=x3—2e%2+mx—lnx,记g（x）=/^,若函数g（x）至少存在一

个零点，则实数小的取值范围是

A.B.^0,e2+|^C.D.^-oo,e2+1

25.（2024・福建厦门•一模）若至少存在一个实数工，使得方程Inx-g=%（必—2ex）成立，则实数优的取值

范围为（）

1111

A.m>e2+—B.m<e+—C.m>e+—D.m<e2+—

eeee

26.（2024高三・湖南长沙•阶段练习）设函数〃无）=/-2x-j+a（其中e为自然对数的底数），若函数

至少存在一个零点，则实数。的取值范围是（）

1111

A.（0,1+-]B.（0,e+TC.[e+—,+oo）D.（-oo,l+—]

eeee

27.（2024•山东•模拟预测）已知函数/■（力=,+2|+6，+2+/-工+4有唯一零点，则实数。=（）

A.1B.-1C.2D.-2

28.（2024•内蒙古呼伦贝尔•三模）已知函数/⑺=jr_〃（sinx+cosx）有唯一零点，贝巾二（）

.兀4兀L

A.—B.­C.D.1

ee

29.（2024高三下•重庆渝北•阶段练习）已知函数g（x）,分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且

g（x）+//（x）=/+sinxr,若函数/⑺二小」网一公（了一2020）-2万有唯一零点，则实数几的值为

A.-1或;B.1或-gC.-1或2D.-2或1

/2

30.（2024•甘肃张掖三模）已知函数/（司=2/2-；422+22-'-〃2有唯一零点，则负实数。=

-11f

A.—2B.C.—1D.或—1

22

[YY<0

31.（2024高一上•天津南开•期末）已知函数〃x）=,'一八，若函数g（x）=〃x）+m有两个零点，则

[log2x,x>0

机的取值范围是（）

A.[—1,0)B.[-1,-Hx))C.(-8,0)D.

(x-2)ln(x+l),-l<x<m,

（高三上•江西•阶段练习）已知机函数（）

32.2024>0,/%=cosI3x+1,m<x<7i,恰有3个零点，则7"

的取值范围是（）

715兀\IC3T兀I\715兀\।个3兀吟吟3兀吟吟3兀

A.运正U2彳B.日正u2aC.UD.U

4444

e"%>0

33.（2024高三上•陕西西安•期末）己知函数〃尤）=:-C，若函数g(x)=f(r)-〃X),则函数g(x)

-3x,1<。

的零点个数为（）

A.1B.3C.4D.5

2sin17i\x-a+-,x<a

34.（2024•天津和平•二模）已知函数/（%）=,l2，若函数，（%）在[0,+8）内恰有5

x2一（2〃+1）%+/+2,x>a

个零点，则。的取值范围是（）

35.（2024•河南洛阳•一模）已知函数〃%）=（亦+lnx）（x-lnx）-x2,有三个不同的零点，（其中占<%〈尤3），

则的值为

A.ci—1B.1—aC.-1D.1

36.（2024高三上•重庆南岸•阶段练习）设定义在R上的函数Ax）满足/（x）=9x2+（«-3）无，+3（3-有三

个不同的零点占,%,%,且不<0<%<苫3,则°一宏）。一宗）,一宗]的值是（

）

A.81B.-81C.9D.-9

——2xxW0

37.（2024高三上•天津南开•阶段练习）设函数〃x）=|,-

in,x>U

①若方程"X）=a有四个不同的实根毛，巧，尤3，Z，则占•尤2,尤33的取值范围是（0,1）

②若方程〃尤）=。有四个不同的实根毛，巧，％,匕，则西+々+鼻+尤4的取值范围是（。，+8）

③若方程y（x）="有四个不同的实根，则。的取值范围是，

④方程尸（X）-,+£|〃x）+l=0的不同实根的个数只能是1,2,3,6

四个结论中，正确的结论个数为（）

A.1B.2C.3D.4

，2

38.（2024高一上•天津期中）已知函数〃x）=£+2*'，，若方程〃x）=a有四个不同的解再,马，鼻,与

|log2x|,x>0

且为<马<%<%，则§（玉+三）+一一的取值范围是（）

毛,九4

A.（―1,1]B.[—1,1]C.[—1,1）D.（―1,1）

|log3x|,0<x<3

39.（2024高一上•四川南充•期末）已知函数“力=1210°」若方程〃力=根有四个不同的实

---x+8,x>3

[—3X3

（x-3）（x-3）

根94，43工4，满足玉<々<%<%4，则3——一的取值范围是（

石工2

A.（0,3）B.（0,4]C.（3,4]D.（1,3）

苍,1

40.（2024高三•全国•专题练习）已知函数/（%）=<若互不相等的实数也，％2,X3满足了（%）

—x+1,x>1

[2

=/（X2）=/（«）,则[;J+QJ的取值范围是（）

95

A.）B.（1,4）C.（0,4）D.（4,6）

42

41.（2024・辽宁大连•一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法.对于非线性可导函数/（无）在七附

近一点的函数值可用/（力。/（七）+/'（%）（尤-尤。）代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可

快速求得合适精度的方程近似解.利用这个方法，解方程尤3一3》+1=0,选取初始值％=；,在下面四个选

项中最佳近似解为（）

A.0.333B.0.335C.0.345D.0.347

「cos（2%x-2万a）.x<a

42.（2024•天津）设aeR,函数〃尤）=2八24，若了（尤）在区间（。,+8）内恰有6个零

[x—2（6Z+l）x+（2+5.x>a

点，则〃的取值范围是（）

5H

A.

5'了

43.（2024•全国）函数/（x）=2sinx-sin2x在[0,2句的零点个数为

A.2B.3C.4D.5

44.（2024•湖南）已知函数/（x）=/+e，-J（x<0）与g（x）=/+ln（x+a）图象上存在关于J轴对称的点，则a

的取值范围是

45.（2024,安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是

A.y=cosxB.y=sinxC.y=lnxD.y=x2+\

46.(2024•湖南)函数〃x)=21nx的图象与函数g(x)=d-4x+5的图象的交点个数为

A.3B.2C.1D.0

47.(2024•福建)若函数“X)的零点与g(x)=4'+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则/'⑺可以

是

A./(x)=4x-lB./(x)=(x-l)2

C./(x)=e*-lD./(x)=lnfx-1"|

48.(2024高三上•河南许昌•开学考试)已知二次函数y=+(6-a)x+c-b的两个零点为玉,马，若a>b>c,

a+b+c—0,则卜]-%|的取值范围是()

A.(1,2)B.(2,2A/3)C.(1,2^3)D.(|，26)

49.(河北省唐山市第十一中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题)函数巾)=2工+3尤的零点所在的一

个区间是

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

50.(2024高三上•江西・开学考试)函数f(x)=2*+log2X的零点所在区间是()

A.[。。B.&,1)C.(1,2)D.(2,3)

51.(2024•浙江)已知为是函数/(x)=2"+的一个零点，若不€。,尤0),%€(尤0+8),则()

A./(%1)<0,/(x2)<0B./(%1)<0,/(x2)>0

C.，(菁)>0,/(x2)<0D.〃占)>0,/(%2)>0

\a,a-b<l.

52.(2024高二下•河南,期末)对实数。和b,定义运算"⑥"：,，设函数/'⑺=，一2)区。-1),

[b,a-b>l

xeR,若函数y=f(x)-c的图象与无轴恰有两个公共点，则实数。的取值范围是()

A.(-1,1]U[2，HB.(-2,-l]U(l,2]

C.(',一2)U(1,2]D.[-2,-1]

53.(2024高三下•上海宝山•阶段练习)已知函数y=〃x)是定义域在R上的奇函数，且当尤>0时,

/(x)=(x-2)(x-3)+0.02,则关于y=〃x)在R上零点的说法正确的是()

A.有4个零点，其中只有一个零点在（-3,-2）内

B.有4个零点，其中只有一个零点在（-3,-2）内，两个在（2,3）内

C.有5个零点，都不在（0,2）内

D.有5个零点，其中只有一个零点在（0,2）内，一个在（3,+co）

54.（2024•湖南•模拟预测）有甲、乙两个物体同时从A地沿着一条固定路线运动，甲物体的运动路程邑（千

米）与时间f（时）的关系为S］（/）=2'-1,乙物体运动的路程力（千米）与时间f（时）的关系为S2«）=3t,

当甲、乙再次相遇时，所用的时间时）属于区间（）

A.（2,3）B.（3,4）C.（4,5）D.（5,6）

55.（2024高一・上海・假期作业）关于x的方程+左=o,给出下列四个命题：

①存在实数3使得方程恰有2个不同的实根；

②存在实数3使得方程恰有4个不同的实根；

③存在实数3使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数底使得方程恰有8个不同的实根.

其中假命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

56.（2024高一上・浙江金华•阶段练习）是定义在区间上的奇函数，其图象如图所示：令

g{x}=af{x）+b,则下列关于函数g（x）的叙述正确的是（）

A.若"0,则函数g（x）的图象关于原点对称

B.若。=一1,-2<b<0,则方程g（x）=。有大于2的实根

C.若6=2,则方程g（x）=0有两个实根

D.若b<2,则方程g(x)=。有三个实根

57.(2024高一上•广东中山•期中)下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是()

58.(2024高一下•湖北•阶段练习)某同学用二分法求函数/(x)=2*+3x-7的零点时，计算出如下结果：

/(1,5)=0.33,/(1.25)=-0.87,/(1.375)=-0.26,f(1.4375)=0.02,f(1.4065)=-0.13,/(1.422)=-0.05,下列

说法正确的有()

A.1.4065是满足精度为0.01的近似值.

B.1.375是满足精度为0.1的近似值

C.1.4375是满足精度为0.01的近似值

D.1.25是满足精度为0.1的近似值

59.(2024高一下•江苏南京•期中)用二分法研究函数/(x)=x3+2x-l的零点时，第一次计算，得/'(0)<0,

/(0.5)>0,第二次应计算/(石)，则占等于()

A.1B.-1C.0.25D.0.75

二、多选题

60.(2024高三上•辽宁大连•阶段练习)已知函数〃x)=；一及+1'：°,下列关于函数y=/(〃x))+l的

110g,%,X〉U

零点个数的说法中，正确的是()

A.当11,有1个零点B.当/=-2时，有3个零点

C.当l>r>o,有2个零点D.当7=-4时，有7个零点

—x?+4x—xV4

61.（2024•广东佛山•模拟预测）设函数/（力=27-工+4,4。〈5有4个零点，分别为

2?-x+4,x>5

石,％2,%，%（石<九2<芯4），则下列说法正确的是（）

A.占+巧=4B.Ze［0,4）

C.的取值与，无关D.玉+入2+兀3+1%4的最小值为1。

62.（2024高三上•重庆渝中•阶段练习）已知函数〃尤）=D：>°,若关于无的方程

IX^TJC十1,X&U

/⑺-24（司+片一1=0有左化©N）个不等的实根花、巧、L、x*且占<9<一-<々，则下列判断正确的

是（）

A.当。=0时，k=5B.当上=2时，。的范围为（一8,-1）

C