河北省邯郸市部分学校2025届高三年级上册月考（一）数学试卷（含解析）

2025新高考单科模拟综合卷（一）

数学试题

考生注意：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.

3.请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、

试题卷上答题无效.

4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360,284,290,300,188,240,260,288,

则这组数据的百分位数为75的快递个数为（）

A.290B.295C.300D.330

【答案】B

【解析】

【分析】根据百分位数的知识求得正确答案.

【详解】将数据从小到大排序为：188,240,260,284,288,290,300,360,

8x75%=6,所以75%分位数为"匕出=295.

2

故选：B

2.已知数列｛4｝是无穷项等比数列，公比为4,贝是“数列｛4｝单调递增''的（）

A,充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】根据等比数列的首项、公比的不同情形，分析数列的单调性，结合充分条件、必要条件得解.

【详解】若%<0,4>1,则数列｛5｝单调递减，故］>1不能推出数列单调递增；

若｛an｝单调递增，则q〉0,q>l,或/<0,0<^<1,不能推出4>1,

所以“4>1”是“数列｛a,单调递增”的既不充分也不必要条件，

故选：D.

3.已知圆UY+V—10丁+21=0与双曲线二—二=1（”01〉0）的渐近线相切，则该双曲线的离心

ab

率是

r-5八5L

A.y/2B.—C.—D.y/s

【答案】C

【解析】

【分析】由双曲线方程，求得其一条渐近线的方程法-金=。，再由圆C,求得圆心为C（o,5）,半径厂=2,

c5

利用直线与圆相切，即可求得一=—,得到答案.

a2

22t

【详解】由双曲线二—4=l（a〉0/〉0）,可得其一条渐近线的方程为y=—x,即麻-3=0,

ab'a

又由圆+10>+21=0,可得圆心为C（0,5）,半径r=2，

.5a|5a5ac5

则圆心到直线的距离为4=],=一，则二竺=2,可得e=J=2,

技+（_。）2cca2

故选C.

【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查了推理与运

算能力，属于基础题.

4.己知向量方=（0,—2）,b=（l,t）,若向量6在向量M上的投影向量为—则小石=（）

511

A.—2B.C.2D.—

22

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量投影的概念运算求出"再利用向量数量积运算求得结果.

r广h1

,r.a\a-b\a

【详解】由题否在Z上的投影向量为如cos9x西=、^=（01）,

同口

1r一

又—5〃=（0,1）,.」=1,即=

..tz,/?=Ox1+(—2)x1=—2.

故选：A.

5.冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底

蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特

殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30。，45°,60°,90。，120。，150。等特殊角度.为了判断

“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了△A3。（如图乙），测得

AB=3,BD=4,AC=AD=2,若点C恰好在边上，请帮忙计算sin/ACD的值（）

A

D

「3厉11

.-----n1.J.

1616

【答案】C

【解析】

【分析】先根据三条边求出cosNADB,利用平方关系得到sin/的,即可根据等腰三角形求解.

【详解】由题意，在△A3。中，由余弦定理可得，cosZAD8=A"十助一一”一=4+二一9=口,

2ADBD2x2x416

因为NAD3e（0,兀）,所以sinNADB=-cos?ZADB=Jl-（』『=,

V1616

O/lc

在△ACD中，由AC=AD=2得sinZACD-sinZADB----，

16

故选：C

6.2023年9月8日，杭州第19届亚运会火炬传递启动仪式在西湖涌金公园广场举行.秉持杭州亚运会“绿

色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度.在杭州某路段

传递活动由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成.若第一棒火炬手只能从甲、乙、丙中产生，最后一

棒火炬手只能从甲、乙中产生，则不同的传递方案种数为（）

A.18B.24C.36D.48

【答案】B

【解析】

【分析】分第一棒为丙、第一棒为甲或乙两种情况讨论，分别计算可得.

【详解】当第一棒为丙时，排列方案有=12种；

当第一棒为甲或乙时，排列方案有A；A；=12种;

故不同的传递方案有12+12=24种.

故选：B

7已知8是三角形的一个内角,满足则®皿+,.2叱（）

【答案】B

【解析】

【分析】由己知利用同角三角函数基本关系式sin12，+cos26=1,可求tan9的值,进而利用三角函数恒等

变换的应用化简，即可计算得解.

【详解】因为cos。—sin。=一好，两边平方得1—2sin8cose='

55

4,9

即2sin6cose=g,可得（sinP+cos。）-=—l+，2sin8cose=勺，

4

因为。是三角形的一个内角，且2sin8cose=w，所以sin。>0,cos6>0,

所以sinC+cos。＞。，得sin，+cos6=-----

5

又因为cos，-sin，=一^,sin6+cos0=

55

联立解得：sin，=拽，cos6»=—，故有：tan6»=2,

55

（sine+cose）cos29sinO+cos。cos2^-sin2^tan^+11-tan2^9

从而有-i--------------乙-------..........................------------------------.

sin。sin。cos2^+sin2^tan。1+tan2^10

故选：B.

22

8.已知椭圆C：—+g=l（a〉6〉0）的焦点分别为《，F2,点A在。上，点3在丁轴上，且满足

__,2__k

AFILBF\,福=§可，则C的离心率为（）

1

A.-----D

223T

【答案】D

【解析】

2

【分析】设人（如为）,先根据祈lM，延豆得/=gc，Jo=yf,代入椭圆方程可得

25e4-50e2+9=0.进而解方程可得e=Y5

5

【详解】

如图，C：二+斗=l（a〉6〉0）的图象，则耳（一。,0）,E（c,O），其中02="一。2,

a-b-

设4(%，％),8(0,y),则正=(c—%—%),玛8=(—c,y)

22

丽=(—c—%—%)，丽=(-c,-y)，鸟+普=1,

ab

_.2—>—►3----►3/、/333、

因FB，得

Ag=-^=-(c-x0,-y0)=-c--x0,--y0,

D乙乙\乙乙乙1

335

-c=-c--xo%二丁

(，得,

故＜

3

y=~2y°y=^2y°

由丽_1_瓯得明•明=（一0-5）（一。）+（-阳）（一y）=0,

得c2+So+»o=0即3必=°'得*=B，2

2

由尤才2+v»,得"16+2丁二,C

化简得25e4-50e2+9=0,又椭圆离心率ee(0,1),

所以e2=J，得e=Y5.

55

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知复数z=l—3i,z2=(2-i)\Z3=F9,则()

A.Z1+z2=4+7iB.4/2/3的实部依次成等比数列

的虚部依次成等差数列

C.4TQ\ZI\=2\Z2\D.4/2*3

【答案】ABC

【解析】

【分析】由题意由复数乘除法分别将Z2/3化简，再由复数加法、共轨复数的概念即可判断A;复数的实

部、虚部以及等差数列、等比数列的概念即可判断BD,由复数模的运算即可判断C.

,、28+10i(8+10i)(l-i)

【详解】因为Z2=(2—。一=3—4i,z=-r-=.J；./=9+i,所以Z]+z,=4—7i,所以

\731+1(1+1)(1-1)

z1+Z2=4+7i,故A正确；

因为4,z2,Z3的实部分别为1,3,9,所以4，z2,Z3的实部依次成等比数列，故B正确；

因为z2,Z3的虚部分别为—3,—4，1,所以4，z2,Z3的虚部依次不成等差数列，故D错误；

V10|Z1|=A/10XV1+9=2|Z2|=2X5=10,故C正确.

故选：ABC

10.已知函数〃x）=Asin（（yx+o）|A〉1,。。〉0,<]的部分图象如图所示.贝！|(

A./(%)的图象关于-3,0中心对称

B./(%)在区间彳,2兀上单调递增

171

D,将函数/(幻的图象所有点的横坐标缩小为原来的一，得到函数/z(x)=2sin(4x+—)的图象

26

【答案】ABD

【解析】

【分析】由题意首先求出函数/(九)的表达式，对于A,直接代入检验即可；对于B,由复合函数单调性、

正弦函数单调性判断即可；对于CD,直接由三角函数的平移、伸缩变换法则进行运算即可.

TSir7T1971

【详解】由图象可知A=2,—=-----=—X——，解得7=兀,。=2,

41264w

又了(1=2,所以2sin[g+o]=2,即]+0=曰+2而,左eZ,结合悯<],可知左=0,o=《，

所以函数八％)的表达式为〃x)=2sin[2x+t],

兀2sinf--+—j=0,即/(x)的图象关于(一五,0)中心对称，故A正确；

对于A,由于7

12

5兀一八兀7兀25TI-I「7兀9n

对于B,当兀时，t=2xH—e—---u—,—,由复合函数单调性可知/(x)在区间

626-22

—,2n上单调递增，故B正确;

对于C,函数/(%)的图象向右平移四个单位长度可以得到函数

z、7TI7T兀

g(x)=2sin2x——+—=2sin2x——,故C错误;

_16J6」I6)

1兀

对于D,将函数/(%)的图象所有点的横坐标缩小为原来的一，得到函数/z(x)=2sin(4x+与的图象，故

26

D正确.

故选：ABD.

11.定义在区上的函数/(X)满足/[》+1]-6=6-/1]一《|,beR,=普一x].若

/'(x)=g(£),记函数/(%)的最大值与最小值分别为/(£)皿、/(£).，则下列说法正确的是

()

A.2兀为/(%)的一个周期B.g(x)—g［—x］=O

(jrAjr\

C.若/(©max+fOOmin=2,则/?=1D./(尤)在［§,不J上单调递增

【答案】ABC

【解析】

【分析】结合己知求得2兀为/(%)的一个周期，从而A正确；将等式/、+1卜6=6-/，一［两侧

对应函数分别求导，得/x+］=r，即可判断B正确；利用/(%)中心对称性质求值判断C

正确；根据函数/(尤)的性质判断D错误.

【详解】由/［x+lj—b=6一/1'1'一》］，将x替换成x—:，得/(x)=26—/1考一》

因为/(x)=f

将x替换成三一x,f(x)=2b-f(x-ii),所以/(%+兀)=2b_/(%).

所以f(x+2TI)=2b-f(x+7i)=2b-[2b-/(x)]=f(x),

所以2兀为/(%)的一个周期，A正确；

将等式/1x+g］—b=b——x］两侧对应函数分别求导,

得/［x+§J=/［1一xj，即g(x)=g［可一xj成立，B正确；

满足/［元+1］-人=6一/1_1'一元］,即函数图象关于点［1,。］中心对称，

函数/(%)的最大值和最小值点一定存在关于点",“中心对称的对应关系,

所以/（X）max+/（X）min=/,解得人=1,C正确；

2

（jr5兀\

已知条件中函数/（九）没有单调性，无法判断/（尤）在7■上是否单调递增，D错误.

故选：ABC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若集合A=„—2x—24<0卜3=卜|病<%（疗+2卜A^\B=0,则4的最小值为

【答案】6

【解析】

【分析】先求出集合A={x|-4<xW6},然后由4八3=0,从而求解.

【详解】由必―2%—24<0,解得所以A={x[T<xW6},

因为Ac5=0,m2>0，所以加226，

所以病的最小值为6.

故答案为：6.

37c

13.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为彳，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为

!和彩.若—=2,贝u广=_________.

）乙K乙

【答案】更##3石

55

【解析】

【分析】设母线长为/，甲圆锥底面半径为（，乙圆锥底面圆半径为弓，根据圆锥的侧面积公式可得

「=2々，再结合圆心角之和可将不马分别用/表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的

体积公式即可得解.

【详解】解：设母线长为/,甲圆锥底面半径为可，乙圆锥底面圆半径为々，

则5^=%='=2,所以「=2々，

5乙兀rjr2

「2nr,2兀r,3兀r+r,3II

又一+—=?，则七^=7,所以，马=:，

II2I424

所以甲圆锥的高4==与,

乙圆锥的高％=J7—_1/2=巫

2V164

所以f%8亚

164

故答案为：述.

5

____23

14.已知实数。，匕满足4“+2a=3，皿的"l+b=§，则。+万6=.

【答案】1

【解析】

【分析】由log2师斤+人=：可变形为2够"+i)+iog2(3b+l)=3,故考虑构造函数/(x)=2'+x,判

断函数的单调性，利用单调性化简等式，由此可求。涉.

【详解】因为log2必不+b=3,化简得log2(3匕+1)+(3匕+1)=3.

所以2电仆研+kg2(3〃+1)=3,又4"+2a=22"+2a=3，

构造函数/(x)=2，+x,

因为函数丁=2工，y=兀在(—8,转)上都为增函数，

所以函数7(%)在(TR+8)上为单调递增函数，

由/(1)=3,2a=log2(3/?+1)=1,

解得a=L,b△,

23

31

。7=1.

2

故答案为：1.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(%)_3%2-9%

(1)当4=3时，求/(%)在区间［0,4］上的最值；

(2)若直线/：12x+y—l=0是曲线y=/(x)的一条切线，求。的值.

【答案】⑴/(力*=—27,W

(2)a=3

【解析】

【分析】(1)求导后，根据/'(%)正负可确定“X)在［0,4］上的单调性，由单调性可确定最值点并求得最

值；

(2)设切点为［毛片片-3片-9%］,结合切线斜率可构造方程组求得与和a的值.

【小问1详解】

当a=3时，/(x)=丁—3%2—9x,则/'(x)=3x?—6x—9=3(x—3)(x+1),

.,.当xw［0,3)时，/(x)<0；当xe(3,4］时，/，(x)>0；

\在［0,3)上单调递减，在(3,4］上单调递增，

=〃3)=-27,=max{〃0)"(4)},

又/(。)=。，〃4)=64-48-36=-20,.-./Wmax=0.

小问2详解】

由题意知：/f(x)=av2-6x-9,

设直线/与"％)相切于点

，消去。得：Xg—2尤0+1=0,解得：X0=l，

则a—6-'9=—12,解得：a=3.

16.“村BA”后，贵州“村超”又火出圈!所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕

江(三宝侗寨)和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让

每个人尽情享受着足球带来的快乐.

某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了

男、女同学各50名进行调查，部分数据如表所示：

喜欢足球不喜欢足球合计

男生20

女生15

合计100

2_n(ad-be)?

"(a+))(c+d)(a+c)(Z?+d)

a0.10.050.010.0050.001

6635

Xa2.7063.8417.87910.828

（1）根据所给数据完成上表，依据c=0.005的独立性检验，能否有99.5%的把握认为该中学学生喜欢

足球与性别有关？

（2）社团指导老师从喜欢足球学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计，这两名男生进

球的概率均为2,这名女生进球的概率为工，每人射门一次，假设各人进球相互独立，求3人进球总次数

32

X的分布列和数学期望.

【答案】（1）有99.5%的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关

（2）分布列见解析，E（X）=—

6

【解析】

【分析】（1）根据男女生各50名及表中数据即可填写2x2列联表，然后根据计算

100x（30x35-15义2。）2从而求解

50x50x45x55

（2）根据题意可知X的所有可能取值为0』,2,3,列出分布列，计算出期望从而求解.

【小问1详解】

依题意，2x2列联表如下:

喜欢足球不喜欢足球合计

男生302050

女生153550

合计4555100

零假设“°：该中学学生喜欢足球与性别无关,

9.091>7.879=x0005，根据小概率值a=0.005的独立性检验，推断H。不成立,

所以有99.5%的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关.

【小问2详解】

依题意，X的所有可能取值为04,2,3,

唳=2)心如：旧+]:/J>。。-%]"_2

一5

所以X的分布列为：

X0123

1542

P

181899

154211

数学期石(X)=0X—+1X3+2X—+3X—=—.

V,1818996

17.如图，多面体PS—ABCD由正四棱锥尸―A3CD和正四面体S—P3C组合而成.

(1)证明：PS//平面ABCD；

(2)求AS与平面B4O所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵半

【解析】

【分析】(1)利用正四棱锥与正四面体的性质得到多面体PS-A5CD的棱长全相等，从而利用线面垂直

的判定定理证得P,E,F,S四点共面，再利用线面平行的判定定理即可得解;

(2)依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角，从而得解.

【小问1详解】

分别取AD,BC,PS的中点及厂,G,连接PE,PF,GF,SF,EF,

由题意可知多面体PS-ABCD的棱长全相等，且四边形A3CD为正方形,

所以EFLBC,PFLBC,SFLBC,

因为EFcPF=F,EF,PFj^EF，

所以BC,平面？即，同理3cl.平面PFS.

又平面PEFfl平面尸产S=P尸，所以P,瓦工S四点共面.

又因为EF=AB=PS,PE=PF=SF,所以四边形PEFS为平行四边形,

所以PS//ER,又所u平面ABCRPSa平面A3CD,

所以PS//平面ABCD.

【小问2详解】

以E为原点，以五瓦E&FG所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设钻=1,

3_£叵

所以丽=一不0,7-，EA=0,不0,AS——

I22JI2JI，-，

22-TJ

f+冬=。

EP•元=0

设平面R4D的一个法向量为元=（%,y,z）,贝卜_.即《

EA-n=0

—=0

[2，

令z=l，则x=0,y=O,所以为=（后,0,1）.

设AS与平面B4O所成角为，，

\n-AS\V2

sin。=在

则|n|-|A5|

即AS与平面PAD所成角的正弦值为正

3

18.已知抛物线炉=4%。为抛物线外一点，过点。作抛物线的两条切线，切点分别为AB（A3在y

轴两侧），QA与Q3分别交x轴于M,N.

（1）若点。在直线y=-2上，证明直线A3过定点，并求出该定点；

（2）若点。在曲线炉=—2y-2上，求四边形AMNB的面积的范围.

【答案】（1）证明见解析，定点（0,2）

（2）[3,+<»）

【解析】

【分析】（1）设出直线A6的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合A3处的切线方程

求得直线A3所过定点.

（2）先求得四边形AMNB的面积的表达式，然后利用导数求得面积的取值范围.

【小问1详解】

设4（%,乂）,5（孙必），。（飞，％），直线。：丁=履+二，

x?-4y

联立《，可得/一4立一4加=（）,△=16左2+16加.

y=kx+m

・.・在y轴两侧，x1x2<0,/.m>0,/.A>0,

%+%=4k,X]/=-4/n,

由V=4y得y=；x2,y'=；x,

所以A点处的切线方程为y—y=；Xi（x_xJ,y_：x：=:西@_玉）,

整理得y=:—

同理可求得3点处的切线方程为丁=寸-q,

=五土三=2左

.242

由＜，可得《

_xxX；x,x

2%=亍9=-m

4

又在直线y=-2上，，一加=一2,.•.m=2.

4左2=2m—2,m>1.

圳,N半。卜S,_1

由（1）可知Mm

△MNQ-22

S=1（2^+2m）|

eABX]-X21=|左2+根]%],

.c_c_c=:（4左2+3〃z）.民一马|=；（4左2+3m）-J（X］+々）~一

..u四边形AMNB-0△QABuAMNQ

=:（4左2+3根）•J（4左J—4（-4旬=：（2根一2+3/n）-y/8m—8+16m

=g⑸〃-2）-yj6m-2=gyj（5m-2）2{6m—2）,

令/（无）=（5龙—2）2（6龙—2）（尤21）,/'（无）=2（5龙—2）（45%—16）＞0,;./（无）在［1,+8）单调递增,

.••/（X）＞36,.-.S^BN3,.•.四边形AMNB的面积的范围为［3,+s）.

【点睛】

方法点睛：求解抛物线的切线方程，有两种方法，一种是利用判别式法，即设出切线的方程并与抛物线方

程联立，化简后利用判别式为0列方程来求得切线方程；另一种是利用导数的方法，利用导数求得切线的

斜率，进而求得切线方程.

19.已知有穷数列A：&4，…，4523)中的每一项都是不大于〃的正整数.对于满足1＜根＜〃的整数

m,令集合=m，左=1,2,…，”}.记集合AO)中元素的个数为s(〃z)(约定空集的元素个

数为0).

(1)若4:6,3,2,5,3,7,5,5,求A(5)及s(5)；

111

(2)若丁;+丁瓦+…+7%=〃，求证：6互不相同；

s(q)s@)s(a,)

(3)已知％=a,