湖南省娄底市联考2025届高三年级上册11月月考数学试卷（解析版）

2025届•普通高中名校联考信息卷（月考一）（高考研究卷）

数学试卷

（考试范围：集合与逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、向量与复数、数列与立

体几何）

考生注意：

1.本试卷共150分，考试时间120分钟.

2.请将答案填在答题卡上.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.若复数z满足（3一41”=|4+3"，则在复平面内z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】由复数除法、模的求法化简求复数z,进而判断对应点所在象限.

【详解】由z=用^=亮=丫,对应点为（：（）在第一象限•

3-413-41（3-旬（3+旬555

故选：A

2.设集合A={x|logo.5（xT）>。}，5=付2工<4},则（）

A.A=BB.AB=0C.AB=BD.AB=B

【答案】D

【解析】

【分析】计算出集合A、3后，结合集合的运算即可得.

【详解】logo5（x-l）>0,即logo.5（xT）>logo.51，则0<%-1<1，解得1<X<2,

所以A={%[1<x<2},5={X2工<2?}={Wx<2},

所以ARB,从而B=B.

故选：D.

3.已知向量方与6是非零向量，且满足a-匕在6上的投影向量为-2。，同=2忖，则4与6的夹角为

A.120°B.150°C.60°D.90°

【答案】A

【解析】

【分析】根据投影向量、向量数量积等知识求得正确答案.

【详解】设。与6的夹角为。（o°wewi8o°）,

(a-b\-bba-b-b*2

o-b在6上的投影向量为---□----J7T=一不----b

\b\\b\\b\

\a\-\b[cos0-\b[_

所以

2|z?|-|z?|-cos^-|/?|

2cos0—\=-2,cos0=—,

H2

所以。钝角，且6=120。.

故选：A

4.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了

有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法

是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度=器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图

（注意：单位cm）,则平地降雪厚度的近似值为（）

C.史cmD.巴cm

1212

【答案】C

【解析】

【分析】根据梯形中位线定理，结合圆台体积公式进行求解即可.

20+40

【详解】如图所示，可求得器皿中雪表面的半径为-------=15cm,

4

所以平地降雪厚度的近似值为3=20%（102+152+10x15

95

=—cm

兀X2()212

故选：c

5.定义：满足3：，=q（q为常数，”cN*）的数列｛%｝称为二阶等比数列，4为二阶公比.已知二

an+lan

阶等比数列I%｝的二阶公比为0,卬=1,4=3,则使得4>2024成立的最小正整数〃为（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】

【分析】根据数列新定义可得'=（正）“;利用累乘法求得4的表达式，解数列不等式，即可求得答案.

4-1

【详解】由题意知二阶等比数列I%｝的二阶公比为J5,q=l,则f=、历，

a&%

故工n，&=0,

‘。“-

2ax

将以上各式累乘得:

心一1)(n-i)n-

故q=2丁，令2―〉2024，由于=1024,2"=2048,

n-l)n

故10，即(〃一1)〃>40,

/

又的值随n的增大而增大，且（7-1）x7=42,（8-l）x8=56,

(n-l)n21_

当〃=7时，2^=2耳=2隈夜<21°义2=2024,

当〃=8时，2^^=2口〉2024，

故〃的最小值为8,

故选：B

6.已知函数/(x)=(e*—e•X3,若用满足〃log2加)+/(10go,5间<2,则实数冽的取值范

围是（

A.［5,2］B.(2,+co)C［。'万］D，［。万］(2,+oo)

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，由奇偶性的定义可得/(%)是定义在R上的偶函数，然后求导得了'(%),即可判断外力

在(0,+。)上的单调性，再将不等式化简求解，即可得到结果.

【详解】因为函数/(x)=(e*-er}/定义域为R关于原点对称，

所以“X)是定义在R上的偶函数，

又/'(x)=(e"+b)•V+3d,._e-，),

当x>0时，ex>l,0<e-'<l,则八力>0,所以/(%)在(0,+功单调递增,

又logo5m=—log2m,则/(log05m)=/(-log2m)=/(log2m),

且〃l)=e」

则不等式/(log?根)+/(logosm)<2可化为

e

2/(log2m)<2/(l),即/(log?m)<f(1),

且y(x)是定义在R上的偶函数，/(%)在(0,+“)单调递增，

则|log2/n|<1,即T<log2m<\,即log?g<log2m<log22,

所以g(机<2,即实数冽的取值范围是1g,2；

故选：A

7.在VABC中，角A昆C所对的边分别为。也%2〃sinA—Z?sin5=3csinC,若S表示VABC的面积,

则我的最大值为()

A出V10「2百V5

A.-------DR.--------C.---------Dn.

4632

【答案】D

【解析】

【分析】由条件利用正弦定理得”,4c的关系，由余弦定理可得cosA,结合三角形面积公式求得（记下的

表达式，根据二次函数的性质可求得最大值，进而得解.

【详解】因为2asinA-Z?sin5=3csinC,

13

由正弦定理得2a2-〃=3c?,所以/=一〃+',

22

由余弦定理得cosA="+°2一/='二《，

2bc4bc

所以/S2_（a"csinA）2_c2sin2A_c2Q_cos2A）_1。418c?

（常=-P—=F^=一行一=R（-齐+丁-0

令二二/，则（）2=—（_»+18/—1）4;，当且仅当r=9,即c=3b时取等号，

b2b~644

所以？〈亚，

b22

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题考查的知识并不算困难，但计算量较大，解决的关键是熟练掌握数学的计算，做

到不出错即可得解.

8.已知函数〃力=435[。》—2}0〉0），/（“在区间°，f上的最小值恰为一0，则所有满足条件的

。的积属于区间（）

A.（1,4]B,[4,7]C.（7,13）D,[13,+oo）

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数能否取到最小值进行分类讨论即可.

1/yyq-r~yyq~r~

【详解】当0,--时公”不£—,因为此时/（X）的最小值为一切〈。，

D1N_LNJ_LN

所以二0一£>工，即0>1.

31224

若出-才万，此时/（%）能取到最小值-4,即一07=O=4,

代入可得fx4-二〉乃，满足要求；

312

若/（%）取不到最小值4则需满足枭一展〈万，即

。(0)=4cos[m0一5]在①上单调递减，所以存在唯一口符合题意；

所以。=4或者所以所有满足条件的。的积属于区间(7,13),

故选：C

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.

9.下列结论正确的是()

A.若a<Z?<0,则/>ab>/

,1

B.若xeR,则必+2+=一的最小值为2

X2+2

C.若a+b=2,则/+尸的最大值为2

D.若xe(0,2),则L+

x2-x

【答案】AD

【解析】

【分析】利用作差法比较大小判断A,利用基本(均值)不等式判断BCD,要注意“一正二定三相等”.

【详解】因为所以a?>ab>

因为=b(a-b)>0,所以a。〉/?,所以/故A正确;

11

因为炉9+2+-->2的等号成立条件X92+2=——不成立，所以B错误;

x+2X2+2

2

〃2+/72a+b

因为------->I=1,所以片+/»2,故C错误;

22

11(-、)门一1+2-xx>1(2+2)=2,

因为—(■15z"+2-"|----------1----------

Xxx2-x

当且仅当工=^—,即x=l时，等号成立，所以D正确.

x2-x

故选：AD

10.已知定义域在R上的函数/(%)满足：/(x+1)是奇函数，且/(—l+x)=/(—1—x),当

f（x）=x2-l,则下列结论正确的是（

A./（%）的周期T=4

C.”％）在［—5,臼上单调递增D.〃x+2）是偶函数

【答案】BC

【解析】

【分析】根据函数的性质结合周期性的定义即可求解A,利用性质作出函数的图象，即可结合图象逐一求解.

【详解】由于/（X+1）是奇函数，所以〃x+l）=—/（—x+1）,则/（力=一/（2-力

又/(—l+x)=/(—1—力，则〃2r)=/(i-4),所以

/(x)=-/(x-4)=-[-/(x-8)]=/(x-8),所以/(九)的周期为8,A错误,,

根据函数的性质结合1』，f（x）=x2-l,作出函数图象为:

由图象可知：/（九）在［—5,T］上单调递增，C正确，

由于/（尤）的图象不关于光=2对称，所以/（x+2）不是偶函数，D错误

故选：BC

11.在四棱锥P—ABCD中，底面ABC。是矩形，AD=叵,A3=AP=?D=1，平面八平面A8CD,

点M在线段PC上运动（不含端点），则（）

A.存在点M使得

B.四棱锥P-ABCD外接球的表面积为3兀

TT

C.直线PC与直线所成角为一

3

D.当动点M到直线8。的距离最小时，过点A,D,M作截面交于点N,则四棱锥尸—ADMN的体积

【答案】BCD

【解析】

【分析】取A。的中点G,证明8D/平面PGC,然后由线面垂直的性质定理判断A,把四棱锥P-ABCD

补形成一个如图2的正方体，根据正方体的性质判断BC,由/平面PGC,当动点M到直线8。的距离

最小时胸，尸C,从而得M为PC的中点，N为QA的中点，再由体积公式计算后判断D.

【详解】如图1,取的中点G,连接GC,PG,BD,GC=则PGLAD,

因为平面上4DJ_平面ABCD平面Q4Dc平面ABCD=AD，PGu平面BM),

所以PG,平面ABCD,5Du平面ABCD,则PGJ_3。.

又因为tanNA£>3tan/DGC=4^0=l,所以GCLBZ),

ADGD

又PGGC=G,PG,GCu平面PGC,所以1平面PGC.

因为Me平面尸GC,Ae平面PGC,所以不成立，A错误.

因为△人P£»为等腰直角三角形，将四棱锥的侧面AP。作为底面一部分，补成棱长为1的正方体.如图2,

则四棱锥尸-A5CD的外接球即为正方体的外接球，其半径H=1,即四棱锥夕-MCD外接球的表面积

2

为3兀，B正确.

TT

如图2,直线尸C与直线A。所成角即为直线PC与直线所成角，为一，C正确.

3

如图1,因为3D工平面PGC,当动点M到直线距离最小时加LPC,

管cosZDCG=^=^=f

由上推导知PGLGC,GC=J12+

2

CH=DCcosZDCH=GH=GC-CH^―

36

22

PH=y]PG+GH=小2—（等了]+（分2=当PH=CH,

因此M为PC的中点.如图3,由M为PC的中点，即为。。中点，平面AZW即平面相)Q与3P的交点

33311

也即为QA与的交点，可知N为的中点，故匕>_5必=7匕>必8=7%.4即=7><:=3,D正确.

44468

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：空间几何体的外接球问题，（1）直接寻找球心位置，球心都在过各面外心用与该面垂

直的直线上，（2）对特殊的几何体，常常通过补形（例如把棱锥）补成一个长方体或正方体，它们的外接

球相同，而长方体（或正方体）的对角线即为外接球的直径，由此易得球的半径或球心位置.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知数列｛4｝满足囚=l,24+i+&4+1=0（〃eN*）,则数列｛4｝的通项公式为.

【答案】=亍匕

【解析】

【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项即得.

【详解】数列｛4｝中，q=l,2%+i-4+a“a“+i=0,显然尸0,

1c1,1,C/1八1,C

则有----2—+1,即----+1=2（-+1）,而一+1-2,

4+ia”an+lan%

因此数列｛」-+1｝是以2为首项,2为公比的等比数列,

an

=2'，即"时

所以一+1

an

故答案为：%=5占

13.己知函数f（x）=2s“0x+：卜0〉0）,若/（尤］）=/（%2）=—6，民—九2|的最小值为|_，则

【答案】6

【解析】

【分析】由题意得5,.+二=4兀+2E或上兀+2E,左eZo|x1—％2白二，结合题意可得0,然后代入求

433113

值即可.

【详解】2sin10Xj=—若，sin［ox,.+：］=—#,（7=1,2）,

兀45

所以，cox.+—=—兀+2也或一兀+2E,左£Z,G|玉一司之三,

433

7171g"(x)=2sin271

...①义——=CD=—x+——

2334

所以/=2sin[]|+：]=2sin1.

故答案为：目.

e，x>0、

14.己知函数/'（%）={'2—，若函数/（尤）的图象在点人（王，/（玉））（王<°）和点

—X,x<0

6（9，/（X2））（42〉°）处的两条切线相互平行且分别交y轴于/、N两点，则的取值范围为

e

【答案】-,+«

【解析】

e*2

【分析】由/'（七）=/'（电）可得出为=一（利用弦长公式得\A出M\局=亚，利用导数求出函数

x

g⑺二Je在（0,+8）上的值域，即可为所求.

2x

【详解】当x<0时,/（%）=-x2,f\x）=-2x,则/缶）=-2不

当x>0时,/（x）=eT,r（x）=e*,则

因为函数〃龙）的图象在点4（石,/&））（玉<0）和点可々，/（々））（尤2>。）处的两条切线相互平行,

X2

则/'(%)=/'(%)，即—2%=V，贝叮=—1,

㈤,

|AM|=J1+4X；.\BN\=J1+^-\x2\，

网=，E逋乜1=_%=£1

\BN\7w^-|x2|X]2%，

令g(x)=|^，其中尤＞0,则g，(x)=e[：J),

当0<%<1时，g'(x)<0,此时函数g(x)在(0,1)上单调递减,

当1>1时，g'(x)>0,此时函数g(x)在(1,+8)上单调递增，

所以，g(x)>g(l)=|,因此，的取值范围是"|，+8)

故答案为：—,+co^.

|A

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用切线斜率相等得出招、占所满足的关系式，然后将%

\B

转化为含无2的函数，转化为函数的值域问题求解.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在VA3C中，内角A、B、C的对边分别为。、b、c,已知ZacsinA+l—〃=0.

7T

(1)若4=—,a=2,求VABC的面积；

6

，一、4sin2C+3sin2A+2.,„,,士,,,,,,,,.

(2)求------------------的最小值，并求出此时3的大小.

sin2B

【答案】(1)括

,一、4sin2C+3sin2A+2,,,2n

(2)----------------的最B小值是5,此时n3n=——

sin2B3

【解析】

【分析】(1)结合余弦定理与面积公式即可得；

(2)结合三角恒等变换与三角形内角和，将原式中多变量换成单变量，再结合基本不等式即可得.

【小问1详解】

由题意得sinA+=0,

2ac

因为cosB="+厂—"，

2ac

所以sinA+cos5=0,故cos5=-sinA,

兀1

又A=—，所以cosB=—.

62

因为3、C是VABC的内角，所以3为钝角,

Z7171

所以5=丁，所以。=：,

36

所以VABC是等腰三角形，则〃=。=2,

所以^AABC=~QCsiaB=gx2x2x=^3.

【小问2详解】

由(1)可知，VABC中，cosB=-sinA<0,

jr

即3为钝角，则B=A+—,

2

371

因为A+JB+C=TI,。=兀一A—_B=------2B,

2

.4sin2C+3sin2A+24cos225+3cos25+2

所eCH以---------；--------=-----------；---------

sin25sin25

22

、几4cosIB+3COSB+2

设〃3)=----------硒-------

4(l-2sin2B)2+3(l-sin2B)+2

则F(B)=—

sin2B

16sin4B-19sin2B+9,9

=16sin2B+—；——19，

sin25sin2B

由sin2Be(0,l)，

故/(5)=16sin2B+—-—19>2J16sin2B•—-19=5,

')sin25Vsin2B

当且仅当16sin2B=—即sin5=@，

sin2S2

结合3钝角，即当3=@时等号成立,

3

4sin2c+3sin2A+2的最小值是5,此时3=生

所以

sin2B3

16.如图，在正三棱锥P-ABC中，有一半径为1半球，其底面圆。与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥

的三个侧面都和半球相切.设点。为BC的中点，ZADP=a.

p

(1)用a分别表示线段5C和尸。长度；

(2)当时，求三棱锥的侧面积S的最小值.

【答案】⑴13a=区；\PD\=——1——

11sinasinacosa

27

(2)——

2

【解析】

【分析】(1)连接。尸，由题意。为VABC的中心，则可得一PQD为直角三角形，设半球与面P2C的切

点为E,然后分别在及△(?£>£和刘尸OD中求解即可，

(2)由已知条件可得5=—里----ae(0,g],令costz=/,则上述函数变形为s")=上旺，

sinacosa\?)t-t

?e(O,l),然后利用导数可求得结果

【小问1详解】

连接0P,由题意。为VABC的中心，

且面A8C,又ADu面ABC,所以POLAZ),所以PQD为直角三角形.

设半球与面P3C的切点为E,则国=1且

在及AODE中,12且=|O0|=』XYI|BC|，所以忸。|=名昼.

sina32sin。

在&POD中,|PD|=3L=——I——.

cosasinacosa

【小问2详解】

]

由题知，S=3S^PRC=3x-x\BC\x\PD\=-x^-x——-——，

211112sinasinacosa

化简得S=产—，aefo,^l

sinacosaV2)

令COS2=/,则上述函数变形为s«)=；g,fe(O,l),

所以S(0=3：(3；)；l),令S，«)=O,得t=g.当等;时，

S'«)<0,S«)单调递减，当fe三,1时，

S'⑺>0,s((单调递增,所以当t=¥时,

三棱锥的侧面积S的最小值为S[#]=y.

17.已知函数/(x)=xlnx-ax?+q(aeR).

(1)若函数/(x)在x=l处的切线与直线2x—y+l=0垂直，求实数。的值.

(2)若函数/(%)存在两个极值点，求实数。的取值范围.

【答案】(1)a=|；(2)

【解析】

【分析】(1)首先求函数的导数，利用导数的几何意义求参数。的取值范围；

(2)首先求函数的导数/'(x)=lnx+l-2ax,函数有两个极值点，转化为/'(%)=0有两个零点，设

g(x)=/'(%)=Inx+l-2a%,贝|g，(x)=^-2a,讨论aW0和a>0两种情况下函数的单调性，分析函数

X

的零点，求参数〃的取值范围.

【详解】(1)/(x)=lnx+l-2ax,

f(1)=1-2a,

3

则(l_2a)x2=_l,解得〃

4

(2)/(x)=Inx+1-lax,

由题设可知f\x)=0有两个不同的零点，且/'("在零点的附近/(X)的符号发生变化.

令g(x)=lnx+l-2or,则，(%)二工一2a,

若〃<0,则g'(%)>。，则g(%)为(0,+8)上为增函数，

g(x)在(0,+8)上至多有一个零点.

当。>0时，若0<x<l",贝Ug'(x)>o,故g(x)在［o,：］上为增函数，

2aI2a)

若x〉，-,贝!|g'(x)<0,故g(x)在(；,+(»］上为减函数，

故g(x)max=g(4］=ln4〉0,故0<a<:.

\la)2a2

又工〈,且g(1)=—“<0,故g(x)在上存在一个零点；

e2aee'2a)

下证当/>2时，总有2hu<J

99—r

令/z(。=21n1—1,则//(%)=—1=---,

92—/

当£>2时，h\t)=--l=-^-<0,故/z9)为(2,+”)上的减函数，

故/z")v/z(2)=21n2—2<0,故21n，</成立.

令，=Vx,%>4,则In%<y/x，

故当x>4时，有g(x)<«+1-2〃%，

(1++8〃)

=maxM,-----——则当时，

16a

有&+1-26=—2彳4」+^^］«」一^^<0,

故g(x)<0,故在］1,+8)上，存在实数了,使得g(x)<0,

由零点存在定理及g(x)的单调性可知可得g(x)在上存在一个零点.

综上可知，实数。的取值范围是g］.

【点睛】本题考查导数的几何意义，根据函数的零点个数求参数的取值范围，重点考查逻辑推理能力，分

类讨论的思想，函数与方程思想，属于中档题型.

18.已知数列｛4｝满足等||++果=3—<W(〃eN*),记数列｛4｝的前〃项和为S”.

(1)求s“；

(2)已知/eN*且匕=1,&=2,若数列｛”｝是等比数列，记优｝的前，项和为T“，求使得SX

成立的〃的取值范围.

【答案】(1)S,"

(2)｛1,2,3｝.

【解析】

【分析】(1)由递推关系首先得4=2〃-1结合等差数列求和公式即可求解.

(2)由题意首项得上“=匕苗1,进一步有通过等比数列求和将原问题转换为求3二21(*)不等

式的正整数解集.

【小问1详解】

.幺+&+In+3

+紧3—①

2222"

二幺+群+2H+1

+-^=3-(心2)②

2222"T2“T

②-①得，&2n—1_01

2n，付％=2〃-1•

2n

r\-I

当〃=1时，①式为幺=3——=-,得q=1,也满足上式.

222

数列5｝是等差数列，所以S”=业"

【小问2详解】

%=%=1,W?=%=3,则数列｛%,｝是以1为首项，3为公比的等比数列,

又气=26T，26-1=3-得耳=1

、

得七'1-3"3"+2〃-1

+〃

4

7

令S“2却即"2芝士女二1即^±1训*).

4

当”=1,2,3时，经验证，(*)式满足要求.

令/⑺=4/:+1,则

，/八，/、4(〃+l)2—2(〃+1)+14/r-2/1+14〃(3-2〃)

+1)-〃")=--------』------------------—二、一，

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所以当八之4时，/(n)</(4)=—<1,

即当n之4时，(*)式不成立.

.•■使得Sn>Tn成立的n的取值范围是｛1,2,3).

19.牛顿法(Newton'smethod)是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，

设厂是/。)=0的根，选取X.作为厂的初始近似值，过点(%,〃%))作曲线y=/(x)的切线LL的方程

为y=/(Xo)+/'(Xo)。—/).如果则乙与无轴的交点的横坐标记为毛，称/为『的一阶近似

值.再过点(西,/&))作曲线y=/(x)的切线，并求出切线与x轴的交点横坐标记为马，称乙为厂的二阶

近似值.重复以上过程，得r的近似值序列：