广东省深圳市某中学2024-2025学年高三年级上册第一次考试数学试题

深圳市红山中学2024-2025学年第一学期高三第一次考试

数学试题

本试卷共8页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、学号、考场号和座位号填写在答题卡上.

2.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按

以上要求作答无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

A=[x\x>—B=（xGNix2<3）4cA

1.已知集合LJ,11J,则A"=（）

A卜卜夜<xW3}B.{-1,0,1}C.{0,1,2}D,{0,1}

【答案】D

【解析】

【分析】解集合8中的不等式，得到集合8,再求

[详解]B=^xeN|x2<3^={0,1},又A=[x卜〉-应},

则4。8={0,1}.

故选：D

2.已知复数2=x+何（入，yeR）,则复平面内点Z满足|z—（2+3i）|=2的图形的面积是（）

A.2B.4C.InD.4万

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数的几何意义，在复平面中求出复数z的所有点构成的轨迹方程，再计算面积即可

【详解】因为z=x+yi（x,ywR）,

所以z_（2+3i）=（x+yi）_（2+3i）=（x_2）+（y_3）i

因为|z—（2+3i）|=2,

所以|z—（2+3i）|=J（x-2）2+（y_3）2=2,即（x—2『+（y—3『=4,

所以复平面内点2满足上一（2+34=2的图形是以（2,3）为圆心，以2为半径的圆,

所以它面积为兀X22=4TI，

故选：D.

3.在等差数列｛。“｝中，。5一。2=6,若直线/过点"（加,a,"）,A”,WeN*）,则直线/

的斜率为（）

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，求出等差数列公差，再利用公差的几何意义求解即得.

【详解】在等差数列｛册｝中，%-。2=6,则公差d=与二今=2,

所以直线/的斜率为4'—""=d=2.

m—n

故选：C.

4.函数/（x）=lnx-工的零点所在的区间是（）

X

A.（1,2）B,（2,e）C.（e,3）D,（3,4）

【答案】A

【解析】

【分析】根据零点存在定理，结合对数函数和反比例函数的单调性，可得答案.

11l214

［详解］/（l）=lnl-l=-l<0,/（2）=ln2――=ln2――lne=ln2-lnVe=ln-^==-ln->0,

22Ve2e

由/⑴"（2）<0,根据零点定理,则/（%）在（1,2）上存在零点；

当x>0时，函数y=lnx与函数丁=一工单调递增，则/（九）单调递增，

X

所以函数“力仅在（1,2）中存在一个零点.

故选：A.

5.设/为直线，a为平面，贝”_La的必要不充分条件是（）

A.直线/与平面a内的无数条直线垂直B,直线/与平面a内任意直线都垂直

C.直线/与平面a内两条不平行直线垂直D.直线/与平面。都垂直于同一平面

【答案】A

【解析】

【分析】根据线面垂直的判定定理及线面垂直结合充分条件必要条件定义判断即可.

【详解】对于A：直线/与平面a内的无数条直线垂直可以是无数条平行直线不能推出

若则a内任意一条直线都与/垂直，可得直线/与平面a内的无数条直线垂直，

直线/与平面a内的无数条直线垂直是/_La的必要不充分条件，A选项正确；

对于B：直线/与平面a内任意直线都垂直，/垂直e内两条相交直线，可得出/La,

若则a内任意一条直线都与/垂直，

所以直线/与平面a内任意直线都垂直是的充要条件，B选项错误；

对于C：直线/与平面a内两条不平行直线垂直即直线/与平面a内两条相交直线垂直，贝

若/La,则a内任意一条直线都与/垂直，直线/与平面a内两条相交直线垂直，

直线/与平面a内两条不平行直线垂直是的充要条件，C选项错误；

对于D：直线/与平面a都垂直于同一平面夕，///戊或/ua,不能得出

若则直线/与平面a不能都垂直于同一平面，

直线/与平面«都垂直于同一平面是I±a的既不充分也不必要条件，D选项错误；

故选：A.

6.设事件A,B满足止5,且P(A)=Q3,尸⑶=0.6,则P„)=()

1134

A.—B.-C.—D.一

4277

【答案】C

【解析】

【分析】根据条件概率的公式结合已知条件分析判断.

【详解】因为P(A)=0.3,所以P(Z)=0.7.

因为AR5,尸(5)=0.6,P(AB)=P(A)=0.3.

P(B)=P(AB)+P(A5)=0.6，则P(AB)=0.3.

所以。(碓)=瑞0.33

0.77

故选：C.

7.已知向量工=(1,—1),b=(l,2),则方在方方向上的投影向量为()

非2月P2⑥

9一，一

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量方在向量B上的投影向量的定义求解.

【详解】因平面向量a=（L—l），B=（l,2）,则7B=lxl+（—1）x2=—1,

所以向量少在B方向上投影向量的坐标为：

故选：D.

8.克罗狄斯・托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家.托勒密定理是欧几里得

几何中的重要定理，定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积的和不小于两对角线的乘积，当且仅

当四点共圆时，等号成立.已知在凸四边形ABCD中，AB=2,BC=6,AD=2CD,

=&，则的最大值为（）

3

A.5B.3A/2C.2^/6D.277

【答案】D

【解析】

【分析】记CD=m,利用余弦定理表示出AC,然后根据题中结论可得.

【详解】设CE>=m,则AD=2〃z,

在AACD中，由余弦定理得AC=^m2+4m2-2x2mxmcosg=后m,

由题知，AC-BD<AB-CD+AD-BC）即⑺«2机+12根=14nz，

1l-

所以加《ST?夕，当且仅当ABC。四点共圆时取等号,

所以BD的最大值为2a.

故选：D

D

A

B匕---------------------

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在正方体中，下列说法正确的是（）

A.正方体的8个顶点可以确定28条不同的线段

B.以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有12个

C.以正方体的顶点为顶点的三棱锥有64个

D.以正方体的顶点为顶点的四棱锥有48个

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用几何组合计数问题，结合正方体及直三棱柱、三棱锥、四棱锥的构造特征，列式计算即得.

【详解】对于A,每两点确定一条线段，则正方体的8个顶点可确定不同的线段有C；=28条，A正确；

对于B,直三棱柱的两个底面三角形平行并且全等，因此直三棱柱两底面在正方体相对面上，

以正方形的顶点为顶点的三角形有4个，从而正方体的一组相对面对应的直三棱柱有4个，

因此以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有3x4=12个，B正确；

对于C,正方体顶点任取4个点，共有C：=70种选法，

其中四点共面的共有6个面和6个对角面共12种，因此三棱锥共有70-12=58个，C错误；

对于D,由选项C,知正方体四点共面的情况有12种，每一种情况，余下每个点对应1个四棱锥，

因此四棱锥共有12x4=48,D正确.

故选：ABD.

10.某中学为更好地开展素质教育，现对外出研学课程是否和性别有关做了一项调查，其中被调查的男生

3

和女生人数相同，且男生中选修外出研学课程的人数占男生总人数的y,女生中选修外出研学课程的人数

占女生总人数的如果依据&=0.05的独立性检验认为选修外出研学课程与性别有关，但依据

2

。=0.01的独立性检验认为选修外出研学课程与性别无关，则调查人数中男生可能有（）

附：

2

P(K>k0)0.050.01

左03.8416.635

n(ad-be)?

K-=其中〃=a+/?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

A.150人B.225人

C.300人D.375人

【答案】BC

【解析】

【分析】设男生人数为5"("eN*),根据题意用〃表示出女生人数、男生中“选修外出研学课程”人数、女

生中“选修外出研学课程”人数，进而表示出表格中其它人数，利用公式计算出犬2，由

3.841WK2<6.635得到〃的范围，进而得到男生人数的范围，选出符合题意的选项.

【详解】设男生人数为5”("eN*),根据题意可得2x2列联表如下:

男女

合计

生生

5nlln

选修外出研学课程3〃

~2~T

不选修外出研学课5n9n

2n

程~2~2

合计5n5n10/2

lln9n「「99

-----------5n-5n

22

依据依据a=0.05的独立性检验认为选修外出研学课程与性别有关，但依据a=0.01的独立性检验认为

选修外出研学课程与性别无关，

贝U3.841W3<6.635,

99

解得38.0259<n<65.6865，贝。190.1295<5n<328.4325.

故选：BC.

11.己知产为直线/：3x+4y—9=0上动点，分别与圆E：(x—4y+(y—3)2=4相切于

两点，则弦MN的长度可能是()

B.C.272D.2百

【答案】AD

【解析】

【分析】根据题意得到当归国最小时，肱V最小，即可得至UlMNImin，再根据点P在直线3x+4y—9=0

无限远取值时，4ffiN趋近于180°，l"N|趋近于直径，即可得到答案.

E:(x-4)2+(y-3)2=4,圆心E(4,3),r=2,

要使|肱V|的长度最小，则NMEN最小，即NMEP最小，

因为==所以当最小时，|MN|最小,

又因为1PM所以当|P目最小时，|MN|最小，

13x4+4x3-9115八巾宜r2

因为1即皿=6+42=二=3,故3//砂=网="

所以1PM=T=行,

所以COSNMEN=2COS2/MEP_1=2><(—2]-1=--，

所以\MNf=|ME|2+1-2\ME\\NE\cosAMEN=22+22-2x2x2x

所以|MN|=勺5

IImmQ

当点P在直线/：3x+4y—9=0无限远取值时，NMEN趋近于180°，l"N|趋近于直径4,

所以半W|MN|<4.

故选：AD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知角。的终边过点P（—12,5）,则cos26=.

11Q

【答案】旃

【解析】

【分析】借助三角函数定义与二倍角的余弦公式计算即可得.

55

【详解】由题意可得sin°=

A/(-12)2+5213,

I2_119

则cos20=1-2sin23=l-2xI

119

故答案

169

（3-a\x-l,x<l

13.已知函数/（%）=\7是R上的增函数，则实数a的可以是___________.（写出一个满足

x,x>l

题意的。即可）

【答案】2（答案不唯一，只要在区间［1,3））

【解析】

【分析】根据分段函数的单调性，根据每段函数的单调性，以及分界点处的函数值的大小，即可列不等式求

实数。的范围.

3—a〉0

【详解】由条件得<。〉0,解得：lWa<3.

故答案为：2（答案不唯一，只要在区间［1,3））

14.南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的二阶等差

数列与一般等差数列不同，二阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列.现有二阶

等差数列{%},其前5项分别为1,3,6,10,15,设数列‘人的前〃项和为5“，则$2024=

4048

【答案］——

2025

【解析】

【分析】结合题意可得数列4+i-％是以1为公差，2为首项的等差数列，即可得其通项公式，再借助裂项

相消法求和即可得解.

［详解］由题意可得(生-g)—(%=(6—3^—(3—1)=1,

故数列4+1-4是以1为公差，2为首项的等差数歹U,

即4+1—/=〃+1,则有。“一。"_1=〃，一°“_2="一1，L,«2-flj=2,

则an=(4-«„-1)+。“-2)+…+(%-4)+4

n(n+l)

a-n+n-l+n—2-\----1-2+1=

n2

故1丁而2旬=2匕-Q1

LL..J=2(I」+」+...+」-一-匚］=竺竺

q%anI22320242025J2025'

4048

故答案为:

2025

四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.VABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知〃cosA-acos5=c-a,a=2,sinC=—.

7

(1)求角5的大小;

(2)求VABC的面积.

TT

【答案】(1)-

3

(2)

13

【解析】

【分析】(1)运用正弦定理，加上三角恒等变换解题即可;

(2)运用正余弦定理和面积公式可解.

【小问1详解】

bcosA—acosB=c—Q,由正弦定理，sinBcosA—sinAcosB=sinC—sinA,

sinBcosA-sinAcosB=sin（A+B）-sinA=sinAcosB+sinBcosA-sinA,整理得

2sinAcosB=sinA,Ae（0,兀）osinAH0=2CQSB=10cosB=g,Be（0,兀）=8=兀

3

【小问2详解】

cosB=-,则sin5=3

22

段=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,^Z?2=4+c2-2c（*）

L2

由正弦定理，知道，6sinA=asin3=43，csinA=asinC=—,两式比，

7

得到2=述，即/,nWlc，与（*）联立，得到耳Z,2=4+02—2c,

cl24

1434

即——C2+2C-4=0,解得c=—,

413

则VABC的面积为』acsinB=Lx2xe*必=毡.

2213213

16.如图，将长方形。44a（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，其中。4=1,。。=2,劣弧AB

的长为a,4月为圆。的直径，平面与平面4。田的交线为/.

（1）证明：1//OA-,

（2）若平面A05与平面4旦5夹角的正切值为生8,求四棱锥3-044。］的体积.

3

【答案】（1）证明见解析

⑵B

3

【解析】

【分析】(1)法一：由线面平行的判定定理得到Q4//平面A|。酒后，再利用线面平行的性质定理得证；

法二：由面面平行的性质定理结合平行线的传递性得证；

(2)法一：建立适当空间直角坐标系，而后计算出平面与平面的法向量后，结合空间向量夹

角公式表示出其夹角的余弦值后，可计算出点3到平面。羽日距离，再结合体积公式计算即可得；法

二：作出相应辅助线，计算可得/日石。即为平面与平面夹角，即可计算出点3到平面

0A距离，再结合体积公式计算即可得.

【小问1详解】

法一：

•.•OA//O］A，平面A］。内,平面A018,

.•.。4//平面4］。［8,

又•.•QAu平面AO8,平面AOB。平面4。13=/,

1//OA.

法二：

•圆面。//圆面a,平面Aa3n圆面a=AG,

平面圆面o=/,，aA/〃，

又///OA；

【小问2详解】

法一：

以。为原点，on,。。分别为％z轴，垂直于y,z轴直线为x轴建立空间直角坐标系，

如图所示，则4(。，L2)，q(0,0,2),

:.ZAOB=a.5(sina,cos/。),

O1Al=(0,1,0),QB=(sin%cos%—2),

设平面AB。的法向量为为二（x,y,z）,

加。14=0Iy=0

由＜—.，即Bn〈

%sino—2z=0'

n-0i}B=0

令x=2,则2=$]11。，为二（2,0,sin。），

平面A05的法向量为沅=（0,0,1），

设平面A05与平面\O,B夹角为。,

/、2

n-ihsin2a

贝(Jcos20-cos2n,m=

MH和4+sin2a

sin2a

sin201-cos202

则tan20=4+sina_£

cos20cos20zisi•n2asi•n2a

4+sin2a

416业（负值舍去）,

即nn「工一二:~，sina=

sina32

即B到平面OAA.O.距离为旦,

2

则V|S四边形。丸=g.2.¥=g

法二:

如图，过5作BD//AO,即平面A05与平面4。内的交线为BD,

作于E,连接&E,

又OOXnOE=O,OOl,OEu平面OQE,

..3£>_L平面。iOE,•.QE，5。，

REO是平面AOB与平面40内夹角,

•.•AB的长为1(0<£<兀)，

:.ZAOB=a,:.OE=sina,

tanZO.EO=型=,

OEsina

mi,2_4^/3._y/3

sina32

即B到平面OAAlOl距离为昱,

2

V

B-OAAiOi~3D四边形OAAQ〃—3/O—3•

17.己知函数/(x)=e1其中e是自然对数的底数.

(1)若/0)=8(力+人(力，其中g(x)为偶函数，&(%)为奇函数,求函数g(x)的解析式以及最小

值；

(2)若y=/(x)的图像与直线/:丁=依+1相切，求实数人的值.

【答案】(1)g(x)=J；e*,最小值1

(2)1

【解析】

【分析】(1)通过函数奇偶性，构造方程组即可解析式，再通过基本不等式即可求最小值;

(2)设切点坐标(不，1°),由导数的几何意义得到<"二：：

］求解即可.

|e0(1-

【小问1详解】

函数/(x)=e，的定义域为R.

由/(X)=g(x)+“(x)及g(x)为偶函数，人(力为奇函数,

得/(r)=g(_力+MT=g(力_/?⑴，

/(X)(X)

两式相加，解得：g(%)=Y~=

因为函数〃x)=e、的定义域为R,

所以^>0，er>0，

所以g(x)二百?'z拈.「=1,

当且仅当/=已%即x=0时等号成立.

故当x=0时，函数g(x)的最小值为1.

【小问2详解】

由条件得了'(X)=e”,设两图像切点为(见，0),

xx

则/:y—e*=e^(x-x0),即y=e°x+e°(l-x0),

k=er°

所以

e%。-%)=1

令m(x)=ev(1-x),则mf(x)=ex(l-x-l)=—xex,

当尤>0时，m(x)<0,7〃(x)递减,

当尤<0时,m(x)>0,当x)递增,

当x=0时，zn(0)=m(x)max=1,

又所以叫；=0,

所以左=e*=1.

18.2024年，“网红”城市哈尔滨吸引了大量游客前来旅游，著名景点有冰雪大世界和亚布力滑雪场.当地

为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来哈尔滨的游客进行了问卷调查，据统计，其中1的人计划只参

4

3

观冰雪大世界，另外一的人计划既参观冰雪大世界又游玩亚布力滑雪场.每位游客若只参观冰雪大世界，

则发1个纪念币；若既参观冰雪大世界又游玩亚布力滑雪场，则发2个纪念币.假设每位首次来哈尔滨的

游客计划是否游玩冰雪大世界和亚布力滑雪场互不影响，视频率为概率.

(1)从游客中随机抽取4人，记这4人合计的纪念币的个数为X,求X的分布列和数学期望；

(2)从游客中随机抽取〃人(/cN*)，记这〃人合计纪念币的个数恰为〃+1的概率为匕，求

Pl+P2+---+Pn.

【答案】(1)分布列见解析，7

【解析】

【分析】(1)由题意确定X的可能取值，求出每个对应的概率，即可得分布列，由期望公式，即可求得数学

期望；

(2)结合题意可知只有1人既参观冰雪大世界又游玩亚布力滑雪场，于是可得到

P=C；,W，利用错位相减法求和，即可求得答案；

""⑷44"

【小问1详解】

方法一：

13

由题意知，每位游客计划不游玩亚布力滑雪场的概率为:，游玩亚布力滑雪场的概率为一，则X的可能

44

取值为4,5,6,7,8.

P(X=4)=

327

P(X=6)=C：

128

3

P(X=8)=।嘿

所以X的分布列为:

X45678

13272781

P

2566412864256

i32727X1

所以E(X)=4x——+5x—+6x——+7x—+8x——=7.

2566412864256

方法二：

4

记随机抽取的4名游客的纪念币个数分别为X”则有X=ZX,，

1=11

又注意到X,.是一个取值为1,2的两点分布,

所以Xj-1是0-1分布,

4,则y服从二项分布514,土)，且*=丫+4,

记¥=1^,

Z=1

所以y的分布列为p(y=左)，左=0,1,2,3,4,数学期望为3,

则有X的分布列为P(X=s)=P(y=s—4)=C；4(；］,s=4,5,6,7,8,

数学期望为E(X)=E(y+4)=7.

【小问2详解】

因为这〃人的合计纪念币的个数为〃+1,则其中只有1人计划游玩亚布力滑雪场，

所以…［「Id

3693n

设*=6+8+…+月=—rH—z-H—TH------1-------，

4142434

13693(M-1)3n

贝nr」l4o'=不+不+不+…布，

由两式相减得:

3n4+3〃

----1--------

4〃+i4〃+i

3693n

所以5“=4+2+・一+与=3+不+/+—-+不=

314,1+1

19.已知两点A（—1,O）、3（1,0）,动点M满足直线MA与直线MB的斜率之积为3.,动点M的轨迹为曲线

C.

（1）求曲线C的方程；

（2）过点/（2,0）作直线/交曲线C于P、。两点，且两点均在y轴的右侧，直线AP、8。的斜率分别为

左1、k2.

①证明：7r为定值；

左2

9

②若点。关于X轴的对称点成点“，探究：是否存在直线/,使得△班H的面积为一，若存在，求出直线