《高考数学压轴题通法训练•高分必刷系列》专题24抛物线（解答题压轴题）含答案及解析

专题24抛物线（解答题压轴题）目录TOC\o"1-1"\h\u①抛物线焦点弦（弦长）问题 1②抛物线中点弦问题 3③抛物线中参数范围与最值问题 5④抛物线中定点、定值、定直线问题 7⑤抛物线综合问题 9①抛物线焦点弦（弦长）问题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与交于两点，与轴交点为P.(1)若，求的方程；(2)若，求.2．（2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习）已知抛物线的准线方程是.(1)求抛物线的方程；(2)设直线与抛物线相交于，两点，若，求实数k的值.3．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线E：的焦点为F，抛物线E上一点H的纵坐标为5，O为坐标原点，．(1)求抛物线E的方程；(2)抛物线上有一条长为6的动弦长为6的动弦AB，当AB的中点到抛物线的准线距离最短时，求弦AB所在直线方程．4．（2023·全国·高二随堂练习）设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，求及的面积.5．（2023春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）已知抛物线是它的焦点.(1)过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，求线段的长；(2)为抛物线上的动点，点，求的最小值.6．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，且经过．(1)求的方程；(2)若直线过的焦点，且与交于，两点，，求的方程．②抛物线中点弦问题1．（2023秋·陕西商洛·高二校考期末）直线：与抛物线：交于，两点，且(1)求抛物线的方程；(2)若直线与交于，两点，且弦的中点的纵坐标为，求的斜率．2．（2023·全国·高二专题练习）已知直线与抛物线相交于、两点.(1)若直线过点，且倾斜角为，求的值；(2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程.3．（2023秋·高二课时练习）已知直线l与抛物线交于A，B两点，且线段AB恰好被点平分.(1)求直线l的方程；(2)抛物线上是否存在点C和D，使得C，D关于直线l对称?若存在，求出直线CD的方程；若不存在，请说明理由.4．（2023·四川成都·三模）已知斜率为的直线l与抛物线相交于P，Q两点．(1)求线段PQ中点纵坐标的值；(2)已知点，直线TP，TQ分别与抛物线相交于M，N两点（异于P，Q）．则在y轴上是否存在一定点S，使得直线MN恒过该点？若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2023·全国·高二专题练习）已知斜率为的直线与抛物线相交于两点．(1)求线段中点纵坐标的值；(2)已知点，直线分别与抛物线相交于两点（异于）．求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．6．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线的焦点，是抛物线C上一点，，且．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段的中点坐标为，求直线l的方程．③抛物线中参数范围与最值问题1．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知动圆过点，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线；过点的直线与曲线交于，两点，曲线在，两点处的切线交于点.(1)证明：；(2)设，当时，求的面积的最小值.2．（2023·全国·高一随堂练习）已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，求的最小值.3．（2023秋·浙江杭州·高二浙江大学附属中学校考期末）已知抛物线的顶点在原点，焦点在直线上．(1)求抛物线的标准方程；(2)过点的直线m与焦点在x轴上的抛物线交于A，B两点，若原点O在以线段AB为直径的圆外，求实数a的取值范围．4．（2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习）已知抛物线：（）上的一点到准线的距离为1．(1)求抛物线的方程；(2)若正方形的三个顶点、、在抛物线上，求这种正方形面积的最小值．5．（2023秋·广东佛山·高三校联考阶段练习）已知抛物线，为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5．(1)求E的标准方程；(2)设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线与斜率乘积为．（i）证明：直线过定点；（ii）求的最小值．6．（2023·湖南长沙·长沙一中校考一模）抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上.已知以为圆心，为半径的圆交于两点，若的面积为.(1)求的值；(2)过点的直线交抛物线于点（异于点），交轴于点，过点作直线的垂线交拋物线于点，若点的横坐标为正实数，直线和抛物线相切于点，求正实数的取值范围.④抛物线中定点、定值、定直线问题1．（2023秋·江西上饶·高二江西省广丰中学校考阶段练习）已知抛物线T的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过，，，四点中的两点.(1)求抛物线T的方程：(2)已知圆，过点作圆的两条切线，分别交抛物线T于，和，四个点，试判断是否是定值?若是定值，求出定值，若不是定值，请说明理由.2．（2023秋·江西上饶·高二江西省广丰中学校考阶段练习）已知椭圆：的离心率为，的左右焦点分别为，，是椭圆上任意一点，满足.抛物线：的焦点与椭圆的右焦点重合，点是抛物线的准线上任意一点，直线，分别与抛物线相切于点.(1)若直线与椭圆相交于，两点，且的中点为，求直线的方程；(2)设直线，的斜率分别为，，证明：为定值.

3．（2023秋·全国·高二期中）已知抛物线经过点，直线与交于，两点（异于坐标原点）．(1)若，证明：直线过定点．(2)已知，直线在直线的右侧，，与之间的距离，交于，两点，试问是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

4．（2023春·福建福州·高二校联考期末）如图，正六边形ABCDEF的边长为4．已知双曲线的焦点分别为A，D，两条渐近线分别为直线BE，CF．

(1)建立适当的平面直角坐标系，求的方程；(2)过点A的直线l与交于P，Q两点，，若点M满足，证明：点M在一条定直线上．5．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线，过点的两条直线、分别交于、两点和、两点．当的斜率为时，．(1)求的标准方程；(2)设为直线与的交点，证明：点在定直线上．⑤抛物线综合问题1．（2023·四川宜宾·宜宾市叙州区第一中学校校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点，过线段AB的中点M且与x轴平行的直线依次交直线OA，OB，l于点P，Q，N.(1)判断线段PM与NQ长度的大小关系，并证明你的结论；(2)若线段NP上的任意一点均在以点Q为圆心、线段QO长为半径的圆内或圆上，求直线AB斜率的取值范围.2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1的圆心为点M（1）求点M到抛物线C1的准线的距离；（2）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．3．（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）已知抛物线：的焦点为，圆以点为圆心，半径为1.若过点且倾斜角为的直线与抛物线及圆自上而下依次交于，，，四点，则.(1)求抛物线的方程；(2)设为坐标原点，点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于，两点，直线分别交轴正半轴、轴正半轴于，两点，求面积的最小值.4．（2023秋·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知抛物线为抛物线上四点，点在轴左侧，满足.(1)求抛物线的准线方程和焦点坐标；(2)设线段的中点为.证明：直线与轴垂直；(3)设圆，若点为圆上动点，设的面积为，求的最大值.5．（2023秋·福建漳州·高三校考阶段练习）如图，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，点的轨迹为.

(1)求曲线的方程；(2)一条直线经过点，且交曲线于、两点，点为直线上的动点.①求证：不可能是钝角；②是否存在这样的点，使得是正三角形？若存在，求点的坐标；否则，说明理由.

专题24抛物线（解答题压轴题）目录TOC\o"1-1"\h\u①抛物线焦点弦（弦长）问题 1②抛物线中点弦问题 7③抛物线中参数范围与最值问题 12④抛物线中定点、定值、定直线问题 20⑤抛物线综合问题 28①抛物线焦点弦（弦长）问题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与交于两点，与轴交点为P.(1)若，求的方程；(2)若，求.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意，直线的方程设为，联立直线与抛物线方程，可得，，可得，设,，,，，，因为，所以，可得，可得，所以直线的方程为：．即．（2）直线的方程设为，

令，可得，所以，所以,，,，因为，所以：,,，所以，，，，，化简可得，，，可得，，，．2．（2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习）已知抛物线的准线方程是.(1)求抛物线的方程；(2)设直线与抛物线相交于，两点，若，求实数k的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为抛物线的准线方程为，所以，解得，所以抛物线的方程为.（2）如图，

设，.将代入，消去整理得.当时，，.，化简得：，解得，经检验，此时，故.3．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线E：的焦点为F，抛物线E上一点H的纵坐标为5，O为坐标原点，．(1)求抛物线E的方程；(2)抛物线上有一条长为6的动弦长为6的动弦AB，当AB的中点到抛物线的准线距离最短时，求弦AB所在直线方程．【答案】(1)(2)或【详解】（1）∵H纵坐标为5，不妨设在第一象限内，∴，过H做轴于M，∵，∴，∴，解得．∴所以抛物线E的方程为．

（2）根据题意直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，设，，AB中点，由，，，，，∴，则∴，∵AB的中点到准线的距离等于，∴当最小时，AB的中点到准线的距离最短．∵，当且仅当时，解得，则．所以直线AB的方程为或.4．（2023·全国·高二随堂练习）设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，求及的面积.【答案】12，【详解】由题意知抛物线的焦点坐标为，故过F且倾斜角为的直线方程为，

联立，得，，设，则，故；直线AB的方程为，即，则原点O到的距离为，故的面积为.5．（2023春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）已知抛物线是它的焦点.(1)过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，求线段的长；(2)为抛物线上的动点，点，求的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意知，直线的方程为：，设，联立，整理可得：，，弦长.（2）设点在准线上的射影为，根据抛物线的定义可知.所以，要使最小，只需要最小即可.由在抛物线内，故当三点共线时，此时最小，故最小值为.6．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，且经过．(1)求的方程；(2)若直线过的焦点，且与交于，两点，，求的方程．【答案】(1)(2).【详解】（1）设的方程为，因为经过，所以，即，所以的方程为.（2）由（1）知抛物线的焦点为，准线方程为.①当直线的斜率不存在时，的方程为，此时（舍）.②当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，，将代入得，所以.所以，解得.所以直线的方程为②抛物线中点弦问题1．（2023秋·陕西商洛·高二校考期末）直线：与抛物线：交于，两点，且(1)求抛物线的方程；(2)若直线与交于，两点，且弦的中点的纵坐标为，求的斜率．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为M的焦点为，且直线l：经过点，所以经过的焦点．联立，得．设，，则，则，解得．所以M的方程为．（2）设，，则，两式相减，得．因为，所以l＇的斜率为.

2．（2023·全国·高二专题练习）已知直线与抛物线相交于、两点.(1)若直线过点，且倾斜角为，求的值；(2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程.【答案】(1)(2)【详解】（1）因直线的倾斜角为，所以直线的斜率，又因直线过点，所以直线的方程为：，即，联立得，设，，所以，，所以（2）因、在抛物线上，所以，，两式相减得：，得，故直线的斜率为4，所以直线的方程为：，即3．（2023秋·高二课时练习）已知直线l与抛物线交于A，B两点，且线段AB恰好被点平分.(1)求直线l的方程；(2)抛物线上是否存在点C和D，使得C，D关于直线l对称?若存在，求出直线CD的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析.【详解】（1）依题意，直线l的斜率存在，且不为0，设直线l的方程为，即，由消去x得：，，设，则有，由，得，于是直线l的方程，即，所以直线l的方程为.

（2）假设抛物线上存在点C，D满足条件，由（1）设直线的方程为，由消去x得：，有，解得，设，则，于是线段的中点坐标为，显然点在直线上，即，解得，所以抛物线上不存在点C，D，使得C，D关于直线l对称.4．（2023·四川成都·三模）已知斜率为的直线l与抛物线相交于P，Q两点．(1)求线段PQ中点纵坐标的值；(2)已知点，直线TP，TQ分别与抛物线相交于M，N两点（异于P，Q）．则在y轴上是否存在一定点S，使得直线MN恒过该点？若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，的坐标为【详解】（1）设，，其中．由，得．化简得．

，即．线段PQ中点纵坐标的值为．（2）设y轴上存在定点，由题意，直线MN斜率存在且不为0，设直线，，，，．由，消去x，得．，．，．

，T，M三点共线，．解得．同理，可得．

又，

．解得．

直线MN恒过定点．5．（2023·全国·高二专题练习）已知斜率为的直线与抛物线相交于两点．(1)求线段中点纵坐标的值；(2)已知点，直线分别与抛物线相交于两点（异于）．求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．【答案】(1)(2)证明见解析，定点的坐标为【详解】（1）设，其中，由，得，化简得，，即，线段中点纵坐标的值为；（2）证明：设，，直线的方程为，化简可得，在直线上，解得，同理，可得，，，又直线的方程为，即，直线恒过定点．6．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线的焦点，是抛物线C上一点，，且．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段的中点坐标为，求直线l的方程．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为是抛物线C上一点，，且，所以根据对称性，不妨设点M在第一象限，解得，故抛物线C的方程为．（2）设，，则两式相减得，即．因为线段AB的中点坐标为，所以，则，故直线l的方程为．③抛物线中参数范围与最值问题1．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知动圆过点，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线；过点的直线与曲线交于，两点，曲线在，两点处的切线交于点.(1)证明：；(2)设，当时，求的面积的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）

由题意得，圆心到点的距离和直线的距离相等，由抛物线的定义知，曲线的轨迹为抛物线，由焦点和准线方程，可得方程为，设的方程为，代入，得，设，，则①，②切线方程为：③，切线方程为：④，由③､④得，所以，③-④，得，即，所以.当时，显然有，当时，，所以，所以.（2）由题意得：，得，结合①､②得，，从而，因为，，所以.设，，当时，，所以在区间上为减函数，所以，当时，取得最小值，从而可得.2．（2023·全国·高一随堂练习）已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，求的最小值.【答案】16【详解】由题意知抛物线的焦点为，焦准距，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则，的斜率都存在且不为0，故设，则直线，设，联立，则，，则，同理，故，同理可得,故，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为16.3．（2023秋·浙江杭州·高二浙江大学附属中学校考期末）已知抛物线的顶点在原点，焦点在直线上．(1)求抛物线的标准方程；(2)过点的直线m与焦点在x轴上的抛物线交于A，B两点，若原点O在以线段AB为直径的圆外，求实数a的取值范围．【答案】(1)或(2)或【详解】（1）当时，，此时焦点为，即此时抛物线焦点在轴，开口向下，顶点在原点，则抛物线方程为；当时，，此时焦点为，即此时抛物线焦点在轴，开口向右，顶点在原点，则抛物线方程为；（2）设过点直线m的方程为，设直线m与抛物线的交点分别为联立方程消去得，即，；AB的中点为；；则以线段AB为直径的圆的方程为若原点O在以线段AB为直径的圆外，则化简得，即或.4．（2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习）已知抛物线：（）上的一点到准线的距离为1．(1)求抛物线的方程；(2)若正方形的三个顶点、、在抛物线上，求这种正方形面积的最小值．【答案】(1)(2)2【详解】（1）抛物线的准线方程为，由抛物线上点到准线的距离为1，结合抛物线的定义得，∴，抛物线的方程为.（2）方法一：如图设三个顶点有两个在轴的右侧（包括轴），设在抛物线上的三个点，，点的坐标分别为，，，，的斜率为（）．则有

，，即，．所以，，①又，所以即,代入①，得,即,∵，，，∴，化简得，正方形的面积为，∵，∴，当且仅当时等号成立，所以，即，∴.方法二：的斜率为（），点的坐标为，则由，得，∴，，又，∴，即，∴，即，∴，正方形的面积，令，，则，设，，则，，∵，∴，∴单调递增，.5．（2023秋·广东佛山·高三校联考阶段练习）已知抛物线，为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5．(1)求E的标准方程；(2)设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线与斜率乘积为．（i）证明：直线过定点；（ii）求的最小值．【答案】(1)(2)证明见解析；【详解】（1）由题可知，解得.所以的标准方程为；（2）（i）由（1）知，，且，解得，所以.设，则，同理可得，，则，即.当直线斜率存在时，直线的方程为，整理得.所以，即，所以直线过定点；当直线的斜率不存在时，可得.综上，直线过定点.（ii）设，当直线斜率存在时，设直线的方程为，与抛物线联立得，消去得，由题意，所以.所以，所以当时，的最小值为；当直线斜率不存在时，.由抛物线定义知.故的最小值为.

6．（2023·湖南长沙·长沙一中校考一模）抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上.已知以为圆心，为半径的圆交于两点，若的面积为.(1)求的值；(2)过点的直线交抛物线于点（异于点），交轴于点，过点作直线的垂线交拋物线于点，若点的横坐标为正实数，直线和抛物线相切于点，求正实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）设准线l与y轴交于S,因为,由对称性可知:FS=PS=QS=p,设A到准线l的距离为d,则d=FA=FQ=，，解得：.（2）由（1）设，从而因为,所以又，所以，又，得①，，所以直线m的方程为，令，得②，由直线DM与抛物线C相切于点D,则切线方程为由切线过点M,令，得③，由①②③得，即，又存在满足上式,则，又，则，又，得.综上,正实数t的取值范围为④抛物线中定点、定值、定直线问题1．（2023秋·江西上饶·高二江西省广丰中学校考阶段练习）已知抛物线T的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过，，，四点中的两点.(1)求抛物线T的方程：(2)已知圆，过点作圆的两条切线，分别交抛物线T于，和，四个点，试判断是否是定值?若是定值，求出定值，若不是定值，请说明理由.【答案】(1)(2)是定值16．【详解】（1）抛物线T的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过，，，四点中的两点，由对称性，点和点不可能同时在抛物线T上，点和点也不可能同时在抛物线T上，则抛物线只可能开口向上或开口向右，设，若过点，则，得，∴，抛物线过点，∴符合题意；设，若过点，则，得，∴，但抛物线不过点，不合题意．综上，抛物线T的方程为．（2），设直线，即，由AB与圆相切得，∴，

设，同理可得，∴是方程的两根，．联立，消y得，∴，同理，∴所以为定值16．2．（2023秋·江西上饶·高二江西省广丰中学校考阶段练习）已知椭圆：的离心率为，的左右焦点分别为，，是椭圆上任意一点，满足.抛物线：的焦点与椭圆的右焦点重合，点是抛物线的准线上任意一点，直线，分别与抛物线相切于点.(1)若直线与椭圆相交于，两点，且的中点为，求直线的方程；(2)设直线，的斜率分别为，，证明：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由，得，则.又椭圆：的离心率为，设椭圆的焦半径为，则，解得，则，所以椭圆：.由直线与椭圆相交于，两点，设，，∴，，两式作差得：，即：，由的中点为，可得：，，代入上式得，当时，，，两点重合，不合题意；当时，直线的斜率，∴直线的方程为：，即.

（2）由（1）知，则抛物线的焦点为，所以，抛物线的标准方程为，准线方程为，由于点是抛物线的准线上任意一点，故可设，由直线，分别与抛物线相切于点可知，直线，的斜率存在且都不为，设过点的直线方程为，联立消去,得关于的方程，若过点的直线与抛物线相切，则其判别式，化简得到关于的二次方程，由题意知，直线，的斜率即该关于的二次方程的两根，即为、，则由韦达定理知，，故为定值，且定值为.

3．（2023秋·全国·高二期中）已知抛物线经过点，直线与交于，两点（异于坐标原点）．(1)若，证明：直线过定点．(2)已知，直线在直线的右侧，，与之间的距离，交于，两点，试问是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，【详解】（1）证明：将点代入，得，即．联立得，

由，设，，则，．因为，所以恒成立，则，所以的方程为，故直线过定点．（2）联立得，则且，即，，设，同理可得．

因为直线在的右侧，所以，则，即．所以，即，解得，因为，所以满足条件的存在，.4．（2023春·福建福州·高二校联考期末）如图，正六边形ABCDEF的边长为4．已知双曲线的焦点分别为A，D，两条渐近线分别为直线BE，CF．

(1)建立适当的平面直角坐标系，求的方程；(2)过点A的直线l与交于P，Q两点，，若点M满足，证明：点M在一条定直线上．【答案】(1)(2)见解析【详解】（1）如图，连接交于点，以点为坐标原点，方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，

则，，即，，，，直线方程：，，则，，则，解得，，双曲线.（2）由题意，直线的斜率存在，则其方程可设为，联立可得，消去可得：，，，化简得，设，则，，，，，，，设，，，，，则，，，，，，，解得，由，，则在同一直线上，即，故在直线上.5．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线，过点的两条直线、分别交于、两点和、两点．当的斜率为时，．(1)求的标准方程；(2)设为直线与的交点，证明：点在定直线上．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）解：当直线的斜率为时，直线的方程为，设点、，联立可得，，因为，可得，由韦达定理可得，，，整理可得，解得或（舍去），因此，抛物线的方程为.（2）证明：当直线与轴重合时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，所以，直线不与轴重合，同理可知直线也不与轴重合，设直线的方程为，联立可得，则可得，设点、，由韦达定理可得，设直线的方程为，设点、，同理可得，直线的方程为，即，化简可得，同理可知，直线的方程为，因为点在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，

交点必在垂直于轴的直线上，所以只需证明点的横坐标为定值即可，由，消去，因为直线与相交，则，解得，所以，点的横坐标为，因此，直线与的交点必在定直线上.⑤抛物线综合问题1．（2023·四川宜宾·宜宾市叙州区第一中学校校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点，过线段AB的中点M且与x轴平行的直线依次交直线OA，OB，l于点P，Q，N.(1)判断线段PM与NQ长度的大小关系，并证明你的结论；(2)若线段NP上的任意一点均在以点Q为圆心、线段QO长为半径的圆内或圆上，求直线AB斜率的取值范围.【答案】(1)，证明见解析(2)【详解】（1）设，，，则，，由于，，三点共线，则，整理得，，则，同理可得则，，则，即证.（2）若线段NP上的任意一点均在以点Q为圆心、线段QO长为半径的圆内或圆上即，则，化简得，又因为，则，，则直线斜率的取值范围为：.2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1的圆心为点M（1）求点M到抛物线C1的准线的距离；（2）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．【答案】（1）（2）【详解】（1）由于抛物线C1：x2=y准线方程为：y=﹣，圆C2：x2+（y﹣4）2=1的圆心M（0，4），利用点到直线的距离公式可以得到距离d==．（2）设点P（x0，x02），A（x1，x12），B（x2，x22）；由题意得：x0≠0，x2≠±1，x1≠x2，设过点P的圆c2的切线方程为：y﹣x02=k（x﹣x0）即y=kx﹣kx0+x02①则，即（x02﹣1）k2+2x0（4﹣x02）k+（x02﹣4）2﹣1=0设PA，PB的斜率为k1，k2（k1≠k2），则k1，k2应该为上述方程的两