广东省深圳市某校2025届高三年级上册10月检测数学试题试题及答案

人大附中深圳学校2025届高三10月检测

数学试卷

注意事项：

本卷共19道题目，考试用时120分钟，满分150分，请在答题卡上作答，选择题用2B铅笔

填涂，要求把选项填黑填满，主观题用0.5毫米黑色签字笔答题，主观题要答写在对应题框

内，不在框内答题无效.

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是

符合要求的

A=[x\^<4,xeZ）

1.已知集合I兀则A的元素数量是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】

【分析】根据指数函数的单调性得|x|W2,即可求解.

【详解】由于2?=4,故lx|W2,又xeZ,故4={-2,-1,0,1,2},有5个元素,

故选：D.

2.已知z=—l+",则J?—]=（）

211

A.1B.73C.2DT

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的乘法、减法运算和复数的模计算得到结果.

【详解】由题得z2—1=（士亚冬里1—1=土叵,

242

答选：B.

3.小明在某一天中有七个课间休息时段，为准备“小歌手”比赛他想要选出至少一个课间休息时段来练习唱

歌，但他希望任意两个练习的时间段之间都有至少两个课间不唱歌让他休息，则小明一共有（）种练

习的方案.

A.31B.18C.21D.33

【答案】B

【解析】

【分析】根据练习唱歌的课间个数进行分类讨论，利用列举法来求得正确答案.

【详解】七个课间编号为L2,3,4,5,6,7,

如果仅有一个课间练习，则每个课间都可以，有7种方案，

若有两个课间练习,选法有{1,4},{1,5},{1,6},{1,7},{2,5},{2,6},{2,7},{3,6},{3,7},{457},

共10种方案，

三个课间练习，选法为{1,4,7},共1种，

故总数为7+10+1=18种.

故选：B

4.已知均为正实数.则“工>!”是“4+5必>6仍”的（）

ab

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，结合不等式的性质，利用充分条件、必要条件的定义判断即得.

【详解】由均正实数，得工>!=4</?,则/+5/-6ab=（a—b）（a—5加〉0,即

ab

4+5b2>6ab;

当a2+5b2>6ab时，即（a—b）（a—5加>。，而均为正实数，则有a<Z?或。>5），即,〉工或

ab

111

一<—<一,

a5bb

所以“工〉L'是"片+582>6ab”的充分不必要条件.

ab

故选：A

G

5.深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型：L=L〃，其中，£表示每一轮优化时

使用的学习率，4表示初始学习率，。表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G。表示衰减速度.已知，

某个指数衰减学习率模型的初始学习率为0.5,衰减速度为18.经过18轮迭代学习时，学习率衰减为

0.4,则学习率衰减到0.2以下所需要的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：1g2=0.3010）

A.71B.72C.73D.74

【答案】D

【解析】

44£

【分析】根据已知条件列方程，可得。=1，再由O.5X（M8<O.2,结合指对数关系和对数函数的性质求

解即可.

G「

【详解】由于L=3。。'所以L=0.5x£>〃

Io4

依题意0.4=0.5x正,则。=丁

由乙=0.5x（：）又<0.2,得至!]（：）亚<],

所以G5%|一管姆=瞿尚59

所以所需的训练迭代轮数至少为74次,

故选：D.

6.如图所示，直线y=履+m与曲线y=/（x）相切于（石,/（芯））,（无2，/（尤2））两点，其中药<々.若当

xe（O,xJ时，f'（x）>k,则函数〃力一日在（0,+8）上的极大值点个数为（）

B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】根据/（力斜率为左的切线条数，结合图象直接判断即可.

【详解】

根据图象，可分别作出“力斜率为左的另外三条切线：丁=履+2(，=1,2,3),切点分别为毛,%冬,

如图所示：当4«0,%)。(%3，%2)。(%4，%5)时，/'(%)>左；当xe(%,演)3々，％)5工5，+8)时，

/'(X)(女；

设g(x)=/(%)——则g'(x)=/'(%)—左,

，g(x)在(0,%),(再,/),(%,3)上单调递增,在(七,可),(%2，%4)，(%5，+8)上单调递减，

，g(%)=/(%)-丘有X=%，X=工2和X=X5三个极大值点.

故选：D.

22

7.若尸(c,0)是双曲线二—3=1(。〉6〉0)的右焦点，过产作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交

ab

-1r\2

于A,3两点，。为坐标原点，Q46的面积为三、，则该双曲线的离心率e=()

7

5458

A.-B.-C.-D.一

4335

【答案】A

【解析】

b

【分析】先求出渐近线方程，根据题设条件作出图象，设NA。尸=6,可得出tan9=—£(0,1),从而求

a

出tan26=/巴庐，再求出尸到渐近线的距离|/弘|,从而得出|人。=。，结合△043的面积为了力,

可得到?丁=^/,从而可得。，6的等量关系，再由离心率公式即可求解.

a2-b27

bb

【详解】根据题意可得双曲线的渐近线方程为丁=—九,y=——x.

aa

hhh

设过点尸(C,0)作渐近线丁=—九的垂线，分别交y=—%,y=——%于点AB,如图所示：

aaa

b

因为〃>b>0,所以。〈一<1,

a

b

设NAO尸=6,则NAO5=2e,tan<9=—G(0,1),

a

lb

2tan。2ab

所以tan2。=a

1-tan2^b2a2-b2'

[a2

因为歹(c,0)到y=：x的距离为|石4|=J''=b，贝1J|AO|=。，

所以SAOB=—IAOI-IABI=—a-tztan2^=:，解得一=:,

AOB2'1112a2-b27a4

la2+b2(~5

所以该双曲线的离心率为e=$=

a

故选：A

8.已知xi21nx+q对Vx>0恒成立，则。的最大值为()

X

1

A.OB.-C.eD.1

e

【答案】D

【解析】

【分析】由题意得e'x—HnxNa对Vx>0恒成立，令"x)=xlnx,利用导数求得了(x)2—工，即

e

xlnx>-1,再令f=xlnx,g«)=e'—(/2—：；利用导数求出g«)的最小值，可求出。的取值范围,

从而可求出。的最大值.

【详解】由QT41nx+@(x>0),得£>xlnx+a，

x

所以—xlnX2a对Vx>0恒成立，

令/(x)=xlnx,则/'(无)=lnx+l在(0,+GO)上单调递增,

由/'(x)=0,得了=’,

e

当0<x<1时，/,(x)<0,当x〉工时，/'(%)>0,

ee

所以/(%)在上递减，在［(，+8

上递增,

所以,，即

ee

令.=xlnx,g«)=e'>-—^,

则g'(/)=e'—1在—5+s］上单调递增，

由g'«)=0,得f=0,

所以当—!<r<0时，g'⑺<0,当，〉o时，g'«)>o,

e

所以g«)在-g,o］上递减，在(0,+8)上递增，

所以g(/)min=g(°)=1，所以aWl，

所以。的最大值为1.

故选：D

【点睛】关键点点睛：此题考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查利用导数求函数的最值，解题的关键

是通过对原不等式变形，将问题转化为/公-xlnxNa对Vx>0恒成立，然后构造函数，利用导数求出最

值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.

二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错或未选的不得分.)

9.设。/为两条不同的直线，。，尸为两个不同的平面，则下列结论不正确的是()

A.若。6〃a,则a〃a

B.若a//b,a//a,b///3,则a〃夕

C.若aLb,aLa,b〃0,则tz_L/7

D.若a_Ltz,b//a,则a_L》

【答案】ABC

【解析】

【分析】A.利用直线与平面的位置关系判断；

B.利用平面与平面的位置关系判断；

C.利用平面与平面的位置关系判断；

D.利用线面垂直的性质定理判断.

【详解】A.若力〃a,则。〃a或aua,故错误;

B.若。〃6,a〃a/〃夕，则a〃夕或a与夕相交，故错误；

C.若aLb,aLa,b〃。,则a与夕平行或相交，故错误；

D.若a_La,A〃a,则故正确；

故选：ABC

10.己知。为坐标原点，点A(cos%sine),B(cos/7,sin/7),C[cos区产,sin,则下列说法

中正确的是()

A.\OA\=\OB\B.|AC|=|BC|

ex,—B

c.OA-OC=cos—D.OAOB=2OAOC

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据给定条件，利用向量模的坐标表示及数量积运算，结合和差角的余弦公式变形判断作答.

【详解】对于A,|OA|=A/COS2cif+sin2a—1=^cos2f3+sin2/3=|OB\，A正确；

八4八七a+B..of+/?a—0

对于B,OA-OC=cosacos----+sinasin----=cos....—，

222

OB•OC-cospcos----+sinBsin----=cos-----,

222

.2.2

|ACF-13C『=9c-OA)2-(OC-OB?=OA-OB'-2OC-OA+2OCOB=0>

因此|AC|=|3CI，B正确；

对于C,由选项B知，C正确；

对于D,OA-OB=cosacos/?+sincrsinf3=cos(cif-2cos2—^--1,

显然2cos2与2―1与2cos0^2不恒等，即。4.06=2040C不恒成立，D错误.

故选：ABC

11.抛物线7：%2=2加(〃>0)焦点为死且过点4(4,4),斜率互为相反数的直线AC,AD分别交7

于另一点C和。，则下列说法正确的有()

A.直线过定点

B.z■在C,。两点处的切线斜率和为-4

C.T上存在无穷多个点到点尸和直线y=5的距离和为6

D.当C,。都在A点左侧时，ACD面积的最大值为256立

9

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A,代入已知点求得抛物线「：/="，不妨设AC:y=k（x—4）+4,（左＞0）,

AD:y=-k（x-4）+4,A（xl,yl\C（x2,y2）,D（x3,y3）,联立抛物线方程结合韦达定理可用％表示出

各个点的坐标，从而表示出直线方程即可判断，对于B,求导并代入了2，W的值（用人表示）即可判

断；对于C,结合抛物线定义只需判断关于%的方程|为+1|+仅0-5|=6的解的个数即可；对于D,求出

三角形...ACD面积表达式，进一步构造函数/■（左）=64左-16左3,0〈左〈夜，利用导数求出最值即可得解.

【详解】对于A,因为抛物线7：犬=20；（77＞0）过点4（4,4）,所以42=2px4,解得夕=2,

所以抛物线T：x2=4y,设点A关于抛物线对称轴即V轴的对称点为点则8（—4,4）,

因为AD,AC斜率互为相反数，不妨设AC:y=左（x—4）+4,（左＞0）,

则AD:y=—左（%—4）+4,

联立AC:y=Mx—4）+4与抛物线W：d二分，化简并整理得九2一4日十品左—16=0，

△=16左2—64左+64=16（左一2）2＞0=＞左#2,

设人（不，%），。（孙％），。（凡，％），

则%1+/=4匕％/2=4%2=16左一16,

所以尤2=4左一4,为=4（左一1）2,同理为=4（—左）一4=—4左一4,%=4（左+1）2,

22

直线的方程为:

X

整理得y=X3+、2X_%3+/x|2_*3+、2x_々X3

,--4-424-4-4

-4k-4+4k-4(4k-4)(-4k-4)

---------------x-------------------=—2x+4/—4,

44

即直线。的方程为：y=-2x+442-4,这条直线的斜率是定值，

随着左的变化，这条可能直线会平行移动，

不妨取左=1,0,此时CD方程依次是y=-2x,y=-2x—4,

显然这两条直线是平行的，它们不会有交点，这就说明直线CD过定点是错误的，故A错误;

y2,Y

对于B,对y=——求导，可得y=二，从而7在C,。两点处切线斜率和为

42

x,+X.-4左一4+4左-4,.

—~~£=--------------=T,故B正确;

22

对于c,设7上存在点POo，y。）到点尸和直线y=5的距离和为6,

由抛物线定义可知，|?同+。=|%+1|+|%—5|=6,其中d为点尸到直线y=5的距离，

注意到当T<%<5时,恒有|%+[+|%-5|=%+1+5-%=6成立，

这意味着「上存在无穷多个点到点/和直线y=5的距离和为6,故C正确；

对于D,设CD与AB交与点G,联立直线CD的方程：y=—2x+442一4与直线A3的方程：y=4,

解得x=2左2—4,y=4,即点G的坐标为（242—4,4）,

设，ACD面积为S,

则s=小2_%MG=g4（左_1）2_4（左+1）2,_（2左2_4）卜]614左一阴，

注意到C,。都在A点左侧时，意味着2人2—4<0,且左>0,从而％的取值范围为（0,四），

从而S=1614条一左3]=64左一16左3,0<女<后,

设/（左）=64左一16左3,0<k<y/2,则f'（k）=-4842+64=-48lV-jI,

所以当0＜女＜苧时，/'（左）＞0,当左〉平时，f'（k）＜0,

故/（外在，，竽]\

上单调递增，在,72上单调递减,

7

12⑺256g

所以ACD面积的最大值为了

I3J9

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：判断CD选项的关键在于利用A选项中的一些结论，并适当利用导数这一有利的工

具，从而即可顺利得解.

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

71

12.已知对任意实数x,均有cos|xsin（ox+°）,＜»eR,写出一组满足条件的（口/）=

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据诱导公式变形即可求解.

【详解】注意到）兀兀=sin/

cos[x—£=sin]X—=sin（s+0）,G£R,

26I3

故可以直接让,

事实上，根据函数周期性可知（①，9）=（-l,g+2E）,keZ.

故答案为：（答案不唯一）.

13.己知函数/（无）=卜n（x+l）]—左有两个零点a,6（a＜6）,则a+2仅+1）的取值范围为.

【答案】（2,+8）

【解析】

【分析】令/（x）=0,得到|ln（x+l）|=左，构造函数M=|ln（x+l）|,%=左，根据条件，数形结合得到

12

b+1=-----，从而有a+2（人+1）=a+1H---------1,通过换兀a+l=，£（。,1）,得到

a+1a+1

29

a+2(b+l)=t+--l(.Q<t<V),再求出y=f+：—l在(0,1)的取值范围，即可求解.

【详解】易知函数的定义域为(—L+8),令/(x)=o,得到卜n(x+l)=左，

令％=|ln(x+l)|,y2=k,图象如图所示，

因为函数/(尤)=帆(％+1)—左有两个零点伏。<力)，由图易知左>0,-l<a<0,b>0,

且-ln(a+l)=ln(Z?+l)=左，得到〃+1=」一，

。+1

2?

所以〃+2(Z?+l)=〃d-----=〃+1H-------1,令〃+1=，£(0,1),

a+1a+1

22

则a+2(b+l)=r+?—1(0</<1),又易知y=f+：—1在区间(0,1)上单调递减，

所以ye(2,y),即。+2(/7+1)的取值范围为(2,+8),

XZ

14.设实数x、>、z、/满足不等式lVx〈y<z</<10。，则二+一的最小值为_____.

yt

【答案】1##0.2

【解析】

XZ1Z

【分析】令'=1,，=100’根据分母最大分子最小时分式的值最小可得1+7'亍+而'结合基本不等

z

式和一21计算即可.

y

Z

【详解】因为iKxKyKzKtWlOO,所以一21,

当且仅当1前即*10°时等号成立，

XZ1

即一+一的最小值为一.

yt5

故答案为：—.

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

15.已知数列｛4｝的前/项和为=rr+3n,neN*.

(1)求｛a.｝的通项公式：

(2)若等比数列也｝满足白=%也=%，求他,｝的前几项和小

【答案】(1)4=2"+2,〃©N*

(2)7；,=18(1)"-18

【解析】

§,〃二1

【分析】(1)借助关系式4,=°°C，即可求解；

(2)根据(1)的结论可求出等比数列｛g｝中的仇力2,进而求出公比，代入等比数列前〃项和公式即可求出

*

【小问1详解】

因为数列｛即｝的前W项和为s“="2+3”,〃€N*,

当”=1时，ai=S]=F+3x1=4；

当〃22时，an=Sn—S“T="+3n—[(〃-1)~+3(〃-1)]=2n+2；

又因为％=4=2义1+2,符合a“=2〃+2,

所以｛厮｝的通项公式为：。“=2”+2,“eN*.

【小问2详解】

设等比数列｛g｝的公比为心

因为等比数列｛“｝满足4=。212=%，即仇=6,d=8,

所以芍所以]=(4^=18百118，

3

H

所以｛b｝的前n项和Tn=18（^）-18.

16.海水受日月引力会产生潮汐.以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低.现测得某港口某

天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分）

时刻：X（时）03.16.29.312.415.518.621.724

水深：y（米）5.07.45.02.65.07.45.02.64.0

（1）根据以上数据，可以用函数丁=45由（。*+。）+匕［。〉0,|。|<5）来近似描述这一天内港口水深与

时间的关系，求出这个函数的解析式；

（2）某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米.安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠

时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时

间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长.

5兀

【答案】（1）y=2.4sin苗x+5,0«x<24

（2）最早可行的进港时间为1时2分，5时10分出港；这条货船一天中最多可以在港口中停靠的总时

长为8小时16分.

【解析】

【分析】（1）由公式A=ma41nm力=max+1nm可求，由表格可得周期丁=口.4—0=12.4,进而求。，

22

代入最高点（3.1,74）可求

（2）由题意可知进港条件为y>6.2,解不等式即可.

【小问1详解】

由表格可知y的最大值为7.4,最小值为2.6,

7.4—2.67.4+2.6

所以A=------------=2A,b=-------------=5,

22

由表格可知7=12.4—0=12.4,

〜…2兀2兀571

所以①二———，

T12.431

亲+。+5,

所以y=2.4sin

■^■X3.1+Q)+5,

将点(3.1,7.4)代入可得：7.4=2.4sin

3JTJT

所以一x3.1+/=—+2E,keZ,

312

解得0=0+2E,左eZ,

因为ld〈T，所以。=0,

5兀

所以y=2.4sinfx+5,0Kx<24.

-31

【小问2详解】

货船需要安全水深为4.2+2=6.2米,

所以进港条件为y>6.2.

5兀

令2.4sin——x+5>6.2,

31

即sin—x>—,

312

jr5冗5IT

所以2+2E<ex〈生+2E,左eZ,

6316

3162k3162k,）

解得---F-----<%<-----1--------，左eZ,

30565

因为0Wx<24,

3131

所以k=0时，—<x<

30~6

403527

k=1时,-----<x<------

3030

3131

因为一（时）=1时2分，一（时）=5时10分.

306

403

——（时）=13时26分，（时）=17时34分.

30

因此，货船可以在1时2分进港，早晨5时10分出港；或在下午13时26分进港，下午17时34分出

港.

则该货船最早进港时间为1时2分，停靠总时长为8小时16分钟.

17.如图，边长为4的两个正三角形ABC,BCD所在平面互相垂直，E,尸分别为5C,的中点,

点G在棱A。上，AG=2GD,直线A3与平面EFG相交于点〃.

（1）证明：BD//GH■,

(2)求直线3。与平面ENG的距离.

【答案】(1)证明见解析

⑵亚

2

【解析】

【分析】(1)首先证明平面EFG,再由线面平行的性质证明即可；

(2)连接以点E为原点，建立空间直角坐标系，利用点到平面距离公式求解即得.

【小问1详解】

因为E、尸分别为6C、的中点，所以EF//BD,

又a平面跖G,EFu平面EFG,则平面跖G,

又5£)匚平面ABZ),平面ABDc平面EFG=G",所以BD//GH.

【小问2详解】

由(1)知，BD//平面EFG,

则点B到平面EFG的距离即为BD与平面EFG的距离，

连接E4,ED,由—ABC.BCD均为正三角形，E为的中点，得EA，3C,ED，5C,

又平面ABC,平面BCD,平面ABC|平面5c£>=5C,AEu平面ABC,

于是平面6C。，又石Ou平面BCD,则

以点E为原点，直线EB,ED,EA分别为羽％z轴建立空间直角坐标系,

则5(2,0,0),F(-1,A/3,0),又A(0,0,2月)，£>(0,26,0b

又AG=2GD，可得G0,芈，芈

I33J

EG=[o,—,—

所以£3=(2,0,0),EF=(-1,73,0),

I33J

EF-n=-x+J3y=0

设平面EFG的一个法向量为〃二(元,y,z)，则<“4A/32y/30

EG-n=-----yH-------z=。

33

令y=1,得"=(也,1,—2),

\EBF\26

设点B到平面EFG的距离为d,则d=

\n\A/82

所以与平面EFG的距离为国.

18.设函数=71nx-如(m>0),/'(%)为/(%)的导函数，/'(%)有唯一零点飞.

⑴y=/'(%)的图像在(如0)处的切线方程为,=8(尤)，求姓包的最小值及此时加的取值;

m

(2)若对任意满足/(%)=/(%)的石,%(不<%)都有西+々>2%,证明：m<^.

e

【答案】(1)最小值为3,此时机=—

2

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)由导函数，求得切线方程，由此得到函数，利用基本不等式得出最小值；

(2)利用函数对不等式进行转换，在利用导函数与单调性的关系，找到零点，从而得出结论.

【小问1详解】

f'[x)=&x---m,令丸(x)=e*-竺-7〃，则》(x)=e*(久>0)，

(\

Ao

故y=尸(为的图像在伍,0)处的切线方程为y=g(x)=e+—(x-x0),

Ix0)

/、

又e0二一+m,故g(%)=一+m+—(x-x0),

x°l了v

(i)

g(2x0)=mx0+1H--->m1+2人」3m,最小值为3,

Ixo)

A

当且仅当Xo=l取等，故/=1,6=2加时取得等号，故加=万.

【小问2详解】

证明机即证明

且由(1)知道八'0)=丁+:0>。,租>0),%'0)>0,/0)单调递增即证明/<1,

由题得/(九)在(0,光0)单调递减，(尤0,+8)单调递增，由％>2玉)一王〉与，

/(%2)>/(2x0-%1)-/(%)=/(%)故/(2%0—%)一/(七)<。，

由玉)一事>0,令％—玉=xe(O,%o)故/7(%)=/(%0+同一/(%0一》)<0在x6(O,xo)恒成立,

,

又“(X)=f'(x0+x)+/(x0-x),”⑼=0,

，

令加(%)="(尤)，?(xo+x)=/(xo+x),t(xo—x]=/'(xy—x],

,L,

m(x)=f(x0+x)-7(x0-x),/“(0)=0,

令q(x)=n/(x),p[xQ+x)=f(x0+x),/?(%()-%)=/'(而一刀),

f

cf(x)=p(x0+x)+p'(x0-x),p(x)=e”-簧(久〉0)单调递增，

Xf0时p'(x)f_8,p'(x())=e而/+x；_2,

玉)\xoJ

假设%>1,y(xo)>o,夕'(％)在(0,/)存在唯一零点八

则p'(x)在(/,%)上为正,q'(x)=p'[x0+x)+/(%-x)在(0,%T)上为正，

在(0,1T)上加(％)>m,(0)=0,同理〃'(％)>〃(0)=05

T)>入⑼=0与/i(x)=/(/+%)-/(%一次)<0在；re(0,%o)恒成立矛盾,

e

故/<i,则机V5得证.

【点睛】思路点睛：证明参数在某个范围才使得命题成立，需要对其进行函数转换，再利用函数单调性来

确定函数的取值范围，函数单调性的确定主要依靠导函数的正负来判断，所以本题在没有确定导函数正负

的情况下需要进一步求导，直到能够判断出正负，进而回推出函数单调性.

19.已知集合。“={x|X=(xl,x2,...,xn),x.e{O,l},z=l,,对于任意XeQ“,

操作一：选择X中某个位置(某两个数之间或第一个数之前或最后一个数之后)，插入连续七个1或连续左

个0,得到Fe。用化》1)；

操作二：删去X中连续左个1或连续上个0,得到4左<〃—1)；

进行一次操作一或者操作二均称为一次“10月变换”，在第〃次("WN*)"10月变换”的结果上再进行1

次'次0月变换”称为第〃+1次'次0月变换”.

(1)若对X=(0,1,0)进行两次“10月变换”，依次得到丫€。4，2eQ2.直接写出丫和z的所有可

能情况.

(2)对于X=(0,0,...,0)eR0G和F=(0,1,0,1,…,0,1)eR0G至少要对X进行多少次“10月变换”才能

得到y?说明理由.

(3)证明：对任意x,yeO2“，总能对x进行不超过〃+1次”10月变换”得到y.

【答案】(1)r=(o,i,1,0),z=(o,o),或y=(o,o,i,o),z=(i,o),或y=(o,i,o,o),z=(o,i).

(2)51

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)直接根据定义得到所有可能的情况即可；

(2)先对段落数估计，证明一定需要51次操作，然后构造51次操作的例子，即可说明至少需要的操作次

数为51；

(3)先给出具体的操作方式，然后证明该操作方式下操作的总次数不会超过“+1.

【小问1详解】

由于对丫€。4进行一次“10月变换”后就得到了ZeQ2，说明y一定含有2个相同且相邻的数，从而y

只可能是(0,1,1,0),(0,0,1,0),(0,1,0,0),对应的Z分别是(0,0)，(1,0),(0,1).

【小问2详解】

对每个Q“中的元素，将其所有连续的。和连续的1各自记为一个段落，则容易得到：

若对某个A进行一次操作一得到3,则3的段落数或者和A的段落数相等，或者比A的段落数多1，或者

比A的段落数多2；

若对某个A进行一次操作二得到C,则C的段落数或者和A的段落数相等，或者比A的段落数少1，或者

比A的段落数少2.

这表明，每次“10月变换”下，变换前后元素的段