函数性质的灵活运用（学生版）-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点02函数性质的灵活运用【八大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1函数的单调性的综合应用】................................................................3

【题型2函数的最值问题】........................................................................4

【题型3函数的奇偶性的综合应用】................................................................4

【题型4函数的对称性及其应用】..................................................................5

【题型5对称性与周期性的综合应用】..............................................................5

【题型6类周期函数1...................................................................................................................................................6

【题型7抽象函数的性质及其应用】................................................................7

【题型8函数性质的综合应用】....................................................................8

►命题规律

1、函数性质的灵活运用

函数及其性质是高考数学的重要内容.从近几年的高考情况来看，本节是高考的一个重点、热点内容，

函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函

数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解.对

于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性、奇偶性，主要考察方向是：判断函数单调性及

求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数相结合，考查难度较大，复

习时要加强训练.

►方法技巧总结

【知识点1函数的单调性与最值问题的解题策略】

1.求函数的单调区间

求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.

2.函数单调性的判断

(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.

(2)函数差/但⑴)的单调性应根据外层函数产处)和内层函数片g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的

原则.

(3)函数单调性的几条常用结论：

①若/(X)是增函数，贝Ij-/(x)为减函数；若/(x)是减函数，则-/(x)为增函数；

②若/(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在和g(x)的公共定义域上〃x)+g(x)为增(或减)函

数；

③若〃x)>0且为增函数，则函数/而为增函数，,为减函数；

/(x)

④若〃x)>0且/(x)为减函数，则函数/丽为减函数，:为增函数.

/(X)

3.求函数最值的三种基本方法：

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.

4.复杂函数求最值：

对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.

【知识点2函数的奇偶性及其应用】

1.函数奇偶性的判断

判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断｛x)与人㈤是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系

式如)"次)=0(奇函数)或於)力田=0(偶函数))是否成立.

(3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的

函数,如/(x)+g(x),/(x)-g(x)J(x)xg(x),/(x)+g(x).

对于运算函数有如下结论：奇士奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇*(+)奇=偶；奇、(+)偶=奇;

偶x(十)偶=偶.

(4)复合函数y=/[g(x)]的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇.

(5)常见奇偶性函数模型

奇函数：①函数/(%)=加(上史)&片0)或函数f(x)=加遇二).

a-1a+1

②函数/(x)=±(优-a~x).

③函数/(x)=log“三二”=log”(1+3-)或函数/(x)=bg“=？=loga(1一--)

x-mx-mx+mx+m

2

④函数=log“(Jx，+1+x)或函数f(x)=loga(A/X+1-x).

2.函数奇偶性的应用

(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的

函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.

(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.

【知识点3函数的周期性与对称性的常用结论】

1.函数的周期性常用结论仅是不为0的常数)

(1)若於+a)=/(x),贝I]T=a；

(2)若/(x+a)=/(x-a),贝UT=2a；

贝I]T=2a；

(4)若加+4尸/^：),则r=2q；

(5)若人X+Q尸一f(：)，则T=2a；

(6)^flx+a)=fix+b),则T=\a-b\(a^b)\

2.对称性的三个常用结论

(1)若函数於)满足7(Q+XA/3-X),则产AX)的图象关于直线工=...对称.

(2)若函数4)满足/(4+%)=夕/?-%),则y成0的图象关于点(巴产>0卜寸称.

(3)若函数兀r)满足人a+x)/6-x)=c,则y=/(x)的图象关于点(一]一对称.

3.函数的的对称性与周期性的关系

(1)若函数y=〃x)有两条对称轴x=a,x=b(a<b),则函数〃x)是周期函数，且7=2(6-°)；

(2)若函数y=/(x)的图象有两个对称中心(a,c),(6,c)(a<6),则函数y=/(x)是周期函数，且

7=2(6-°)；

(3)若函数y=〃x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(6,0)(a<6),则函数y=/(x)是周期函数，且

T=4(6-a).

【知识点4抽象函数的解题策略】

1.抽象函数及其求解方法

我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y=/(x)表示，抽

象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于

一身，是考查函数的良好载体.解决这类问题一般采用赋值法解决.

►举一反三

【题型1函数的单调性的综合应用】

【例1】(2024•河北沧州•模拟预测)已知函数f(x)定义域为R,且函数f(x)与f(x+1)均为偶函数，当x6[0,1]

时，/'(>)是减函数，设a=f(|),6=C=/(log160,则a,b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>a>c

【变式1-1](2024•陕西西安•模拟预测)已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y都有/'(x+y)=f(x)+

/(y)-1,当x>0时，/(x)>1,且/'(2)=5,则关于x的不等式—支)+/(4—3%)<6的解集为()

A.(1,+co)B.(2,+8)C.(-00,1)D.(-co,2)

【变式1-2](2024•山东•二模)已知函数;'(X)=2/—mx+1在区间[―1,+8)上单调递增，则/(I)的取值

范围是()

A.[7,+oo)B.(7,+8)

C.(-00,7]D.(-00,7)

【变式1-3](2024•江苏苏州•模拟预测)已知定义在区间(->0)上，值域为R的函数/(%)满足:

①当。〈久〈巾时，/(%)>0；②对于定义域内任意的实数0、6均满足：f(a+b)=,”+管、.则()

A./(0)=1

B.­m<xr<x2<m,/(%i)>/(x2)

C.函数f(x)在区间(0,爪)上单调递减

D.函数f(x)在区间(-犯m)上单调递增

【题型2函数的最值问题】

[例2](2024•安徽淮北•二模)当实数t变化时，函数f(x)=|%2+t\,xe[-4,4]最大值的最小值为()

A.2B.4C.6D.8

【变式2-1](2024•全国•模拟预测)已知x〉0,y>0且x+y=l,则三+吕的最小值为()

1234

A.mB.-C.-D.-

【变式2-2](2024•江西鹰潭三模)若f(x)=|%+2|+|3久一a|的最小值是4,则实数a的值为()

A.6或一18B.-6或18

C.6或18D.-6或一18

【变式2-3](2024•全国•三模)已知函数/0)=•一(6+3)久3在[—1,1]上的最小值为一3,则实数6的取值

范围是()

A.(-oo,-4]B.[9,+8)C.[-4,9]D.[-1,9]

【题型3函数的奇偶性的综合应用】

【例3】(2024•安徽亳州・模拟预测)已知函数/Q)是定义在R上的偶函数，函数仪久)是定义在R上的奇函

数，且fO),g(x)在[0,+8)上单调递减，则()

A./(/(2))>/(/(3))B./(g⑵)<⑶)

C.g(g⑵)>g(g⑶)D.g(f⑵)<g(/(3))

【变式3-1](2024•浙江绍兴•三模)已知函数人支)满足：对任意实数x,y,都有〃7(尤+y))=/(%)+“y)

成立，且f(0)=1,贝IJ()

A.f(x+l)为奇函数B./(x)+1为奇函数

C.I/O+DI为偶函数D.I/O)-1|为偶函数

【变式3-2](2024•辽宁沈阳•三模)已知f(x)是定义在R上的函数，且/'(2x-1)为偶函数，/(刀-2)是奇函

数，当xe[0,1]时，f(x)=2X-1,则f(7)等于()

A.—1B.—C.—D.1

22

【变式3-3](2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)是定义在R上的奇函数，且对任意的THV几V0,都有(血-

n)(/(m)-/(n))<0,且f(—2)=0,则不等式回斗上il>0的解集为()

A.[—3,—1]U[0,1]B.[—2,2]

C.(—8,—3)U(—2,0)U(2,+8)D.[—3,—1]U(。,1]

【题型4函数的对称性及其应用】

【例4】(2024•四川・三模)定义在R上的函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线x=1对称，且函数y=

g(2x—1)+1为奇函数，则函数y=f(>)图象的对称中心是()

A.(-1,-1)B.(-1,1)C.(3,1)D.(3,-1)

【变式4-1](2024•宁夏银川•三模)已知函数/(久)=百彩，则下列说法不正确的是()

A.函数f(x)单调递增B.函数/(x)值域为(0,2)

C.函数/(X)的图象关于(0,1)对称D.函数/(%)的图象关于(1,1)对称

【变式4-2](2024・四川南充•三模)已知函数/0)、g(x)的定义域均为R,函数/(2久-1)+1的图象关于

原点对称，函数g(x+l)的图象关于封轴对称,f(x+2)+g(x+1)=-1,/(-4)=0,则/(2030)-

9(2017)=()

A.-4B.-3C.3D.4

【变式4-3](2024・重庆,模拟预测)已知函数丫=/(%)的定义域是(-8,0)u(0,+8),对任意的工「到E(。,+

8),久1力久2,都有犯-久"(xD>0,若函数y=p>+l)的图象关于点(—1,0)成中心对称，且/(1)=4,则

%2一

不等式/(X)>:的解集为()

A.(-1,0)U(0,1)B.(—1,0)U(1,+oo)

C.(―8,—1)U(0,1)D.(―oo,-1)u(1,+oo)

【题型5对称性与周期性的综合应用】

【例5】(2024・全国•模拟预测)若定义在R上的函数f(x)满足f(|x|)=/(x),且/(2+x)+/(2-x)=6/(3)=

6,则下列结论错误的是()

A./(8+x)=/(x)B./(x)的图象关于直线x=4对称

C./(201)=3D.)/=/0+2)-3是奇函数

【变式5-1](2024•四川绵阳・模拟预测)定义在R上的函数八久)满足f(2—x)=/(x),f(l)=2,f(3x+2)

为奇函数，有下列结论：

①直线x=1为曲线y=/(%)的对称轴；②点(|,0)为曲线y=”久)的对称中心；③函数/(%)是周期函数；

④2二，/(i)=0；⑤函数人久)是偶函数.

其中，正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【变式5-2](2024•湖南邵阳三模)已知函数/O)及其导函数"0的定义域均为R,记g(x)=/'(幻，函数

/(2x+3)的图象关于点(—1,1)对称.若对任意X6R,有/(x+3)=x+f(3—x),则下列说法正确的是()

A.g(x)不为周期函数B.fO)的图象不关于点(1,1)对称

C.5(211)=|D./(985)=1

【变式5-3](2024•陕西榆林，一模)定义在R上的函数/(X),以久)满足/(0)<0,/(3—x)="1+久)，g(2—

x)+g(>)=2,g(x+1)=f(2x)+1,则下列说法中错误的是()

A.%=6是函数f(久)图象的一条对称轴

B.2是g(x)的一个周期

C.函数/(x)图象的一个对称中心为(3,0)

D.若几eN*且ri<2023,f(n)+〃>+1)+…+/(2023)=0,则”的最小值为2

【题型6类周期函数】

【例6】(2024•山东青岛・模拟预测)函数f(x)的定义域为R,满足f(x)=2/(x-l),且当xG(0,1]时，f(x)=

x(l-%).若对任意xe(-8,河，都有/'(比”||,则Tn的最大值是()

A.—B.—C.—D.—

551515

【变式6-1](2024•云南昆明•二模)定义“函数y=f(x)是。上的a级类周期函数”如下:函数y=/(x),%eD,

对于给定的非零常数a,总存在非零常数T，使得定义域。内的任意实数久都有af(x)=f(x+T)恒成立，此

时7为f(x)的周期.若y=/(久)是[1，+8)上的a级类周期函数，且T=1,当x6[1,2)时，/(%)=2%+1,且y=

f(x)是[1,+8)上的单调递增函数，则实数a的取值范围为()

A.E，+8)B.[2,+oo)C.生+8)D.[10,+oo)

【变式6・21(2024•河南新乡•三模)设函数/(%)的定义域为R,满足/(x-2)=2/(%),且当％G(0,2]时,/(%)=

%(2-%).若对任意久E[见+8),都有/(%)4]成立，贝ija的取值范围是()

O

A.百+8)B.[|,+8)

C(-8,一厅D.(-CO,-|]

【变式6-3](2024•安徽合肥・模拟预测)定义在R上的函数八久)满足/(久+1)=1"久),且当xe[0,1)时,/(久)=

1一|2久一1|.当xe[m,+0°)时，/(x)<则m的最小值为()

A.—8B.—8C.—4D.—4

【题型7抽象函数的性质及其应用】

【例7】(2024•山西吕梁・一模)已知函数3)满足fQ+y)+/Q—y)=|/(久)f(y),，⑴=今则下列结

论不正确的是()

A./(0)=3B.函数/(2x—1)关于直线久=1对称

C./(%)+/(0)>0D.“X)的周期为3

【变式7-l](2024•江西•模拟预测)已知定义域为R的函数f(x),g(x)满足：g(0)丰0,/(x)g(y)-/(y)g(x)=

f(x-y),且gO)g(y)-f(x)f(y)=g。一y),则下列说法不正确的是()

A.g(0)=1B./(%)是奇函数

C.若/⑴+g⑴=1,则f(2024)-g(2024)=-1D.g(x)是奇函数

【变式7-2X2024•全国•模拟预测)设函数/(久)的定义域是(0,+8),且对任意正实数都有/"(孙)=/(%)+

f(y)恒成立，已知/'(2)=1,且当％>1时,/(x)>0.

⑴求fg)的值；

(2)判断y=/(X)在区间(0,+8)内的单调性，并给出证明；

(3)解不等式f(2久)>/(8x-6)-1.

【变式7-3](2024•江西•模拟预测)已知函数pO),久久)的定义域均为R,且满足：①Vx>0,p(x)>0；

②q(%)为偶函数，q(x)>q(0)=1；③V%,yER,p(x+y)=p(x)q(y)+q(x)p(y).

(1)求p(0)的值，并证明：p(%)为奇函数；

(2)V%I，%2€R且%I<%2，证明:

①P(%D=P(等)q(好)+q(警)P(好)

②p(%)单调递增.

【题型8函数性质的综合应用】

【例8】(2024•黑龙江佳木斯•模拟预测)已知/0)=里泸是定义在[—2,2]上的函数，若满足〃无)+

/(-%)=0且f(1)=

(1)求/(%)的解析式；

(2)设函数g(%)=x2-2mx+4(mGR),若对任意％力到C[1,2],都有g(%2)</(〃)恒成立,求m的取值范

围.

【变式8・1】(2024•上海宝山•一模)已知函数/(%)=d一一aGR.

(1)判断函数/(%)的奇偶性;

(2)若函数F(%)=%"(%)在％=1处有极值，且关于x的方程F(%)=血有3个不同的实根，求实数m的取值

范围；

(3)记g(%)=一e%(e是自然对数的底数).若对任意久1、冷£[0同且％1>%2时，均有If(%1)-<历(%1)-

。(%2)1成立，求实数Q的取值范围.

【变式8-2](23-24高一上・广东广州•期末)已知函数/(%)的定义域为R,\fa,beR,f(a+b)+f(a-b)=

3f(a)/(6),且/(l)在区间［0,3］上单调递减.

(1)求证：/(x)+/(0)>0；

(2)求f(l)+f(2)+…+Q2023)的值;

(3)当xeR时,求不等式3/(2x)+4<9/(x)的解集.

【变式8-3](2023•上海浦东新•模拟预测)已知定义域为。的函数y=/0).当a6。时，若g(x)=与誓

(xGD,x^a)是增函数，则称/'(%)是一个“7(a)函数”.

(1)判断函数y=2/+久+2(xeR)是否为T(l)函数，并说明理由；

(2)若定义域为[0,+8)的7(0)函数y=s(>)满足s(0)=0,解关于4的不等式s(2Q<通(2)；

(3)设P是满足下列条件的定义域为R的函数y=组成的集合：①对任意“€R,W(x)都是TQ)函数；

②W(0)=14/(2)=2,M-1)=〃(3)=3.若W(x)>m对一切W(x)eP和所有xeR成立，求实数zn的最大

值.

►过关测试

一、单选题

1.(2024•湖北武汉•二模)已知函数f(x)=幻幻，则关于％的不等式f(2久)>f(l-%)的解集为()

A.&+8)B.(-8,目C.&1)D.(-1,0

无2—2。％%>1

a'二是R上的增函数，则实数。的取值范围是()

X-L■X-L

(2

A.(0,“4B.(0,14]C.(0,1)D.(0,1]

3.(2。24・上海黄浦二模)设函数若加>。恒成立，则实数”的

取值范围是()

A.(1,+8)B.0,

4.(2024•西藏•模拟预测)若函数f(x)=x-裔，则下列函数中为奇函数的是()

A.+1)-2B./(X-1)-2C./(X-1)+2D.f(%+1)+2

5.(2024•广东深圳•模拟预测)已知函数/(X)的定义域为R,若对V久eR都有+%)=/(I-%),且f(x)

在(2,+8)上单调递减，则H；l),/⑵与f(4)的大小关系是()

A./⑷<f⑴</⑵B./⑵</⑴</(4)

C./⑴</⑵</(4)D./(4)</⑵</(I)

6.(2024・辽宁抚顺•一模)已知定义域为｛x|x丰0｝的函数f(x)满足/(尤+y)[/(x)+f(y)]=门比)/(y),/(l)=

2,且当久e(o,+s)时，八>)>0恒成立，则下列结论正确的是()

A.fg)=6B./(2x)=2/(%)

C./(0为奇函数D./(久)在区间(0,+8)是单调递增函数

7.(2024•陕西安康•模拟预测)已知函数/(久)的定义域为R,函数尸(久)=f(l+x)-(1+久)为偶函数，函数

G(x)=/(2+3x)-1为奇函数，则下列说法错误的是()

A.函数人久)的一个对称中心为(2,1)B./(0)=-1

C.函数/(%)为周期函数,且一个周期为4D./(1)+/(2)+/(3)+/(4)=6

8.(2024•陕西安康•模拟预测)已知函数y=/(x)是定义在R上的函数，f(l+无)=f(l-乂)，函数/(%+1)

的图象关于点(-1,0)对称,且对任意的%1，%2G[0,1],W%2，均有就/(%1)+说/(%2)>用(%2)+用(第1)，

则下列关于函数y=f(%)的说法中，正确的个数是()

①/(%+2)=/(x-2)；

②图

③函数y=/(x)在[2,4]上单调递增；

④不等式f(%)>0的解集为[4k,4k+2](fceZ).

A.1B.2C.3D.4

二、多选题

9.(2024•河北沧州•二模)已知/(%)是定义在[0,+8)上的单调递增且图象连续不断的函数，若Vx,ye[0,+

8),恒有/0+?)=号喘成立，设句>%2>1,则()

A./(0)=0

B.3x06[0,+oo),/(x0)=1

C/(%l)+/(%2)>f(%i+%2)

D/~(%1)+/~(%2)v/(%1+%2)

10.(2024•新疆•三模)已知/(%),g(%)都是定义在R上的函数，对任意实数%,歹满足/(%+y)--y)=

2g(%)/(y),f(2)+/(l)=0且/(2)•/(l)w0,则下列结论正确的是

A.f(0)=0B.5(1)=-j

c.fO)为奇函数D.E鲁4fs)=2024

11.(2024・江西上饶•模拟预测)已知函数/'(%)的定义域为R,Vx,yER,f[x+y)-/(%-y)=2fQ-xjf(y),

且/@=1'则()

A.f(x)为偶函数B.f(x)=2f(0f(三)

C./(x)的周期为2