函数模型及其应用（原卷版）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

第09讲函数模型及其应用

目录

第一部分：基础知识..................................................1

第二部分：高考真题回顾.............................................2

第三部分：高频考点一遍过...........................................3

高频考点一：几类不同增长的函数模型..............................3

高频考点二：利用常见函数模型解决实际问题（二次模型；分段模型）..7

高频考点三：利用常见函数模型解决实际问题（指、对、塞函数模型）..9

高频考点四：利用给定函数模型解决实际问题.......................12

第一部分：基础知识

1、常见函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型f(x)=kx+b(k,b为常数,k/0)

(左/为常数且左w0)

反比例函数模型f(x)=±+b

X

二次函数模型/(x)=ax2+bx+c均为常数，

指数函数模型f{x}^k-bx+c(左，①c均为常数，k<0,b>0,bwl)

对数函数模型f(x)=k-logax+b(左/，。为常数，左w0,〃>0,〃wl)

幕函数模型f(x)=k-xn+b(k,b,几为常数,左w0,〃wl)

力(x),x&Dx

分段函数f(x)=<力(x),XGD2

/(x),xeD3

指数、对数、事函数才慎型性质比较

函数

y=优(〃>1)y=logax(a>l)y=%〃(〃>0)

性质

在（0,+8）上的

单调递增单调递增单调递增

增减性

介于指数函数与

增长速度先慢后快，指数爆炸先快后慢，增长平缓对数函数之间，相

对平稳

随x的增大，图象与y轴接近随X的增大，图象与X轴接近随〃值变化而各有

图象的变化

平行平行不同

值的比较存在一个毛,当X〉不时，有logaX<x"<a"

第二部分：高考真题回顾

1.（多选）（2023•全国•统考高考真题）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定

义声压级4=20xlg上，其中常数为（网>0）是听觉下限阈值，〃是实际声压.下表为不同声源的声压级:

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车1050-60

电动汽车1040

己知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为”,小，。3,则（）.

A.P,>P2B.p2>10p3

c.P3=100p0D.Pi<100p2

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：几类不同增长的函数模型

典型例题

例题1.（2023上•广东广州•高三铁一中学校考阶段练习）函数f（无）的数据如下表，则该函数的解析式可

能形如（）

-2-101235

2.31.10.71.12.35.949.1

A./(x)=+b

B./(x)=Axer+b

C.f(x)=k\x\+b

D./（^）=A;（x-1）2+b

例题2.（2023上•河北石家庄•高一石家庄二中校考阶段练习）有一组实验数据如表:

23456

y1.402.565.311121.30

则体现这组数据的最佳函数模型是

A.y=4xB.y=

A.y=ax+b{a>V)B.y=a\fx+b{a>1)

C.y=—+b（a>1）D.y=ax2+b{a>1）

x

例题4.（2023上•四川南充•高一四川省南充高级中学校考阶段练习）假设某学习小组对家庭每月用水的收

费提供了如下两种模型:模型一:若用水量不超过基本月用水量m?,则只付基本费8元和损耗费c元（c<5）；

若用水量超过基本月用水量，则除了需付基本费和损耗费外，超过部分还需按b元/n?进行付费；模型二：

用函数模型y=（其中左，〃为常数，相>0且〃件1）来模拟说明每月支付费用y（元）关于

月用水量x（n?）的函数关系.已知该市某家庭1—3月的用水量x分别为9m⑶，15H?和21m3,支付的费用y

分别为9元，19元和31元.

⑴写出模型一中每月支付费用y（元）关于月用水量Mn?）的函数解析式；

（2）写出模型二中每月支付费用y（元）关于月用水量尤（n?）的函数解析式，并分析说明学习小组提供的模型

哪个更合理？

练透核心考点

1.（2023上•江苏•高一专题练习）今有一组实验数据如下：

t1.993.04.05.16.12

V1.54.047.51218.1

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）

A，、=皿B."1。号C.D—

2.（2023上•浙江•高一校联考阶段练习）今有一组实验数据及对应散点图如下所示，则体现这些数据关系

的最佳函数模型是（）

X10202941505870

y123.87.4111521.8

x

A.y=A\ogax+pB.y=A-a+p

C.y=ax1+bx+cD.y=kx+b

3.（2023上•上海•高一上海市建平中学校考阶段练习）近来，国内多个城市纷纷加码布局"夜经济"，以满

足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力，某夜市的一位工艺品售卖

者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格P（x）（单

位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足尸（引=10+：且销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单

位：天）的部分数据如下表所示

X1015202530

Q(x)5055605550

（1）给出以下四个函数模型：①。（x）=or+6；@Q（x）=a\x-ir\+b-③。（x）=a-bx；®Q^x）=a-\ogbx.

请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系,

并求出该函数的解析式及定义域

（2）设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求外”的最小值.

4.（2023上,四川宜宾•高一统考阶段练习）2023年宜宾市新添城市名片"中国动力电池之都"，初步建成较

为完整的配套协同动力电池产业布局，并搭建起从原材料到整车制造的新能源汽车产业链.新能源电动车主

要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.有关部门在国道上对某

型号纯电动汽车进行测试，国道限速60km/h.经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量Q（单位：wh）

与速度无（单位：km/h）的数据如下表所示：

X0104060

Q0142044806720

为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量。与速度x的关系，现有以下三种函数模型供选择：①

32

Ql（x）=-^x-2x+cx；②&（x）=l一口；③Q3（x）=20Sog0x+6.

（1）当0VXV60时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表

达式；

⑵现有一辆同型号纯电动汽车从宜宾行驶到重庆某地，其中，国道上行驶50km,高速上行驶250km.假设

该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量。与速度x的关系满足（1）中的函数表

达式；高速路上车速x（单位：km/h）满足尤e[80,120],且每小时耗电量N（单位：wh）与速度x（单

位:km/h）的关系满足N（x）=2d-10x+200（80WxW120）.则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车

辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？

高频考点二：利用常见函数模型解决实际问题（二次模型；分段模型）

典型例题

例题L（2023上•湖南岳阳•高二统考期末）2022年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制

造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本1000万元，生产了（百辆）新能源汽车，还需另投入成本C（x）

10x2+200.x,0<x<30

万元，且C（x）=10000.由市场调研，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能

504%+----------3000,x230

全部销售完.

（1）求出2022年该企业生产新能源汽车的利润“X）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=

销售量-成本）

⑵2022年产量为多少百辆时，该企业生产新能源汽车所获利润最大？并求出最大利润.

例题2.（2023上•贵州六盘水•高一统考期末）心理学家根据高中生心理发展规律，对高中生的学习行为进

行研究，发现学生学习的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间.上课开始时，学生的兴趣激

增，中间有一段时间学生的兴趣保持理想状态，随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用〃无）表

示学生掌握和接受概念的能力（〃尤）的值越大，表示接受能力越强），X表示提出和讲授概念的时间（单位：

—0.1%2+2.8x+38,0<xW10,

min）,满足以下关系：56,10<x<20,

-lx+96,20〈尤W40.

（1）上课多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？

⑵有一道数学难题，需要54的接受能力及15min的讲授时间，老师能否及时在学生处于所需接受能力的状

态下讲授完成这道难题？

练透核心考点

1.（2023下•河南,高一校联考阶段练习）中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导

体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会（SEMI）的数据，在截至2024年的4年里，中国计划

建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万

元，若该型芯片生产线在2024年产出x万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本V（x）（单位：万元），已

知当0<xW5时，V（x）=125；当5cxW20时，V（x）=x2+40x-100；当x>20时，V（x）=81x+^^—600,

己知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.

（1）已知2024年该型芯片生产线的利润为P（x）（单位：万元），试求出P"）的函数解析式.

⑵请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大

利润.

2.（2023上•浙江杭州•高一浙江省杭州第二中学校考期中）"智能"是本届杭州亚运会的办赛理念之一.在亚

运村里，时常能看到一辆极具科技感的小巴车出现在主干道上，车内没有司机，也没有方向盘，这就是无

人驾驶AR智能巴士.某地在亚运会后也采购了一批无人驾驶巴士作为公交车，公交车发车时间间隔,单位：

分钟）满足54/420,feN,经测算，该路无人驾驶公交车载客量。⑺与发车时间间隔/满足:

60-(10)2,5Wr<10

〃«)='其中feN.

60,10<r<20

⑴求P（5）,并说明P（5）的实际意义；

（2）若该路公交车每分钟的净收益y=60⑺+24一10（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分

t

钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益.

高频考点三：利用常见函数模型解决实际问题（指、对、塞函数模型）

典型例题

例题L（2023上,湖南长沙•高一长沙市第十五中学校联考阶段练习）中国茶文化源远流传，博大精深，茶

水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用80℃的水泡制，再等到茶水温度降至60c时饮用，可

以产生最佳口感.为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物

体的初始温度是心,经过ftnin后的温度是T，则=口）_［）e-=2.71828…），其中，表示环境温度，

表示半衰期.该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是80℃,放在20。。的室温中，lOmin以后茶

水的温度是5CTC,在上述条件下，大约需要放置多长时间能达到最佳饮用口感？（结果精确到0.1,参考数

据ln2a0.7,ln3-l.l）（）

A.5.7minB.5.8min

C.5.9minD.6.0min

例题2.（2023上•湖北咸宁•高一校考阶段练习）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著

名的香农公式：C=Wlog2^l+^.它表示在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽

W,信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中三叫作信噪比.当信噪比比较大

N

时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式，若带宽W不变，信噪比”从1000提升到12000,

N

则C比原来大约增加了（）.（附：坨2。0.3010,炮3。0.4771）

A.32%B.43%C.36%D.68%

例题3.（2023上•安徽六安•高一校考阶段练习）一种放射性元素，最初质量为1000g,按每年10%衰减.

⑴写出了年后这种放射性元素质量y与*之间的函数关系式；

（2）求这种放射性元素的半衰期（放射性物质的质量衰减为原来的一半所需要的时间）精确到0.1年，己知

（lg2=0.3010,lg3=0.4771）.

例题4.（2023上•全国•高一期末）"实施科教兴国战略，强化现代化建设人才支撑”是2022年10月16日习近平

同志在中国共产党第二十次全国代表大会上报告的一部分.必须坚持科技是第一生产力、人才是第一资

源、创新是第一动力，深入实施科教兴国战略、人才强国战略、创新驱动发展战略，开辟发展新领域新赛道，

不断塑造发展新动能新优势.某科技企业通过加大科技研发投资，提高了企业的技术竞争力，也提高了收入.下

列一组数据是该公司从2017年以来每年的收入（单位:亿元）,2017年记为1,后面的年份依次类推.

x/年123456

y/亿元0.91.402.565.311121.30

⑴给出以下两个函数模型:①y=1;②产二.试问:用哪个模型更适合模拟该企业的收入?

人3

（2）该企业大约在哪一年收入超过100亿元?（参考数据:lg3q0.477,lg220.301）

练透核心考点

1.（2023上•江苏•高一期末）生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态

系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q,一年四季均可繁殖，繁殖间隔T为相邻两

代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型K（〃）=Xlog3〃（2为常数）来描述该物种累计

繁殖数量”与入侵时间K（单位：天）之间的对应关系，且。=。+1,在物种入侵初期，基于现有数据得

出。=6,7=60.据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍所需要的时间为（）天.（结

果保留一位小数.参考数据：In2«0.30,In3»0.48）

A.19.5B.20.5C.18.5D.19

2.（2023上•江苏南通•高一海安高级中学校考阶段练习）牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度

t

变化：如果物体初始温度为Z）,则经过一定时间/（单位：分钟）后的温度T满足7一（=|1『（"一北），其

中力是环境温度，力为常数，现有一杯8（TC的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55。。

经测量室温为25℃,茶水降至75P大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等

待分钟.

（参考数据：lg2工0.30,lg3x0.50,lg5，0.70,Igl1«1.04.）

3.（2023上•上海•高一上海南汇中学校考阶段练习）用打点滴的方式治疗“支原体感染"病患时，血药浓度

（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度）随时间变化的函数符合9«）=乂（1-2-"），其函数图象如图

所示，其中N。为与环境相关的常数，此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限

浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合。2（。=l2石，其中。为停药时的人体血

药浓度.

2

0

8

6

4

2

。|48t（单位:小时）

（1）求出函数的解析式；

⑵一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注

射？（如果计算结果不是整数，保留小数点后一位）

4.（2023上•广东汕头•高一统考期末）潮汕人喜欢喝功夫茶，茶水的口感和水的温度有关，如果刚泡好的

茶水温度是4℃,环境温度是。。℃,那么f分钟后茶水的温度。（单位：°C）可由公式6（/）=4+僧-4,田

求得.现有刚泡好茶水温度是100℃,放在室温25℃的环境中自然冷却，5分钟以后茶水的温度是50℃.

⑴求上的值；

⑵经验表明，当室温为15℃时，该种茶刚泡好的茶水温度95℃,自然冷却至60℃时饮用，可以产生最佳口

感,那么，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（结果精确到0.1;参考值：ln2«0.7,

ln3«l.l）

高频考点四：利用给定函数模型解决实际问题

典型例题

例题L（2023上•福建莆田•高一统考期末）已知某种放射性元素在一升液体中的放射量c（单位：Bq/L）

与时间/（单位：年）近似满足关系式0=上./五°且。w1）.已知当7=12时，c=100；当f=36时，c=25,

则据此估计，这种放射性元素在一升液体中的放射量c为10时，，大约为（）（参考数据：log/*2.32）

A.50B.52C.54D.56

例题2.（2023上•江苏盐城•高一校考期中）天气转冷，某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前

期调研，获得该产品的销售量。万件与投入的促销费用x万元（xNO）满足关系式。=8-岛（上为常数），

而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本18万元，厂家将每件产

品的销售价格定为（34+元，设该产品的利润为，万元.（注：禾U润=销售收入-投入成本-促销费用）

（1）求出左的值，并将，表示为》的函数；

⑵促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？

例题3.（2023・全国•高三专题练习）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼

考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：（i）函数的

图象接近图示；（ii）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（iii）每天运动时间为30分钟时，当天

得分为3分；（iiii）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①丫二米+万亿＞0）；②

=左-（左＞（＞）

y1.2*+60）；③y=A;log2|—+2|+n^0.

（1）请根据函数图像性质你从中选择一个合适的函数模型不需要说明理由；

（2）根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；

⑶已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）.

练透核心考点

1.（2023•广东东莞•东莞市东华高级中学校考一模）中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是著名的香

农公式：它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、

C=Wlog2^l+^,