备战中考数学真题题源解密专题15特殊三角形（13类重点考向）含答案及解析

主题四平面几何专题15特殊三角形目录一览知识目标（新课程标准提炼）中考解密（分析考察方向，精准把握重难点）重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）►考向一等腰三角形的性质与判定►考向二三角形的内角和►考向三全等三角形的判定与性质►考向四含30°角的直角三角形►考向五直角三角形斜边上的中线►考向六勾股定理►考向七勾股定理的证明►考向八勾股数►考向九勾股定理的应用►考向十勾股定理—最短路径问题►考向十一等腰直角三角形►考向十二三角形中位线定理►考向十三三角形的综合题最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）1.了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合；探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形；2.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形．3.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；掌握有两个角互余的三角形是直角三角形；4.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题．该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查等腰（等边）三角形和勾股定理与中位线性质、三角形全等、三角形内外角性质、尺规作图等知识点结合考察，这部分知识需要学生扎实地掌握基础，并且会灵活运用.在解答题中会出现等腰三角形与直角三角形的性质和判定,这部分知识主要考查基础。►考向一等腰三角形的性质与判定解题技巧/易错易混1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a．5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=．6．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．7．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．1．（2023•河北）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023•大庆）某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AF：BF＝3：4，点G、H、F分别是边AB、AC、BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设BF＝x米，BE＝y米．（1）求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）当x为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．3．（2023•潍坊）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为点E，过点E作EF∥BC，交AC于点F，G为BC的中点，连接FG．求证：FG＝AB．►考向二三角形的内角和解题技巧/易错易混1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．4.在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．5.等腰(等边)三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．4．（2023•绵阳）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝，则AB＝（）A． B．6 C．8 D．5．（2023•凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是．6．（2023•雅安）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD交BC于点E，BC＝8，AE＝6，则AB的长为．►考向三全等三角形的判定与性质7．（2023•衢州）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（）A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO8．（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝．►考向四含30°角的直角三角形解题技巧/易错易混在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．9．（2023•贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（）A．4m B．6m C．10m D．12m10．（2022•十堰）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别在BC，CD上，若∠BAD＝2∠EAF，则EF＝BE+DF．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分别有景点M，N，且DM＝100m，BN＝50（﹣1）m，若在M，N之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少m（结果取整数，参考数据：≈1.7）．►考向五直角三角形斜边上的中线11．（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm12．（2022•杭州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．（1）求证：CE＝CM．（2）若AB＝4，求线段FC的长．►考向六勾股定理解题技巧/易错易混1．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．2．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．13．（2023•宁夏）将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是（）A．2﹣ B．2﹣2 C．2 D．214．（2023•淮安）在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，BH为∠ABC内部的任一条射线（∠CBH不等于60°），点C关于BH的对称点为C′，直线AC′与BH交于点F，连接CC′、CF，则△CC′F面积的最大值是．►考向七勾股定理的证明15．（2023•湖北）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF＝a，DF＝b，连接AE，BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则＝．16．（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝．►考向八勾股数17．（2023•南通）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，a＝m2﹣，，m是大于1的奇数，则b＝（用含m的式子表示）．18．（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）．►考向九勾股定理的应用19．（2023•恩施州）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是尺．20．（2023•东营）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为km．21．（2022•常州）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD＝60°，则橡皮筋AC断裂（填“会”或“不会”，参考数据：≈1.732）．►考向十勾股定理—最短路径问题22．（2022•金华）如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（）A． B． C． D．23．（2023•广安）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为cm．（杯壁厚度不计）►考向十一等腰直角三角形24．（2023•丽水）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD＝1，则CE的长是（）A． B． C．2 D．125．（2023•苏州）如图，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，过点C作CD⊥BC，延长CB到E，使BE＝CD，连接AE，ED．若ED＝2AE，则BE＝．（结果保留根号）►考向十二三角形中位线定理26．（2023•陕西）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF．连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BC＝6，则线段CM的长为（）A． B．7 C． D．827．（2023•湖州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知BC＝10，AD＝12，求BD，DE的长．►考向十三三角形的综合题28．（2023•大庆）如图，在△ABC中，将AB绕点A顺时针旋转α至AB′，将AC绕点A逆时针旋转β至AC′（0°＜α＜180°，0°＜β＜180°），得到△AB′C′，使∠BAC+∠B′AC′＝180°，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形“，△AB′C′的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有．①△ABC与△AB′C′面积相同；②BC＝2AD；③若AB＝AC，连接BB′和CC′，则∠B′BC+∠CC′B′＝180°；④若AB＝AC，AB＝4，BC＝6，则B′C′＝10．29．（2023•重庆）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，E沿折线A→B→C方向运动，F沿折线A→C→B方向运动，当两点相遇时停止运动．设运动的时间为t秒，点E，F的距离为y．（1）请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出点E，F相距3个单位长度时t的值．1．（2023•衢州）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（）A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO2．（2022•岳阳）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°3．（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（）A．30° B．45° C．60° D．75°4．（2021•黑龙江）如图，矩形ABCD的边CD上有一点E，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，将△AEF绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点M落在EF上，点E恰好落在点B处，连接BE．下列结论：①BM⊥AE；②四边形EFBC是正方形；③∠EBM＝30°；④S四边形BCEM：S△BFM＝（2+1）：1．其中结论正确的序号是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④5．（2022•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝3，则CD的长是（）A．6 B．3 C．1.5 D．16．（2023•日照）已知直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠部分的面积为S2，则（）A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．S1，S2大小无法确定7．（2023•乐山）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则sinθ＝（）A． B． C． D．8．（2022•湘潭）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tanα＝（）A．2 B． C． D．9．（2023•泸州）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，2510．（2021•常德）阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（）A．②④ B．①②④ C．①② D．①④11．（2022•长沙）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；②作直线PQ交AB于点D；③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，连接AM、BM．若AB＝2，则AM的长为（）A．4 B．2 C． D．12．（2023•西宁）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADB的度数是．13．（2023•吉林）如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．若∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为度．14．（2023•山西）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，则AD的长为．15．（2023•武汉）如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是．16．（2023•江西）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为cm．17．（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝．18．（2021•陕西）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8．若E、F是BC边上的两个动点，以EF为边的等边△EFP的顶点P在△ABC内部或边上，则等边△EFP的周长的最大值为．19．（2023•荆州）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝．20．（2023•泰州）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为里．21．（2023•无锡）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是．22．（2022•泰州）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为．23．（2023•德阳）如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，点M为AC的中点，一只小虫从B1沿三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于．24．（2023•沈阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在直线AC上，AD＝1，过点D作DE∥AB交直线BC于点E，连接BD，点O是线段BD的中点，连接OE，则OE的长为．25．（2022•黔西南州）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°，AC与DE相交于点F．若BC∥AE，则∠AFE的度数为．26．（2023•广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点M是边AC上一动点，点D，E分别是AB，MB的中点，当AM＝2.4时，DE的长是.若点N在边BC上，且CN＝AM，点F，G分别是MN，AN的中点，当AM＞2.4时，四边形DEFG面积S的取值范围是．27．（2023•金华）如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若CD＝4cm，则该工件内槽宽AB的长为cm．28．（2021•杭州）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．（1）求证：AB＝BD；（2）若AE＝3，求△ABC的面积．29．（2023•金华）如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形OABC分割成4×10的小正方形网格，在该矩形边上取点P，来表示∠POA的度数，阅读以下作图过程，并回答下列问题：作法（如图）结论①在CB上取点P1，使CP1＝4．∠P1OA＝45°，点P1表示45°．②以O为圆心，8为半径作弧，与BC交于点P2．∠P2OA＝30°，点P2表示30°．③分别以O，P2为圆心，大于OP2长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，连接EF与BC相交于点P3．…④以P2为圆心，OP2的长为半径作弧，与射线CB交于点D，连结OD交AB于点P4．…（1）分别求点P3，P4表示的度数．（2）用直尺和圆规在该矩形的边上作点P5，使该点表示37.5°（保留作图痕迹，不写作法）．30．（2022•陕西）我国三国时期的杰出数学家赵爽在注解《周髀算经》时，巧妙地运用弦图证明了勾股定理．如图，在10×15的正方形网格中，将弦图ABCD放大，使点A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′．（1）A′C′与AC的比值为；（2）补全弦图A′B′C′D′．31．（2023•河北）如图1和图2，平面上，四边形ABCD中，AB＝8，，CD＝12，DA＝6．∠A＝90°，点M在AD边上，且DM＝2．将线段MA绕点M顺时针旋转n°（0＜n≤180）到MA'，∠A′MA的平分线MP所在直线交折线AB﹣BC于点P，设点P在该折线上运动的路径长为x（x＞0），连接A′P．（1）若点P在AB上，求证：A'P＝AP；（2）如图2，连接BD．①求∠CBD的度数，并直接写出当n＝180时，x的值；②若点P到BD的距离为2，求tan∠A′MP的值；（3）当0＜x≤8时，请直接写出点A′到直线AB的距离（用含x的式子表示）．

主题四平面几何专题15特殊三角形等腰三角形1.性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．2.判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等.等边三角形1.定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2.性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3.判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．直角三角形1.定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．2.性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．3.判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．勾股定理及逆定理1.勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．线段垂直平分线1.线段的轴对称性：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴．2.定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．注：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．3.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．注：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来．4.判定：到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

主题四平面几何专题15特殊三角形目录一览知识目标（新课程标准提炼）中考解密（分析考察方向，精准把握重难点）重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）►考向一等腰三角形的性质与判定►考向二三角形的内角和►考向三全等三角形的判定与性质►考向四含30°角的直角三角形►考向五直角三角形斜边上的中线►考向六勾股定理►考向七勾股定理的证明►考向八勾股数►考向九勾股定理的应用►考向十勾股定理—最短路径问题►考向十一等腰直角三角形►考向十二三角形中位线定理►考向十三三角形的综合题最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）1.了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合；探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形；2.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形．3.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；掌握有两个角互余的三角形是直角三角形；4.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题．该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查等腰（等边）三角形和勾股定理与中位线性质、三角形全等、三角形内外角性质、尺规作图等知识点结合考察，这部分知识需要学生扎实地掌握基础，并且会灵活运用.在解答题中会出现等腰三角形与直角三角形的性质和判定,这部分知识主要考查基础。►考向一等腰三角形的性质与判定解题技巧/易错易混1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a．5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=．6．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．7．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．1．（2023•河北）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【思路点拨】分两种情况，由三角形的三边关系定理：三角形两边的和大于第三边，即可解决问题．【规范解答】解：∵△ABC为等腰三角形，∴AB＝AC或AC＝BC，当AC＝BC＝4时，AD+CD＝AC＝4，此时不满足三角形三边关系定理，当AC＝AB＝3时．满足三角形三边关系定理，∴AC＝3．故选：B．【真题点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理，关键是掌握三角形的三边关系定理．2．（2023•大庆）某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AF：BF＝3：4，点G、H、F分别是边AB、AC、BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设BF＝x米，BE＝y米．（1）求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）当x为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质求出CF的长，即可求出BC的长，根据AF：BF＝3：4即可求出AF的长，再根据勾股定理求出AB的长，AC的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出FG、FH的长，根据矩形的性质求出ED＝BC＝2x米，BE＝IJ＝MN＝CD＝y米，最后根据制造窗户框的材料总长为16米列出方程即可得到y与x之间的函数关系式；（2）根据窗户的面积等于△ABC的面积加上矩形BCDE的面积计算，再根据配方法求二次函数的顶点坐标即可．【规范解答】解：（1）∵△ABC是等腰三角形，F是BC的中点，∴BF＝CF，AF⊥BC，AB＝AC，∵BF＝x（米），∴CF＝x（米），BC＝2BF＝2x（米），∵AF：BF＝3：4，∴（米），在Rt△AFB中，由勾股定理得（米），∴（米），∵点G、H分别是边AB、AC的中点，∠AFB＝∠AFC＝90°，∴（米），（米），∵四边形BCDE是矩形，∴ED＝BC＝2x（米），BE＝CD＝y（米），∵BE∥IJ∥MN∥CD，∴BE＝IJ＝MN＝CD＝y（米），∵制造窗户框的材料总长为16米，∴AB+AC+FG+FH+AF+BC+ED+BE+IJ+MN+CD＝16（米），∴，整理得；由题意得，解得；（2）∵，，设窗户的面积为W平方米，则W＝S△ABC+S矩形BCDE＝＝＝，∵，∴W有最大值，当米时，W最大，最大值为平方米．【真题点拨】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质，二次函数的应用，根据材料总长用含x的式子表示y，从而运用函数性质求最大值是解题的关键．3．（2023•潍坊）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为点E，过点E作EF∥BC，交AC于点F，G为BC的中点，连接FG．求证：FG＝AB．【思路点拨】由角平分线的定义及平行线的性质可得∠ACD＝∠FEC，即可证明EF＝CF，再利用直角三角形的性质可证明AF＝CF，即可得GF是△ABC的中位线，进而可证明结论．【规范解答】证明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCD，∴∠ACD＝∠FEC，∴EF＝CF，∵AE⊥CD，∴∠AEC＝90°，∴∠EAC+∠ACD＝90°，∠AEF+∠FEC＝90°，∴∠EAC＝∠AEF，∴AF＝EF，∴AF＝CF，∵G是BC的中点，∴GF是△ABC的中位线，∴FG＝AB．【真题点拨】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形的中位线等知识的综合运用，证明GF是△ABC的中位线是解题的关键．►考向二三角形的内角和解题技巧/易错易混1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．4.在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．5.等腰(等边)三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．4．（2023•绵阳）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝，则AB＝（）A． B．6 C．8 D．【思路点拨】先由等边三角形的性质，得BD⊥AC，AD＝CD＝AC，∠ABD＝∠CBD＝30°，再根据CE＝CD，得∠E＝∠CDE，进而得∠CBD＝∠E＝30°，则BD＝DE＝4，然后在Rt△ABD中，由勾股定理求出AB即可．【规范解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴AC＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BD是AC边上的中线，∴BD⊥AC，AD＝CD＝AC，∠ABD＝∠CBD＝30°，∴AB＝2AD，∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E，∴60°＝2∠E，∴∠E＝30°，∠CBD＝∠E＝30°，∴BD＝DE＝4，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2﹣AD2＝BD2，即（2AD）2﹣AD2＝（4）2，解得：AD＝4，∴AB＝2AD＝8．故选：C．【真题点拨】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．5．（2023•凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是1+．【思路点拨】取AB的中点D，连接OD及DC，根据三角形的三边关系得到OC小于等于OD+DC，只有当O、D及C共线时，OC取得最大值，最大值为OD+CD，由等边三角形的边长为2，根据D为AB中点，得到BD为1，根据三线合一得到CD垂直于AB，在直角三角形BCD中，根据勾股定理求出CD的长，在直角三角形AOB中，OD为斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD等于AB的一半，由AB的长求出OD的长，进而求出DC+OD，即为OC的最大值．【规范解答】解：取AB中点D，连OD，DC，∴OC≤OD+DC，当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD，∵△ABC为等边三角形，D为AB中点，∴BD＝1，BC＝2，∴CD＝＝，∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴OD＝AB＝1，∴OD+CD＝1+，即OC的最大值为1+．故答案为：1+．【真题点拨】本题考查了等边三角形的性质，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，其中找出OC最大时的长为CD+OD是解本题的关键．6．（2023•雅安）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD交BC于点E，BC＝8，AE＝6，则AB的长为2．【思路点拨】连接AC、BD交于点O，过点E作EF⊥AC，交AC于点F，先证明△BCD是等边三角形，AC垂直平分BD，求得∠EAC＝∠ACD＝∠ACB＝30°，AE＝EC＝6，再解三角形求出AO＝AC﹣CO＝2，最后运用勾股定理求得AB即可．【规范解答】解：如图：连接AC、BD交于点O，过点E作EF⊥AC，交AC于点F，又∵BC＝DC，∠C＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝BC＝CD＝8，∵AB＝AD，BC＝DC，∴AC⊥BD，BO＝DO＝BD＝4，∴∠ACD＝∠ACB＝∠BCD＝30°，又∵AE∥CD，∴∠EAC＝∠ACD＝∠ACB＝30°．∴AE＝EC＝6，过点E作EF⊥AC，交AC于点F，∴CF＝CE•cos30°＝6×＝3，AF＝AE•cos30°＝6×＝3，CO＝BC•cos30°＝8×＝4，∴AC＝CF+AF＝6，∴AO＝AC﹣CO＝6﹣4＝2．在Rt△BOA中，AB＝＝＝2．故答案为：2．【真题点拨】本题属于四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质、平行线的性质、垂直平分线、勾股定理、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线成为解答本题的关键．►考向三全等三角形的判定与性质7．（2023•衢州）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（）A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO【思路点拨】根据直角三角形的性质可知：∠O与∠ADO互余，∠DEB与∠ADO互余，根据同角的余角相等可得结论．【规范解答】解：由示意图可知：△DOA和△DBE都是直角三角形，∴∠O+∠ADO＝90°，∠DEB+∠ADO＝90°，∴∠DEB＝∠O，故选：B．【真题点拨】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．8．（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝10°．【思路点拨】由∠C＝90°，∠A＝40°，求得∠ABC＝50°，根据线段的垂直平分线、等边对等角和直角三角形的两锐角互余求得．【规范解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°，故答案为：10°．【真题点拨】此题考查了直角三角形的性质、线段垂直平分线性质，熟记直角三角形的性质、线段垂直平分线性质是解题的关键．►考向四含30°角的直角三角形解题技巧/易错易混在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．9．（2023•贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（）A．4m B．6m C．10m D．12m【思路点拨】作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．【规范解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°，又∵AD⊥BC，∴AD＝AB＝12＝6（m），故选：B．【真题点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题关键是掌握30度角所对的直角边是斜边的一半．10．（2022•十堰）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别在BC，CD上，若∠BAD＝2∠EAF，则EF＝BE+DF．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分别有景点M，N，且DM＝100m，BN＝50（﹣1）m，若在M，N之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m（结果取整数，参考数据：≈1.7）．【思路点拨】解法一：如图，作辅助线，构建直角三角形，先根据四边形的内角和定理证明∠G＝90°，分别计算AD，CG，AG，BG的长，由线段的和与差可得AM和AN的长，最后由勾股定理可得MN的长，计算AM+AN﹣MN可得答案．解法二：构建【阅读材料】的图形，根据结论可得MN的长，从而得结论．【规范解答】解：解法一：如图，延长DC，AB交于点G，过点N作NH⊥AD于H，∵∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，∴∠A＝360°﹣60°﹣120°﹣150°＝30°，∴∠G＝90°，∴AD＝2DG，Rt△CGB中，∠BCG＝180°﹣150°＝30°，∴BG＝BC＝50，CG＝50，∴DG＝CD+CG＝100+50，∴AD＝2DG＝200+100，AG＝DG＝150+100，∵DM＝100，∴AM＝AD﹣DM＝200+100﹣100＝100+100，∵BG＝50，BN＝50（﹣1），∴AN＝AG﹣BG﹣BN＝150+100﹣50﹣50（﹣1）＝150+50，Rt△ANH中，∵∠A＝30°，∴NH＝AN＝75+25，AH＝NH＝75+75，由勾股定理得：MN＝＝＝50（+1），∴AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．解法二：如图，延长DC，AB交于点G，连接CN，CM，则∠G＝90°，∵CD＝DM，∠D＝60°，∴△DCM是等边三角形，∴∠DCM＝60°，由解法一可知：CG＝50，GN＝BG+BN＝50+50（﹣1）＝50，∴△CGN是等腰直角三角形，∴∠GCN＝45°，∴∠BCN＝45°﹣30°＝15°，∴∠MCN＝150°﹣60°﹣15°＝75°＝∠BCD，由【阅读材料】的结论得：MN＝DM+BN＝100+50（﹣1）＝50+50，∵AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．故答案为：370．【真题点拨】此题重点考查了含30°的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识与方法，解题的关键是作出所需要的辅助线，构造含30°的直角三角形，再利用线段的和与差进行计算即可．►考向五直角三角形斜边上的中线11．（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm【思路点拨】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长．【规范解答】解：由图可得，∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点，∴CD＝AB＝3cm，故选：B．【真题点拨】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．12．（2022•杭州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．（1）求证：CE＝CM．（2）若AB＝4，求线段FC的长．【思路点拨】（1）根据直角三角形的性质可得MC＝MA＝MB，根据外角的性质可得∠MEC＝∠A+∠ACE，∠EMC＝∠B+∠MCB，根据等角对等边即可得证；（2）根据CE＝CM先求出CE的长，再解直角三角形即可求出FC的长．【规范解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，∴MC＝MA＝MB，∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B，∵∠A＝50°，∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°，∴∠EMC＝∠MCB+∠B＝80°，∵∠ACE＝30°，∴∠MEC＝∠A+∠ACE＝80°，∴∠MEC＝∠EMC，∴CE＝CM；（2）解：∵AB＝4，∴CE＝CM＝AB＝2，∵EF⊥AC，∠ACE＝30°，∴FC＝CE•cos30°＝．【真题点拨】本题考查了直角三角形的性质，涉及三角形外角的性质，解直角三角形等，熟练掌握并灵活运用直角三角形的性质是解题的关键．►考向六勾股定理解题技巧/易错易混1．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．2．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．13．（2023•宁夏）将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是（）A．2﹣ B．2﹣2 C．2 D．2【思路点拨】根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论．【规范解答】解：在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，∴∠CAD＝45°＝∠ACD，∴AD＝CD＝2cm，在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，∴∠CBD＝30°，∴BC＝2CD＝4cm，∴BD＝＝＝2（cm），∴AB＝BD﹣AD＝（2﹣2）（cm）．故选：B．【真题点拨】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．14．（2023•淮安）在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，BH为∠ABC内部的任一条射线（∠CBH不等于60°），点C关于BH的对称点为C′，直线AC′与BH交于点F，连接CC′、CF，则△CC′F面积的最大值是4．【思路点拨】连接BC'，根据圆的定义可知A、C、C'在以B点为圆心，AB为半径的圆上，再判断△CC'F是等边三角形，则当CC'是圆的直径时，△CC′F面积的最大，此时CC'＝4，由此可求解．【规范解答】解：连接BC'，由轴对称性可知，BC＝BC'，∵AB＝BC＝BC'，∴A、C、C'在以B点为圆心，AB为半径的圆上，∵∠ABC＝120°，∴∠AC'C＝120°，∴∠FC'C＝180°﹣120°＝60°，∵CF＝C'F，∴△CC'F是等边三角形，∴要使△CC′F面积的最大，只需CC'最大即可，∴当CC'是圆的直径时，△CC′F面积的最大，∴CC'＝4，∴△CC′F面积的最大值为×4×4×sin60°＝4，故答案为：4．【真题点拨】本题考查轴对称的性质、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质，圆的性质，能确定CC'是圆的直径时，△CC′F面积的最大是解题的关键．►考向七勾股定理的证明15．（2023•湖北）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF＝a，DF＝b，连接AE，BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则＝3．【思路点拨】根据题意得出a2＝b2﹣ab，即，解方程得到＝（负值舍去）代入进行计算即可得到结论．【规范解答】解：方法一：∵图中AF＝a，DF＝b，∴ED＝AF＝a，EH＝EF＝DF﹣DE＝b﹣a，∵△ADE与△BEH的面积相等，∴，∴a2＝（b﹣a）b，∴a2＝b2﹣ab，∴1＝（）2﹣，∴，解得＝（负值舍去），∴；方法二：∵a2＝b2﹣ab，∴b2﹣a2＝ab，∴（b2﹣a2）2＝a2b2，∴b4+a4＝3a2b2，∴＝3，故答案为：3．【真题点拨】本题考查了勾股定理的证明，一元二次方程的解法，根据题意得出关于的方程是解题的关键．16．（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝48．【思路点拨】由勾股定理和乘法公式完成计算即可．【规范解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．故答案为：48．【真题点拨】本题考查勾股定理的应用，应用勾股定理和乘法公式表示三个正方形的面积是求解本题的关键．►考向八勾股数17．（2023•南通）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，a＝m2﹣，，m是大于1的奇数，则b＝m（用含m的式子表示）．【思路点拨】根据勾股数的定义解答即可．【规范解答】解：∵a，b，c是勾股数，其中a，b均小于c，a＝m2﹣，，∴b2＝c2﹣a2＝（m2+）2﹣（m2﹣）2＝m4++m2﹣（m4+﹣m2）＝m4++m2﹣m4﹣+m2＝m2，∵m是大于1的奇数，∴b＝m．故答案为：m．【真题点拨】本题考查的是勾股数，熟知满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．18．（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是m2+1（结果用含m的式子表示）．【思路点拨】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【规范解答】解：∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，解得a＝m2﹣1，∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1，故答案为：m2+1．【真题点拨】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．►考向九勾股定理的应用19．（2023•恩施州）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是8，6，10尺．【思路点拨】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．【规范解答】解：设门对角线的长为x尺，则门高为（x﹣2）尺，门宽为（x﹣4）尺，根据勾股定理可得：x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，即x2＝x2﹣8x+16+x2﹣4x+4，解得：x1＝2（不合题意舍去），x2＝10，10﹣2＝8（尺），10﹣4＝6（尺）．答：门高8尺，门宽6尺，对角线长10尺．故答案为：8，6，10．【真题点拨】本题考查勾股定理的应用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．20．（2023•东营）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为50km．【思路点拨】根据题意可得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，从而可得∠DAB＝∠ABE＝60°，然后利用平角定义可得∠ABC＝90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答．【规范解答】解：如图：由题意得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，∴∠DAB＝∠ABE＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABE﹣∠FBC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝30km，BC＝40km，AC＝＝＝50（km），∴A，C两港之间的距离为50km，故答案为：50．【真题点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据题目的已知条件画出图形进行分析是解题的关键．21．（2022•常州）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD＝60°，则橡皮筋AC不会断裂（填“会”或“不会”，参考数据：≈1.732）．【思路点拨】设AC与BD相交于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，从而可得△ABD是等边三角形，进而可得BD＝20cm，然后再在Rt△ADO中，利用勾股定理求出AO，从而求出AC的长，即可解答．【规范解答】解：设AC与BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝20cm，∴DO＝BD＝10（cm），在Rt△ADO中，AO＝＝＝10（cm），∴AC＝2AO＝20≈34.64（cm），∵34.64cm＜36cm，∴橡皮筋AC不会断裂，故答案为：不会．【真题点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．►考向十勾股定理—最短路径问题22．（2022•金华）如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（）A． B． C． D．【思路点拨】利用圆柱的侧面展开图是矩形，而点B是展开图的一边的中点，再利用蚂蚁爬行的最近路线为线段可以得出结论．【规范解答】解：将圆柱侧面沿AC“剪开”，侧面展开图为矩形，∵圆柱的底面直径为AB，∴点B是展开图的一边的中点，∵蚂蚁爬行的最近路线为线段，∴C选项符合题意，故选：C．【真题点拨】本题主要考查了圆柱的侧面展开图，最短路径问题，掌握两点之间线段最短是解题的关键．23．（2023•广安）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为10cm．（杯壁厚度不计）【思路点拨】将杯子侧面展开，建立B关于EF的对称点B′，根据两点之间线段最短可知B′A的长度即为所求．【规范解答】解：如图：将杯子侧面展开，作B关于EF的对称点B′，连接B′A，则B′A即为最短距离，B′A＝＝＝10（cm）．故答案为：10．【真题点拨】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．►考向十一等腰直角三角形24．（2023•丽水）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD＝1，则CE的长是（）A． B． C．2 D．1【思路点拨】如图，过点A作AF⊥BC于F，过点E作GH⊥BC于H，交AD的延长线于G，则∠AFB＝∠CHE＝90°，证明四边形AFHG是正方形，则AG＝GH，再证明△CHE和△DGE是等腰直角三角形，则DG＝EG，CH＝EH，最后根据勾股定理可得结论．【规范解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，过点E作GH⊥BC于H，交AD的延长线于G，则∠AFB＝∠CHE＝90°，∴AF∥GH，∵AD∥BC，∠AFH＝90°，∴四边形AFHG是矩形，∴∠G＝∠AFH＝∠FHG＝∠FAG＝90°，∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝AE，∠BAE＝90°，∵∠FAG＝∠BAE，∴∠BAF＝∠EAG，∵∠AFB＝∠G＝90°，∴△AFB≌△AGE（AAS），∴AF＝AG，∴矩形AFHG是正方形，∴AG＝GH，∵AG∥BC，∴∠C＝∠EDG＝45°，∴△CHE和△DGE是等腰直角三角形，∴DG＝EG，CH＝EH，∴AD＝EH＝1，∴CH＝1，由勾股定理得：CE＝＝．解法二：如图2，过点E作EF⊥CD，交BC于F，∵∠C＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝CE，∠CFE＝45°，∴∠BFE＝180°﹣45°＝135°，∵∠CFE＝∠FBE+∠BEF＝45°，∠AED+∠BEF＝90°﹣45°＝45°，∴∠AED＝∠FBE，∵△ABE是等腰直角三角形，∴＝，∵AD∥BC，∴∠C+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣45°＝135°，∴∠D＝∠BFE，∴△ADE∽△EFB，∴＝＝，∵AD＝1，∴EF＝，∴CE＝EF＝．故选：A．【真题点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质和判定，矩形和正方形的性质和判定等知识，正确作辅助线构建△AFB和△AGE全等是解本题的关键．25．（2023•苏州）如图，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，过点C作CD⊥BC，延长CB到E，使BE＝CD，连接AE，ED．若ED＝2AE，则BE＝1+．（结果保留根号）【思路点拨】如图，过E作EQ⊥CA于点Q，设BE＝x，AE＝y，可得CD＝3x，DE＝2y，证明BC＝AB＝6，CE＝6+x，△CQE为等腰直角三角形，QE＝CQ＝CE＝（6+x）＝3+x，AQ＝x，由勾股定理可得：，再解方程组可得答案．【规范解答】解：如图，过E作EQ⊥CA于点Q，设BE＝x，AE＝y，∵BE＝CD，ED＝2AE，∴CD＝3x，DE＝2y，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，∴BC＝AB＝6，CE＝6+x，△CQE为等腰直角三角形，∴QE＝CQ＝CE＝（6+x）＝3+x，∴AQ＝x，由勾股定理可得：，整理得：x2﹣2x﹣6＝0，解得：x＝1±，经检验x＝1﹣不符合题意；∴BE＝x＝1+；故答案为：1+．【真题点拨】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．►考向十二三角形中位线定理26．（2023•陕西）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF．连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BC＝6，则线段CM的长为（）A． B．7 C． D．8【思路点拨】根据三角形中中位线定理证得DE∥BC，求出DE，进而证得△DEF∽BMF，根据相似三角形的性质求出BM，即可求出结论．【规范解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC＝×6＝3，∴△DEF∽△BMF，∴＝＝＝2，∴BM＝，CM＝BC+BM＝．故选：C．【真题点拨】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．27．（2023•湖州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知BC＝10，AD＝12，求BD，DE的长．【思路点拨】根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出AB＝13，【规范解答】解∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴，∵BC＝10，∴BD＝5，∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，∵AD＝12，∴，∵E为AB的中点，D点为BC的中点，∴．【真题点拨】此题考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键．►考向十三三角形的综合题28．（2023•大庆）如图，在△ABC中，将AB绕点A顺时针旋转α至AB′，将AC绕点A逆时针旋转β至AC′（0°＜α＜180°，0°＜β＜180°），得到△AB′C′，使∠BAC+∠B′AC′＝180°，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形“，△AB′C′的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有①②③．①△ABC与△AB′C′面积相同；②BC＝2AD；③若AB＝AC，连接BB′和CC′，则∠B′BC+∠CC′B′＝180°；④若AB＝AC，AB＝4，BC＝6，则B′C′＝10．【思路点拨】由“SAS”可证△BAC≌△AB′E，可得BC＝AE，S△ABC＝S△AB'E，可求S△ABC＝S△B'C'A，BC＝2AD，故①②正确；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠B′BC+∠CC′B′＝180°；故③正确；通过证明平行四边形AC'EB'是菱形，可得B'C'⊥AE，B'D＝C'D，由勾股定理可求B'C'的长，即可判断④，即可求解．【规范解答】证明：延长AD至E，使DE＝AD，连接B'E，C'E，∵AD是中线，∴B'D＝C'D，∴四边形AC'EB'是平行四边形，∴B'E∥AC'，B'E＝AC'，S△B'C'A＝S▱B'EC'A＝S△AB'E，∴∠B′AC′+∠AB′E＝180°，∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠BAC＝∠AB′E，∵将AB绕点A顺时针旋转α至AB′，将AC绕点A逆时针旋转β至AC′，∴AB＝AB'，AC＝AC'＝B'E，在△BAC和△AB′E中，，∴△BAC≌△AB′E（SAS），∴BC＝AE，S△ABC＝S△AB'E，∴S△ABC＝S△B'C'A，故①正确；∵AE＝2AD，∴BC＝2AD，故②正确；∵AB＝AC，∴AB'＝AC'＝AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∠ABB'＝∠AB'B，∠ACC'＝∠AC'C，∠AB'C'＝∠AC'B'，∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴α+β＝180°，∠B'C'A+∠ABC＝90°，∴∠ABB'+∠AC'C＝90°，∴∠B′BC+∠CC′B′＝180°；故③正确；∵BC＝6，∴AD＝3，∵AB'＝AC'＝AB＝AC＝4，∴平行四边形AC'EB'是菱形，∴B'C'⊥AE，B'D＝C'D，∴B'D＝＝＝，∴B'C'＝2，故④错误，故答案为：①②③．【真题点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．29．（2023•重庆）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，E沿折线A→B→C方向运动，F沿折线A→C→B方向运动，当两点相遇时停止运动．设运动的时间为t秒，点E，F的距离为y．（1）请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出点E，F相距3个单位长度时t的值．【思路点拨】（1）根据动点E、F运动的路线和速度分段进行分析，写出不同时间的函数表达式并注明自变量t的取值范围即可；（2）根据画函数图象的方法分别画出两段函数图象，然后写出这个函数的其中一条性质即可；（3）根据两个函数关系式分别求出当y＝3时的t值即可解决问题．【规范解答】解：（1）当点E、F分别在AB、AC上运动时，△AEF为边长等于t的等边三角形，∴点E，F的距离等于AE、AF的长，∴当0≤t≤4时，y关于t的函数表达式为y＝t，当点E、F都在BC上运动时，点E，F的距离等于4﹣2（t﹣4），∴当4＜t≤6时，y关于t的函数表达式为y＝4﹣2（t﹣4）＝12﹣2t，∴y关于t的函数表达式为；（2）由（1）中得到的函数表达式可知：当t＝0时，y＝0；当t＝4时，y＝4；当t＝6时，y＝0，分别描出三个点（0，0），（4，4）（6，0），然后顺次连线，如图：根据函数图象可知这个函数的其中一条性质：当0≤t≤4时，y随t的增大而增大．（答案不唯一，正确即可）（3）把y＝3分别代入y＝t和y＝12﹣2t中，得：3＝t，3＝12﹣2t，解得：t＝3或t＝4.5，∴点E，F相距3个单位长度时t的值为3或4.5．【真题点拨】本题是一道三角形综合题，主要考查等边三角形的性质、一次函数的图象和性质，以及一次函数的应用，深入理解题意是解决问题的关键．1．（2023•衢州）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（）A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO【思路点拨】根据直角三角形的性质可知：∠O与∠ADO互余，∠DEB与∠ADO互余，根据同角的余角相等可得结论．【规范解答】解：由示意图可知：△DOA和△DBE都是直角三角形，∴∠O+∠ADO＝90°，∠DEB+∠ADO＝90°，∴∠DEB＝∠O，故选：B．【真题点拨】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．2．（2022•岳阳）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【思路点拨】根据直角三角形的性质求出∠CED，再根据平行线的性质解答即可．【规范解答】解：在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠DCE＝40°，则∠CED＝90°﹣40°＝50°，∵l∥AB，∴∠1＝∠CED＝50°，故选：C．【真题点拨】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．3．（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（）A．30° B．45° C．60° D．75°【思路点拨】根据平行线的性质，可以得到∠CBF的度数，再根据∠ABC＝90°，可以得到∠1的度数．【规范解答】解：∵AC∥EF，∠C＝30°，∴∠C＝∠CBF＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，故选：C．【真题点拨】本题考查直角三角形的性质、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．4．（2021•黑龙江）如图，矩形ABCD的边CD上有一点E，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，将△AEF绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点M落在EF上，点E恰好落在点B处，连接BE．下列结论：①BM⊥