备战中考数学真题题源解密突破05平移、旋转、折叠等操作探究问题含答案及解析

重难点突破突破05平移、旋转、折叠等操作探究问题目录一览中考解密（分析考察方向，精准把握重难点）重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）►考向一操作探究型（不含图形变化）►考向二图形平移型►考向三图形旋转型►考向四图形折叠型综合与实践题是山西中考的必考题，这类题型属于过程探究题，旨在引导学生动手操作、自主探索、小组合作、交流共享.通过图形的变化考查学生的动手实践、推理论证、几何直观和数学运算能力.在实践过程中，学会发现问题、解决问题，培养严谨的逻辑思维、应用意识和创新意识，提高解决问题的能力.►考向一操作探究型（不含图形变化）1．（2023•大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是．2．（2023•兰州）综合与实践：问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9“平分一个已知角，”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA和OB上分别取点C和D，使得OC＝OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是∠AOB的平分线．请写出OE平分∠AOB的依据：；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE＝DE即可，他查阅资料；我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图3，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB的平分线，请说明此做法的理由；拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等，试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）3．（2023•盐城）综合与实践【问题情境】如图1，小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线BD上，点B的对应点记为B′，折痕与边AD，BC分别交于点E，F．【活动猜想】（1）如图2，当点B′与点D重合时，四边形BEDF是哪种特殊的四边形？答：．【问题解决】（2）如图3，当AB＝4，AD＝8，BF＝3时，求证：点A′，B′，C在同一条直线上．【深入探究】（3）如图4，当AB与BC满足什么关系时，始终有A′B′与对角线AC平行？请说明理由．（4）在（3）的情形下，设AC与BD，EF分别交于点O，P，试探究三条线段AP，B′D，EF之间满足的等量关系，并说明理由．4．（2023•淮安）综合与实践定义：将宽与长的比值为（n为正整数）的矩形称为n阶奇妙矩形．（1）概念理解：当n＝1时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（AD）与长（CD）的比值是．（2）操作验证：用正方形纸片ABCD进行如下操作（如图（2））：第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为EF，连接CE；第二步：折叠纸片使CD落在CE上，点D的对应点为点H，展开，折痕为CG；第三步：过点G折叠纸片，使得点A、B分别落在边AD、BC上，展开，折痕为GK．试说明：矩形GDCK是1阶奇妙矩形．（3）方法迁移：用正方形纸片ABCD折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．（4）探究发现：小明操作发现任一个n阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点E为正方形ABCD边AB上（不与端点重合）任意一点，连接CE，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．5．（2023•淄博）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．（1）操作判断小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图①．试判断：△ACF的形状为．（2）深入探究小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB＝2，AD＝4．探究一：当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图②．求△CMF的面积．探究二：连接AE，取AE的中点H，连接DH，如图③．求线段DH长度的最大值和最小值．6．（2023•宁夏）综合与实践：问题背景数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．探究发现如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC．（1）操作发现：将△ABC折叠，使边BC落在边BA上，点C的对应点是点E，折痕交AC于点D，连接DE，DB，则∠BDE＝°，设AC＝1，BC＝x，那么AE＝（用含x的式子表示）；（2）进一步探究发现：＝，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：＝；拓展应用当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的△ABC是黄金三角形．如图2，在菱形ABCD中，∠BAD＝72°，AB＝1．求这个菱形较长对角线的长．7．（2023•兰州）综合与实践：【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG＝CF，试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH＝HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题．8．（2023•齐齐哈尔）综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：，∠BDC＝°；（2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：；（4）实践应用：正方形ABCD中，AB＝2，若平面内存在点P满足∠BPD＝90°，PD＝1，则S△ABP＝．9．（2023•大连）综合与实践问题情境数学活动课上，老师发给每名同学一个等腰三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＞90°，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论．问题发现奋进小组在边AC上取一点D，连接BD，将这个纸片沿BD翻折，点A的对应点为E，如图1所示．如图2，小明发现，当点E落在边BC上时，∠DEC＝2∠ACB．如图3，小红发现，当点D是AC的中点时，连接CE，若已知AB和CE的长，则可求BD的长．……问题提出与解决奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1，请你解答．问题1：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，点D是边AC上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD．（1）如图2，当点E在边BC上时，求证：∠DEC＝2∠ACB．（2）如图3，当点D是AC的中点时，连接CE，若AB＝4，CE＝3，求BD的长．拓展延伸小刚受到探究过程的启发，将等腰三角形的顶角改为锐角，尝试画图，并提出问题2，请你解答．问题2：如图4，点D是△ABC外一点，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，∠ABD＝2∠BDC，求BC的长．►考向二图形平移型1．（2023•德州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（6，3），D是OA的中点，AC，BD交于点E，函数的图象过点B．E．且经过平移后可得到一个反比例函数的图象，则该反比例函数的解析式（）A．y＝﹣ B． C． D．2．（2023•鞍山）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝4，，垂直于BC的直线MN从AB出发，沿BC方向以每秒个单位长度的速度平移，当直线MN与CD重合时停止运动，运动过程中MN分别交矩形的对角线AC，BD于点E，F，以EF为边在MN左侧作正方形EFGH，设正方形EFGH与△AOB重叠部分的面积为S，直线MN的运动时间为ts，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A． B． C． D．3．（2023•潍坊）如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣2，0），∠AOC＝60°．将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，其中点B′的坐标为（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣，1） D．（﹣，﹣1）4．（2023•湖州）如图1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与y轴的交点坐标为（0，5），图象的顶点为M．矩形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为（1，5）．（1）求c的值及顶点M的坐标．（2）如图2，将矩形ABCD沿x轴正方向平移t个单位（0＜t＜3）得到对应的矩形A′B′C′D′．已知边C′D′，A′B′分别与函数y＝x2﹣4x+c的图象交于点P，Q，连接PQ，过点P作PG⊥A′B′于点G．①当t＝2时，求QG的长；②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得△PGQ的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．5．（2023•襄阳）【问题背景】人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1D1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形A1B1C1D1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形ABCD的对角线相交于点O，点P落在线段OC上，＝k（k为常数）．【特例证明】（1）如图1，将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边AB，BC相交于点M，N．①填空：k＝；②求证：PM＝PN．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明△PAM≌△PBN；也可过点P分别作AB，BC的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）【类比探究】（2）如图2，将图1中的△PEF沿OC方向平移，判断PM与PN的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由．【拓展运用】（3）如图3，点N在边BC上，∠BPN＝45°，延长NP交边CD于点E，若EN＝kPN，求k的值．6．（2023•攀枝花）如图1，在△ABC中，AB＝BC＝2AC＝8，△ABC沿BC方向向左平移得到△DCE，A、C对应点分别是D、E．点F是线段BE上的一个动点，连接AF，将线段AF绕点A逆时针旋转至线段AG，使得∠BAD＝∠FAG，连接FG．（1）当点F与点C重合时，求FG的长；（2）如图2，连接BG、DF．在点F的运动过程中：①BG和DF是否总是相等？若是，请你证明；若不是，请说明理由；②当BF的长为多少时，△ABG能构成等腰三角形？7．（2023•淄博）如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝相交于点A（2，3），B（n，1）．（1）求双曲线及直线对应的函数表达式；（2）将直线AB向下平移至CD处，其中点C（﹣2，0），点D在y轴上．连接AD，BD，求△ABD的面积；（3）请直接写出关于x的不等式kx+b＞的解集．8．（2023•青岛）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA、OB关于y轴对称．OC＝1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．（1）求抛物线的表达式；（2）分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；（3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S1，将抛物线向右平移m（m＞0）个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S2．若S2＝S1，求m的值．9．（2023•常州）如图，二次函数y＝x2+bx﹣4的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），B，其顶点是C．（1）b＝；（2）D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD＝．将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点（k，0）作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；（3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．10．（2023•济南）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，C（2，3），D（﹣1，3）．抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于点E（﹣2，0）和点F．（1）如图1，若抛物线过点C，求抛物线的表达式和点F的坐标；（2）如图2，在（1）的条件下，连接CF，作直线CE，平移线段CF，使点C的对应点P落在直线CE上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标；（3）若抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与正方形ABCD恰有两个交点，求a的取值范围．►考向三图形旋转型1．（2023•绵阳）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，满足A1B1∥AC，过点B作BE⊥A1C，垂足为E，连接AE，若S△ABE＝3S△ACE，则AB的长为 ．2．（2023•盐城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝3，将△ABC绕点C逆时针旋转到△EDC的位置，点B的对应点D首次落在斜边AB上，则点A的运动路径的长为 ．3．（2023•丹东）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6，点D是BC的中点．四边形DEFG是菱形（D，E，F，G按逆时针顺序排列），∠EDG＝60°，且DE＝2，菱形DEFG可以绕点D旋转，连接AG和CE，设直线AG和直线CE所夹的锐角为α．（1）在菱形DEFG绕点D旋转的过程中，当点E在线段DC上时，如图①，请直接写出AG与CE的数量关系及α的值；（2）当菱形DEFG绕点D旋转到如图②所示的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）设直线AG与直线CE的交点为P，在菱形DEFG绕点D旋转一周的过程中，当EF所在的直线经过点B时，请直接写出△APC的面积．4．（2023•甘孜州）如图，在Rt△ABC中，，点D在AB边上，连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE，DE．（1）求证：△CAD≌△CBE；（2）若AD＝2时，求CE的长；（3）点D在AB上运动时，试探究AD2+BD2的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．5．（2023•攀枝花）如图1，在△ABC中，AB＝BC＝2AC＝8，△ABC沿BC方向向左平移得到△DCE，A、C对应点分别是D、E．点F是线段BE上的一个动点，连接AF，将线段AF绕点A逆时针旋转至线段AG，使得∠BAD＝∠FAG，连接FG．（1）当点F与点C重合时，求FG的长；（2）如图2，连接BG、DF．在点F的运动过程中：①BG和DF是否总是相等？若是，请你证明；若不是，请说明理由；②当BF的长为多少时，△ABG能构成等腰三角形？6．（2023•淄博）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．（1）操作判断小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图①．试判断：△ACF的形状为．（2）深入探究小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB＝2，AD＝4．探究一：当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图②．求△CMF的面积．探究二：连接AE，取AE的中点H，连接DH，如图③．求线段DH长度的最大值和最小值．7．（2023•镇江）[发现]如图1，有一张三角形纸片ABC，小宏做如下操作：①取AB、AC的中点D、E，在边BC上作MN＝DE．②连接EM，过点D、N作DG⊥EM、NH⊥EM，垂足分别为G、H．③将四边形BDGM剪下，绕点D旋转180°至四边形ADPQ的位置，将四边形CEHN剪下，绕点E旋转180°至四边形AEST的位置．④延长PQ、ST交于点F．小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：①点Q、A、T在一条直线上；②四边形FPGS是矩形；③△FQT≌△HMN；④四边形FPGS与△ABC的面积相等．[任务1]请你对结论①进行证明．[任务2]如图2，四边形ABCD中，AD∥BC，P、Q分别是AB、CD的中点，连接PQ．求证：PQ＝（AD+BC）．[任务3]如图3，有一张四边形纸片ABCD，AD∥BC，AD＝2，BC＝8，CD＝9，sin∠DCB＝，小丽分别取AB、CD的中点P、Q，在边BC上作MN＝PQ，连接MQ，她仿照小宏的操作，将四边形ABCD分割、拼成了矩形．如果她拼成的矩形恰好是正方形，求BM的长．8．（2023•镇江）已知，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，0），B点坐标为（m，n），点C与点B关于原点对称，直线AB、AC分别与y轴交于点E、F，点F在点E的上方，EF＝2．（1）分别求点E、F的纵坐标（用含m、n的代数式表示），并写出m的取值范围；（2）求点B的横坐标m、纵坐标n满足的数量关系（用含m的代数式表示n）；（3）将线段EF绕点（0，1）顺时针旋转90°，E、F的对应点分别是E'、F'．当线段E'F'与点B所在的某个函数图象有公共点时，求m的取值范围．9．（2023•朝阳）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接EA，将线段EA绕点E逆时针旋转，使点A落在射线CB上的点F处，连接EC．【问题引入】（1）请你在图1或图2中证明EF＝EC（选择一种情况即可）；【探索发现】（2）在（1）中你选择的图形上继续探索：延长FE交直线CD于点M．将图形补充完整，猜想线段DM和线段BF的数量关系，并说明理由；【拓展应用】（3）如图3，AB＝3，延长AE至点N，使NE＝AE，连接DN．当△ADN的周长最小时，请你直接写出线段DE的长．．10．（2023•常州）对于平面内的一个四边形，若存在点O，使得该四边形的一条对角线绕点O旋转一定角度后能与另一条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点O是该四边形的一个“旋点”．例如，在矩形MNPQ中，对角线MP、NQ相交于点T，则点T是矩形MNPQ的一个“旋点”．（1）若菱形ABCD为“可旋四边形”，其面积是4，则菱形ABCD的边长是；（2）如图1，四边形ABCD为“可旋四边形”，边AB的中点O是四边形ABCD的一个“旋点”．求∠ACB的度数；（3）如图2，在四边形ABCD中，AC＝BD，AD与BC不平行．四边形ABCD是否为“可旋四边形”？请说明理由．►考向四图形折叠型1．（2023•黄石）如图，有一张矩形纸片ABCD．先对折矩形ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN．观察所得的线段，若AE＝1，则MN＝（）A． B．1 C． D．22．（2023•牡丹江）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF，然后把纸片展平；第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN，如图②．根据以上的操作，若AB＝8，AD＝12，则线段BM的长是（）A．3 B． C．2 D．13．（2023•襄阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC的中点，将BCD沿BD折叠得到△BED，连接AE．若DE⊥AB于点F，BC＝10，则AF的长为．4．（2023•盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝，BC＝6，点E为边BC的中点，点F为边AD上一点，将四边形ABEF沿EF折叠，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，过点B′作B′H⊥BC于点H，若B′H＝2，则FD的长是．5．（2023•大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是．6．（2023•西宁）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．【操作】如图1，在矩形ABCD中，点M在边AD上，将矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，使点D落在点D′处，MD′与BC交于点N．【猜想】MN＝CN．【验证】请将下列证明过程补充完整：∵矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，∴∠CMD＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC（矩形的对边平行），∴∠CMD＝（ ），∴＝（等量代换），∴MN＝CN（）．【应用】如图2，继续将矩形纸片ABCD折叠，使AM恰好落在直线MD′上，点A落在点A′处，点B落在点B′处，折痕为ME．（1）猜想MN与EC的数量关系，并说明理由；（2）若CD＝2，MD＝4，求EC的长．7．（2023•盐城）综合与实践【问题情境】如图1，小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线BD上，点B的对应点记为B′，折痕与边AD，BC分别交于点E，F．【活动猜想】（1）如图2，当点B′与点D重合时，四边形BEDF是哪种特殊的四边形？答：．【问题解决】（2）如图3，当AB＝4，AD＝8，BF＝3时，求证：点A′，B′，C在同一条直线上．【深入探究】（3）如图4，当AB与BC满足什么关系时，始终有A′B′与对角线AC平行？请说明理由．（4）在（3）的情形下，设AC与BD，EF分别交于点O，P，试探究三条线段AP，B′D，EF之间满足的等量关系，并说明理由．8．（2023•宁夏）综合与实践：问题背景数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．探究发现如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC．（1）操作发现：将△ABC折叠，使边BC落在边BA上，点C的对应点是点E，折痕交AC于点D，连接DE，DB，则∠BDE＝°，设AC＝1，BC＝x，那么AE＝（用含x的式子表示）；（2）进一步探究发现：＝，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：＝；拓展应用当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的△ABC是黄金三角形．如图2，在菱形ABCD中，∠BAD＝72°，AB＝1．求这个菱形较长对角线的长．

重难点突破突破05平移、旋转、折叠等操作探究问题目录一览中考解密（分析考察方向，精准把握重难点）重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）►考向一操作探究型（不含图形变化）►考向二图形平移型►考向三图形旋转型►考向四图形折叠型综合与实践题是山西中考的必考题，这类题型属于过程探究题，旨在引导学生动手操作、自主探索、小组合作、交流共享.通过图形的变化考查学生的动手实践、推理论证、几何直观和数学运算能力.在实践过程中，学会发现问题、解决问题，培养严谨的逻辑思维、应用意识和创新意识，提高解决问题的能力.►考向一操作探究型（不含图形变化）1．（2023•大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是△MCB．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，∴∠DNM+∠DMN＝90°，由折叠的性质可知，∠BMN＝∠A＝90°，∴∠DMN+∠CMB＝90°，∴∠DNM＝∠CMB，∴△NDM∽△MCB，故答案为：△MCB．2．（2023•兰州）综合与实践：问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9“平分一个已知角，”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA和OB上分别取点C和D，使得OC＝OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是∠AOB的平分线．请写出OE平分∠AOB的依据：SSS；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE＝DE即可，他查阅资料；我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图3，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB的平分线，请说明此做法的理由；拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等，试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）解：（1）∵△CDE是等边三角形，∴CE＝DE，又∵OC＝OD，OE＝OE，∴△OCE≌△ODE（SSS），∴∠COE＝∠DOE，∴OE是∠AOB的平分线，故答案为：SSS；（2）∵OM＝ON，CM＝CN，OC＝OC，∴△OCM≌△OCN（SSS），∴∠AOC＝∠BOC，∴射线OC是∠AOB的平分线；（3）如图，点E即为所求的点．3．（2023•盐城）综合与实践【问题情境】如图1，小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线BD上，点B的对应点记为B′，折痕与边AD，BC分别交于点E，F．【活动猜想】（1）如图2，当点B′与点D重合时，四边形BEDF是哪种特殊的四边形？答：菱形．【问题解决】（2）如图3，当AB＝4，AD＝8，BF＝3时，求证：点A′，B′，C在同一条直线上．【深入探究】（3）如图4，当AB与BC满足什么关系时，始终有A′B′与对角线AC平行？请说明理由．（4）在（3）的情形下，设AC与BD，EF分别交于点O，P，试探究三条线段AP，B′D，EF之间满足的等量关系，并说明理由．（1）解：当点B′与点D重合时，四边形BEDF是菱形．理由：设EF与BD交于点O，如图，由折叠得：EF⊥BD，OB＝OD，∴∠BOF＝∠DOE＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠OBF＝∠ODE，∴△BFO≌△DEO（ASA），∴OE＝OF，∴四边形BEDF是菱形．故答案为：菱形．（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝8，BF＝3，∴BC＝AD＝8，CD＝AB＝4，∠BCD＝90°，∴CF＝BC﹣BF＝8﹣3＝5，∴BD＝＝＝4，如图，设EF与BD交于点M，过点B′作B′K⊥BC于K，由折叠得：∠A′B′F＝∠ABF＝∠BMF＝∠B′MF＝90°，B′F＝BF＝3，BB′＝2BM，∴∠BMF＝∠BCD，∵∠FBM＝∠DBC，∴△BFM∽△BDC，∴＝，即＝，∴BM＝，∴BB′＝，∵∠BKB′＝∠BCD，∠B′BK＝∠DBC，∴△BB′K∽△BDC，∴＝＝，即＝＝，∴B′K＝，BK＝，∴CK＝BC﹣BK＝8﹣＝，∴B′C＝＝＝4，∵B′F2+B′C2＝32+42＝25，CF2＝52＝25，∴B′F2+B′C2＝CF2，∴∠CB′F＝90°，∴∠A′B′F+∠CB′F＝90°+90°＝180°，∴点A′，B′，C在同一条直线上．（3）解：当BC＝AB时，始终有A′B′与对角线AC平行．理由：如图，设AC、BD交于点O，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∠ABC＝90°，∵BC＝AB，∴tan∠BAC＝＝，∴∠BAC＝60°，∴△OAB是等边三角形，∴∠ABO＝∠AOB＝60°，由折叠得：∠A′B′B＝∠ABO＝60°，∴∠A′B′B＝∠AOB，∴A′B′∥AC，故当BC＝AB时，始终有A′B′与对角线AC平行．（4）解：EF＝2（AP+B′D），理由如下：如图，过点E作EG⊥BC于G，设EF交BD于H，由折叠得：EF⊥BD，B′F＝BF，∠BFE＝∠B′FE，设AE＝m，EF＝n，由（3）得：∠BAC＝60°＝∠ABD，∴∠BB′F＝∠DBC＝30°，∴∠BFE＝∠B′FE＝60°，∴EG＝EF•sin60°＝n，FG＝EF•cos60°＝n，∵∠EAB＝∠ABG＝∠BGE＝90°，∴四边形ABGE是矩形，∴AB＝EG＝n，BG＝AE＝m，AD∥BC，∴BF＝B′F＝m+n，∴BH＝BF•cos30°＝（m+n），∴BB′＝2BH＝（m+n），∵BD＝2AB＝n，∴B′D＝BD﹣BB′＝n﹣（m+n）＝n﹣m，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG＝60°，∴∠APE＝∠DEF﹣∠DAC＝60°﹣30°＝30°＝∠DAC，∴AP＝2AE•cos30°＝m，∴AP+B′D＝m+（n﹣m）＝n，∴AP+B′D＝EF，即EF＝2（AP+B′D）．4．（2023•淮安）综合与实践定义：将宽与长的比值为（n为正整数）的矩形称为n阶奇妙矩形．（1）概念理解：当n＝1时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（AD）与长（CD）的比值是．（2）操作验证：用正方形纸片ABCD进行如下操作（如图（2））：第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为EF，连接CE；第二步：折叠纸片使CD落在CE上，点D的对应点为点H，展开，折痕为CG；第三步：过点G折叠纸片，使得点A、B分别落在边AD、BC上，展开，折痕为GK．试说明：矩形GDCK是1阶奇妙矩形．（3）方法迁移：用正方形纸片ABCD折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．（4）探究发现：小明操作发现任一个n阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点E为正方形ABCD边AB上（不与端点重合）任意一点，连接CE，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．（1）解：当n＝1时，，故答案为：；（2）证明：如图1，延长CG，交BA的延长线于点R，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝90°，∴∠R＝∠DCG，△CDG∽△RAG，∴，由折叠得，∠GCH＝∠DCG，∴∠R＝∠GCH，∴ER＝CE，设BE＝AE＝1，则AB＝BC＝CD＝AD＝2，ER＝CE＝，∴AR＝ER﹣AE＝，∴，∴DG＝，∴，∴矩形GDCK是1阶奇妙矩形；（3）解：如图2，第一步：对折正方形纸片，折痕为MN；第二步：对折矩形ADMN，折痕为EF，将正方形展开；第三步：连接CE，折叠纸片，使CD落在CE上，点D落在H点，折痕为CG；第四步：过点G折叠纸片，使得点A、B分别落在边AD、BC上，展开，折痕为GK．则矩形GDCK是2阶奇妙矩形；（4）解：如图3，四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长比值是定值，理由如下：延长CG，交BA的延长线于点R，设AD＝AB＝BC＝CD＝a，设BE＝b，则AE＝a﹣b，同理（2）可得：ER＝CE＝，，∴AR＝﹣（a﹣b），∴＝，∴DG＝﹣b，∴四边形CDGK的周长＝2（DG+CD）＝2（+a﹣b），∵EH＝CE﹣CH＝CE﹣CD＝﹣a，∵四边形AGHE的周长＝EH+AE+AG+GH＝（﹣a）+（a﹣b）+AG+DG＝﹣a+a﹣b+a＝+（a﹣b），∴四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长比值是．5．（2023•淄博）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．（1）操作判断小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图①．试判断：△ACF的形状为等腰直角三角形．（2）深入探究小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB＝2，AD＝4．探究一：当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图②．求△CMF的面积．探究二：连接AE，取AE的中点H，连接DH，如图③．求线段DH长度的最大值和最小值．解：（1）在Rt△ABC中，AC＝，在Rt△CFG中，CF＝，∵AB＝GF，BC＝CG，∴AC＝CF，∴△ACF是等腰三角形，∵AB＝GF，∠FGC＝∠ABC＝90°．BC＝CG，∴△ABC≌△FGC（SAS），∴∠ACG＝∠GFC，∵∠GCF+∠GFC＝90°，∴∠ACG+∠GCF＝90°，∴∠ACF＝90°，∴△ACF是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形；（2）探究一：∵CD＝GF，∠FMG＝∠DMC，∠G＝∠CDF＝90°，∴△CDM≌△FGM（AAS），∴CM＝MF，∵AC＝CF，CD⊥AF，∴AD＝DF，∵AB＝CD＝2，AD＝DF＝4，∴DM＝4﹣CM，在Rt△CDM中，CM2＝CD2+DM2，∴CM2＝22+（4﹣CM）2，解得CM＝，∴MF＝，∴△CMF的面积＝2×＝；探究二：连接DE，取DE的中点P，连接HP，取AD、BC的中点为M、N，连接MN，MH，NH，∵H是AE的中点，∴MH∥DE，且MH＝DE，∵CD＝CE，∴CP⊥DE，DP＝PE，∵MH∥DP，且MH＝DP，∴四边形MHPD是平行四边形，∴MD＝HP，MD∥HP，∵AD∥BC，MD＝CN，∴HP∥CN，HP＝CN，∴四边形HNCP是平行四边形，∴NH∥CP，∴∠MHN＝90°，∴H点在以MN为直径的圆上，设MN的中点为T，∴DT＝＝，∴DH的最大值为+1，最小值为﹣1．方法二：设AC的中点为T，连接HT，∵HT是△ACE的中位线，∴HT＝CE＝1，∴H在以T为圆心，1为半径的圆上，∵DT＝＝，∴DH的最大值为+1，最小值为﹣1．6．（2023•宁夏）综合与实践：问题背景数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．探究发现如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC．（1）操作发现：将△ABC折叠，使边BC落在边BA上，点C的对应点是点E，折痕交AC于点D，连接DE，DB，则∠BDE＝72°，设AC＝1，BC＝x，那么AE＝1﹣x（用含x的式子表示）；（2）进一步探究发现：＝，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：＝；拓展应用当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的△ABC是黄金三角形．如图2，在菱形ABCD中，∠BAD＝72°，AB＝1．求这个菱形较长对角线的长．探究发现（1）解：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵边BC落在边BA上，点C的对应点是点E，∴∠BED＝∠C＝72°，∠EBD＝∠CBD＝，∴∠BDE＝180°﹣∠BED﹣∠EBD＝72°，AE＝AB﹣BE＝AC﹣BC＝1﹣x，故答案为：72，1﹣x；（2）证明：由（1）知：∠CBD＝∠EBD＝36°，∴∠A＝∠CBD＝∠EBD，∴AD＝BD，∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC∴即，解得x＝∴＝；拓展应用如图，在AC上截取AE＝AD，连接DE，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ACD＝，∠DAC＝∠BAC＝，AD＝AB＝1，CD∥AB，∴∠ADE＝∠AED＝72°，∠ADC＝180°﹣∠DAB＝108°，∴DE＝，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝108°﹣72°＝36°，∴∠CDE＝∠ACD，∴CE＝DE＝，∴AC＝AE+CE＝1+．7．（2023•兰州）综合与实践：【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG＝CF，试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH＝HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题．解：（1）四边形ABCD是正方形，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∵GD⊥DF，∴∠FDG＝90°，∴∠ADG＝∠CDF，又∵AG＝CF，∠G＝∠DFC＝90°，∴△ADG≌△CDF（AAS），∴AD＝CD，∴四边形ABCD是正方形；（2）HF＝AH+CF，理由：∵DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，∴四边形HFDG是矩形，∴∠G＝∠DFC＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDF，∴△ADG≌△CDF（AAS），∴AG＝CF，DG＝DF，∴矩形HFDG是正方形，∴HG＝HF＝AH+AG＝AH+CF；（3）连接AC，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∵AH⊥CE，AH＝HM，∴△AHM是等腰直角三角形，∴∠HAM＝45°，∴∠HAB＝∠MAC，∵，∴△AHB∽△AMC，∴，即BH＝CM．8．（2023•齐齐哈尔）综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：BE＝CF，∠BDC＝30°；（2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：BF＝CF+2AM；（4）实践应用：正方形ABCD中，AB＝2，若平面内存在点P满足∠BPD＝90°，PD＝1，则S△ABP＝或．解：（1）BE＝CF，∠BDC＝30°，理由如下：如图1所示：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∴AB＝AC，AE＝AF，又∵∠BAC＝∠EAF＝30°，∴△ABE≌△ACF（SAS），∴BE＝CF，∴∠ABE＝∠ACD，∵∠AOE＝∠ABE+∠BAC，∠AOE＝∠ACD+∠BDC，∴∠BDC＝∠BAC＝30°；（2）BE＝CF，∠BDC＝60°，理由如下：如图2所示：证明：∵∠BAC＝∠EAF＝120°，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，即∠BAE＝∠CAF，又∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，∴AB＝AC，AE＝AF，∴△BAE≌△CAF（SAS）∴BE＝CF，∴∠AEB＝∠AFC，∵∠EAF＝120°，AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝30°，∴∠BDC＝∠BEF﹣∠EFD＝∠AEB+30°﹣（∠AFC﹣30°）＝60°；（3）BF＝CF+2AM，理由如下：如图3所示：∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，∴∠CAB＝∠EAF＝90°，AB＝AC，AE＝AF，∴∠CAB﹣∠CAE＝∠FAE﹣∠CAE，即：∠BAE＝∠CAF，∴△BAE≌△CAE（SAS），∴BE＝CF，∵AM⊥BF，AE＝AF，∠EAF＝90°，∴EF＝2AM，∵BF＝BE+EF，∴BF＝CF+2AM；（4））如图4所示：连接BD，以BD为直径作圆，由题意，取满足条件的点P，P′，则PD＝P′D＝1．∠BPD＝∠BP′D＝90°，∴BD＝2，∴BP＝＝＝，连接PA，作AF⊥PB于点F，在BP上截取BE＝PD，∵∠PDA＝ABE，AD＝AB，∴△ADP≌△ABE（SAS），∴AP＝AE，∠BAE＝∠DAP，∴∠PAE＝90°，由（3）可得：PB﹣PD＝2AF，∴AF＝＝，∴S△PAB＝PB•AF＝，同理可得：S△P′AB＝，故△ABP的面积为：或．9．（2023•大连）综合与实践问题情境数学活动课上，老师发给每名同学一个等腰三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＞90°，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论．问题发现奋进小组在边AC上取一点D，连接BD，将这个纸片沿BD翻折，点A的对应点为E，如图1所示．如图2，小明发现，当点E落在边BC上时，∠DEC＝2∠ACB．如图3，小红发现，当点D是AC的中点时，连接CE，若已知AB和CE的长，则可求BD的长．……问题提出与解决奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1，请你解答．问题1：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，点D是边AC上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD．（1）如图2，当点E在边BC上时，求证：∠DEC＝2∠ACB．（2）如图3，当点D是AC的中点时，连接CE，若AB＝4，CE＝3，求BD的长．拓展延伸小刚受到探究过程的启发，将等腰三角形的顶角改为锐角，尝试画图，并提出问题2，请你解答．问题2：如图4，点D是△ABC外一点，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，∠ABD＝2∠BDC，求BC的长．问题1，（1）证明：∵将△ABD沿BD翻折得到△EBD，∴∠BED＝∠A，∵∠BED+∠DEC＝180°，∴∠A+∠DEC＝180°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠A+∠ACB+∠ABC＝∠A+2∠ACB＝180°，∴∠DEC＝2∠ACB；（2）解：如图1，作AG⊥BD于G，作DF⊥CE于F，∴∠AGD＝∠DFC＝90°，由折叠得，AD＝DE，∠ADB＝∠BDE，∵点D是AC的中点，∴CD＝AD，∴DE＝CD，∴∠DEC＝∠DCE，CF＝EF＝CE＝∴DF2＝CD2﹣CF2＝22﹣（）2＝，∵∠ADB+∠BDE+∠EDC＝180°，∴2∠ADB+∠EDC＝180°，∵∠DEC+∠DCE+∠EDC＝180°，∴2∠DCE+∠EDC＝180°，∴∠ADB＝∠DCE，∴△ADG≌△DFC（AAS），∴AG＝DF，DG＝CF＝，在Rt△ABG中，由勾股定理得，BG＝＝，∴BD＝BG+DG＝；问题2，解：如图2，连接AD，作BE⊥AD于E，作BF⊥CD，交DC的延长线于F，∵AB＝BD，∴∠ABD＝2∠DBE，DE＝AE＝AD，∵∠ABD＝2∠BDC，∴∠BDE＝∠BDC，∴CD∥BE，∴CD⊥AD，∴∠BED＝∠EDC＝∠F＝90°，∴四边形DEBF是矩形，∴BF＝DE，DF＝BE，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝4，∴AD＝＝，∴BF＝DE＝，在Rt△BDE中，BD＝4，DE＝，∴DF＝BE＝＝，∴CF＝DF﹣CD＝，在Rt△BCF中，CF＝，BF＝，∴BC＝＝►考向二图形平移型1．（2023•德州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（6，3），D是OA的中点，AC，BD交于点E，函数的图象过点B．E．且经过平移后可得到一个反比例函数的图象，则该反比例函数的解析式（）A．y＝﹣ B． C． D．解：由题知，A（6，0），B（6，3），C（0，3），令直线AC的函数表达式为y1＝k1x+b1，则，解得，所以．又因为点D为OA的中点，所以D（3，0），同理可得，直线BD的函数解析式为y2＝x﹣3，由得，x＝4，则y＝4﹣3＝1，所以点E坐标为（4，1）．将B，E两点坐标代入函数解析式得，，解得．所以，则，将此函数图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得图象的函数解析式为：．故选：D．2．（2023•鞍山）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝4，，垂直于BC的直线MN从AB出发，沿BC方向以每秒个单位长度的速度平移，当直线MN与CD重合时停止运动，运动过程中MN分别交矩形的对角线AC，BD于点E，F，以EF为边在MN左侧作正方形EFGH，设正方形EFGH与△AOB重叠部分的面积为S，直线MN的运动时间为ts，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A． B． C． D．解：在运动的第一阶段，令HE和FG与AB的交点分别为I和K，因为直线MN沿BC方向以每秒个单位长度的速度平移，则IE＝FK＝，又AB＝4，BC＝，则∠BAO＝60°．所以AI＝BK＝t，则IK＝4﹣2t，即EF＝4﹣2t．故S＝＝．据此可以排除掉A和D．再继续向右运动时，正方形全部在△AOB内，此时S＝（4﹣2t）2．据此又可以排除掉C．故选：B．3．（2023•潍坊）如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣2，0），∠AOC＝60°．将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，其中点B′的坐标为（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣，1） D．（﹣，﹣1）解：过点B作BE⊥x轴于点E，∴∠BEA＝90°，∵点A的坐标为（﹣2，0），∴OA＝2，∵四边形OABC是菱形，∴AB＝OA＝2，AB∥OC，∴∠EAB＝∠AOC＝60°，∴∠ABE＝30°，∴，由勾股定理得，∴OE＝AE+OA＝1+2＝3，∴点B的坐标是，将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，∴点B′的坐标为，故选：A．4．（2023•湖州）如图1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与y轴的交点坐标为（0，5），图象的顶点为M．矩形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为（1，5）．（1）求c的值及顶点M的坐标．（2）如图2，将矩形ABCD沿x轴正方向平移t个单位（0＜t＜3）得到对应的矩形A′B′C′D′．已知边C′D′，A′B′分别与函数y＝x2﹣4x+c的图象交于点P，Q，连接PQ，过点P作PG⊥A′B′于点G．①当t＝2时，求QG的长；②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得△PGQ的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．解（1）∵二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与y轴的交点坐标为（0，5），∴c＝5，∴y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，∴顶点M的坐标是（2，1）．（2）①如图1，∵A在x轴上，B的坐标为（1，5），∴点A的坐标是（1，0）．当t＝2时，D′，A′的坐标分别是（2，0），（3，0）．当x＝3时，y＝32﹣4×3+5＝2，即点Q的纵坐标是2．当x＝2时，y＝1，即点P的纵坐标是1．∵PG⊥A′B′，∴点G的纵坐标是1，∴QG＝2﹣1＝1．②存在．理由如下：∵△PGQ的面积为1，PG＝1，∴QG＝2．根据题意，得：P（t，t2﹣4t+5），Q（t+1，t2﹣2t+2），∴G（t+1，t2﹣4t+5），如图2，当点G在点Q的上方时，QG＝t2﹣4t+5﹣（t2﹣2t+2）＝3﹣2t＝2，此时（在0＜t＜3的范围内）．如图3，当点G在点Q的下方时，QG＝t2﹣2t+2﹣（t2﹣4t+5）＝2t﹣3＝2，此时（在0＜t＜3的范围内）．综上所述，存在t，使得△PGQ的面积为1，此时t的值为或．5．（2023•襄阳）【问题背景】人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1D1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形A1B1C1D1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形ABCD的对角线相交于点O，点P落在线段OC上，＝k（k为常数）．【特例证明】（1）如图1，将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边AB，BC相交于点M，N．①填空：k＝1；②求证：PM＝PN．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明△PAM≌△PBN；也可过点P分别作AB，BC的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）【类比探究】（2）如图2，将图1中的△PEF沿OC方向平移，判断PM与PN的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由．【拓展运用】（3）如图3，点N在边BC上，∠BPN＝45°，延长NP交边CD于点E，若EN＝kPN，求k的值．（1）①解：∵将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合，∴k＝＝＝1，故答案为：1；②证明：方法一：∵四边形ABCD是正方形，∴∠APB＝∠MPN＝90°，∠PAB＝∠PBC＝45°，PA＝PB，∴∠APB﹣∠BPM＝∠MPN﹣∠BPM，即∠APM＝∠BPN，∴△PAM≌△PBN（ASA），∴PM＝PN．方法二：过点P分别作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H，如图1，则∠PGM＝∠PHN＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，∴PG＝PH，∠HPG＝90°，∴∠MPN﹣∠GPN＝∠GPH﹣∠GPN，即∠MPG＝∠NPH，∴△PMG≌△PNH（ASA），∴PM＝PN．（2）解：＝k．理由如下：方法一：过点P作PG∥BD交BC于G，如图2（i），∴∠AOB＝∠APG，∠PGC＝∠OBC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠PAM＝∠OCB＝∠OBC＝45°，∠AOB＝90°，∴∠APG＝∠MPN＝∠AOB＝90°，∠PGC＝∠PCG＝∠PAM，∴PG＝PC，∠APG﹣∠MPG＝∠MPN﹣∠MPG，即∠APM＝∠GPN，∴△PAM∽△PGN，∴＝＝k．方法二：过点P分别作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H，如图2（ii），则∠PGM＝∠PGB＝∠PHN＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∠ABC＝90°，∵∠PGA＝∠CHP＝90°，∴△APG∽△CPH，∴＝，∵∠GPH＝∠MPN＝90°，∴∠MPN﹣∠GPN＝∠GPH﹣∠GPN，即∠MPG＝∠NPH，∴△PMG∽△PNH，∴＝＝＝k．（3）过点P作PM⊥PN交AB于M，作PH⊥BC于H，作PG⊥AB于G，如图3，则∠MPN＝∠GPH＝∠PGM＝∠ECN＝90°，∴∠MPN﹣∠GPN＝∠GPH﹣∠GPN，即∠MPG＝∠NPH，∴∠PMG＝∠PNH，由（2）和已知条件可得：PM＝kPN，EN＝kPN，∴PM＝EN，∴△PGM≌△ECN（AAS），∴GM＝CN，PG＝EC，∵∠BPN＝∠PCB＝45°，∠PBN＝∠CBP，∴△BPN∽△BCP，∴＝，∴PB2＝BC•BN，同理可得：PB2＝BA•BM，∵BC＝BA，∴BM＝BN，∴AM＝CN，∴AG＝2CN，∵∠PAB＝45°，∴PG＝AG，∴EC＝2CN，∴tan∠ENC＝＝＝2，令HN＝a，则PH＝2a，CN＝3a，EC＝6a，∴EN＝＝3a，PN＝＝a，∴k＝＝＝3．6．（2023•攀枝花）如图1，在△ABC中，AB＝BC＝2AC＝8，△ABC沿BC方向向左平移得到△DCE，A、C对应点分别是D、E．点F是线段BE上的一个动点，连接AF，将线段AF绕点A逆时针旋转至线段AG，使得∠BAD＝∠FAG，连接FG．（1）当点F与点C重合时，求FG的长；（2）如图2，连接BG、DF．在点F的运动过程中：①BG和DF是否总是相等？若是，请你证明；若不是，请说明理由；②当BF的长为多少时，△ABG能构成等腰三角形？（1）当F点与C点重合时，AF＝AC，由平移可知，CD＝AB，CD∥AB，∴四边形ABCD、四边形ACED是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵∠BAD＝∠FAG，∴∠DAF＝∠FAG，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB，∵∠DAC＝∠ACB，∴∠DAC＝∠BAC＝∠BAG，∴AB是∠CAG的平分线，∵AC＝AG，∴AB⊥CG，如图1，过B点作BH⊥AC交于H点，∵AB＝BC＝2AC＝8，∴AH＝2，∴BH＝2，∴sin∠BAC＝＝，∴CG＝FG＝2；（2）①DF＝BG，理由如下：如图2，∵AG＝AF，∠DAF＝∠BAG，AB＝AD，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴DF＝BG；②如图2，过点A作AN⊥BC交于N，由①可知4×2＝8AN，∴AN＝，当AG＝AB时，∵AB＝BC＝8，∴AG＝8，∵AG＝AF，∴AF＝8，当F点与B点重合时，AF＝8，此时BF＝0，当BF＝2BN时，AF＝8，在Rt△ABN中，BN＝＝7，∴BF＝14；当AG＝BG时，AF＝BG，∵DF＝BG，∴DF＝AF，过点F作FM⊥AD交于M，∴AM＝DM＝4，∵FM⊥AD，AN⊥BC，∴AM＝FN＝4，∵BN＝7，∴CN＝1，∴CF＝3，∴BF＝11；当BA＝BG时，∵DF＝BG，∴AB＝DF，∵AB＝CD＝BC＝AD，∴DC＝DF，当F点在BE上时，CD＝DF，此时C点与F点重合，∴BF＝BC＝8；综上所述：BF的长为14或11或8或0．7．（2023•淄博）如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝相交于点A（2，3），B（n，1）．（1）求双曲线及直线对应的函数表达式；（2）将直线AB向下平移至CD处，其中点C（﹣2，0），点D在y轴上．连接AD，BD，求△ABD的面积；（3）请直接写出关于x的不等式kx+b＞的解集．解：（1）将A（2，3）代入双曲线y＝，∴m＝6，∴双曲线的解析式为y＝，将点B（n，1）代入y＝，∴n＝6，∴B（6，1），将A（2，3），B（6，1）代入y＝kx+b，∴，解得，∴直线解析式为y＝﹣x+4；（2）∵直线AB向下平移至CD，∴AB∥CD，设直线CD的解析式为y＝﹣x+n，将点C（﹣2，0）代入y＝﹣x+n，∴1+n＝0，解得n＝﹣1，∴直线CD的解析式为y＝﹣x﹣1，∴D（0，﹣1），过点D作DG⊥AB交于G，设直线AB与y轴的交点为H，与x轴的交点为F，∴H（0，4），F（8，0），∵∠HFO+∠OHF＝90°，∠OHG+∠HDG＝90°，∴∠HDG＝∠HFO，∵OH＝4，OF＝8，∴HF＝4，∴cos∠HFO＝，∵DH＝5，∴DG＝DH＝2，∵AB＝2，∴△ABD的面积＝2×2＝10；方法2：S△ABD＝S△HBD﹣S△HAD＝HD（xB﹣xA）＝5×4＝10；（3）由图可知2＜x＜6或x＜0时，﹣x﹣1＞．8．（2023•青岛）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA、OB关于y轴对称．OC＝1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．（1）求抛物线的表达式；（2）分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；（3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S1，将抛物线向右平移m（m＞0）个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S2．若S2＝S1，求m的值．解：（1）设抛物线的表达式为：y＝ax2+c，由题意得，点A的坐标为：（2，0.6）、点C（0，1），则，解得：，则抛物线的表达式为：y＝﹣0.1x2+1①；（2）由点A的坐标得，直线OA的表达式为：y＝0.3x②，联立①②得：0.3x＝﹣0.1x2+1，解得：x＝2（舍去）或﹣5，即点F（﹣5，﹣1.5），则EF＝5×2＝10；（3）平移后的抛物线表达式为：y＝﹣0.1（x﹣m）2+1，令x＝0，则y＝﹣0.1m2+1，此时抛物线与y轴的交点为D（0，﹣0.1m2+1），∵平移前后抛物线和x轴交点间的距离不变，若S2＝S1，则OD＝OC，即|﹣0.1m2+1|＝×1，解得：m＝±2或±4（舍去负值），即m＝2或4．9．（2023•常州）如图，二次函数y＝x2+bx﹣4的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），B，其顶点是C．（1）b＝﹣1；（2）D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD＝．将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点（k，0）作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；（3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．解：（1）由题意得，﹣2b﹣4＝0，∴b＝﹣1；（2）∵tan∠AOD＝，∴设D（2t，5t），∴，∴t1＝﹣，t2＝4（舍去），∴D（﹣1，﹣），∵y＝﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，∴新抛物线设为：y＝（x﹣m）2﹣，∴﹣，∴m1＝﹣3，m2＝1（舍去），∴y＝（x+3）2﹣，∵在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，∴k≤﹣3；（3）如图，作PV⊥CQ于V，设P（t，），∴平移后的抛物线为：y＝（x﹣t）2+（），当x＝1时，y＝t2﹣2t﹣，∴Q（1，t2﹣2t﹣），∵＞0，∴∠CPQ＝90°，∵QV＝（t2﹣2t﹣）﹣（）＝﹣t，CV＝（﹣t﹣4）﹣（﹣）＝﹣t+，∴QV＝CV，∴PV＝CV＝QV，∴|t﹣1|＝，∴t1＝3，t2＝﹣1，t3＝t4＝1（舍去），当t＝3时，y＝32﹣3﹣4＝﹣，∴P（3，﹣）或（﹣1，﹣）．10．（2023•济南）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，C（2，3），D（﹣1，3）．抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于点E（﹣2，0）和点F．（1）如图1，若抛物线过点C，求抛物线的表达式和点F的坐标；（2）如图2，在（1）的条件下，连接CF，作直线CE，平移线段CF，使点C的对应点P落在直线CE上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标；（3）若抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与正方形ABCD恰有两个交点，求a的取值范围．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点C（2，3），E（﹣2，0），得，解得，∴抛物线表达式为，当y＝0时，，解得x1＝﹣2（舍去），x2＝4，∴F（4，0）；（2）设直线CE的表达式为y＝kx+b，∵直线过点C（2，3），E（﹣2，0），得，解得，∴直线CE的表达式为，设点，则点Q向左平移2个单位，向上平移3个单位得到点，将代入，解得t1＝﹣4，t2＝4（舍去），∴Q点坐标为（﹣4，﹣6）；（3）将E（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax+c得c＝﹣8a，∴y＝ax2﹣2ax﹣8a＝a（x﹣1）2﹣9a，∴顶点坐标为（1，﹣9a），①当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，∴0＜﹣9a＜3，解得，②当抛物线与直线BC交点在点C上方，且与直线AD交点在点D下方时，与正方形有两个交点，，解得综上所述，a的取值范围为或►考向三图形旋转型1．（2023•绵阳）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，满足A1B1∥AC，过点B作BE⊥A1C，垂足为E，连接AE，若S△ABE＝3S△ACE，则AB的长为4．解：设A1C交AB于D，如图：∵A1B1∥AC，∴∠A1＝∠A1CA，∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，∴∠A1＝∠BAC，∴∠A1CA＝∠BAC，∴CD＝AD，∵∠ACB＝90°，∴∠CBD+∠BAC＝90°＝∠A1CA+∠BCD，∴∠CBD＝∠BCD，∴BD＝CD，∴BD＝CD＝AD，∴S△BDE＝S△ADE＝S△ABE，∵S△ABE＝3S△ACE，∴S△BDE＝S△ADE＝S△ACE，∴＝，∴＝，设CE＝2x，则DE＝3x，CD＝5x＝BD＝AD，∴BE＝＝4x，∴BC＝＝2x，∵∠BCE＝∠CBA，∠BEC＝90°＝∠BCA，∴△BCE∽△ABC，∴＝，∵AC＝8，∴＝，∴AB＝4．故答案为：4．2．（2023•盐城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝3，将△ABC绕点C逆时针旋转到△EDC的位置，点B的对应点D首次落在斜边AB上，则点A的运动路径的长为π．解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝3，∴AC＝3，∵将△ABC绕点C逆时针旋转到△EDC的位置，∴CB＝CD，∠BCD＝∠ACE，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD＝∠ACE＝60°，∴点A的运动路径的长为＝π，故答案为：π．3．（2023•丹东）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6，点D是BC的中点．四边形DEFG是菱形（D，E，F，G按逆时针顺序排列），∠EDG＝60°，且DE＝2，菱形DEFG可以绕点D旋转，连接AG和CE，设直线AG和直线CE所夹的锐角为α．（1）在菱形DEFG绕点D旋转的过程中，当点E在线段DC上时，如图①，请直接写出AG与CE的数量关系及α的值；（2）当菱形DEFG绕点D旋转到如图②所示的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）设直线AG与直线CE的交点为P，在菱形DEFG绕点D旋转一周的过程中，当EF所在的直线经过点B时，请直接写出△APC的面积．（1）解：AG＝CE，α＝60°，理由：在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6，则AC＝ABtan30°＝2，则BC＝2AC＝4，∵点D是BC的中点，则BD＝CD＝AD＝2，则AG＝AD﹣GD＝2﹣2，CE＝CD﹣DE＝2＝AG，在△ACD中，AD＝CD，∠C＝60°，则△ACD为等边三角形，则∠ADC＝60°＝α；（2）（1）的结论成立，理由：证明：延长AG交CD于点T，交CE于点N，∵∠ADG+∠GDC＝60°＝∠GDC+∠CDE，∴∠ADG＝∠CDE，∵AD＝CD，GD＝ED，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，∠DCE＝∠DAN，∵∠CTD＝∠CTN，∴∠ANC＝∠ADC＝60°＝α；（3）解：当B、E、F共线时，如下图，连接AD，根据图形的对称性，当B、E、F共线时，且点D是BC的中点，则F、G、C共线，此时点G、P共线，∵∠EDG＝60°，则∠BDG＝60°，则∠EBC＝∠ECB＝30°，则∠ACG＝30°+60°＝90°则BH＝HD＝DM＝CM＝BC＝，由（1）知△ADC为等边三角形，由（1）、（2）知，∠MPC＝60°，在Rt△ACG中，AC＝2，则CG＝2，则△APC的面积＝AC•GC＝2×2＝2；当B、F重合时，也符合题意，如下图：由（1）、（2）知，∠MPC＝60°，在Rt△AEC中，AC＝2，AE＝AB＝BE＝6﹣2＝4，则tan∠AEC＝＝＝，设AM＝x，则PM＝x，则CM＝＝＝x，而AC2＝AM2+CM2，即12＝3x2+x2，解得：x＝，则△APC的面积＝AM•PC＝x×（x+x）＝；综上，△APC的面积为或2．4．（2023•甘孜州）如图，在Rt△ABC中，，点D在AB边上，连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE，DE．（1）求证：△CAD≌△CBE；（2）若AD＝2