广东省清远市连南县2024-2025学年九年级上学期期中检测数学试卷

2024-2025学年第一学期期中检测

九年级数学试卷

（考试时间：120分钟满分120分）

一.选择题（共15小题,45分）

1.如图，在菱形ABCD中，/ABC=80°,点E在对角线BD上，且BE=BA,那么NAEB的度数是

A.80°B.70°C.60°D.40°

2.如图，矩形4BCD的对角线AC、8。相交于点。且AB=2,ZAOB=60°,点E为8。上一点，OE

=1,连接AE,则AE的长为（）

C.近或我D.6

A.四边相等的四边形是菱形

B.对角线互相平分的四边形是菱形

C.四个角相等的四边形是正方形

D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形

4.如图，矩形ABCZ）中，对角线AC,BD交于点O.若/A0B=6O°,BD=8,则4B的长为（

C.3D.5

5.一元二次方程37-2x+l=0的二次项系数和常数项分别是（

A.3,-1B.-2,3C.3,1D.3,-2

6.已知11,X2是方程x2-2x-1=0的两根，则X1+X2-X1X2的值为（）

A.1B.2C.3D.4

7.若XI,X2是一元二次方程X2-2x+l=0的两个实数根，则X1+X2-5x1X2的值为（）

A.-4B.-3C.4D.-7

8.若x=2是一元二次方程W+%-机=0的一个根，则根的值为（）

A.4B.-4C.6D.-6

9.在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机

摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3,则估计

盒子中大约有红球（）

A.16个B.14个C.20个D.30个

10.掷两枚质地均匀的骰子，点数相同的概率是（）

A.AB.Ac.-LD.-L

631236

11.从至，3.1415926,后四个数中随机抽取两个数，两个数都是无理数的概率是（)

7

A.AB.Ac.AD.-1

2346

12.随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（)

A.AB.Ac.3D.1

424

13.如图，在四边形ABCD中，ZDAB=ZB=60°,ADLCD,AC平分ND45,E为AB边的中点，连

接。E交AC于尸.若。。=1,则线段A尸的长度为（）

A.3B.Ac.1D.反

555

14.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.连接AC,若

A8平分NC4D,且正方形EPG8的面积为3,则正方形ABC。的面积为（）

A.6+3V2B.4+2V2C.6+2V3D.15

15.如图，在△ABC中，点。、E在AC、8C边上，连接DE并延长交AB延长线于点G.过。作。尸_L

AG于尸.若2NADF=/G,CE；BE=2：1,A£>=2A/T0;AF=2,GE=4,则BA的长度为（）

C.9D.12

二.填空题（共5小题，15分）

16.如图，在边长为2的正方形A8CD中，E是边BC的一点，尸是边CD上的一点，连接AE,AF,若/

EAP=45°,双二爬,则的长为

17.如图，锐角△ABC中，ZBAC=45°,是8c边上的高，BD=2,CD=3,贝UAD

18.一元二次方程/-4x-12=0的两根分别是一次函数y^kx+b在无轴上的横坐标和y轴上的纵坐标，

则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是.

19.有三张正面分别标有数字-1,1,2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面

朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为a；不放回，再从中任意抽取一张，将

⑶-2/3

该卡片正面朝上的数字记为6,则使关于x的不等式组｛22的解集中有且只有2个非负整数

,ax>b

的概率为.

20.小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山”等高线示意图”(如图所示)，山上有三处观景台A,B,

C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际

直线距离为加B、C两地的实际直线距离为〃，则典的值为.

n

21.如图，在团ABC。中，点、E在BC的延长线上，且CE=BC,AE^AB,AE、DC相交于点O,连接

DE.

(1)求证：四边形AC即是矩形；

22.如图，在矩形ABC。中，点E在边上，点下在边BC上，且AE=CE作EG〃FH,分别与对角

线BD交于点G、H,连接EH、FG.

(1)求证：△BfWg△DEG；

(2)连接。凡若BF=DF,判断四边形EG/7/是什么特殊四边形？并证明你的结论.

23.阅读下列材料，并解决问题：

①己知方程，+3了+2=0的两根分别为无1=-1,X2=-2,计算：X1+尤2=,X1«X2=

②已知方程x2-3尤-4=0的两根分别为xi=4,xi—-1,计算：尤1+以=,x\*xi=_________

1

③已知关于无的方程x+px+q—0有两根分别记作xi,xi,且%1=-「'+'父-4q,x2—~P~VP~4q,

请通过计算xi+尤2及尤1•尤2,探究出它们与p、q的关系.

24.已知：平行四边形ABC。的两边AB,AD的长是关于龙的方程/-，加+旦-1=0的两个实数根.

24

(1)当机为何值时，四边形ABC。是菱形？求出这时菱形的边长；

(2)若A8的长为2,那么平行四边形ABC。的周长是多少？

(3)如果这个方程的两个实数根分别为xi,xi,且(xi-3)(X2-3)—5m,求相的值.

25.某校初三(1)班部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，收集整理数

据后，老师将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下

列问题.

(1)初三(1)班接受调查的同学共有多少名；

(2)补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“体育活动C”所对应的圆心角度数；

(3)若喜欢“交流谈心”的5名同学中有三名男生和两名女生；老师想从5名同学中任选两名同学进

行交流，直接写出选取的两名同学都是女生的概率.

也八1-)

15■r-

101l匚、

10-|-8/DB/\

享受交流体育听音宜他减压方式

美食谈心活动乐

ABCDE

图1图2

26.在一个不透明的袋子中装有3个红球和6个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀

后，随机摸出一球，

(1)分别求出摸出的球是红球和黄球的概率；

(2)为了使摸出两种球的概率相同，再放进去7个同样的红球或黄球，那么这7个球中红球和黄球的

数量分别应是多少？

27.如图，在正方形A8CD中，点M是边BC上的一点(不与8、,C重合)，点N在边CO延长线上，且

满足NAMN=90°,联结A/N,AC,MN与边AD交于点E.

(1)求证：AM=AN；

(2)如果求证：AM2=^2AB'AE；

(3)MN交AC点0,若g旦=左，则51=______________________(直接写答案、用含左的代数式表

BMON

示).

C____________D___N

28.如图，在RtZkACB中，ZC=90°,AC^16cm,BC=8cm,动点尸从点C出发，沿CA方向运动；

动点。同时从点8出发，沿方向运动，如果点P的运动速度为4cm/s,。点的运动速度为2cm/s,

那么运动几秒时，△ABC和△PC。相似？

参考答案

一.选择题(共15小题)

1.【答案】B

【分析】先由菱形的性质得/48£=/(785=工/4^=40°,再由等腰三角形的性质和三角形内角和

2

定理即可得出答案.

【解答】解：：四边形A2C。是菱形，ZABC=80°,

ZABE=ZCBE=1ZABC=4O°,

2

'：BA=BE,

J.ZBAE^ZBEA=l.(180°-40°)=70°,

2

故选：B.

2.【答案】C

【分析】先证明△ABO是等边三角形，根据题意可分点E在OB上和点E在。。上两种情况解答即可

求解.

【解答】解：：四边形A8CD是矩形，

•1-0A=0C=yAC>0B=0D=yBD>AC=BD,ZABC=90°,

：.OA=OB,

VZAOB=60°,

：.AABO是等边三角形，

：.OD=OB=OA=OC=AB=2,

①如图所示，当点E在。8上时，

'：OE=1,

：.OB=2OE,即点E是02的中点,

,：AABO是等边三角形，

：.AE±OB,

：.ZAEO=90°,

22

AE=7OA-OE=Vs；

②如图所示，当点E在。。上时，过点A作于点H,

ZAHE=90°,由①可知，OH=OE=1,AH=Vs«

：.HE=2,

•'-A£=VHE2+AH2=V7；

的长为J7或我，

故选：C.

3.【答案】A

【分析】此题根据平行四边形的判定与性质，矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定来分析，也可

以举出反例来判断选项的正误.

【解答】解：A、四边相等的四边形也可能是菱形，故正确；

8、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项错误；

C、四个角相等的四边形是矩形，故错误；

。、对角线互相垂直的四边形是菱形，故错误；

故选：A.

4.【答案】A

【分析】先由矩形的性质得出。4=。8,再证明△AOB是等边三角形，得出AB=0B=4即可.

【解答】解：：四边形A8C。是矩形，

：.OA=^-AC,08=上30=4,AC=BD,

22

：・OA=OB,

VZAOB=60°,

•••△AOB是等边三角形，

：.AB=OB=4；

故选:A.

5.【答案】C

【分析】一元二次方程的一般形式是：ar+bx+c=G(a,b,。是常数且。#0),在一般形式中办2叫二

次项，区叫一次项，c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.找出方程的

二次项系数和常数项即可.

【解答】解：方程3/-2x-1=0的二次项系数和常数项分别为3和1,

故选：C.

6.【答案】C

【分析】直接利用根与系数的关系作答.

【解答】解：：尤1,X2是方程7-2x-1=0的两根，

••2,XI*X2~~-1,

.'.X1+X2-X1X2=2-(-1)=3.

故选：c.

7.【答案】B

【分析】根据根与系数的关系得到Xl+X2=2,XI尤2=1,代入所求代数式计算即可.

【解答】解：X2是一元二次方程尤2-2%+1=0的两个实数根，

・・％1+%2=2,19

•\xi+x2-5xix2=2-5X1=-3.

故选：B.

8.【答案】C

【分析】根据一元二次方程的解的概念，将尤=2代入一元二次方程/+x-%=0,即可解得答案.

【解答】解：把尤=2代入一元二次方程得：22+2-m=0,

解得：m—6.

故选：C.

9.【答案】B

【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系

入手，列出方程求解.

【解答】解：由题意可得：上=0.3,

6+x

解得：x=14,

经检验：x=14是分式方程的解.

故选：B.

10.【答案】A

【分析】先利用列表展示所有36种等可能的结果数，其中点数相同占6种，然后根据概率的概念计算

即可.

【解答】解：列表如下：

(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)

(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)

(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)

(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)

(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)

(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)

共有36种等可能的结果数，其中点数相同占6种，

所以点数相同的概率=&=」•.

366

故选：A.

11.【答案】D

【分析】根据无理数的定义得到泥，r应为无理数，再根据列举法求出所有可能性，利用概率公式进

行求解即可.

【解答】解：迤，3.1415926,炳,八年四个数中是无理数的是泥，-泥，随机抽取两个数共有：

7

至，3.1415926；弛，底纹-V8；3.1415926,瓜3.1415926,-我；辰,-\年共6种可能

777

性，其中都是无理数的结果有1种，

，P」；

6

故选：D.

12.【答案】A

【分析】首先利用列举法，列得所有等可能的结果，然后根据概率公式即可求得答案.

【解答】解：随机掷一枚均匀的硬币两次，

可能的结果有：正正，正反，反正，反反，

...两次正面都朝上的概率是上.

4

故选：A.

13.【答案】D

【分析】延长A。、BC交于点G,可得AAgG为等边三角形，连接EC,证明EC是三角形ABG的中位

线，证明△E~Cs△。以，进而可得线段A尸的长度.

【解答】解：：,AC平分

：.ZDAC=ZCAB=3Q°,

"：ADLCD,CD=1,

:.AD=M，AC=2,

延长AD、BC交于点G,如图,

VZDAB=ZB=60°,

.,.NG=60°,

.♦.△ABG为等边三角形，

VAC平分//MB,

；.C为GB的中点，S.AC±GB,

.•.AB=AC4-cos30°=^Z1_,

3

连接EC,

为AB边的中点，

.•.EC=LB=2愿一,

23

：C为GB的中点，

：.EC//AD,

：./\EFC^/\DFA,

•.•FC_EC_2,

FAAD3

.,.AF=—AC=—.

55

故选：D.

14.【答案】A

【分析】设直角三角形的长直角边是。，短直角边是b,得到(a-b)2=3,由44加044/1'(4&4),

得至1]DH=NH=b,由4加尔父/\(7尸河(4必)，得到FM=NH,EM=a-b-b=a-2b,由△AME

s^ANH,得到/-反二2〃"即可求出处》的值，由勾股定理即可解决问题.

【解答】解：设直角三角形的长直角边是。，短直角边是6,

/.正方形EFGH的边长是a-b,

,/正方形EFGH的面积为3,

(a-b)2=3,

.,./+/-2ab—3,

平分NZX4N,

NDAH=ZNAH,

•:NAHD=/AHN=90°,AH=AH,

：.AAHD^AAHN(ASA),

:.DH=NH=b,

'：AH//CF,

：.ZHAM=ZFCM,

'：FC=AH,ZCFM=ZAHN=90°,

:.△AHN沿ACFM(ASA),

：.FM=NH=b,

・・EM=ia~b~b~~ci~2b,

■:ME〃HN,

：.AAME^AANH,

：.ME：NH=AE：AH,

(〃-2Z?)：b—b-a,

a1-b2=2ab,

廿=2,

2

.•.6=逅，

2

:(a-b)2=3,

••Cl--------------,

2

.•.4。2=/+.=6+3&,

，正方形ABCD的面积是6+372.

故选：A.

15.【答案】C

【分析】设N尸D4=a,则NG=2a,然后证明GA=GD,设GD=x,利用勾股定理列出方程求出x=

10,过点3作3Q〃GD交AC于点。，得△8QCs4&)c,对应边成比例代入值求出3。=9,然后证

明A5=5Q,即可解决问题.

【解答】解：如图，设//D4=a,则NG=2a,

*：DFLAG,

：.ZAFD=90°,

ZA=90°-a,

AZADG=180°-2a-(90°-a)=90°-a,

・•・ZADG=ZAf

：.GA=GD,

'：AD=2yJ~L0,AF=2,

DF=7AD2-AF2=V40-4=6，

设GD=x,

：.GF^AG-AF=DG-4尸=尤-2,

在RtZXGFD中，根据勾股定理得：GD1=GF2+DF2,

.'.X1—(尤-2)2+62,

.*.x=10,

・・・GD=10,

VGE=4,

：.DE=GD-GE=6,

过点B作BQ//GD交AC于点Q,

:.八BQCs^EDC,

・・%=%

**BCBQ，

CE：BE=2：1,

.2=6

■耳BQ，

：.BQ=9,

'：GA=GDf

：.ZA=ZGDAf

,:BQ〃GD,

：.ZBQA=ZGDAf

：.ZA=ZBQA,

：.AB^BQ=9,

故选：C.

二.填空题(共5小题)

16.【答案】2.

3

【分析】连接ER延长即到点G,使得DG=BE,连接AG.根据正方形的性质和勾股定理求出BE

=1,C£=l.证明△ABE经△AOG,得到/BAE=ND4G,AE=AG.进而证得△AEV丝ZvlGR得到

EF=FG.设。尸=无，在RtZkC£尸中，根据勾股定理求出x即可.

【解答】解：如图，连接ER延长FD到点G,使得。G=BE,连接4G.

:四边形ABC。为正方形，

：.AB=BC=CD=AD=2,ZBAD=ZB=ZC=ZD=90°.

:AE=Q

在RtAABE中，BE=7AE2-AB2=V(V5)2-22=1,

：.CE=BC-BE=2-1=1.

在△ABE和△ADG中,

，AB=AD

<NB=NADG,

BE=DG

；.AABE出AADG(SAS),

：.ZBAE^ZDAG,AE=AG.

VZBAD=9Q°,NE4P=45°,

：.ZBAE+ZDAF=9Q°-45°=45°

：.ZFAG=45°,

NEAF=ZFAG.

在△AEP和AAG尸中，

'AE=AG

<ZEAF=ZFAG>

AF=AF

/.AAEF^AAGF(SAS),

：.EF=FG.

设DF=x,

:DG=BE=3

：.EF=FG^l+x.

'：CE=1,CF=2-x,

在RtZiCE/中，EF2=CE1+CF2,

(x+1)2=12+(2-x)2,

解得x=2,

3

：.DF=2L,

3

故答案为：2.

3

‘T"

/

------------D

17.【答案】6.

【分析】作△ABC的外接圆，过圆心。作OELBC于点E,作。尸，4。于点R连接。4、OB、0C.利

用圆周角定理推知ABOC是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得DE=OF,在等腰R3OE

中，利用勾股定理得到进而求解.

【解答】解：如图，作△ABC的外接圆，过圆心。作。EL8C于点E,作于点F,连接OA、

OB、OC,

VZBAC=45O,

：./BOC=90°,

在RtZXBOC中，BD=2,CD=3,

，8C=2+3=5,

:.BO=CO=^^~,

2

'：OE±BC,。为圆心，

.•.BE=LC=S,

22

在RtABOE中，2。=殳巨_,BE=»,

22

：.OE=BE=^-,

2

；/OED=NEDF=/OFD=90°,

四边形。瓦不是矩形，

：.DF=OE=^-,OF=DE=BE-BD=^--2=i,

222

在RtZXAOF中，AO=^f^,OF=A,

22

•'-AF=VAO2-OF2=^

AD=AF+DF=工+5=6.

22

故答案为：6.

18.【答案】见试题解答内容

【分析】先求出方程的解，再求出三角形的面积即可.

【解答】解：解方程x2-4x-12=0得：x=6或-2,

:一元二次方程/-4x-12=0的两根分别是一次函数在x轴上的横坐标和y轴上的纵坐标，

...这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是」＞＞＜6义］-2|=6,

2

故答案为：6.

19.【答案】见试题解答内容

【分析】首先根据题意可求得所有可能结果，然后解不等式组求得不等式组的解集得出符合要求的点的

坐标，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：画树状图为：

-112

z\/\/\

12.121.

:警7①

ax^b0

解①得：x＜5,

当〃＞0,

解②得：尤＞2,

a

根据不等式组的解集中有且只有2个非负整数解，

则2＜尤＜5时符合要求，

故卫＞=2,

a

即b=2,4=1符合要求，

当a＜0,

解②得：尤＜2

a

根据不等式组的解集中有且只有2个非负整数解，

则x＜2时符合要求，

故卫＞=2,

a

即b=-2,a=-1（舍）

故所有组合中只有1种情况符合要求,

故使关于X的不等式组的解集中有且只有2个非负整数解的概率为：工，

6

故答案为：1.

6

20.【答案】2.

【分析】根据题意，得出48两地的实际直线距离，2、C两地的实际直线距离，然后求根据比例线

段求值即可.

【解答】解：由题意，得48BC=2：1,

・・〃=2：19

即处a=2.

n1

故答案为：2.

三.解答题（共8小题）

21.【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AO〃8C,AD=BC,AB=DC,求出AO=CE,AD//CE,AE

=DC,根据矩形的判定得出即可；

（2）根据矩形的性质得出OC=1CD,AE=CD,求出。4=OC,求出△AOC是等边三角

22

形，即可得出答案.

【解答】（1）证明：•••四边形ABC。是平行四边形，

J.AD//BC,AD=BC,AB=DC,

;CE=BC,

J.AD^CE,AD//CE,

/.四边形ACED是平行四边形，

'：AB=DC,AE^AB,

C.AE^DC,

四边形ACM是矩形；

（2）•..四边形ACEQ是矩形，

：.OA=^AE,OC=^CD,AE=CD,

22

：.OA^OC,

VZAOC=180°-ZAOZ）=180°-120°=60°,

：.AAOC是等边三角形，

；.0C=AC=4,

：.CD=8.

22.【答案】见试题解答内容

【分析】(1)由矩形的性质得出AZ)〃BC,AD=BC,OB=OD,由平行线的性质得出NEDG,

ZOHF=ZOGE,得出/BHF=/DGE,求出BF=DE,由A4s即可得出结论；

(2)先证明四边形EGfW是平行四边形，再由等腰三角形的性质得出即，GH,即可得出四边形EGM

是菱形.

【解答】(1)证明：•••四边形是矩形，

：.AD//BC,AD^BC,OB=OD,

:./FBH=NEDG,

'：AE^CF,

:.BF=DE,

■:EG//FH,

；./OHF=NOGE,

:./BHF=NDGE,

'NFBH=/EDG

在42切和△OEG中，，NBHF=NDGE，

BF=DE

:.△BFH冬ADEG(A4S)；

(2)解：四边形EGFH是菱形；理由如下：

连接。尸，如图所示：

由(1)得：4BFH冬/XDEG,

：.FH=EG,

又,：EG〃FH,

/.四边形EGFH是平行四边形，

,:BF=DF,OB=OD,

：.EF.LBD,

：.EF±GH,

...四边形EG”是菱形.

E

r--

B

23.【答案】见试题解答内容

【分析】根据题目中所给的方程的两根，分别求出Xl+%2,X19X2,然后可得出X1+X2=-p,XlX2=q.

【解答】解：-1,X2=-2,

・・Xl+%2=-3,XI2;

（2）Vxi=4,xi-1,

.•.Xl+X2=3,X1*X2=-4；

③-p+Jp2-4q_pXp2_4q

,XI

22-

丫?=「

,n+-PWp2-4qpWp2-4q=_p）

22

22_

-p+Vp-4q.-p-7p4q=n

X\X1----------------------------------------q.

22

即Xl+%2=-p,X\X2=q.

故答案为：-3,2；3,-4.

24.【答案】见试题解答内容

【分析】（1）当时，四边形A8CD是菱形，即方程/-3+四-1=0的两个实数根相等，根

24

据根的判别式为0可得关于机的方程，解之可得能的值，再还原方程，求解可得;

2+AD=m

（2）根据根与系数的关系可得m1,解之可得A。的长，继而得出周长;

244

（3）由根与系数的关系可得X1+X2=M,X1X2=—-—,代入到（XI-3）（X2-3）=X1X2-3（X14-X2）+9

24

=5m,解之可得.

【解答】解：（1）当AB=A。时，四边形ABC。是菱形，即方程，依+皿-1=0的两个实数根相等,

24

2

..m1-4（亚-2）=0,

24

解得：m=l,

此时方程为x2-x+—=0,

4

解得：x=A,

2

•••这时菱形的边长为工;

2

2+AD=m

(2)根据题意知，＜2AD='—'

解得：A£)=A,

2

平行四边形A2CD的周长是2X(2+A)=5；

2

(3)•方程的两个实数根分别为XI,X2,

.".Xl+X2—m,X1X2=--—)

24

代入到(尤1-3)(尤2-3)=xu2-3(xi+x2)+9—5m,可得则--3m+9=5祖，

24

解得："7=工.

6

25.【答案】见试题解答内容

【分析】(1)利用“享受美食”的人数除以所占的百分比计算即可得解；

(2)求出听音乐的人数即可补全条形统计图；由C的人数即可得到所对应的圆心角度数；

(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出两名同学都是女生的情

况，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：

解：

(1)由题意可得总人数为10・20%=50名；

(2)听音乐的人数为50-10-15-5-8=12名，"体育活动C”所对应的圆心角度数=360°xl§.=

50

108°,

补全统计图得:

图1

(3)画树状图得:

..•共有20种等可能的结果，选出都是女生的有2种情况,

，选取的两名同学都是女生的概率=