《高考数学压轴题通法训练•高分必刷系列》专题23双曲线（解答题压轴题）含答案及解析

专题23双曲线（解答题压轴题）目录TOC\o"1-1"\h\u①双曲线的弦长问题 1②双曲线的中点弦问题 2③双曲线中的参数及范围问题 4④双曲线中的最值问题 6⑤双曲线中面积问题 8⑥双曲线中定点、定值、定直线问题 10⑦双曲线中向量问题 12⑧双曲线综合问题 13①双曲线的弦长问题1．（2023秋·山东青岛·高二校考期末）已知双曲线．请从①②③中选取两个作为条件补充到题中，并完成下列问题．①；②离心率为2；③与椭圆的焦点相同．(1)求C的方程；(2)直线与C交于A，B两点，求的值．2．（2023秋·广西柳州·高二校考期末）已知双曲线C：经过点，焦点F到渐近线的距离为．(1)求双曲线C的方程；(2)若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，当l过双曲线C的右焦点时，求弦长|AB|的值．3．（2023·全国·高三专题练习）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（，0）．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝x+2与双曲线交于A，B两点，求弦长|AB|．4．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍.(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为的直线l与双曲线交于A，B两点，求.

②双曲线的中点弦问题1．（2023·全国·高三专题练习）已知，直线相交于点M，且它们的斜率之积是3.(1)求点M的轨迹C的方程；(2)过点能否作一条直线m与轨迹C交于两点P，Q，且点N是线段的中点？若能，求出直线m的方程；若不能，说明理由．2．（2023秋·内蒙古包头·高二统考期末）如图1、2，已知圆方程为，点．M是圆上动点，线段的垂直平分线交直线于点．

(1)求点的轨迹方程；(2)记点的轨迹为曲线，过点是否存在一条直线，使得直线与曲线交于两点，且是线段中点．3．（2023秋·高二课时练习）已知焦点在轴上的双曲线实轴长为，其一条渐近线斜率为．(1)求双曲线的标准方程；(2)过点能否作直线，使直线与所给双曲线交于、两点，且点是弦的中点？如果直线存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．4．（2023·全国·高二专题练习）中心在原点的双曲线的焦点在x轴上，且焦距为4，请从下面3个条件中选择1个补全条件，并完成后面问题：①该曲线经过点；②该曲线的渐近线与圆相切；③点在该双曲线上，，为该双曲线的左、右焦点，当点的纵坐标为时，以，为直径的圆经过点．(1)求双曲线C的标准方程；(2)过定点能否作直线，使与此双曲线相交于两点，且是弦的中点?若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．5．（2023·全国·高二专题练习）双曲线的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为2．(1)求C的方程；(2)是否存在直线l，经过点且与双曲线C于A，B两点，M为线段AB的中点，若存在，求l的方程：若不存在，说明理由．③双曲线中的参数及范围问题1．（2023春·上海长宁·高二上海市第三女子中学校考期中）已知双曲线：的离心率为；(1)求此双曲线的渐近线方程；(2)若经过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，，求线段的中垂线在轴上的截距的取值范围；2．（2023秋·浙江杭州·高二校考期末）已知点分别为双曲线的左顶点和右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线第一象限部分交于点，的面积为．(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，记，的面积分别为，（为坐标原点）．若，求实数的取值范围．3．（2023春·贵州黔西·高二校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若的面积为．（1）求双曲线E的方程；（2）若直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围．4．（2023·广西南宁·南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模）已知椭圆的左、右两个顶点分别为、，曲线是以、两点为顶点，焦距为的双曲线，设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点.（1）求曲线的方程；（2）设、两点的横坐标分别为、，求证为一定值；（3）设△与△（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围.④双曲线中的最值问题1．（2023·江苏·高二假期作业）在直角坐标系中,直线是双曲线的一条渐近线,点在双曲线上,设为双曲线上的动点,直线与轴相交于点,点关于轴的对称点为,直线与轴相交于点.(1)求双曲线的方程;(2)在轴上是否存在一点,使得,若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由;(3)求点的坐标,使得的面积最小.2．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线的右顶点为，虚轴长为，两准线间的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)设动直线与双曲线交于两点，已知，设点到动直线的距离为，求的最大值.3．（2023秋·江苏·高二校联考阶段练习）已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上．（1）求双曲线的方程（2）如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且，求的最小值．4．（2023春·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期中）.已知点，，动点满足条件.记动点的轨迹为.（1）求的方程；（2）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.5．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，焦距为4，右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线的一条渐近线相交于R，S两点，且∠RAS＝60°.(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知点M，Q是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，其中M位于第一象限，的角平分线记为l，过点M做l的垂线，垂足为E，与双曲线右支的另一交点记为点N，求的最大值.⑤双曲线中面积问题1．（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知双曲线为其左右焦点，点为其右支上一点，在处作双曲线的切线.(1)若的坐标为，求证：为的角平分线；(2)过分别作的平行线，其中交双曲线于两点，交双曲线于两点，求和的面积之积的最小值.2．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知点在双曲线的渐近线上，点在上，直线交于B，C两点，直线AB与直线AC的斜率之和为0．(1)求直线的斜率；(2)若M为双曲线E上任意一点，过点M作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于点P，Q，求△MPQ的面积．3．（2023·全国·高二专题练习）P是双曲线右支上一点，A，B是双曲线的左右顶点，过A，B分别作直线PA，PB的垂线AQ，BQ，AQ与BQ的交点为Q，PA与BQ的交点为C．(1)记P，Q的纵坐标分别为，求的值；(2)记的面积分别为，当时，求的取值范围．4．（2023·全国·高三专题练习）已知点在双曲线上，且C的离心率为．(1)求C的方程；(2)直线交C的左支于P，Q两点，且直线AP，AQ的斜率之和为0，若，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，求的面积．5．（2023·全国·高二专题练习）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线与直线垂直，A为垂足且位于第一象限，直线与直线垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形（O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)已知是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线，的斜率之和为1，，求的面积.⑥双曲线中定点、定值、定直线问题1．（2023秋·山东·高三校联考开学考试）如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.

(1)求双曲线的标准方程；(2)设直线，的斜率分别为，，求的值；(3)证明：直线过定点.2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近线的距离之和为.(1)求C的方程；(2)证明：为定值.3．（2023春·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习）已知点在双曲线上．(1)点，为的左右顶点，为双曲线上异于，的点，求的值；(2)点，在上，且，，为垂足，证明：存在定点，使得为定值．4．（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知双曲线的左、右顶点分别为、，为双曲线上异于、的任意一点，直线、的斜率乘积为．双曲线的焦点到渐近线的距离为1．(1)求双曲线的方程；(2)设不同于顶点的两点、在双曲线的右支上，直线、在轴上的截距之比为．试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．5．（2023春·黑龙江·高三校联考开学考试）已知双曲线Γ：，，为Γ的左、右顶点，为Γ上一点，的斜率与的斜率之积为．过点且不垂直于x轴的直线l与Γ交于M，N两点．(1)求Γ的方程；(2)若点E，F为直线上关于x轴对称的不重合两点，证明：直线ME，NF的交点在定直线上．6．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线过点，离心率为，直线交轴于点，过点作直线交双曲线于两点.(1)求双曲线的标准方程；(2)若是线段的中点，求直线的方程；(3)设是直线上关于轴对称的两点，直线与的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.⑦双曲线中向量问题1．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知双曲线C的渐近线为，右焦点为，右顶点为A.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当时，求直线l的方程.2．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，焦点在x轴上的双曲线C过点，且有一条倾斜角为的渐近线.(1)求双曲线C的标准方程；(2)设点F为双曲线C的右焦点，点P在C的右支上，点Q满足，直线交双曲线C于A，B两点，若，求点P的坐标.3．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线：（，）的左顶点为，到的一条渐近线的距离为．(1)求的方程；(2)过点的直线与交于，两点，求的值．4．（2023春·山东济南·高二统考期末）已知双曲线经过，两点．(1)求C的标准方程；(2)若直线与C交于M，N两点，且C上存在点P﹐满足，求实数t的值．⑧双曲线综合问题1．（2023·全国·高三专题练习）已知是双曲线上的两个点，且关于原点对称．的两条渐近线互相垂直．(1)求的方程；(2)设是双曲线上一点，直线分别与直线交于两点，求的最小值．2．（2023秋·辽宁阜新·高三阜新市高级中学校考阶段练习）已知双曲线的两条渐近线分别为.

(1)求双曲线E的离心率；(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由.3．（2023秋·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知双曲线与直线有唯一的公共点M.(1)若点在直线l上，求直线l的方程；(2)过点M且与直线l垂直的直线分别交x轴于，y轴于两点.是否存在定点G，H，使得M在双曲线上运动时，动点使得为定值.4．（2023秋·广东深圳·高三校联考开学考试）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，且，若C上的点M满足恒成立.(1)求C的方程；(2)若过点M的直线l与C的两条渐近线交于P，Q两点，且.（i）证明：l与C有且仅有一个交点；（ii）求的取值范围.5．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，且．(1)求双曲线的方程．(2)已知点，两个不重合的动点，在双曲线上，直线，分别与轴交于点，，点在直线上，且，试问是否存在定点，使得为定值？若是，求出点的坐标和；若不存在，请说明理由．

专题23双曲线（解答题压轴题）目录TOC\o"1-1"\h\u①双曲线的弦长问题 1②双曲线的中点弦问题 4③双曲线中的参数及范围问题 9④双曲线中的最值问题 14⑤双曲线中面积问题 21⑥双曲线中定点、定值、定直线问题 29⑦双曲线中向量问题 39⑧双曲线综合问题 43①双曲线的弦长问题1．（2023秋·山东青岛·高二校考期末）已知双曲线．请从①②③中选取两个作为条件补充到题中，并完成下列问题．①；②离心率为2；③与椭圆的焦点相同．(1)求C的方程；(2)直线与C交于A，B两点，求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）选①②，可得，，解得，所以C的方程为；选①③，可得，，解得，所以C的方程为；选②③，可得，，解得，，所以C的方程为；（2）设，，联立，消掉y，整理得，所以，因为，所以．2．（2023秋·广西柳州·高二校考期末）已知双曲线C：经过点，焦点F到渐近线的距离为．(1)求双曲线C的方程；(2)若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，当l过双曲线C的右焦点时，求弦长|AB|的值．【答案】(1)(2)24【详解】（1）若焦点F（c，0），其到渐近线的距离，又因为双曲线C：经过点，所以，解得a＝2，所以双曲线C的方程为；（2）由（1）知双曲线的右焦点为，所以直线l方程为：设点，，联立，得，所以，，从而.所以弦长|AB|的值为24．3．（2023·全国·高三专题练习）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（，0）．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝x+2与双曲线交于A，B两点，求弦长|AB|．【答案】(1)y2＝1(2)2【详解】（1）由已知得a，c＝2，再由c2＝a2+b2，得b2＝1，所以双曲线C的方程为y2＝1．（2）由直线与双曲线联立得2x2+12x+15＝0，解得x＝﹣3±,,∴|AB|2．4．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍.(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为的直线l与双曲线交于A，B两点，求.【答案】(1)(2)【详解】（1）由双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍.得，且，又，解得,所以，所以双曲线方程为.（2）由（1）可知双曲线的右焦点为，所以直线的方程为，设，由，得，所以，所以.

②双曲线的中点弦问题1．（2023·全国·高三专题练习）已知，直线相交于点M，且它们的斜率之积是3.(1)求点M的轨迹C的方程；(2)过点能否作一条直线m与轨迹C交于两点P，Q，且点N是线段的中点？若能，求出直线m的方程；若不能，说明理由．【答案】(1)(2)不能，理由见解析【详解】（1）设，∵，，∴，整理得即点M的轨迹C的方程．（2）若能作出直线m，则直线m的斜率存在，设为k，设则，两式相减得整理可∵N是线段的中点，即，故直线m的方程为，即，将直线方程代入双曲线方程可得，此时直线与双曲线不相交．故不能作出这样的直线m．2．（2023秋·内蒙古包头·高二统考期末）如图1、2，已知圆方程为，点．M是圆上动点，线段的垂直平分线交直线于点．

(1)求点的轨迹方程；(2)记点的轨迹为曲线，过点是否存在一条直线，使得直线与曲线交于两点，且是线段中点．【答案】(1)(2)不存在这样的直线【详解】（1）由中垂线性质知，所以所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线设此双曲线方程为，则所以点的轨迹方程为．（2）设可得两式相减得由题意，所以直线方程为，由，得∵．∴不存在这样的直线．3．（2023秋·高二课时练习）已知焦点在轴上的双曲线实轴长为，其一条渐近线斜率为．(1)求双曲线的标准方程；(2)过点能否作直线，使直线与所给双曲线交于、两点，且点是弦的中点？如果直线存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【详解】（1）解：因为双曲线的焦点在轴上，设该双曲线的标准方程为，因为该双曲线的实轴长为，一条渐近线斜率为，则，解得，因此，该双曲线的标准方程为.（2）解：假定直线存在，设以为中点的弦的两端点为、，则有，．

根据双曲线的对称性知．由点、在双曲线上，得，，两式相减得，所以，所以，即以为中点的弦所在直线的斜率，故直线的方程为，即．联立，消去得，，因此直线与双曲线无交点，故满足条件的直线不存在．4．（2023·全国·高二专题练习）中心在原点的双曲线的焦点在x轴上，且焦距为4，请从下面3个条件中选择1个补全条件，并完成后面问题：①该曲线经过点；②该曲线的渐近线与圆相切；③点在该双曲线上，，为该双曲线的左、右焦点，当点的纵坐标为时，以，为直径的圆经过点．(1)求双曲线C的标准方程；(2)过定点能否作直线，使与此双曲线相交于两点，且是弦的中点?若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【详解】（1）设双曲线的标准方程为，选①，由题意可知，双曲线的两个焦点分别为，，由双曲线的定义可得，故，则，所以双曲线的标准方程为.选②，因为圆的方程为，圆心为，半径为，双曲线的渐近线方程为，由题意可得，解得，即，因为，则，因此双曲线的标准方程为.选③，因为以为直径的圆经过点，所以，

由勾股定理可得，则，所以，从而，则，故，所以双曲线的标准方程为.（2）假设满足条件的直线存在，设点，，

则，由题意可得，两式作差并化简得，所以直线的斜率为，从而直线的方程为，即，联立，整理可得，易得，因此直线不存在.5．（2023·全国·高二专题练习）双曲线的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为2．(1)求C的方程；(2)是否存在直线l，经过点且与双曲线C于A，B两点，M为线段AB的中点，若存在，求l的方程：若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在；.【详解】（1）双曲线的渐近线为，因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，又焦点到直线的距离，所以，又，所以，，所以双曲线方程为（2）假设存在，由题意知：直线的斜率存在，设，，直线的斜率为，则，，所以，，两式相减得，即即，所以，解得，所以直线的方程为，即，经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，所以直线的方程为.③双曲线中的参数及范围问题1．（2023春·上海长宁·高二上海市第三女子中学校考期中）已知双曲线：的离心率为；(1)求此双曲线的渐近线方程；(2)若经过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，，求线段的中垂线在轴上的截距的取值范围；【答案】(1)(2)【详解】（1）双曲线的离心率为．，可得，所以．可得双曲线．可得双曲线的渐近线方程为：．（2）设经过点的直线方程为，，，，，联立方程组，消去得：，，解得．的中点为，线段的中垂线方程为：，令得截距．即线段的中垂线在轴上截距的取值范围是．2．（2023秋·浙江杭州·高二校考期末）已知点分别为双曲线的左顶点和右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线第一象限部分交于点，的面积为．(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，记，的面积分别为，（为坐标原点）．若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可知，所以，，由已知，可得，则，解得，所以双曲线的方程为.（2）设，联立，整理可得所以，解得，由，可得，，原点到直线的距离，所以设，，易知渐近线方程为，不妨设在渐近线上，由得，同理，所以，到直线的距离，所以所以，，则令，则故的取值范围是3．（2023春·贵州黔西·高二校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若的面积为．（1）求双曲线E的方程；（2）若直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【详解】解：（1）因为双曲线为等轴双曲线，所以，设双曲线的焦距为2c，，故，即．因为BC过右焦点F，且垂直于x轴，将代入，可得，故．将的面积为，所以，即，所以，，故双曲线E的方程为．（2）依题意，直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，联立方程组消去y可得，，所以解得，且所以．联立方程组得，同理，所以．所以，其中，所以．4．（2023·广西南宁·南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模）已知椭圆的左、右两个顶点分别为、，曲线是以、两点为顶点，焦距为的双曲线，设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点.（1）求曲线的方程；（2）设、两点的横坐标分别为、，求证为一定值；（3）设△与△（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3）.【详解】（1）由椭圆方程可得：，，即双曲线中，又双曲线焦距为

曲线的方程为：（2）由题意可知，直线斜率存在，则可设联立得：

，椭圆与直线联立得：可得：，即为定值（3）由（2）可设，则，

又点在双曲线上

，解得：又位于第一象限

，令

在上单调递减，在上单调递增，的取值范围为④双曲线中的最值问题1．（2023·江苏·高二假期作业）在直角坐标系中,直线是双曲线的一条渐近线,点在双曲线上,设为双曲线上的动点,直线与轴相交于点,点关于轴的对称点为,直线与轴相交于点.(1)求双曲线的方程;(2)在轴上是否存在一点,使得,若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由;(3)求点的坐标,使得的面积最小.【答案】(1)(2)存在或(3)的坐标是或或或【详解】（1）由已知得,解得,所以双曲线的方程为.（2）设,如图:

根据题意得:,令得,因为点关于轴的对称点为,所以,则,令得,因为,平方可得,因为,则,因为,所以,则,即,所以存在或满足条件;（3）如图:

因为,由（2）知,即,代入上式得:,当且仅当,即时等号成立,此时,所以的坐标是或或或时,的面积最小.2．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线的右顶点为，虚轴长为，两准线间的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)设动直线与双曲线交于两点，已知，设点到动直线的距离为，求的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：依题意可得，解得，所以双曲线方程为（2）解：由（1）可知，依题意可知，设，，，，则有，，所以，，所以，，作差得，又的方程为，所以过定点，所以，即的最大值为；3．（2023秋·江苏·高二校联考阶段练习）已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上．（1）求双曲线的方程（2）如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且，求的最小值．【答案】（1）；（2）24.【详解】因为，所以，．所以双曲线的方程为，即．因为点在双曲线上，所以，所以．所以所求双曲线的方程为．设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为，由，得，所以．同理可得，，所以．设，则，所以，即当且仅当时取等号．所以当时，取得最小值24．4．（2023春·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期中）.已知点，，动点满足条件.记动点的轨迹为.（1）求的方程；（2）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.【答案】（1）；（2）【详解】（1）由双曲线定义可知：点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，，的方程为：（2）①当直线斜率不存在时，设直线方程为：此时，

②当直线斜率存在时，设直线方程为：代入双曲线方程可得：可知上式有两个不等的正实数根

解得：由得：综上所述，的最小值为5．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，焦距为4，右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线的一条渐近线相交于R，S两点，且∠RAS＝60°.(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知点M，Q是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，其中M位于第一象限，的角平分线记为l，过点M做l的垂线，垂足为E，与双曲线右支的另一交点记为点N，求的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可知：△ARS是正三角形，所以点A到渐近线的距离为

所以，解得，

所以双曲线标准方程是：（2）方法①：由双曲线的光学性质，可知点Q处的切线即为的角平分线.设点，，则设直线的方程是：，由得：，，解得：，，，，，，即直线：，即：

由点到直线的距离公式得：直线方程：，即：由，得：所以，由都在双曲线右支上，得：所以所以所以，令，则

当，即时，的最大值为.方法②：如图，由题意知点Q在双曲线左支上，设，则.易知直线的斜率存在，设直线的斜率为k，记，又为的平分线，则.因为，，所以，同理，又，代入，得，化简得.又，，所以，由，，得，，所以，.所以直线的方程为，，由点到直线的距离公式得：，又直线MN的斜率为，且过点M，所以直线的方程为：，将其与联立得.设，则，.易知点N在第四象限，所以，得：，.故，

当且仅当，即时，等号成立，所以当且仅当时，的最大值为.

⑤双曲线中面积问题1．（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知双曲线为其左右焦点，点为其右支上一点，在处作双曲线的切线.(1)若的坐标为，求证：为的角平分线；(2)过分别作的平行线，其中交双曲线于两点，交双曲线于两点，求和的面积之积的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）解：由题意点处的切线为，所以过点处的切线方程为，交轴于点，则，即，所以为的角平分线；（2）过的切线，当时，即不为右顶点时，，即，（或由直线与单支有两个交点，则也可）联立设，则所以又所以，，当时，即点为右顶点时，，所以，所以的最小值为.2．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知点在双曲线的渐近线上，点在上，直线交于B，C两点，直线AB与直线AC的斜率之和为0．(1)求直线的斜率；(2)若M为双曲线E上任意一点，过点M作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于点P，Q，求△MPQ的面积．【答案】(1)6(2)4【详解】（1）如图，双曲线的渐近线方程为，代入点的，又点在双曲线上，即，联立解得，故双曲线的方程为．设点，，已知直线AB、AC的斜率一定存在，所以设直线AB的方程为，即，代入双曲线的方程得，所以，则，所以由直线AB与AC斜率之和为0，可设AC的方程为：同理可得所以，所以直线l的斜率为6．（2）设M点坐标为，过M作渐近线的平行线分别为，由（1）知，双曲线E的渐近线方程为，故可设的方程分别为，．联立解得所以同理可得又由，得，所以，又点M在双曲线E上，则，所以，即故△MPQ的面积为4．3．（2023·全国·高二专题练习）P是双曲线右支上一点，A，B是双曲线的左右顶点，过A，B分别作直线PA，PB的垂线AQ，BQ，AQ与BQ的交点为Q，PA与BQ的交点为C．(1)记P，Q的纵坐标分别为，求的值；(2)记的面积分别为，当时，求的取值范围．【答案】(1)3(2)【详解】（1）由已知条件得：，设PA，PB的斜率分别为，则QA，QB的斜率分别为，由即有．由即有而，．（2）由于，显然P，Q，B，A四点共圆，PO为直径，PQ中点为圆心，又则，

①，又

②，得：，解得．由，，而．．因为，根据单调性，求得4．（2023·全国·高三专题练习）已知点在双曲线上，且C的离心率为．(1)求C的方程；(2)直线交C的左支于P，Q两点，且直线AP，AQ的斜率之和为0，若，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，求的面积．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得，解得所以双曲线的方程为．（2）不妨设直线AP，AQ的倾斜角分别为，，因为，所以．因为，所以，即，解得或（舍），所以直线，直线．在直线中，令，得，所以，同理得，所以，所以的面积为．5．（2023·全国·高二专题练习）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线与直线垂直，A为垂足且位于第一象限，直线与直线垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形（O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)已知是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线，的斜率之和为1，，求的面积.【答案】(1)（）(2)【详解】（1）设动点，由题意知M只能在直线与直线所夹的范围内活动.，，动点在右侧，有，同理有，∵四边形的面积为8，∴，即，所以所求轨迹C方程为（）.（2）如图，设直线的倾斜角为，斜率为k，直线倾斜角为，则斜率为，，，在曲线C上，过点T直线与曲线C有两个交点，则或，同时或，解得或.

，解得或（舍去）.时，直线的方程为，联立，消y得：，则或，得.直线的方程为，联立，消y得：，则或，得，，点Q到直线的距离

，.方法二：，，，则，.⑥双曲线中定点、定值、定直线问题1．（2023秋·山东·高三校联考开学考试）如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.

(1)求双曲线的标准方程；(2)设直线，的斜率分别为，，求的值；(3)证明：直线过定点.【答案】(1)(2)(3)直线过定点,证明见解析.【详解】（1）因为点和点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线的标准方程为.（2）由题可知，直线的斜率不等于零，故可设直线的方程为，设，联立，整理得，若，即，直线的斜率为，与渐近线平行，此时直线与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以，所以，，因为,所以，所以.（3）（i）当轴时，且，所以，则，联立，整理得，即，解得或，当时，，所以，由于对称性，，此时直线过定点；（ii）当不垂直于轴时，以下证明直线仍过定点设为，因为，所以联立，即，所以，解得或，当时，，所以,同理，将上述过程中替换为可得，所以，，因为，所以，所以，所以三点共线，即此时直线恒过定点，综上直线过定点.2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近线的距离之和为.(1)求C的方程；(2)证明：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）根据题意有，C的一条渐近线方程为，将代入C的方程有，，所以M，N到直线的距离之和为，所以，C的方程为.（2）

方法1：当l垂直于x轴时，由（1）可知，，且由双曲的定义可知，故.当l不垂直于x轴时，由双曲线的定义可知，，故.设，代入C的方程有：，设，，则，，所以，所以.综上，的值为6.方法2：当l垂直于x轴时，由（1）可知，，且由双曲的定义可知，故.当l不垂直于x轴时，设，代入C的方程有：.设，，则，，所以.综上，的值为6.3．（2023春·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习）已知点在双曲线上．(1)点，为的左右顶点，为双曲线上异于，的点，求的值；(2)点，在上，且，，为垂足，证明：存在定点，使得为定值．【答案】(1);(2)证明见解析.【详解】（1）解：因为点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线，则．设点坐标为，则，所以．因为点在曲线上，所以，所以，所以的值为．（2）证明：依题意，直线的斜率存在，故设其方程为，设，联立，消得，显然，否则不可能有两个交点，，由韦达定理得，因为直线的斜率之积为，所以，所以，即，所以有，将韦达定理代入化简得，而当，此时直线为，易知恒过定点，故舍去，所以，此时满足且直线过定点，（如图所示）

又因为为垂足，所以为直角三角形，为直角，所以当点为斜边的中点时，为定值．综上所述，存在定点，使得为定值．4．（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知双曲线的左、右顶点分别为、，为双曲线上异于、的任意一点，直线、的斜率乘积为．双曲线的焦点到渐近线的距离为1．(1)求双曲线的方程；(2)设不同于顶点的两点、在双曲线的右支上，直线、在轴上的截距之比为．试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)过定点，定点坐标为【详解】（1）设，由可得，又，，又焦点到其一条渐近线的距离为，解得：．所以双曲线的方程：.（2）设直线的方程为，如图，

由得，，，直线，则直线在轴上的截距为，直线，则直线在轴上的截距为，由题得：，又，所以．所以，则，，，，化简得：或．若，直线过顶点，舍去．．则直线的方程为，所以直线过定点．5．（2023春·黑龙江·高三校联考开学考试）已知双曲线Γ：，，为Γ的左、右顶点，为Γ上一点，的斜率与的斜率之积为．过点且不垂直于x轴的直线l与Γ交于M，N两点．(1)求Γ的方程；(2)若点E，F为直线上关于x轴对称的不重合两点，证明：直线ME，NF的交点在定直线上．【答案】(1)；(2)详见解析.【详解】（1）由题意得，又为Γ上一点，的斜率与的斜率之积为，所以，解得，所以双曲线Γ的标准方程为；（2）设直线MN的方程为，由，可得，则，，设，，，，，所以，直线：，：，联立两方程，可得：，解得，当直线与x轴重合时，则，：，：，联立可得，综上，直线ME与NF的交点在定直线上.6．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线过点，离心率为，直线交轴于点，过点作直线交双曲线于两点.(1)求双曲线的标准方程；(2)若是线段的中点，求直线的方程；(3)设是直线上关于轴对称的两点，直线与的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.【答案】(1)(2)或(3)直线PM与QN的交点在定直线，理由见解析【详解】（1）由题意得：，，.解得，，所以双曲线的标准方程为.（2）方法1：设，则依题意有解得，所以直线的方程为或.方法2：设直线的方程为，与双曲线的方程联立得：.当时设，，得，.又因为，所以，，解得.此时，所以直线MN的方程为或.（3）方法1：设，，直线PM的方程为，直线ON的方程，联立两方程，可得①结合（2）方法2，可得代入①得故.所以直线PM与QN的交点在定直线上.方法2设直线MN的方程为，与双曲线的方程联立得：.设，，，，由根与系数的关系，得，.：，：，联立两方程，可得：，解得所以直线PM与QN的交点在定直线上.⑦双曲线中向量问题1．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知双曲线C的渐近线为，右焦点为，右顶点为A.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当时，求直线l的方程.【答案】(1)；(2).【详解】（1）双曲线的渐近线化为，设双曲线的方程为，即，又双曲线的右焦点，则，解得，所以双曲线的标准方程为.（2）由（1）知，，设直线的方程为，显然，由消去整理得，显然，，而，则，化简得，即，而，解得，所以直线的方程为，即.

2．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，焦点在x轴上的双曲线C过点，且有一条倾斜角为的渐近线.(1)求双曲线C的标准方程；(2)设点F为双曲线C的右焦点，点P在C的右支上，点Q满足，直线交双曲线C于A，B两点，若，求点P的坐标.【答案】(1)(2)【详解】（1）设双曲线C的标准方程为，渐近线方程为，则由题意可得，，且，解得，则双曲线C的标准方程为；（2）双曲线的方程为，所以的右焦点，点Q满足，则P为OQ的中点，设，则，

若直线AB的斜率不存在，则其方程为，此时，m＝1，Q与F重合，不合题意；若直线AB的斜率存在，设，m≠1，∵，∴，∴，∵点P在双曲线C上，∴，∴，即，联立消去得．所以，设，则，∵，∴，∴，∴，即∴，解得，，符合题意，所以，点P的坐标．3．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线：（，）的左顶点为，到的一条渐近线的距离为．(1)求的方程；(2)过点的直线与交于，两点，求的值．【答案】(1)(2)0【详解】（1）由题意知，的一条渐近线方程为，即，所以到的一条渐近线的距离为，所以，又，解得，所以的方程为．（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易得，或，，所以；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立，得，所以，解得，所以，，所以．综上，．4．（2023春·山东济南·高二统考期末）已知双曲线经过，两点．(1)求C的标准方程；(2)若直线与C交于M，N两点，且C上存在点P﹐满足，求实数t的值．【答案】(1)；(2).【详解】（1）由已知可得，，解得，所以C的标准方程为.（2）设，，.联立直线与双曲线的方程，整理可得.由韦达定理可得，所以.所以，.则由可得，，解得，即.因为点在双曲线上，所以有，整理可得，解得.⑧双曲线综合