2024-2025学年辽宁省大连九中九年级（上）月考数学试卷（12月份）

第1页（共1页）2024-2025学年辽宁省大连九中九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（）A．① B．② C．③ D．④2．（3分）如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点（k＞0）的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数y＝（）A．点P B．点Q C．点M D．点N3．（3分）如图，△ABC的顶点都是正方形网格的格点，则sin∠ABC等于（）A． B． C． D．4．（3分）在一个不透明的袋子中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同．通过多次摸球试验后发现摸到红球的频率稳定在0.4附近．则估计袋子中的白球有（）A．6个 B．8个 C．10个 D．12个5．（3分）如图，BC是⊙O的切线，点B是切点，延长CO交⊙O于点A，连接AB，OD＝2，则AB的长为（）A． B． C． D．6．（3分）如图，量角器外缘上有A，B两点，则∠ACB应为（）A．25° B．15° C．30° D．50°7．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．7x2+2x+3＝0 B．x2﹣2x﹣3＝0 C．9x2+6x+1＝0 D．2x2+x﹣1＝08．（3分）如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树AB与地面成30°角，则大树的长为（）m．A．5 B．10 C．15 D．209．（3分）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以看作是抛物线y＝﹣x2+4x的一部分，斜坡可以看作直线y＝x的一部分．下列结论错误的是（）A．小球落在斜坡上的点距O点水平距离为7米 B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势 C．当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m D．小球距斜坡的最大铅直高度为10．（3分）如图，在△ABC中，DE∥AB，CF交DE于点G，且，则下列结论错误的是（）A． B． C．DG＝EG D．二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+1＝0的解，则a的值为．12．（3分）如图，扇形AOB中，OA＝10，得一新扇形A′O′B，其中A点在O′B上．（结果保留π）13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若．14．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，AC＝20，DE＝18．将△ADE绕点A旋转，当点C、D、E在同一条直线上时．15．（3分）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，任意闭合A、B、C、D中的两个开关，则小灯泡发光，请问“任意闭合两个开关使小灯泡发光”的概率为．三.解答题（本题共5小题，共43分）16．（8分）嵊州市三江购物中心为了迎接店庆，准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）试写出这个函数的表达式；（2）当气球的体积为2m3时，气球内气体的气压是多少？（3）当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，对气球的体积有什么要求？17．（8分）如图1，是一幅美丽的风景画，如图2，需要在打印之前，设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），宽为10cm，考虑到画的整体美观性，请你求出所需设置的页边距宽度．18．（9分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BC，BD，且OF＝1．（1）求BD的长；（2）当∠D＝30°时，①CD＝；②求阴影部分的周长和面积．19．（9分）学完了三角函数知识后，我校“数学社团”的同学决定用自己学到的知识测量“无边寺白塔”的高度，他们把“测量白塔的高”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表：课题测量白塔的高测量说明测量示意图说明：CD是高为1.5米的测角仪，在点C处测得塔顶A的仰角∠ACM＝∠1，点E处测得此时塔顶A的仰角∠AEM＝∠2，（B、F、D三点在同一条直线上）测量数据∠1的度数∠2的度数CE的水平距离40°60°26米（1）请根据表中的测量数据，求白塔的高AB；（精确到0.1米，参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，）；（2）“工程简介”中白塔的高度为43.6米，请结合本次测量结果，提出一条减小误差的合理化建议．20．（9分）有一条抛物线形状的隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m．把它放在如图所示的平面直角坐标系中（1个单位表示1m）．（1）求这条的表抛物线表达式；（2）若要在隧道壁上P点处安装一个照明灯离地面的高度为4.5m，求照明灯与点B的距离．四.解答题（本题共3小题，共32分）21．（10分）如图1，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P（x，0），点C是直线l上的一个动点，且CA＝CP．△PBC与△AOB重叠部分的面积为S（其中m≤x≤0，0＜x≤4时，函数的解析式不同）．（1）填空：OA的长是；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．22．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣5ax+4a与x轴交于A、B（A点在B点的左侧）与y轴交于点C．（1）如图1，连接AC、BC，若△ABC的面积为3时；（2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接PC，求点P的横坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，点F在AP上，点K在PH的延长线上，AK＝KF，PF＝﹣4a，连接KB并延长交抛物线于点Q23．（12分）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD是BC边的中线，CE的延长线交AB于点F，试判断AF与BF的数量关系．小明探究发现，过点D作DG∥AB，交CF于点G，再证△CGD∽△CBF，从而将问题解决．（1）请回答：AF与BF的数量关系是；参考小明思考问题的方法，解决下列问题：（2）已知：如图2，在△BDE中，点C在EB上，点A在DB上，连接AC并延长交DE的延长线于点F，若，，求EC的长；（3）已知：如图3，在△BDE中，点C在EB延长线上，点A在DB的延长线上，连接AC并延长交ED的延长线于点F，若，求BC和EB关系（用含k的式子表示）．

2024-2025学年辽宁省大连九中九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析题号12345678910答案ACAACBABCD一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（）A．① B．② C．③ D．④【解答】解：①“水中捞月”是不可能事件，符合题意；②“守株待兔”是随机事件，不合题意；③“百步穿杨”，是随机事件；④“瓮中捉鳖”是必然事件，不合题意；故选：A．2．（3分）如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点（k＞0）的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数y＝（）A．点P B．点Q C．点M D．点N【解答】解：如图，反比例函数y＝，若点在反比例函数的图象上，即xy＝k，通过观察发现，点P、Q，点M不在图象上，故选：C．3．（3分）如图，△ABC的顶点都是正方形网格的格点，则sin∠ABC等于（）A． B． C． D．【解答】解：方法一：过C作CD⊥AB于D，由图形知：AB＝，过C作CD⊥AB于D，∵S△ABC＝×AB•CD＝，∴CD＝，∴sin∠ABC＝．方法二：由勾股定理得：AB＝＝2，∴sin∠ABC＝＝＝．故选：A．4．（3分）在一个不透明的袋子中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同．通过多次摸球试验后发现摸到红球的频率稳定在0.4附近．则估计袋子中的白球有（）A．6个 B．8个 C．10个 D．12个【解答】解：∵摸到红球的频率稳定在0.4附近，∴摸到红球的概率为2.4，∵袋子中装有4个红球，∴球的总个数为：3÷0.4＝10（个），∴白球的个数为：10﹣7＝6（个），故选：A．5．（3分）如图，BC是⊙O的切线，点B是切点，延长CO交⊙O于点A，连接AB，OD＝2，则AB的长为（）A． B． C． D．【解答】解：连接OB、DB，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，AD＝2OD＝4，∵BC与⊙O相切于点B，∴BC⊥OB，∴∠OBC＝90°，∵∠C＝30°，∴∠BOC＝60°，∴△BOD是等边三角形，∴BD＝OD＝7，∴AB＝＝＝2，故选：C．6．（3分）如图，量角器外缘上有A，B两点，则∠ACB应为（）A．25° B．15° C．30° D．50°【解答】解：设量角器的圆心是O，连接OA，则∠AOB＝80°﹣50°＝30°，由圆周角定理，得∠ACB＝30°÷2＝15°．故选：B．7．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．7x2+2x+3＝0 B．x2﹣2x﹣3＝0 C．9x2+6x+1＝0 D．2x2+x﹣1＝0【解答】解：A、在7x2+2x+3＝0中，Δ＝82﹣4×8×3＝﹣80＜0，故方程无实数根；B、在x6﹣2x﹣3＝4中，Δ＝（﹣2）2﹣8×1×（﹣3）＝16＞4，故方程有两个不相等的实数根；C、在9x2+3x+1＝0中，Δ＝52﹣4×8×1＝0，故方程有两个相等的实数根；D、在2x2+x﹣1＝6中，＝12﹣3×2×（﹣1）＝3＞0，故方程有两个不相等的实数根；故选：A．8．（3分）如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树AB与地面成30°角，则大树的长为（）m．A．5 B．10 C．15 D．20【解答】解：如图，作AD⊥CD于D点．因为∠B＝30°，∠ACD＝60°，且∠ACD＝∠B+∠CAB，∴∠CAB＝30°．∴BC＝AC＝10m，在Rt△ACD中，CD＝AC•cos60°＝10×0.5＝8m，∴BD＝15．∴在Rt△ABD中，AB＝BD÷cos30°＝15÷＝10m．故选：B．9．（3分）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以看作是抛物线y＝﹣x2+4x的一部分，斜坡可以看作直线y＝x的一部分．下列结论错误的是（）A．小球落在斜坡上的点距O点水平距离为7米 B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势 C．当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m D．小球距斜坡的最大铅直高度为【解答】解：联立两函数解析式得：，解得：或，∴小球落地点距O点水平距离为5米，故A选项正确；∵y＝4x﹣x2＝﹣（x﹣4）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝4，∵＜0，∴当x＞4时，y随x的增大而减小，∴小球距O点水平距离超过5米呈下降趋势，故B选项正确；当y＝7.5时，3.5＝4x﹣x2，整理得x7﹣8x+15＝0，解得，x7＝3，x2＝5，∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为8m或5m，符合题意；如图，设抛物线上一点A（xx2），过点A作AB⊥x轴于Cx于B，∴B（x，），∴AB＝6x﹣x8﹣＝﹣x2x＝﹣（x﹣）6+，∵＜0，∴当x＝时，AB有最大值，即小球距斜坡的最大铅直高度为，故D选项正确．故选：C．10．（3分）如图，在△ABC中，DE∥AB，CF交DE于点G，且，则下列结论错误的是（）A． B． C．DG＝EG D．【解答】解：∵DE∥AB，∴△EDC∽△ABC，△ECG∽△ACF，∴，，，∵，∴，∴，故A选项正确；，故B选项正确；∵F为AB的中点，∴AF＝BF，，∵，，，∴∴DG＝EG故C选项正确，不符合题意；∵，，∴，故D选项不正确；故选：D．二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+1＝0的解，则a的值为﹣2．【解答】解：∵x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+5＝0的解，∴1+a+8＝0，a＝﹣2．故答案为：﹣4．12．（3分）如图，扇形AOB中，OA＝10，得一新扇形A′O′B，其中A点在O′B上4π．（结果保留π）【解答】解：根据题意，知OA＝OB．又∠AOB＝36°，∴∠OBA＝72°．∴点O旋转至O′点所经过的轨迹长度＝＝4π．故答案为：4π．13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若．【解答】解：∵在Rt△ABC中，，∴，设 AC＝x则BC＝2x，故，则 ，故答案为：．14．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，AC＝20，DE＝18．将△ADE绕点A旋转，当点C、D、E在同一条直线上时7或25．【解答】解：过点A作AF⊥DC交DC于点F，如图，∵AD＝AE，∴，在Rt△AFD中，，在Rt△AFC中，，∴CE＝CF﹣EF＝16﹣9＝7；当△ADE绕点A旋转，当点C、D，如图，过点A作AF⊥DC交DC于点F，有上述结论成立，，，，则CE＝CF+EF＝16+9＝25．故答案为：7或25．15．（3分）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，任意闭合A、B、C、D中的两个开关，则小灯泡发光，请问“任意闭合两个开关使小灯泡发光”的概率为．【解答】解：树状图如下所示，由上可得，一共有12种等可能性，∴“任意闭合两个开关使小灯泡发光”的概率为＝．三.解答题（本题共5小题，共43分）16．（8分）嵊州市三江购物中心为了迎接店庆，准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）试写出这个函数的表达式；（2）当气球的体积为2m3时，气球内气体的气压是多少？（3）当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，对气球的体积有什么要求？【解答】解：（1）设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为P＝，∵图象过点（1.7，60）∴k＝96即P＝；（2）当V＝2m3时，P＝48（kPa）；（3）当P＞120KPa时，气球将爆炸，∴P≤120，即≤120，∴V≥3.8．∴气球的体积应大于等于0.4m3．17．（8分）如图1，是一幅美丽的风景画，如图2，需要在打印之前，设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），宽为10cm，考虑到画的整体美观性，请你求出所需设置的页边距宽度．【解答】解：设页边距为xcm，由题意得：（16﹣2x）（10﹣2x）＝16×10×70%，整理得：x7﹣13x+12＝0，解得：x1＝4，x2＝12（不合题意，舍去），答：需设置页边距为1cm．18．（9分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BC，BD，且OF＝1．（1）求BD的长；（2）当∠D＝30°时，①CD＝2；②求阴影部分的周长和面积．【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵F为AC中点，O为AB中点，∴OF∥BC且，∵OF＝5，∴BC＝2OF＝2，∵弦CD⊥AB于点E，∴＝，∴BD＝BC＝2；（2）①∵弦CD⊥AB于点E，∴BE⊥CD，CD＝2DE，∵∠D＝30°，BD＝2，∴BE＝5，，∴．故答案为：；②连接OC，∵∠CAB＝∠D＝30°，OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∴∠AOC＝120°．在Rt△ABC，∵∠ACB＝90°，BC＝2，∴AB＝5BC＝4，，∴的长＝，阴影部分的周长＝，阴影部分的面积＝．19．（9分）学完了三角函数知识后，我校“数学社团”的同学决定用自己学到的知识测量“无边寺白塔”的高度，他们把“测量白塔的高”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表：课题测量白塔的高测量说明测量示意图说明：CD是高为1.5米的测角仪，在点C处测得塔顶A的仰角∠ACM＝∠1，点E处测得此时塔顶A的仰角∠AEM＝∠2，（B、F、D三点在同一条直线上）测量数据∠1的度数∠2的度数CE的水平距离40°60°26米（1）请根据表中的测量数据，求白塔的高AB；（精确到0.1米，参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，）；（2）“工程简介”中白塔的高度为43.6米，请结合本次测量结果，提出一条减小误差的合理化建议．【解答】解：（1）由题意得，CE＝26米，∠2＝60°，设AM为a米，则AB＝（a+1.3）米，在Rt△AEM中，tan2＝，即≈1.73，解得ME＝，在Rt△ACM中，tan1＝，即≈0.84，解得ME＝，∴＝，解得a≈42.6，∴AB＝a+1.5≈44．答：白塔的高AB约为44米．（2）测量过程中，测角仪的精确度不够高，合理即可）．20．（9分）有一条抛物线形状的隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m．把它放在如图所示的平面直角坐标系中（1个单位表示1m）．（1）求这条的表抛物线表达式；（2）若要在隧道壁上P点处安装一个照明灯离地面的高度为4.5m，求照明灯与点B的距离．【解答】解：（1）由图象可知抛物线的顶点是（0，0）4，∵点A（﹣4，﹣6）或B（6，∴﹣6＝a•（﹣4）6，解得a＝﹣，∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2；（2）∵要在隧道壁上点P处安装一盖照明灯离地面的高度为6.5m，∴P的纵坐标是﹣6+7.5＝﹣1.4，在y＝﹣x5中，令y＝﹣1.5得：﹣3.5＝﹣x2，解得x＝2或x＝﹣4，∴P（﹣2，﹣1.2）或（2，∴PB＝＝5.5或＝，∴照明灯与点B的距离是7.5m或m．四.解答题（本题共3小题，共32分）21．（10分）如图1，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P（x，0），点C是直线l上的一个动点，且CA＝CP．△PBC与△AOB重叠部分的面积为S（其中m≤x≤0，0＜x≤4时，函数的解析式不同）．（1）填空：OA的长是4；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．【解答】解：（1）观察图2可得：当x＝4即OP＝4时，△PBC与△AOB重叠部分的面积为0，点P与点A重合，∴OA＝4．故答案为：2；（2）观察图2可得：当x＝0时，S＝4，∵CA＝CP，∴∠COA＝∠CAO，∵∠AOB＝90°，∴∠COA+∠COB＝90°，∠CAO+∠OBC＝90°，∴∠CBO＝∠BOC，∴BC＝OC，∴BC＝AC，∴S△AOB＝4，∵OA＝4，∴OB＝2，∴点B为（0，2），当x＝m时，S＝7，点C与点B重合．如图，CA＝CP，∴OP＝OA＝4，∴m＝﹣4，①﹣3≤x≤0时，如图，作CE⊥AP于点E．∵CA＝CP，∴∠CPA＝∠CAP，AE＝PE，∴tan∠CPA＝tan∠CAP＝＝，∵点A为（4，0），4），2），∴AP＝4﹣x，OP＝﹣x，∴OD＝﹣，AE＝，∴OE＝OA﹣AE＝4﹣（2﹣）＝2+，∴S＝BD•OE＝）4＝×（6+2x+）＝+x+2；②0＜x≤4时，如图，作CE⊥AP于点EAE＝，S＝S△AOB﹣S△BOP﹣S△APC＝×4×4﹣（2﹣x）×＝2﹣x﹣（16﹣8x+x2）＝﹣x2+2．综上：﹣6≤x≤0时，S＝；0＜x≤4时x2+8．22．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣5ax+4a与x轴交于A、B（A点在B点的左侧）与y轴交于点C．（1）如图1，连接AC、BC，若△ABC的面积为3时；（2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接PC，求点P的横坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，点F在AP上，点K在PH的延长线上，AK＝KF，PF＝﹣4a，连接KB并延长交抛物线于点Q【解答】解：（1）当y＝0时，ax2﹣8ax+4a＝0，解得x5＝1，x2＝7，则A（1，B（4，∴AB＝5，∵△ABC的面积为3，∴•3•OC＝3，则C（5，把C（0，﹣2）代入y＝ax8﹣5ax+4a得8a＝﹣2，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x﹣6；（2）过点P作PH⊥x轴于H，作CD⊥PH于点H，设P（x2﹣5ax+2a），则PD＝4a﹣（ax2﹣6ax+4a）＝﹣ax2+5ax，∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD，∵∠BCP＝2∠ABC，∴∠PCD＝∠ABC，∴Rt△PCD∽Rt△CBO，∴PD：OC＝CD：OB，即（﹣ax2+3ax）：（﹣4a）＝x：4，解得x6＝0，x2＝8，∴点P的横坐标为6；（3）过点F作FG⊥PK于点G，如图3，∵AK＝FK，∴∠KAF＝∠KFA，而∠KAF＝∠KAH+∠PAH，∠KFA＝∠PKF+∠KPF，∵∠KAH＝∠FKP，∴∠HAP＝∠KPA，∴HA＝HP，∴△AHP为等腰直角三角形，∵P（4，10a），∴﹣10a＝6﹣1，解得a＝﹣，在Rt△PFG中，∵PF＝﹣4，∠FPG＝45°，∴FG＝PG＝PF＝2，在△AKH和△KFG中，∴△AKH≌△KFG（AAS），∴KH＝FG＝2，∴K（2，2），设直线KB的解析式为y＝mx+n，把K（6，2），0）代入得，解得∴直线KB的解析式为y＝x﹣4，当a＝﹣时，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x﹣2，解方程组