2章-杆件的内力与内力图-拉压、扭转

对构件进行强度、刚度、稳定性分析是材料力学的基本任务，而强度、刚度和稳定性都直接与构件的内力有关，本章首先建立内力的概念，在此基础上研究杆件横截面上的内力分量、计算方法和沿杆轴线的变化规律。2章杆件的内力和内力图§2.1基本概念§2.2轴向拉压杆的内力—轴力§2.3受扭杆件的内力—扭矩§2.4弯曲杆件的内力—剪力和弯矩§2.1基本概念2.1.1内力的概念

《物理学》：指微粒之间的相互作用力，由于这个作用力的不同，使物体呈现出不同的形态。《静力学》中：物体之间的相互约束力，称为内约束力。内力——物体受外因作用而变形，体内各点发生相对位移，从而产生抵抗变形的相互作用力称为附加内力，简称内力。注意：物体内部相邻部分之间的作用力是一个连续分布的内力系，此处我们所说的内力是该内力系的合成的结果（力或力偶）

此处讲解的内力：在物理学内力的基础上，变形体在外因的作用下（荷载、温度变化……），发生变形，体内各点发生相对位移，从而产生抵抗变形的相互作用的附加内力，简称内力内力分量及其名称mm一雷蒙德.穆迪是美国弗吉尼亚大学文学学士、文学硕士和哲学博士。由于对医学有兴趣，便又进入医学院学习，获得心理学博士学位，并成为医学院医疗哲学的教授。被《纽约时报》誉为“濒死体验之父”，并因其在该领域的卓越贡献，于1988年在丹麦获颁“世界人道主义奖”。作品有心理学著作《团聚》，有关濒死体验的作品《胡言乱语的智慧》和《LifeAfterLife》即《死后的世界》，关于超自然现象的作品《最后的胜利》。濒死体验的概念由穆迪博士在1975年首次提出，后来，他深入对此现象的研究，通过讲述和分析直接或间接采访到的150个有濒死体验的个案，总结出其体验有15个元素，并加入哲学、自然科学与心理学等对该问题阐述，最终写成极具科学价值与精神价值的著作《LifeAfterLife》。《Life?After?Life》汉语翻译为《死后的世界》，该书最近一版是中国台湾大学哲学硕士林宏涛翻译，浙江人民出版社于2017年出版发行。本书首次出版后，便掀起了全世界科学家对濒死体验的研究热潮。著名研究人员麦尔文.摩斯评价：“这本书让我们想起沉睡在我们心里的灵性。它给了我们很多灵性工具，让我们去理解自己的生命mm内力分量及其名称mm内力分量及其名称Mx——扭矩FNx——轴力FQy、

FQz——剪力My、MZ——弯矩2.1.2内力与外力的关系——截面法1弹性变形体的平衡原理2求内力的方法——截面法

应用平衡的概念，不仅可以确定构件的支座反力，而且还可以确定构件上任意横截面上的受力-内力及其沿构件轴线方向的变化规律，以找出最危险的截面。在内力计算中，我们讲的是弹性变形体，根据刚化原理，当弹性变形体在外因作用下变形后处于平衡状态时，同样也满足此结论。这种整体平衡局部平衡的关系不仅适用于刚体，而且也适用于所有弹性变形体，称为弹性体平衡原理。但此处，整体是指单根杆件，局部是指杆件中的某一部分，包括某一杆段、某一微段、某一点等。1弹性变形体的平衡原理刚体的平衡原理《静力学》中，我们学习了刚体系统的平衡问题，即整体平衡，局部平衡。在此，整体是指物体系统，局部是指单个构件或某几个构件。弹性变形体的平衡原理2求内力的方法——截面法mm（1）切开——假想地沿求内力的截面将构件分为两部分。（2）留取——留取其中一部分为研究对象。mm（4）平衡_____建立留下部分的平衡方程，确定未知的内力。（3）代替----用作用于截面上的内力代替弃去部分对留下部分的作用。截面法的实质：切、留、代、平例：已知小型压力机机架受力FP的作用，如图，试求立柱截面m-n上的内力解：1、切。假想从m-n面将机架切开（如图所示）2、留。留取上部分为脱离体。3、代。下部分对上部分的相互作用为分布力系，这些分布力系向截面形心简化，为一主矢FN和主矩MZ

（根据局部平衡确定）。建立如图所示的坐标系。4、平。由平衡方程得：∑Fy=0FP-FN=0 FN=FP∑Mo=0Fp·a-Mz=0Mz=Fp·a

§2.2轴向拉压杆件的内力—轴力2.2.1轴向拉压杆工程实例、力学模型及特点承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的应用非常广泛。工程实例：吊车

由汽缸、活塞、连杆所组成的机构中，不仅连接汽缸缸体和汽缸盖的螺栓承受轴向拉力，带动活塞运动的连杆由于两端都是铰链约束，因而也是承受轴向载荷的杆件。力学计算模型（简图）即如图所示：杆的两端各受一对集中力FP作用，两个FP大小相等，指向相反，且作用线与杆轴线重合。FPFPFPFPab称为轴向拉伸，杆发生纵向伸长。ab称为轴向压缩杆发生纵向缩短。轴向拉伸和压缩变形的受力特征作用于杆上的外力（或外力合力）的作用线与杆的轴线重合。：杆件的变形是沿轴线方向伸长或缩短变形特征2.2.2轴向拉压杆件的内力——轴力截面法是求内力的唯一方法

求图示等直杆件

横截面mm上的内力。mmFPFPmmFPFP在求内力的截面mm处，假想地将杆截为两部分。切开留下一部分为脱离体取左部分部分作为研究对象。弃去部分对研究对象的作用以截开面上的内力代替。合力为FNmmFPFN代替平衡对研究对象列平衡方程FN=FP式中：FN

为杆件任一横截面

m—m上的内力。因与杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心。称为轴力。mmFPFPmmFPFNFN若取右侧为研究对象，则在截开面上的轴力与部分左侧上的轴力数值相等而指向相反mmFPFPmmFPFNmFPmFN轴力符号的规定a若轴力背离截面，则规定为正号，称为拉力(拉力为正）。b若轴力指向截面，则规定为负号，称为压力（压力为负）。mmFPFPmmFPFNmFPm例题：一等直杆其受力情况如图所示，试求各段的轴力。

CABD600300500400E40KN55KN25KN20KN

解：求支座反力FRCABDE40KN55KN25KN20KNCABD600300500400E40KN55KN25KN20KN

求AB段内的轴力FN1-FR=0FN1=FR=10kN

(+)20KNCABDE40KN55KN25KNFR1FRFN1

求BC段内的轴力FR40KNFN2CABDE40KN55KN25KNFR2

CABDE40KN55KN25KN20KNFR3FN3求CD段内的轴力20KN25KN求DE段内的轴力20KNFN4CABDE40KN55KN25KN20KNFR4

FN1-FR=0FN1=FR=10kN(+)FRFN1FR40KNFN2FN320KN25KN20KNFN4 轴力FN的计算法则：任意横截面上的轴力在数值上等于脱离体上所有外力沿轴线切线方向投影的代数和，对切开面而言外力为拉力产生正的轴力，外力为压力产生负的轴力

不同横截面上，轴力的大小是不相同的，在进行构件设计时，需要了解整个杆件上轴力的变化情况。2.2.3轴力图用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与横截面位置关系的图线，称为

轴力图（轴力沿杆轴线方向变化的图形）。将正的轴力画在上侧，负的画在下侧。xFNFN1=10KN（拉力）FN2=50KN（拉力）FN3=-5KN（压力）FN4=20KN（拉力）FNmax=50KN发生在BC段内任一横截面上CABD600300500400E40KN55KN25KN20KN1050520++FN图（kN）内力图的五要素：图名、单位、正负、关键值、比例。不求支座反力可以计算吗？+FN1FN2FN3FN4根据内力图可以明确的看出：最危险的杆段集中力作用的左、右截面处，轴力图有突变，突变值就等于该集中力。内力图的五要素根据以上分析，绘制轴力图的方法

确定约束力；

根据杆件上作用的载荷以及约束力，确定控制面，也就是轴力图的分段点；分段

应用截面法，用假想截面从控制面处将杆件截开，在截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开的部分杆件建立平衡方程，确定控制面上的轴力。求控制截面的轴力

建立FN－x坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系中，画出轴力图。绘轴力图

CAB

直杆，A端固定，在B、C两处作用有集中载荷F1和F2，其中F1＝5kN，F2＝10kN。F1F2llCABllF1F2FA试画出：杆件的轴力图。

例题解：1.确定A处的约束力

A处虽然是固定端约束，但由于杆件只有轴向载荷作用，所以只有一个轴向的约束力FA。求得FA＝5kN由平衡方程

2.确定控制面3.应用截面法求控制面上的轴力用假想截面分别从控制面A、B'、B"、C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡。

CABF1F2llCABllF1F2FA

在集中载荷F2、约束力FA作用处的A、C截面，以及集中载荷F1作用点B处的上、下两侧横截面都是控制面。

B"B'3.应用截面法求控制面上的轴力用假想截面分别从控制面A、B'、B"、C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力：

CABllF1F2FAB"B'CABllF1F2FNA3.应用截面法求控制面上的轴力用假想截面分别从控制面A、B'、B"、C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力：

CABllF1F2FAB"B'CBlF1F2B"FNB''

3.应用截面法求控制面上的轴力

用假想截面分别从控制面A、B'、B"、C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力：

CABllF1F2FAB"B'FNB'ClF2B'3.应用截面法求控制面上的轴力用假想截面分别从控制面A、B'、B"、C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力：

CABllF1F2FAB"B'FNCClF2

4.建立FN－x坐标系，画轴力图

FN－x坐标系中x坐标轴沿着杆件的轴线方向，FN坐标轴垂直于x轴。

将所求得的各控制面上的轴力标在FN－x坐标系中，得到a、和c四点。因为在A、之间以及、C之间，没有其他外力作用，故这两段中的轴力分别与A（或）截面以及C（或）截面相同。这表明a点与点心”之间以及c点之间的轴力图为平行于x轴的直线。于是，得到杆的轴力图。

FN/kNOxCABF1F2llCABllF1F2FNAFNB''

CBlF1F2B"FNB'ClF2B'FNCClF2b"5b'10c105a[例]

图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、

P

的力，方向如图，试画出杆的轴力图。解：求OA段内力FN1：设置截面如图ABCD5P8P4PPOABCD5P8P4PPFN1同理，求得AB、BC、CD段内力分别为：FN2=–3P

FN3=5PFN4=P轴力图如右图BCD8P4PPCD4PPDPFNx2P3P5PP++–FN2FN3FN4已知F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。11解：1、计算各段的轴力。F1F3F2F4ABCDAB段BC段2233CD段2、绘制轴力图。102510§2.3受扭杆件的内力—扭矩2.3.1受扭杆件的工程实例、模型及特点变速箱请判断哪一杆件将发生扭转请判断哪一杆件将发生扭转连接汽轮机和发电机的传动轴将产生扭转。

当两只手用力相等时，拧紧罗母的工具杆将产生扭转变形。圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动；杆表面上的纵向线变成螺旋线。受力特点：圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆的轴线的外力偶作用变形特点：Me

Me

计算模型（简图）工程上把发生扭转变形的构件称为轴直接计算外力偶矩的计算Me=Fd从动轮主动轮从动轮n

作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动轴计算中，通常给出传动功率P和转速n，则传动轴所受的外加扭力矩Me可用下式计算：

其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/分（r/min）。

如果功率P单位用马力（1马力=735.5N•m/s），则:按输入功率和转速计算电机每秒输入功：外力偶作功完成：已知轴转速－n转/分钟输出功率－kW千瓦求：力偶矩Me§4-2、外力偶矩扭矩和扭矩图圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号Mx表示。仍然用截面法求圆轴扭转时横截面上的内力。11MeMeAB11BMeAMe11x2.3.2圆轴扭转时横截面上的内力——扭矩MxMx右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负（-）

MxMx扭矩正负规定右手螺旋法则(+)扭矩的符号规定按右手螺旋法则确定:扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。Mx(+)Mx(-)MxMxMxMx例题

圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力偶矩的单位为N.m，尺寸单位为mm。

试：求出各段的扭矩

解：应用截面法由平衡方程确定各段圆轴内的扭矩

。

扭矩Mx的计算法则：任意横截面上的扭矩在数值上等于脱离体上所有外力偶矩的代数和，对切开面而言