2025年现代控制理论实验报告自适应倒立摆控制系统设计

摘要配置理论，根据超调量和调整时间来配置极点，求出反馈矩阵并运用目录1.绪论 1 12.1数学建模的方法 12.2二级倒立摆的结构和工作原理 2 32.4推导建立数学模型 3 4状态反馈极点配置 4.1二级倒立摆的最优极点配置1 4.2二级倒立摆最优极点配置2 5.4极点配置Simulink仿真结果 5.4.1第一组极点配置仿真结果 5.4.2第二组极点配置仿真结果 6.结论 7.参考文献 倒立摆最初诞生于麻省理工学院，仅有一级摆杆，另一端铰接于可以在直线导轨上自由滑动的小车上。后来在此基础上，人们又进行拓展，设计出了直线二级倒立摆、环型倒立摆、平面倒立摆、柔性连接倒立摆、多级倒立摆等试验设备。在控制理论的发展过程中，为验证某一理论在实际应用中的可行性需要按其理论设计的控制器去控制一种经典对象来验证。倒立摆系统作为一种试验装置，形象直观，构造简朴，成本低廉；作为一种控制对象，他又相称复杂，同步就其自身而言，是一种高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合系统，只有采用行之有效的控制措施才能使之稳定，因此倒立摆装置被公认为是自动控制理论中的经典试验设备。综合文献资料，倒立摆控制的措施重要有：PID控制，状态反馈，运用云模型，神经网络控制，遗传算法，自适应控制，模糊控制，变论域自适应模糊控制理论，智能控制等多种算法来实现倒立摆的控制。本文重要构建二级倒立摆的数学模型的建立与分析，对倒立摆系统进行控制措施的研究。本文就如下几种问题进行了论述。1.二级倒立摆的数学模型的建立与分析。在建模部分，首先采用拉格朗日方程推导数学模型，并对系统的可控性可观性进行分析，并分析倒立摆系统控制的难易程度。2.二级倒立摆的控制原理及措施的研究。本文重要采用状态反馈极点配置的措施对二级倒立摆进行研究。3.采用Matlab语言进行数字仿真，分析仿真成果。2数学模型的建立和分析所谓系统的数学模型就是运用数学构造来反应系统内部之间、内部与外部某些原因之间的精确的定量的表达。它是分析、设计、预报和控制一种系统的基础，因此要对一种系统进行研究，首先要建立它的数学模型。建立倒立摆系统的模型时，一般采用牛顿运动规律，成果要解算大量的微分方程组，中的Lagrange方程推导倒立摆的系统模型。Lagrange因此用Lagrange方程来求解系统的动力学方程可以大大简化建模过如图2.1,系统包括计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体(小车，上摆，下摆，皮带轮等)和光电码盘几大部分，构成了一种闭环系统。光电码盘1将小车的位移、速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，下面一节摆杆(和小车相连)的角度、角速度信号由光电码盘2反馈回控制卡和伺服驱动器，上面一节摆杆的角度和角速度信号则由光电码盘3反馈。计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策(小车向伺服驱动器计算机图2.1系统构造和工作原理图2.3拉格朗日运动方程拉格朗日提出了用能量的措施推导物理系统的数学模型，首先我们引入广义坐标，拉格朗日方程。广义坐标：系统的广义坐标是描述系统运动必需的一组独立坐标，广义坐标数等同于系统自由度数。假如系统的运动用n维广义坐标qi,q2,…q。来表达，我们可以把这n维广义坐标当作是n维空间的n位坐标系中的坐标。对于任一系统可由n维空间中的一点来表征。系统在n维空间中运动形成的若干系统点连成一条曲线，此曲线表达系统点的轨迹。拉格朗日方程：q——系统的广义坐标，T——系统的动能，V——系统的势能。拉格朗日方程由广义坐标q;和L表达为：式中，i=1,2,3…n,f;——系统沿该广义坐标方向上的外力，在本系统中，设系统的三个广义坐标分别是x,θ,θ₂。2.4推导建立数学模型在推导数学模型之前，我们需要几点必要的假设：1.上摆、下摆及小车均是刚体；2.皮带轮与传动带之间无相对滑动；传动皮带无伸长现象；3.小车运动时所受的摩擦力正比于小车的速度；4.小车的驱动力与直流放大器的输入成正比，且无滞后，忽视电机电枢绕组中的电5.下摆转动时所受到的摩擦力矩正比于下摆的转动速度；二级倒立摆的运动分析示意图如图2.2图2.2二级倒立摆运动分析示意图摆杆1质量m=0.04Kg摆杆1转动中心到杆质心距离/=0.09m摆杆2质量m=0.132Kg摆杆2转动中心到杆质心距离I₂=0.27m质量块质量M₃=0.208Kg作用在系统上的外力F摆杆1与垂直向上方向的夹角θ₁摆杆2与垂直向上方向的夹角θ₂Tm摆杆1动能：Tm₁--摆杆1绕质心转动动能则式中，Tm₂--摆杆1质心平东动能Tm₂--摆杆1绕质心转动动能Tm₃质量块动能：因此，可以得到系统总动能：系统的势能为：至此得到拉格朗日算子L:L=T-V由于由于在广义坐标θ₁,0₂上均无外力作用，有如下等式成立：展开(2.17)、(2.18)式，分别得到(2.19)、(2.20)式6m₂l₂O²sin(θ₁-θ₂)+4(m₁+3(m₂+m₃)LÖ-+(m+2(m₂+m3)(gsinθ₁+xcosθ₁))=0-3gsinθ₂-6L0²sin(θ₁-θ₂)+4ZO₂+6L0cos(θ₂-0)将(2.19)、(2.20)式对0₁,Ö₂求解代数方程，得到如下两式0₁=(3(-2gm,sinθ₁-4gm₂sinθ₁-4m₃gsinθ₁+3m+6m₂lcos(θ-0₂)sin(θ-0₂)²+4m₂l₂sin(θ₁-0表到达如下形式：取平衡位置时各变量的初值为零，将(2.23)式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令得到线性化之后的公式将O₂=f₂(x,θ,0₂,x,0,O₂,x)在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令得到目前得到了两个线性微分方程，由于我们采用加速度作为输入，因此还需加上一种方程：取状态变量如下：求出各个K值：K12=77.0642K₂2=-38.5321K17=5.7012K₂3.1稳定性分析λ=[9.59724.7725-9.5开环系统有两个开环极点位于S平面右半平面上，因此系统是不稳定的。图1开环系统单位阶跃响应3.2能控性能观性分析X=AX+BU其能控性矩阵为：rank(T₀)=6因此系统是完全能控的。其能观性矩阵为：Co=[C,CA,CA²,CA³,CA⁴,CA⁵]T因此系统是完全能观的。(代码见附录)由上述计算成果可知，二级倒立摆系统是开环不稳定系统，但它的状态是完全能控且完全能观测的。因此，可以对其实现闭环最优控制。在式3.3中，A为6*6阵；B为6*1阵；C为3*6阵。是一种单输入系统，且完全能控、能观测。因此，可按照最优控制系统的极点配置措施进行设计。对于一般控制系统，闭环主导极点的选用应使0.4≤ε≤0.8。但二级倒立摆是一种特殊的高阶系统，稳定性是重要矛盾，因此可合适增长ε,即合适减少响应速度，来弥补系统稳定性规定。对应在选择性能指标时，应合适减小系统的超调量。对于二阶倒立摆系统，重要针对如下两个重要的性能指标进行设计：超调量：σ≤0.005这里，误差范围取为2%,将上述性能指标代入式4.1和式4.2得到二级倒立摆系统的2个性能指标满足ε≥0.826,Wn≥2.17,取ε=0.826,Wn=2.17将得到的阻尼比与自然角频率代入下式：得到二级倒立摆系统的2个主导极点为：对于其他四个非主导极点，不妨设为四重极点，且距主导极点10倍以上，即满足因此，此外四个非主导极点取为：S₃=S₄=S₅=到此，二级倒立摆的6个极点都已确定。P=[-1.87+1.11j-1.87-1.11j-22-22-在matlab中输入K=acker(A,B,P)可求得：至此，完毕了二级倒立摆控制器的设计。接下来在matlab中仿真得到：图2极点配置后单位阶跃响应14.2二级倒立摆最优极点配置2这里，误差范围仍取为2%,代入式4.1和式4.2得到二级倒立摆系统的2个性能指标满足ε≥0.69,wn≥2.51,取ε=0.69,wn=2.51因此，第二组极点P2=[-1.73+1.81j-1.73-1.81j-30-30-在matlab中输入K2=acker(A,B,P2)可求得：图3极点配置后单位阶跃响应25.二级倒立摆matlab仿真State-6paoe图4开环系统仿真图图5开环系统matlab仿真成果图Add图6极点配置优化后的系统构造图5.4极点配置Simulink仿真成果图7极点配置优化后的成果图图8小车位移曲线图9一级倒立摆角度曲线图10二级倒立摆角度曲线从以上的图片可以看出，系统在给定输入的状况下，1秒左右恢复到平衡点的位置图12小车位移曲线0.40.2 3图图13一级倒立摆角度曲线图14二级倒立摆角度曲线倒立摆系统就其自身而言，是一种多变量、迅速、严重的意义。级倒立摆系统的状态空间模型。应用现代控制理论，分析了倒立摆的稳定性、能控性、配置的措施得到很好的控制效果。最终进行了Matlab仿真，通过优化前后优化后的响[1]刘豹唐万生现代控制理论(第三版)机械工业出版社[2]夏德钤翁贻方自动控制理论(第4版)机械工业出版社[3]李国勇程永强计算机仿真技术与CAD—基于matlab的控制系统(第三版)电[4]基于LQR的二级倒立摆控制系统研究[本科毕业论文][5]汤唯基于直线二级倒立摆控制系统的研究[硕士学位论文][6]基于极点配置的倒立摆控制器设计[硕士学位论文]附录一%-------------------------阶跃响应下系统的稳定性------------------A=[000100;000010;000001;00077.0642-21.1927000;0-38.532137B=[0;0;0;1;5.7012;-0step(A,B,C,D)%绘制阶跃响应A=[000100;000010;000001;000077.06