高考数学专项复习：数列及求和（解析版）

专题4数列及其应用

内容概览'

01专题网络•思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）

02考情分析•解密高考

03高频考点•以考定法（五大命题方向+五道高考预测试题，高考必考10-15分）

命题点1等差数列及性质

>命题点2等比数列及性质

>命题点3等差等比数列综合

>命题点4数列情景题

>命题点5数列求和

>高考猜题

04仓！]新好题•分层训练（★精选8道最新名校模拟试题+8道易错提升）

6》专题网络•思维脑图二

一、一般数列性质：

a>a,

nn+l

单调性：递增数列：an+1>an；递减数列：an+1<an；常数列：an+1=an；最大项〃

[an2册.1

二、等差数列及性质

1.定义式：an+1-an=d（递推公式）

2.等差中项：若a,b,c成等差数列，贝!]2b=a+c

V相邻三项，2（1n=an+1+an_r

3.通项公式：。九=a1+（九一l）d（累加法）

从函数角度理解：an=An+其中A=d,B=ar—d

推广：an=am+（n—m）d

4.｛即｝为等差数列，为其前几项和

性质1：若m+九=s+3贝+%I=%+%

特殊的，若m十几=2%则a7n+。九=2%

9

性质2:Q,mf^m+k,%n+2k，Qm+3上，…仍成等差数列.

性质3：Sm,S2m—Sm,$3血—S2nl，…仍成等差数列.

5.前n项和：S“=秋。；/）=呵+（倒序相加法）

2

从函数角度理解：Sn=An+Bn,其中力=gB=的+g

6.单调性：d>0,单调递增；d<0,单调递减；d=0,常函数

7.S九最值问题：

法一：S九最值问题可由%=An2+8九二次函数求最值的角度考虑.

法二：若Qi>0,d>0,S打的最小值为Si，S九无最大值；

若%>0,d<0,S九的最大值为项的正负分界处（a九>0成立的最大的九），S九无最小值;

若的V0,d<0,S九的最大值为Si，S九无最小值；

若的V0,d>0,S九的最小值为项的正负分界处（的1Mo成立的最大的几），S打无最大值.

法三：解不等式组SnSn>Sn+1（n>2,nEN*）,即可求得%最大值；

解不等式组%WS九_1，Sn<Sn+1（n>2,nEN*）,即可求得%最小值.

8.判断等差数列的方法：

*定义法*等差中项法*通项公式法*前几项和公式法

三、等比数列及性质：

1.定义式：an+1an=d（递推公式）

2.等比中项：若a,b,c成等比数列，则炉=以；

2

V相邻三项，an=an+1an.r

71-1nm

3.通项公式：an=a^（累乘法）推广：an=amq~

4.｛须｝为等比数列，S九为其前ri项和

a

性质1:若TH+九=S+t,贝=CLst

特殊的，若m+n=2t,则=at2

9

’性质2:CLmf%n+/c，^m+2k%n+3k，…仍成等比数列.

性质3：Sm,S2m-SmfS3m-S2mf…仍成等比数列.

5.前几项和：S=（qhl）（错位相减法）

nl-q1-q

S"'71al（q=1）

6.单调性：

若a】>0,q>1,单调递增；

若a1>0,0<q<1,单调递减；

若的<0,q>1,单调递减；

若a1<0,0<q<1,单调递增；

若q=l,常数列；

若q<0,摆动数列.

四、数列综合问题：

1.求通项公式：

（1）猜想--证明法

根据条件猜想通项公式，再验证或证明其符合题意.

（2）即与％关系法：

由=h$募"=1可根据％求通项公式.

(3)累加法：an+1-an=f(n)

(4)累乘法：an+1-^an=f(n)

(5)构造法：

1※构造等比数列※形如：an+1-2an=3

待定系数法an+1+t=2(an+t)得t=3即+3=2(an+3)

2※构造等比数列※形如：an+1-2an=n-l

待定系数法an+1+(几+1)=2(an+n)

3※构造等差数列※形如：an+i-2an=2"+1

等式两边同时除以2H、即得辞-谯=1

n+1

4※构造等比数列※形如：an+1-3an=2

等式两边同时除以2“+i,得到貂-|x爱=1,即转化为IX

5※构造等差数列※形如：an-an+1=2anan+1

等式两边同时除以a/n+i，得到上-2=2

an+lan

2

6※构造等比数列※形如：an+1=ean

等式两边同时取对数，得lncin+i=21nan+1,即转化为IX

2.数列求和方法：

(1)公式求和法

*等差、等比数列直接用公式求和

£k1TI=1+2+3+—I-n="C"

V2,2,02,,2n(n+l)(2n+1)

>n=12+9+3ZH----1-nz=---------------

i=l

(2)倒序相加法

距首位两端等距的两项和相等

(3)错位相减法

差比数列：形如的=%•4,其中｛.｝为等差数列，｛%｝为等比数列.

(4)裂项相消法

形如斯=二一，其中仍“｝为等差数列，设公差为d

^n^n+l

形如斯=」l可用分母有理化进行裂项

“Vn+1+Vn

(5)分组求和法

通项公式有若干个等差数列、等比数列或可求和的数列组成，可分别求和后再相加.如：厮=就亍+

2n+2n

(6)并项求和法

n

形如an=(-i)/(n),可两两结合求和的数列.

函〉考情分析•解密高考・

数列是高考中必考点，一般以1+1或者是2+1形式出现，主要考查等

差等比数列及其性质应用

真题多维细目表

考点考向考题

2023新全国I卷T7全国乙T10全国甲T5

2022全国乙卷T13

①等差数列性质2021全国甲卷T18全国HT17

等差等比数列2023新高考II卷85全国乙卷T15全国甲卷T13T5

应用②等比数列及性质2022全国乙卷T10T8

2021Q全国甲卷T7

③等差等比数列综合2023全国乙卷T10

2022全国甲卷T18新高考HT17

2021全国乙卷T19

④数列情景题2022新高考II卷T3全国乙卷T4

2020新高考II卷T4

⑤数列求和2023新高考IT20新高考HT18乙卷T18甲卷T17

2022新高考IT17

2021全国乙卷T19甲卷T9T18新高考IT17

新高考IIT17

高频考点•以考定由

►►高考解密＜＜

命题点1等差数列及其性质

典例01(2023•全国乙卷)已知等差数列｛%｝的公差为:，集合S=kosqJ”eN*｝，若5=｛.回，则而=

()

A.-1B.—C.0D.—

22

【答案】B

【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理

作答.

27r2冗2兀

【详解】依题意，等差数列｛〃/中，^=^+(H-l).y=yn+(^-y),

27r2兀

显然函数＞=cos［可〃+(《-?■)］的周期为3,而〃eN*,即cos为最多3个不同取值，又

｛cos%N*｝=｛〃,8｝,

cosa

贝I］在COSQI，COSQ2，COS〃3中，cos%=cosa2wcos%或cosqwcos%-3，

2冗2冗it

于是有cos。=cos(0+7),即有0+(0+—)=2k7i,keZ,解得6=kTi--,k^Z,

LLt、Ifi-r7zJ兀、兀、471,.7T\.91兀1

所以《eZ,ab=cos(E--)cos［(KJI--)+—］=-cos(E--)cosKJI=-COSKJICOS—.

故选：B

典瓶I02(2023・全国•统考甲卷)记S“为等差数列｛g｝的前〃项和.若出+6=10，%。8=45,贝”5=()

A.25B.22C.20D.15

【答案】C

【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列｛%｝的公差和首项，再根据前〃项和公式即可解出；

方法二：根据等差数列的性质求出等差数列｛%｝的公差，再根据前“项和公式的性质即可解出.

【详解】方法一：设等差数列｛g｝的公差为d,首项为外,依题意可得，

%+4=〃i+d+〃i+5d=1。，即4+3d=5,

又的g=(4+3d)(4+7d)=45,解得：d=l,q=2,

5x4

所以羽=54+^x1=5x2+10=20.

故选：C.

方法二：%+。6=2。4=10,。4。8=45,所以。4=5,。8=9,

从而d=^S£1=l,于是/=4_d=5_l=4,

8-4

所以S5=5%=20.

故选：C.

＞命题点2等比数列及性质

典例01(2023.全国.统考高考II卷)记5“为等比数列｛%｝的前n项和，若S4=-5,S6=2电，则'=(

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

【分析】方法一：根据等比数列的前〃项和公式求出公比，再根据S4，Sg的关系即可解出；

方法二：根据等比数列的前〃项和的性质求解.

【详解】方法一：设等比数列｛%｝的公比为q,首项为%,

若4=-1,则邑=0*-5,与题意不符，所以q#-l；

若4=1，贝U=6%=3x2q=3S2片。，与题意不符，所以4片1；

由邑=-5,56=215?可得，/1一"4)=一5,"0=21x"」)①,

1-ql-q\-q

由①可得，1+才+/=21,解得：/=4,

所以醺=x(1+/)=一5x(1+16)=一85.

故选：C.

方法二：设等比数列｛%｝的公比为4,

因为邑=-5,56=21S2,所以qw-1,否贝|S4=0,

从而，$2，$4-$2，及-$44-$6成等比数列，

95

所以有，(-5-S2)-=S2(21S2+5),解得：$2=-1或5="

当Sz=T时，S2,S4-S2,S6-S4,Sg-S6,即为-1,-4,-16,$8+2叠

易知,S8+21=-64,即SS=-85；

当邑=一时，S4=O]+4+%+%=（4+的乂i+q~）=（i+c『）S2>0,

与$4=-5矛盾，舍去.

故选：C.

【点睛】本题主要考查等比数列的前〃项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握邑，$8的关

系，从而减少相关量的求解，简化运算.

典例02（2023•全国•统考高考乙卷）已知｛4｝为等比数列，出%%=/4，a9a10=-8,则%=.

【答案】-2

【分析】根据等比数列公式对。2“汹=%/化简得%4=1，联立。刈0=-8求出q5=_2,最后得

%—aiQ,q5=q5=—2.

【详解】设｛4｝的公比为4（4n。）,则®/，显然4户。，

贝1]。4="2，即则44=1,因为。9%0=-8,贝-8,

则4"=（7）3=-8=（-2）3,贝！Jq5=-2,则%=。0"，=q，=-2,

故答案为：-2.

命题点3等差等比数列综合

典例01（2022.全国•统考高考甲卷）记S"为数列｛%｝的前〃项和.已知一+”=2%+1.

n

⑴证明：｛%｝是等差数列；

（2）若%，%，％成等比数列，求S”的最小值.

【答案】（1）证明见解析；

（2）-78.

[S,,n=1

【分析】（1）依题意可得2S〃+/=2〃%+〃，根据%=1作差即可得到4-。1=1,从而得

[S,-S"Z2

证;

（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出生,即可得到｛见｝的通项公式与前几项和，再根据二次函数的性

质计算可得.

2s

【详解】（1）因为一-+n=2a+1,BP2S+n2=2na+nQ,

nnnn

当2时，2sl+（^-l）2+（〃一1）②，

①-②得，2s〃+〃2—2S〃——1）=2nan+n—2（n——（n—1）,

即2a〃+2n—1—2nd,—2（〃一1）+1,

即2（〃-1）4一2（〃一1）%T=2（〃-1）,所以。〃-4T=1,〃22且〃£N*,

所以｛〃〃｝是以1为公差的等差数列.

（2）［方法一］:二次函数的性质

由（1）可得〃4=q+3,%=q+6,%=。1+8,

又〃4，。7,〃9成等比数列，所以%2=%・。9，

即（％+6）=（q+3）•（4+8）,解得。i=—12,

匚匚1“_〔a匚匚［“仁—12251（25丫625

所以〃〃="一13,所以S=-12〃d——---zi2--------n=—\n-----------，

〃222212J8

所以，当扑=12或〃=13时，（5„）^=-78.

［方法二］:【最优解】邻项变号法

由（1）可得〃4=4+3,%=%+6,%=。1+8,

又。4，。7,〃9成等比数列，所以％2=&Pg，

即（％+6）=（/+3）.（/+8）,解得。i=—12,

所以。〃="一13,即有力<〃2<<%2<°，。13=0.

则当几=12或〃=13时，0L=-78.

【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出S”的最小值，适用于可以求出S〃的表达式;

法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解.

典例02（2022.全国新高考H卷）已知｛叫为等差数列，也｝是公比为2的等比数列，且

a2-b2=a3-b3=b4-a4.

(1)证明：4=4;

（2）求集合刊为=+q,l4m4500）中元素个数.

【答案】⑴证明见解析；（2）9.

【分析】（1）设数列｛4｝的公差为d,根据题意列出方程组即可证出；

（2）根据题意化简可得加=2卜2,即可解出.

【详解】（1）设数列｛g｝的公差为d,所以，+4_24=肪「（4+3]）’即可解得，4=4=5,所以原

命题得证.

2

（2）由（1）知，々=q=[,所以d=狐+qO伪x2"i=4+（7九-1"+121,即=2加，亦即m=2^e[1,500],

解得2W左W10,所以满足等式的解4=2,3,4,,10,故集合卜|瓦=您+%/（机（500｝中的元素个数为

10-2+1=9.

命题点4数列情景题

典例01（2022.全国・统考II）图1是中国古代建筑中的举架结构，44',8反"',九＞'是桁，相邻桁的

水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中OR,CG，8综AA是举，

k

OOpDCpCB,,^是相等的步,相邻桁的举步之比分别为扁=°5一=k盗=2^=k3.已知k1,k2,k3

UL）｝/JC]C131n/lj

成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725,则&=（）

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

【答案】D

【分析】设oq=OG=cg=%=i,则可得关于心的方程，求出其解后可得正确的选项.

【详解】^OD]=DCl=CB]=BAl=l,则CG=K，B4=%,AA=%,

DD]+CC[+BB\+AA1

依题意，有&-°-2=尢,勺-0.1=笈2，且=0.725,

ODX+DCX+CB[+B\

所以TAHAS'故&=0%

故选：D

典伊）02（2022.全国•统考乙卷题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第

一颗环绕太阳飞行的人造行星,为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列抄“｝：乙=1+1,

h=1H____________"3_'丁]

21，%+——T，…，依此类推，其中%£N*（左=1,2,）.则（）

CC,-----1

a。2+一

2%

A.bI<b5B.b3<bsC.b6<b2D.a<片

【答案】D

【详解】[方法一]:常规解法

因为a»N*（左=1,2,）,

1I—I>----I-----

所以％<%+一，%“+J_，得到伪>仇，

%6tl十

a2

11

CCH—>aH---------；-,,

同理X4a,+—>可得％<&，

a3

1111

z>..............->%+—r<%+-----------

又因为%+P%+—%+j~,

CC2H-----0303H-----

%%

故为<“，

以此类推，可得4>匕3>々>&>…，2仄,故A错误；

bx>b,>\,故B错误；

11

屋〉1

2%+1，得伪<%，故C错误；

%+…——

4

11

ax+-----------1---->ax-\---------------------

%+-----[%+…-----「，得"<A，故D正确.

OI3H------I-----

%%

［方法二］:特值法

-z-3、n_[elci3i518i13i213455

不妨设。〃=1，贝!Jb]=2心=不，b3=-,b4=-,b5=--,b6=—，b7=--,b8，

Z33o13Z134

“<2故口正确.

命题点5数列求和

a-6,〃为奇数

典例01.(2023•全国•统考II卷)己知｛4｝为等差数列，2=n，记S”，1分别为数歹£%｝,

2%,〃为偶数

｛2｝的前〃项和,$4=32,4=16.

（1）求｛《,｝的通项公式；

⑵证明:当〃>5时，Tn>Sn.

【答案】⑴4=2〃+3；

（2）证明见解析.

【分析】（1）设等差数列｛%｝的公差为d,用4，"表示S,及T“，即可求解作答.

（2）方法1,利用（1）的结论求出S“，bn,再分奇偶结合分组求和法求出T.，并与S“作差比较作答；方

法2,利用（1）的结论求出S“，bn,再分奇偶借助等差数列前"项和公式求出（，并与S“作差比较作答.

,、-6,n=2k—l*

【详解】（1）设等差数列｛%｝的公差为d,而"=2；n=2k#eN，

则b[=a1—6,b2=2a2—2al+2d,b3=a3—6=ax+2d—6,

S=4q+6d=32

于是4解得q=5,d=2,a=(\+(n-1)J=2〃+3,

=4q+4d—12=16n

所以数列｛。“｝的通项公式是a“=2〃+3.

⑵方法1：由⑴知，3/(5+7+3)="+4",=鼠CN*,

2[4〃+6,〃=2左

当〃为偶数时，%+2=2(及-1)-3+4几+6=6〃+1,

t13+(6n+l)几327

T=------------------=—n+—n,

n2222

22

当〃〉5时，7^—Sn=(―n+—zi)—(H+4n)=-n(n—1)>0,因此l>，

327325

当〃为奇数时，Tn=Tn+｛-bn+1=-(H+l)+-(n+l)-[4(n+l)+6]=-n+-H-5,

22

当力〉5时，7^—Sn=(—n+—H—5)—(n+4n)=—(n+2)(n—5)>0,因此(〉S〃,

所以当”>5时，Tn>Sn.

、、工-,,,cn(5+2n+3)”,〃〃丘

万法2：由(z1x)知，S=—―-——-=n22+4/?,b=2-3,=2"1,N*,

nn4〃+6,〃=2左

—1+2(几一1)—3n14+4/1+6n327

---------------------------1---------------------

当”为偶数时，m++6,T）+（a+a+…+〃，）==-nH---Tlf

222222

—22

当〃〉5时，7^5n=(—n+—n)—(n+4n)=—n(ji—1)>0,因此l>S〃,

—1+2〃―3n+114+4(H-1)+6n—1

当“为奇数时，若则<=（4+4+，+2）+（8+“+，+2一1）=

2222

3535

=jn2+|n-5,显然4=4=-l满足上式，因此当〃为奇数时，5,

351

2

当〃〉5口寸，Tn-S=(―九2+—n—5)—(n+4n)=—(H+2)(〃—5)>0,因此北〉,

所以当”>5时，Tn>Sn.

典例02（2023•全国.统考乙卷）记S“为等差数列｛4｝的前"项和，已知外=11,九=40.

（1）求｛4｝的通项公式;

（2）求数歹的前〃项和1一

14n-n2,n<7

【答案】⑴氏=15-2砥2）7；=

n2-14w+98,n>8

【分析】（1）根据题意列式求解％”,进而可得结果;

（2）先求S“，讨论。”的符号去绝对值，结合S“运算求解.

【详解】（1）设等差数列的公差为d,

a2=q+d=11

1++9dd==118,解得%=13

由题意可得Si。=104+^^1=40'即

d=—2’

所以a”=13—2(〃—1)=15—2/z,

"03+15一2叽]4〃”,

(2)因为S"=

2

令为=15-2〃>0,解得且“cN*,

当〃W7时,则。”>0,可得(=|%|+|?卜--^\a>\=ai+a2------Fa,,=S“=14”—疗；

当〃28时，贝!J<0,可得看=同+同卜--卜|闻=（《+々2T-----卜生）一（火---+4）

^S7-(Sn-S1)^2S1-Sn=2(14义7—72)—(14〃一“2)=〃2_]4〃+98；

14n-n2,n<7

综上所述：Tn=\

n2—14n+98,n>8

典例03(2023•全国.统考甲卷)设S”为数列｛%｝的前力项和，已知外=L2S“=y.

⑴求｛。“｝的通项公式;

(2)求数列的前”项和5.

2〃

【答案】⑴。“="1⑵7>2-(2+〃)I

\S]9n=l

【分析】⑴根据%=°c、。即可求出；

(2)根据错位相减法即可解出.

【详解】(1)因为2S“=〃a,,

当〃=1时，2%=q,即q=0；

当”=3时，2(1+4)=3%,即%=2,

当〃22时,2s“_]=(〃-1)%,所以2(5"-5"_1)=叫,-仇-1)%=24,

化简得：(〃一2)%=5-1)舶，当3时，;=1,^an=n-l,

当〃=1,2时都满足上式，所以4=〃一l(〃wN*).

⑵因为墨=/,所以；出

7=lx&+2x+3XQ++nx

+(n-1)x

两式相减得,

2

=1一1+?］，即北=2-(2+〃)出,

是公差为的等差数列.

典例04（2022.全国.统考I卷）记S“为数列｛4｝的前〃项和，已知4=1,3

⑴求｛凡｝的通项公式;

111c

(2)证明：一+―+,,+—<2

n(n+l)

【答案】（1）%=

2

（2）见解析

【详解】（1）:%=1,：.,

是公差为g的等差数列,

又♦・,

n+2几+2）%

—=l+-(n-l)=

3

当〃22时，加

3

n+2)an〃+1)%

a”=S”-S,”\

33

«+1

整理得：（〃一1"〃即j-=

an-ln-1'

生n〃+1

a“="xx&x...x-x2=­..X—x------=

aa

axa2n-2n-l12n-2n—\2

+1)

显然对于77=1也成立，，｛4｝的通项公式a,=

2

(2)

111

+2|1-<2

%nn+1n+\

►►技巧解密<<①裂项求和常见类型有：

1\(11)

分式型：----77>

n^n+k)k\nn+kj

i=ip___q__iip___M

(2n-l)(2n+l)2\2n-\In+i)'(2H-1)(2H+1)=+2Un-12n+\)，

8"1111F11

‘‘-,0--------------=----------------------------=fe

(2n-l)-(2n+l)(2n-l)(2n+l)，〃(几+l)(〃+2)2n(n+l)(〃+l)(〃+2)

►高考猜题预计2024年高考中数列也会是以等差等比求和的形式出现解答题与小题，小题将是

以等差与等比结合的性质，解答题将是数列求和的形式出现

1.设等比数列｛%｝的前"项和为S”，且q+生=5,%+4=4。，贝！()

A.3B.9C.12D.15

【答案】B

【分析】根据条件列出关于首项和公比的方程组，求出首项和公比，然后根据等比数列前九项和公式计算

即可求解.

%+%=5q+%q2-5

【详解】由,得解得q=1,q=2,

3

。4+〃6=40a{q+-40

1-26

所以＞占君=1+2』.

1-2

故选：B.

2.若1,%,出，4成等差数列;1,4也也，4成等比数列,则区产等于

【答案】A

【分析】利用等差数列以及等比数列的性质求出等差数列的公差，等比数列的公比，然后计算求解即可.

【详解】若1,ai9。2,4成等差数列，4=l+3d,d=l,

二.az-〃2=-1.

又1,bl,b2,b3,4成等比数列，历2=1X4,解得岳=2,岳=-2舍去（等比数列奇数项的符号相同）.

.4一%_1

**b2~~2

故答案为A.

3.已知各项均为正数的数列｛〃“｝的前〃项和为S",且出=3,%=底+底（/eN*且”22）.

（1）求｛4｝的通项公式；

⑵若《喙，求数列也｝的前"项和T”.

【答案】（1）%=2〃一乂2）7；=3-誓.

【详解】（1）当〃=2时，％=病+后，

即3=,3+q+旧,解得4=1.

因为a“=S“-S〃T（〃22）,

所以%=（叵一师）（疯+师）"22）,

又+（〃22,〃eN*）,%＞。，

所以点—67=i(稔2),

又&=7^=&=i,

所以数歹U｛后｝是以1为首项，1为公差的等差数歹U,

n,所以S'=".

22

当“22时，an=Sn-Sn_1=n-(zi-l)=2n-l,

当〃=i时，％=1,满足上式,

所以数列｛?｝的通项公式为4=2〃-1.

a_2n-l

(2)由(1)知a=n

2"2"

1352n-l

所以乙=4+%+4++4=万+级+g++-------

2"

11352n-l

所以/二域+矿+m++2"+i

22n-l112/1-11-12n-l3277+3

所以H-------=i+LM+2

2〃+i+1

T2222角22,1+122"，

2〃+3

所以北=3-

2"

4.已知正项数列｛。“｝的前w项和为S“，且4=1,"S用=(〃+2)S”.

(1)求数列｛4｝的通项公式;

b,

(2)设a=2%,若数列｛%｝满足。“=,求｛%｝的前"项和.

(dT(%T

1

【答案】(1)%="(2)(=1-

2"+1-1

S向S,,

【详解】(1)因为嫉用=("+2电，且“eN*，则

S,为常数列，且合*

可知数列Q

S"1n(n+l]

则不，即Dn

2〃2

+1)n(n-l)

当〃22时，a.=S“一S-—---L1=n,

22

且。i=l也符合上式，所以

bn2〃11

(2)由(1)可得a=2",贝

Ijg2n-l2n+1-l

设｛g｝的前几项和为T.，

则北=。1+。2+—+。"=上111111

-------1-+-…-----------------------=1—

2-122-122-123-12"-12-12n+1-l

1

所以｛cj的前〃项和为（=1-

2n+1-1

5.已知数列｛4｝的前〃项和为S.，％=1,当〃>2时，2s“=（〃+1）%-2.

⑴求数列｛风｝的通项公式;

2

（2）设数歹屹=，求数列也｝的前〃项和.

4M+1

1,n=131

【答案】⑴凡二2n,n>2(2)4~2(n+l)

【详解】（1）由题意，当"N2时，2s〃=（几+1）q—2,且4=1,

若如=2,则2s2=2(4+%)=3%—2,即％=4,

当〃之3时，2sl=nan_x-2,

%二%

两式相减得，2s〃-2S〃T=2%=(〃+1)%-加,整理得组=4+，即

nn-1nn-1

l,n=1

所以%=2".综上所述,

2n,n>2

-,n=\

24

因为

(2)2=-------2

4A+i,n>2

2〃(2〃+2)

设数列也｝的前〃项和为北,

〃=1时，T=\=1,

当n

当2时，T=b+b+b+1_1+1_1++1__L

nx23〃222334n〃+1

=llx113131

+,此时〃=1时适合上式，所以［=1一2（〃+1），

222n+142(«+1)

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一、单选题

1.（2023上广东•高三执信中学校联考期中汜知等差数列｛g｝和也｝的前n项和分别为S“,T“，若寸=有盲,

^^3।Cig

）.

13262613

A.——B.—C.—D.—

1113711137

【答案】C

%+%”■卷，即可代入已知得出答案.

【分析】根据等差中项与等差数列前“项和得出

d+4+瓦3b6

【详解】由等差数列的性质可得:

%+%2a62,63〃_~Tn+2

4+4+々3032'T］疝色一3〃+4'

S,,1la,11+213a.13

贝