高考数学专项复习：数列（新高考专用）含答案及解析

专题08数列

题型一：数列求最值问题气易错点：混淆数列与函数的区别

题型二：等b微列利用中项求其它3、易错点：忿视两个"中项"的区别

题型三：等比数列求和殳、易错点：忽略等比数列求和时对g的讨论

题型四：求通项公式区易错点：由公求一时忽略对"”=1"的检验

题型五：数列求和国、易错点：裂项求和留项出错

易错点一：混淆数列与函数的区别(数列求最值问题)

1、等差数列的定义

(1)文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；

(2)符号语言：a“+「a,=d("eN*，"为常数).

2、等差中项：若三个数a,A,6组成等差数列，则A叫做a,b的等差中项.

3、通项公式与前〃项和公式

(1)通项公式：a,=/+(〃T)d.

(2)前〃项和公式：S“=叼+若&=〃""").

(3)等差数列与函数的关系

①通项公式：当公差4工0时，等差数列的通项公式%=4+5-1)4=办+囚-4是关于〃的一次函数,

且一次项系数为公差小若公差d>0,则为递增数列，若公差d<0,则为递减数列.

②前〃项和：当公差d/0时，5"="卬+硬/14=：〃2+3「：|)”是关于〃的二次函数且常数项为0.

已知数列｛%,｝是等差数列，S.是其前”项和.

1、等差数列通项公式的性质：

(1)通项公式的推广：a〃=am+(n—m)d(n,meN*).

(2)若k+l=m+n(k,l,m,nsN"),则%+。/=。加+。〃.

(3)若｛4｝的公差为d,贝耳%,｝也是等差数列，公差为2d.

(4)若｛%｝是等差数列，则｛pan+qbn｝也是等差数列.

2、等差数列前〃项和的性质

(1)S2n=n｛ax+%.)=...=n(an+a„+J)；

(2)S21=(2〃一l)a“；

(3)两个等差数列｛4｝,｛么｝的前n项和S“，T”之间的关系为2=+.

(4)数列黑,S2m-Sm,$3“-4m，…构成等差数列.

3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质

(1)若项数为2〃，贝IJS偶一5奇=九d,=;

a

)偶n11

Sqn

⑵若项数为2〃-1,贝US偶=，5奇=〃。“，S奇-S偶=。“，—=----.

S偶

最值问题：解决此类问题有两种思路：

一是利用等差数列的前〃项和公式，可用配方法求最值，也可用顶点坐标法求最值；

二是依据等差数列的通项公式为=%+(〃-1”=办+&-d),当1>0时，数列一定为递增数列，当d<0时,

数列一定为递减数列.所以当4>0,且d<。时，无穷等差数列的前“项和有最大值，其最大值是所有非

负项的和；当4<0,且d>0时，无穷等差数列的前”项和有最小值，其最小值是所有非正项的和，求解

非负项是哪一项时，只要令见2。即可

易错提醒：数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性

求解数列问题，要注意〃的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错.

三9

例.已知等差数列｛。“｝的前〃项和为S“，且%=1,§5=10,求S“取得最大值时对应的"值.

变式L数列也,｝是等差数列，4=50,d=-0.6.

(1)从第几项开始有为<。？

(2)求此数列的前〃项和的最大值.

变式2.记S,为等差数列｛%｝的前〃项和，已知弓=-7,S3=-15.

(1)求｛《,｝的通项公式；

(2)求S”的最小值.

变式3.等差数列｛%｝,S“=T1,公差d=-3.

（1）求通项公式和前n项和公式；

（2）当"取何值时，前〃项和最大，最大值是多少.

I.已知数列｛4｝是等差数列，若%+%2<。，4。・孙<（）,且数列｛。“｝的前〃项和S“，有最大值，当s”>0

时，"的最大值为（）

A.20B.17C.19D.21

2.已知等差数列｛%｝的前w项和为S“，7%+5a9=。，且。9>/，则5“取得最小值时w的值为（）

A.5B.6C.7D.8

3.已知数列｛%｝中，卬=25,4%+1=44,-7,若其前〃项和为5",则加的最大值为（）

A.15B.750C.—D.—

42

4.若｛。“｝是等差数列，首项4>0,2021+。2022>。，“2021”2022<0，则使前“项和>。成立的最大自然数

〃是（）

A.2021B.2022C.4042D.4043

5.设｛%｝是等差数列，S”是其前〃项和，且Ss<S6，S6=S7>S8,则下列结论正确的是（）.

A.d>0B.%=0

与均为”的最大值

C.S9>S5D.S6S,S

6.设等差数列｛q｝的前”项和为S“，公差为d.己知％=12,加>0,几<0,则下列结论正确的是（）

A.%<0B.-----<d<—3

7

C.$7=84D.设的前〃项和为乙，则1>0时，〃的最大值为27

7.已知数列｛4｝的前”项和鼠满足S,=m2+n"+6（4,6wR,〃eN*）,则下列说法正确的是（）

A.6=0是｛%｝为等差数列的充要条件

B.｛q｝可能为等比数列

C.若a>0,6wR,则｛%｝为递增数列

D.若4=-1,则S"中,S5,一最大

8.已知数歹（］｛可｝的前〃项和5=-〃2+9〃（〃eN*）,则下列结论正确的是（）

A.｛〃“｝是等差数列B.a4+a6=0

Q1

C.a9<awD.s“有最大值7r

4

9.数列｛%｝的前〃项和为S“，已知S,,=-r+7”，则下列说法正确的是（）

A.｛%｝是递增数列B.%=-14

C.当”>4时，an<0D.当〃=3或4时，S"取得最大值

10.等比数列｛%｝中％=16,牝=2,则数列｛log?4｝的前”项和的最大值为.

11.记等差数列｛为｝的前〃项和为，若%>。，%+电。23=。，则当S“取得最大值时，n=.

易错点二：忽视两个“中项”的区别（等比数列利用中项求其它）

芸

1、等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个

数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母4表示。

数学语言表达式：（n>2,q为非零常数）.

J

2、等比中项性质：如果三个数。，G,〃成等比数列，那么G叫做。与h的等比中项，其中G=±J法.

注意：同号的两个数才有等比中项。

3、通项公式及前w项和公式

（1）通项公式：若等比数列｛4｝的首项为生,公比是4,则其通项公式为%

nm

通项公式的推广：an=amq-.

（2）等比数列的前九项和公式：当q=l时，Sn=nax'当时，S”=q>4）=4_%幺.

1-q\_q

已知｛q｝是等比数列，5,是数列｛4｝的前〃项和.（等比中项）

1、等比数列的基本性质

（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即%,%+,“，%+2,“，…仍是等比数列，公比为小".

（2）若&｝,但｝（项数相同）是等比数列，则｛久｝CO）,H，｛叫，｛见同，书］仍是等比数

列.

（3）若左+/=根+”（左,/,私"eN*）,则有&y=q

口诀：角标和相等，项的积也相等推广：a：=a『k•a“+k（n,kwN*,且n—kNY）

（4）若｛4｝是等比数列，且a”〉O,贝ij｛log〃4｝（。＞0且awl）是以log°q为首项，log"为公差的等

差数列。

（5）若｛%｝是等比数列，a,则（左€7^）构成公比为/）的等比数歹I］。

klk12k

易错提醒：若凡"C成等比数列，则6为a和C的等比中项。只有同号的两数才有等比中项，“b2=ac”

仅是“6为。和。的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。

三9

例.已知各项均为正数的等比数列｛g｝中，〃2〃4+2。3。5+。4。6=25,则〃3十。5等于（）

A.5B.10C.15D.20

%,%成等比数列，则41卷=（

变式L已知等差数列｛4｝的公差dwO,且％,)

13-10「1115

A.—B.C.—D.

16131316

变式2.已知ahceR,如果-1,a,b,J-9成等比数列，那么（)

A.b=3,ac=9B.b=-3fac=9

C.b=3,ac=-9D.b=-3,ac=-9

变式3.已知等比数列｛%｝中，a2+ab=5,a3-a5=4,贝！］tan［『J=()

A.73B.-y/3C.若或一石D._当

三9

1.已知等差数列｛4｝的前"项和为S“，公差不为0,若满足％、的、%成等比数列，则亡法的值为（）

%一

A.2B.3C.1D.不存在

2.已知公差不为零的等差数列｛%｝中，/+4=14,且％,a2,%成等比数列，则数列｛。“｝的前9项的和

为（）

A.1B.2C.81D.80

3.已知a=5+2#,c=5-2娓,则使得凡瓦。成等比数列的充要条件的。值为（）

A.1B.±1C.5D.+2-\/6

4.已知等差数列｛4｝的公差不为0,q=l且%，。4M8成等比数列，则错误的是（）

A.幺9=2B.幺>氏C.-^=—D.S"2

。2+〃3%〃4H+12

5.正项等比数列｛4｝中，4%是〃5与-2%的等差中项，若。2=g，则。3。5=（）

A.4B.8C.32D.64

尤2

6.已知实数4,m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线上+产=1的离心率为（）

m

A.叵B.币C.画或用D.工或7

666

7.数列｛%｝为等比数列，。1=1,。5=4,命题P：〃3=2,命题9：。3是〃1、〃5的等比中项，则?是0的（）

条件

A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要

8.在数列｛4｝中，4=2,%=2〃〃+I（〃£N*）,则%〃3+。2%+…+%0%2=（）.

A.^x（410-l）B.1x（4n-l）

9.已知｛%｝是等差数列，公差d<0,前〃项和为S〃，若。3，“4,。8成等比数列，贝（K）

A.%>0,54>0B.q<0,S4<0C.%>0,S4<0D.<0,S4>0

10.数1与4的等差中项，等比中项分别是（）

5555

A.±—,±2B.—,±2C.—,2D.,2

2222

11.已知数列口｝是等差数列，4=2,其中公差dwO,若应是附和国的等比中项，则几=

A.398B.388

C.189D.199

易错点三：忽略等比数列求和时对乡的讨论(等比数列求和)

等比数列前"项和的性质

(1)在公比qw—1或4=-1且〃为奇数时，s”,s2n-sn,s3n-s2n,……仍成等比数列，其公比为/；

(2)对V加,peN*,有鼠+p=S“+q"Sp；

(3)若等比数列｛q｝共有2〃项，则觌=4,其中S偶，S奇分别是数列｛%｝的偶数项和与奇数项和；

J奇

(4)等比数列的前九项和S“=#一一-^-qn,令左=3,则S"=Z—hq"(左为常数，且qwO,l)

1-q1-q1-q

nax,q=1

易错提醒：注意等比数列的求和公式是分段表示的：S“=，所以在利用等比数列求和公式

---

[i-q

求和时要先判断公比是否可能为1,,若公比未知，则要注意分两种情况4=1和的讨论..

三9

例•设等比数列｛叫的前W项和为S”.已知S"M=2S“+g,〃eN*,则$6=.

变式L记S,为等比数列｛%｝的前〃项和，若邑=-5,久=2电，贝尼=.

变式2.在等比数列｛%｝中，q=g,%=-4,令2=同，求数列也｝的前力项和S“.

3

变式3.数列｛%｝前〃项和5.满足­=25,+3吗=3,数列也｝满足d=log3系.

⑴求数列｛4｝和也,｝的通项公式;

(2)对任意机eN*,将数列帆｝中落入区间(客,4J内项的个数记为q,求数列｛%｝前加项和7；.

1.已知｛见｝为等比数列，其公比9=2,前7项的和为1016,则log2g3。5)的值为()

A.8B.10C.12D.16

2.已知正项等比数列｛%｝的前〃项和为力^^=l,9S4-10S2=0,则怎=()

,1340121门80

A.—B.—C.—L).—

9278127

3.已知％=1,a2=l,an=an_l+2an_2+l(n>3,neN*),S”为其前〃项和,贝i]臬。=()

A.230-31B.430-31C.230-30D.430-30

4.在等比数列｛%｝中，a2=l,火=8,贝I]()

A.｛%%+J的公比为4B.｛kgq｝的前20项和为17。

c.｛q｝的前10项积为235D.｛%+%+J的前〃项和为

5.己知正项等比数列｛0｝的前w和为S.，若S3=13,且%=%+6%，则满足5“<123的〃的最大值为.

6.已知等比数列｛%｝的前〃项和为S“，的%=34,且一3,必，9%成等差数歹!J,则数列｛%｝的通项。“=.

7.设S,为等比数列｛”“｝的前〃项和，若%-%=12,%-q=6,则称=

8.已知正项等比数列｛q｝的前〃项和为S“，若%=2,且53=24-1,则5“=.

9.已知各项均为正数的等比数列｛4｝的前〃项和为50，出=9,a2s&-1。卬-90=0,贝l]®=.

10.数列｛%｝的前〃项和为S“，且4=1,an+1-2a,t=n+\,则满足Sn>2048的最小的自然数〃的值为

11.在正项等比数列｛““｝中，已知6=2,乞=26,则公比4=.

易错点四：由S”求%时忽略对“n=1”的检验(求通项公式)

类型1观察法：

已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此

数列的一个通项.

类型2公式法：

若已知数列的前几项和S”与a”的关系，求数列｛见｝的通项""可用公式

,(n=1)

构造两式作差求解.

S.-S„_1,(n>2)

用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即囚和。"合

为一个表达，(要先分”=1和“22两种情况分别进行运算，然后验证能否统一).

类型3累加法：

an-\~an-2=75-2)

形如。用=。“+/(〃)型的递推数歹:](其中/(〃)是关于〃的函数)可构造：-

q-q=/(I)

将上述小个式子两边分别相加，可得：an=/(n-1)+/(n-2)+.../(2)+f(X)+a｝,｛n>2)

①若/(«)是关于«的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；

②若/(〃)是关于"的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;

③若/(〃)是关于〃的二次函数，累加后可分组求和；

④若/(九)是关于〃的分式函数，累加后可裂项求和.

类型4累乘法：

-=/(«-1)

an-\

a,

—=/(»-2)

形如4+1=4-/(〃)型的递推数列(其中/(〃)是关于〃的函数)可构造:an-2

a

2=/(D

,«1

将上述吗个式子两边分别相乘，可得：«„=/(«-1)-/(«-2)■■/(2)/(l)ai,(«>2)

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解.

类型5构造数列法：

(-)形如%+i=W“+4(其中P，4均为常数且。力。)型的递推式：

(1)若0=1时，数列｛%｝为等差数列；

(2)若4=0时，数列｛%｝为等比数列；

(3)若。片1且q*0时，数列｛%｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方

法有如下两种:

法一：设a“+i+%=p®+A）,展开移项整理得%+i=pan+（p-1）4,与题设an+l=pan+q比较系数（待

定系数法）得2=-^7，（。力。）=4+1+-^7=。（4+-^7）=%+-^4=。（。“-1+-^7）,即构

p-1p-1p-1p-1p-1[p-lj

成以％为首项，以2为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可

p-11P-1J

得an-

法二：由an+i=pan+〃得q,=pj+q（n>2）两式相减并整理得“向""=P，即｛a“+j-%｝构成以g-4

an-4T

为首项，以。为公比的等比数列.求出｛〃川-%｝的通项再转化为类型III（累加法）便可求出

（二）形如%=pan+/（〃）（pH）型的递推式：

（1）当/伽）为一次函数类型（即等差数列）时：

法一：设%+A〃+2=P[%T+A（〃-1）+3],通过待定系数法确定A、B的值，转化成以4+A+B为首

项，以父=口二痴为公比的等比数列｛%+加+研，再利用等比数列的通项公式求出｛a„+An+B｝的通项

整理可得为.

法二：当了（〃）的公差为d时，由递推式得：an+l=pan+f（n）,%=pa“_i+/（〃T）两式相减得：

a”+「a“=P（a“-a”T）+d，令6,=an+l-an^-b“=pb,-+d转化为类型丫㈠求出bn,再用类型111（累加法）

便可求出

（2）当/（"）为指数函数类型（即等比数列）时：

法一：设4+4/5）=。[。“7+/1/5-1）],通过待定系数法确定4的值，转化成以4+■⑴为首项，以

"I

q=所标为公比的等比数列｛%+2/5）｝,再利用等比数列的通项公式求出｛4+AA”）｝的通项整理可

得an-

法二：当/（"）的公比为q时，由递推式得：*=5+/（〃）----①，an=pan_1+,两边同时乘

a^,-qa„

以4得4M=2陷“_1+”（"-1）----②，由①②两式相减得q.-q⑼=p（"“-卯篙），即--------=P,在转

aa

n-Q„-i

化为类型V㈠便可求出a”.

法三：递推公式为%+i=pa,+必（其中p,q均为常数）或%+i=pa“+应"（其中p,q,厂均为常数）

时，要先在原递推公式两边同时除以产,得：色=5,号引入辅助数列也｝（其中么=孑），得:

r）1

bn+x=~bn+—再应用类型V㈠的方法解决.

qq

（3）当/■（〃）为任意数列时，可用通法：

在%+1=。氏+/（〃）两边同时除以P"M可得到之去=3+4?，令3=包，则2+1=2+4告，在

ppppp

转化为类型III（累加法），求出打之后得（=p*".

类型6对数变换法：

q

形如%+i=pa（p>Q,an>0）型的递推式：

在原递推式4+1=pd两边取对数得lg%+i="lga"+lgp,令=lga“得:b”\=qbn+lgp,化归为

型，求出或之后得4=10%.（注意：底数不一定要取10,可根据题意选择）.

类型7倒数变换法：

11

形如%（2为常数且。片。）的递推式：两边同除于转化为一=+P形式,

anan-\

1

化归为a“+i+4型求出一的表达式，再求知;

an

ma1mlm

还有形如4+1=-丁n的递推式，也可采用取倒数方法转化成一=——+—形式，化归为

Pan+q«„+iqa.P

1

型求出一的表达式，再求

an

类型8形如4+2=pa“+i+qa,型的递推式：

用待定系数法，化为特殊数歹!1伍“-。”.J的形式求解.方法为：设。也一切鹏=〃（。用一如“），比较系数

^h+k=p,-hk=q,可解得人k,于是｛an+1-kan]是公比为h的等比数列,这样就化归为=。%+q型.

总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，

可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式a,

fS,（〃=1）

易错提醒：在数列问题中，数列的通项4与其前n项和S“之间关系如下%°,*广、，在

〔用一S“T（〃N2,"eN）

使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列｛4｝的4与S”关系时，先令〃=1求出

首项对,然后令〃22求出通项。“=S“-S—i，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令2求出通

项4=Sn-S,”],也不对n=1进行检验.

例.已知数列｛q｝和也｝,其中｛q｝的前项和为S“，且2a”一凡=2,2=log?⑸+2).

⑴分别求出数列｛q｝和｛%｝的通项公式；

ebib、b

(2)记<=」+^+-+—,求证：Tn<3.

%a2an

变式1.数列册的前〃项和S",已知出=4+4,2s“=〃%+〃+M〃eN*),左为常数.

(1)求常数k和数列｛%｝的通项公式；

(11413

⑵数列■的前〃项和为(，证明：---~-<7；,<--

[S"32n+l2

变式2.设各项均为正数的数列｛叫的前〃项和为S“，满足4s“=(%+3)(%-1).

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵记么=券，数列｛%｝的前〃项和为却证明：对一切正整数〃，Tn<6.

变式3.已知数列｛4｝的前〃项和为%且S“=2a“-1(〃eN*).

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵设bn=anlog2an,求数列出｝的前"项和T”.

1.已知数列｛q｝的前”项和为3,%=9,且S“M+3q,=S,+/la“+3"(XeR).

(1)当％=2时，求邑；

(2)若｛%｝为等比数列，求4的值.

2.已知数列｛%｝的前"项和为5"吗=1,且2〃+2与45”的等差中项为5.小/N*.

(1)求数列｛%｝的通项公式.

⑵设么=(-1)”?如〜乜，求数歹!]也｝的前几项和Tn.

anan+l

3.己知数列｛为｝的前〃项和为S.，51=1且“向+25户用=。，„gN*.

⑴求4;

1

⑵记6=="鸟,求数列也,｝的前“项和.

an

4.已知数列｛见｝的前几项和为S“，且满足%=2,%=4,当时，1S7一S，,是彳的常数列.

(1)求｛〃“｝的通项公式；

(2)当”22时，设数列下—的前〃项和为证明：T.<g.

[n｛n+l)an+lJ2

5.在数列｛〃“｝中，4=-1,S.是｛%｝的前〃项和，且数列是公差为g的等差数列.

⑴求｛〃“｝的通项公式；

(2)设么="学卡，求数列也｝的前n项和Tn.

6.已知数列｛%｝的前〃项和是S“，且6a“=5S”+2.

(1)证明：｛%｝是等比数列.

⑵求数列]等1的前〃项和Tn.

7.已知首项为4的数列｛4｝的前"项和为S“，且S”+1+a“=S“+6x5”.

⑴求证：数列5"｝为等比数列；

⑵求数列｛%｝的前力项和S..

8.设数列｛%｝的前"项和为S“，且2S“=〃(%+6),a6=16.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设数列1上的前〃项和为l，求证：

[nanj68

9.设各项均为正数的数列｛%｝的前〃项和为S,,,且满足

(1)求出数列｛%｝的通项公式；

(2)设a=的,，数列也｝的前〃项和为I,求(2780时，w的最小值.

2

10.已知s“为数列｛q｝的前“项和，4=1,Sn+i+Sn=2n+2n+l.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)若4=1,%+=4，求数列也｝的前〃项和T”.

H.已知各项均为正数的数列｛。“｝的前”项和为s"，且4=3,。,,=£+6;(及N*且心2).

(1)求｛〃“｝的通项公式；

(2)若a=守，求数列也｝的前w项和4.

易错点五：裂项求和留项出错(数列求和)

常见的裂项技巧

积累裂项模型1:等差型

11__1_

(1)

n(n+1)nn+1

(2)

n(n+k)knn+k

------=一(------------)

4rr-l22«-l2M+1

]__i_rj]

(4)

n(n+1)(〃+2)2n(n+1)(n+l)(n+2)

11l11

(5)------------------------------——(z-----------------------)

n(n?—1)n(n—l)(n+1)2(n-l)nn(n+1)

(6)—2=—1--------------------

4n2-14(2n+l)(2n-l)

3n+l4(n+l)-(n+3)11..11

------------------------=-------------------------=4(-----------------)—(----------------

(〃+l)(n+2)(〃+3)(n+l)(n+2)(〃+3)n+2n+3n+1n+2

n(n+1)=g[n(n+l)(n+2)—(〃—l)n(n+1)].

(8)

n(n+l)(n+2)=；[n(n+l)(n+2)(〃+3)—(n—I)n(n+l)(n+2)]

i_u]i

(10)

n(n+1)(〃+2)(〃+3)3n(n+l)(n+2)(〃+l)(n+2)(〃+3)

2H+111

,25+1)2n25+1)2

n+1_1[11

/5+2)24〃25+2)2

积累裂项模型2：根式型

(1)f------——-==y/n+l-y/n

(2)/----；==—(>Jn+k--/n)

yjn+k+ylnk

(3)-/1/一二J(j2〃+1-J2〃-1)

)2〃一1+，2几+12

I11n(n+l)+lII

(4)Jl+f+-----7=———--=11+------------

Vn2(n+1)2n(n+1)nn+1

________1________(n+l)vn-n'n+1(n+1)而-ny/n+111

(6)(n+l)y/n+ny/n+ln(n+1)4nJH+1

积累裂项模型3：指数型

2〃_(2__1)_(2“_1)_]____1

(1)--------------------

(2"+i-l)(2“-l)一(2"+i-l)(2"-l)'2"-12,,+1-l

3〃111、

(2)-------------：——=(z——)

(3,,-1)(3,,+1-1)23n-l3n+l-l

n+22(n+l)-n(211111

°)n(n+l)-2"'«(«+!)-2"~[nn+\)2"n-T-1(n+l)-2"

9r

).3，T=U——2]

(4〃(〃+2)2(n+2)n2(〃+2nJ

,<、(2〃+1)•(-!)'(-1)"(-1)),+1

(5)=-

几(n+1)nn+1

n

(6)Q〃二九,3"i,设c1n=+b)3—\Q,(YI—1)+A]•3"i,易得ci=—,b=—

于是[(2〃—1)3"——(2〃-3)•3"1

⑺(~l)w(n2+4n+2)2n_(~l)w(n2+4n+2)_(-1)"[n2+n+2(n+1)+n]

n-2n-(n+l)2n+1~~H-(H+1)2M+1-H.(n+l)2n+1

(-1)〃(-1严

-^+(—1)〃------+--------------

2n+1〃・2〃(〃+l)・2"+irn-2n-(n+l)-2n+1

积累裂项模型4：对数型

+1

loga—=log："-logfla„

a.

积累裂项模型5：三角型

(1)--------------=--------------(tana—tan/?)

cosacosPsin(a-/3)

]1

(2)-[tan(n+1)°-tan叫

cosn°cos(n+l)0sinl

(3)tanatan)3=-------------(tana

tan(cr-13)

an

(4)a=tan-tan(n-l);tanl=tan[n-(n-l)]=-，"一回3?一上

n1+tann-tan(n-1)

Etann-tan(n-1),tann-tan(«-1).

贝ljtann-tanz(n-1)=---------------------l,a=--------------——--1

tanltanl

积累裂项模型6：阶乘

nil

(1)---------=---------------

(n+1)!n\(n+1)!

n+2n+21〃+l11

(2)-------------------------=-------------=------------=----------=---------------------

n\+(n+1)!+(H+2)!n!(n+2)2n!(n+2)(〃+2)!(n+1)!(〃+2)!

常见放缩公式：

1111/C、1111

(1)-r<7------=---------------(n>2).(2)------7=-----------.

n2(n-l)nn—1〃''n1+nn+1*

、144(111

(3)—=-----<---------=2-------------------•

n24九?4几?—1\2n—l2n+lJ'

.小1加11111/小

⑷^=c»v=^(^V<H<7(^I)=^-7(r-2);

(iY111

In)1x22x3(n-l)n

1=册±1＜焉+分=2卜金口+通）（北2）

(6)

1_22

(7)=2bM+｛几+1)

品y[n+y/ny/n+y/n+1

12<2夜

=后+，2几+1)

(8)y/nyfn+y/n—1+\/2n+1

TTT2，T_11

⑼(2n-l)2-(2n-l)(2n-l)<(2n-l)(2n-2)-(2n-l)(2n-1-1)-2^-12n-1(n-2)

(10)

J〃+l+y/n-1

2-Jn

2

(11)yjn2-n+yln-n2nyfn—1+(AZ—1)yJn(品+[n-\)

--1--=----1---<-------1-----=---2---=-2----2-

2"-