高考数学专项复习：三角恒等变换【九大题型】

专题4.3三角恒等变换【九大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1两角和与差的三角函数公式】..............................................................3

【题型2两角和与差的三角函数公式的逆用及变形】................................................4

【题型3辅助角公式的运用】......................................................................6

【题型4角的变换问题】...........................................................................8

【题型5三角函数式的化简】.....................................................................10

【题型6给角求值】..............................................................................11

【题型7给值求值】..............................................................................13

【题型8给值求角］..............................................................................15

【题型9三角恒等变换的综合应用】...............................................................18

►考情分析

1、三角恒等变换

考点要求真题统计考情分析

⑴会推导两角差的余弦

公式

2022年新课标II卷：第6题，

⑵会用两角差的余弦公三角恒等变换是三角函数的重要工

5分

式推导出两角差的正弦、具，是高考数学的热点、重点内容.从近

2023年新课标I卷：第8题，

正切公式几年的高考情况来看，主要考察三角函

5分

(3)掌握两角和与差的正数的化简求值、三角函数的变换等内容，

2023年新课标II卷：第7题，

弦、余弦、正切公式，并一般以选择题、填空题的形式出现，试

5分

会简单应用题难度中等或偏下；但在有关三角函数

2024年新课标I卷：第4题，

(4)能运用两角和与差的的解答题中有时也会涉及到三角恒等变

5分

正弦、余弦、正切公式推换、合并化简，此时试题难度中等，复

2024年新课标II卷：第13题，

导二倍角的正弦、余弦、习时需要同学熟练运用公式，灵活变换.

5分

正切公式，并进行简单的

恒等变换

►知识梳理

【知识点1三角恒等变换思想】

1.三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式

(1)角的代换

代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用

尤为突出.

常用的角的代换形式：

①Q=(G+£)/；

②Q=£・(夕-Q)；

③Q=,[(Q+£)+(Q/)]；

@a=-[(a+6)-(£-[)]；

⑤器/七-外言/)；

@a-y=(a-f))+(/3-y).

(2)常值代换

用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其

中要特别注意的是'T'的代换.

(3)辅助角公式

通过应用公式asina+6cosa=-\/a2+b2sin(a+0)威asina+bcosa=\/a2+b2cos(a—夕)将形如

asina+bcosa(a,6都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数，iAi区sin(a+9)[或

"TPcos(a—0)].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个

三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.

【知识点2三角恒等变换的应用技巧】

1.两角和与差的三角函数公式的应用技巧

(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.

(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.

2.两角和与差的三角函数公式的逆用及变形

运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如

tana+tanjB=tan(a+夕)•(1—tanatanQ)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓

展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.

3.辅助角公式的运用技巧

对asinx+bcosx化简时，辅助角的值如何求要清楚.

4.角的变换问题的解题策略：

(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个"已知角"的和或差的形式；

(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式

把“所求角”变成“已知角”.

(3)常见的角变换：2a=(a+6)+(a—/?),a=+a,y+ct=y-f^--a'j,

a=(a+£)—£=(a—£)+力，(?+Q+(〃-a)=、等.

【知识点3三角恒等变换几类问题的解题策略】

1.给值求值问题的解题思路

给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求

出相应角的三角函数值，代入即可.

2.给角求值问题的解题思路

给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角

之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数

而得解.

3.给值求角问题的解题思路

给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.

4.三角恒等变换的综合应用的解题策略

三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化

为小尸然皿5+°)+6的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想

解决相关问题.

【方法技巧与总结】

1.tana±tan£=tan(a±£)•(1千tanatan£).

攻宣八f21+cos2a.21—cos2a

2.降累公式：cos-oc=--------,sin2a=---------

3.1+sin2a=(sina+cosa)2,1—sin2a=(sina-cosct)2,sina±cosa="\/2sin(a±

►举一反三

【题型1两角和与差的三角函数公式】

【例1】(2024,江西九江三模)若2sin(a+§=cos(a—》贝!Jtan(a-9=()

A.-4-V3B.-4+V3C.4-V3D.4+V3

【解题思路】设0=a—己，则原等式可化为2sin(Q+习=cos("J,化简后求出tan/?即可.

【解答过程】令0=a—g则a=0+g

66

所以由2sin(a+§=cos(a-

得2sin(夕+习=cos(0-J，

即2cos/?=fcos/?+|sin^,

即sin/?=(4—V3)cos/?,得tan/?=4—V3,

所以tan(a—：)=tan/?=4—V3,

故选：C.

【变式1-1](2024•湖南•模拟预测)已知仇66,冗)，tan(*-a)=g,贝sina=()

2V5遥r，2V2V2

AA.MB-TC.丁D.-

【解题思路】根据差角公式可得tana=-3，即可利用同角关系求解

3TT

【解答过程】由tan管一a）=[得tan（空一a）=:工解得tana=-2,

4

故sina=—2coscr,结合sin2a+cos2a=1,故sin2a=：

由于aGC，71）故sina=?，

故选：A.

【变式1・2】（2024,安徽合肥•模拟预测）已知cos（10。一a）=cos（50。一a）+cos（50。+a）,则tana=（）

A.，B.-£C.V3D.-

【解题思路】根据两角和差的余弦公式化简，再根据50°=60°-10。结合两角差的余弦公式化简即可得解.

【解答过程】由cos（10°—a）=cos（50°—a）+cos（50°+a）,

得cosl0°cosa+sinlO°sina=2cos50°coscr,

故sinlO°sincr=2cos50°coscr—cosl0°cos（z

2cos50°-cosl0°

所以tana

sinl0°

2cos(60°-10°)-cosl0°

sinl0°

_cosl0o+V3sinl00—cosl0°

sinl0°

故选：C.

【变式1-3]（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知sinasin（a+：）=cosasin偿—a）,则tan（2a+；）=（）

A.2-V3B.-2-V3C.2+V3D.-2+V3

【解题思路】由两角和差公式、二倍角公式逆用可得tan2a=8，进一步结合两角和的正切公式即可得解.

【解答过程】由题意fsin2a4-|sincrcoscr=/cos2a—|sincrcosa,即fcos2a=|sin2cr,

tan2a+ta咛_g+]_(B+l)2

即所以tan（2a+：）

tan2a=V3,1—tan2atan^1—V3—2=—2—V3.

故选：B.

【题型2两角和与差的三角函数公式的逆用及变形】

[例2](2024•四川•模拟预测)已知a,夕，yC(。0)，若sincr+siny=sin/?,cos。+cosy=cosa,则a—/?=

A•冶BC--D

-1.6-7

【解题思路】根据已知条件及同角三角函数的平方关系，利用两角差的余弦公式及三角函数的特殊值，注

意角的范围即可求解.

【解答过程】由sina+siny=sin/?,cos/3+cosy=cosa,得sina—sin/?=—siny,cosa—cos/?=cosy,

(sina—sin/?)2+(cosa—cos/?)2=(—siny)24-cos2y=1,即2—2sinasin/?—2coscrcos/?=1,

2—2cos(a-/3)=1,解得cos(a—3)=；.

又a,°,y€(0片

/.sina—sin/?=—siny<0,

丁•sina<sin0,

.・.。<”0<泉

——<cc_Bvo,

故选：A.

【变式2-1](2024•内蒙古呼和浩特•一模)已知sina+cos/?=j,cosa—sin.则cos(2a-2/?)=()

A-iB•-5

C5V39一

C.-------

32

【解题思路】由sina+cos6=^,cosa-sinp=-1,两边平方相加得到sin(a-p)=-|,再利用二倍角的

LLO

余弦公式求解.

【解答过程】解：因为sina+cos0=亨,cosa-sin?=-1

所以sin2a+2sinacos/?+cos2s=g,cos2a—2cosasin/?+sin2/?=

两式相加得：2+2(sincrcos/?—cosasinS)=即2+2sin(a—/?)=：,

化简得sin(a-/?)=-1，

o

所以cos(2(z—2/7)=1-2sin2(a-S)二5

故选：A.

【变式2-2]（2024•山东泰安•模拟预测）若=；，则sin26的值为（）

1—tan（0—7）2

【解题思路】根据两角和的正切公式化简可得tan®,再由二倍角的正弦公式及同角三角函数的基本关系得

1+tan(0—1行,tan)+tan(吟)

【解答过程】由1

l-tan(吟)2'付l-tan*an(e-》2?

所以tan(^+0—^)=i,即tan©=

2sin0cos02tan0_4

所以sin20=

sin20+cos2/?1+tan2^5

故选：D.

【变式2-3](2024•全国•模拟预测)已知a,0,y满足a—/?—y=e且sina=2cos/?cosy,tan/?tany=—3,

则tana的值为()

i1

A.-2B.--C.-D.2

22

【解题思路】

根据题意切化弦结合三角恒等变换可得-cosa=4cos/?cosy,结合sina=2cos/?cosy运算求解即可.

【解答过程】由tan/?tany=—3,即::黑鲁=—3,可得sin/?siny=—3cos^?cosy,

则coSjScosy—sin0siny=4cos£cosy,

可得cos(S+y)=4cos优osy,

因为a—/7—y=m即/?+y=a—ii,

可得cos(/?+y)=cos(a—n)=—coscr=4cosj6cosy,

।I1]

又因为sina=2cos^?cosy,即sina=—-cosa,所以tana

故选：B.

【题型3辅助角公式的运用】

【例3】（2024•安徽合肥•三模）已知2sina=1+2Bcosa,贝Usin（2a—§=（）

【解题思路】先由辅助角公式得sin（a-§=再利用诱导公式和余弦二倍角公式即可求解.

【解答过程】由2sina=1+2V5cosa得4Qsina—苧cosa）=1,即sin（a-

所以sin(2Q—§=sin椁+2(a—=cos2(a—=1—2sin2(q—§=,

故选：D.

【变式3-1](2024・四川遂宁•模拟预测)已知cos(a-m)一cosa=鼻则sin(a—?)=()

326

A.--B.-C.--D.—

2222

【解题思路】利用差角的余弦公式、辅助角公式化简变形即得.

【解答过程】依题意，—=-cosa+—sina—cosa=—sina--cosa=sin(a—-),

222226

所以sin(a-^)=y.

故选：D.

【变式3-2](2024•湖北•二模)函数/(%)=3cos%-4sin%,当/(%)取得最大值时，sin%=()

4433

A-?B-c-?D-

【解题思路】由辅助角公式、诱导公式直接运算即可求解.

【解答过程】/(x)=3cosx—4sinx=5cosx—gsinx)=5cos(x+<p),

其中coscp=I，sin(p=p

而/(%)=3cosx—4sinx=5cos(%+(/?)<5,

等号成立当且仅当久+cp=2/cir(fcEZ),此时sinx=sin(—(p)=—sing=—

故选：B.

【变式3-3](2024,陕西铜川•三模)已知cos(a-cosa=/,则sin0a+g=()

1133

A.--B.-C.--D.-

2244

【解题思路】利用和差公式、辅助角公式化简得sin(a-5=弓，然后通过整体代换，根据诱导公式和二

倍角公式即可求解.

【解答过程】"cos(a——cosa=-y-sina—|cosa=.(V3

sinW+如sin[2(«-=)+=]=cos(2(*)]=­2sin2(W

故选：A.

【题型4角的变换问题】

【例4】(2024•吉林长春•模拟预测)已知cos2a=-y,sin(cr+0)=一噂,戊£10ase[-p0],则a一0=

()

A.-B.—C.—D.三或空

44444

【解题思路】求出2a、a+夕的范围，利用平方关系求出sin2a、cos(a+£),再由a-£=2a-(a+/?)求

出cos(a-/?),结合a-/?的范围可得答案.

【解答过程】因为aE[0《],所以2a€[0河,

所以sin2a=V1-cos22cr=Jl—(一专=g,

因为/?€[_'()],所以a+H=[_]，3，

所以cos(a+/?)=Jl-sin2(a+0)=Jl-(-噜)=笔，

又由a一夕=2a-(a+夕)知

cos(a—/?)=cos[2a—(a+0)]=cos2acos(a+/?)+sin2asin(a+0)

又因为a—BE[。,互]，所以a—B=

故选：B.

【变式4-1](2024・重庆•模拟预测)已知a,0都是锐角，cosa=；,sin(a+夕)=绊，则cos20的值为()

714

A.--B.-C.--D.—

2222

【解题思路】根据题意，求得sina=手，再由y=cos%的单调性，求得cos(a+0)=-巳，利用两角差的

余弦公式，求得cos/?=cos[(a+4)-a]=；,结合余弦的倍角公式，即可求解.

【解答过程】由a与/?均为锐角，且cosa=2，sin(a+S)=券，所以sina="，

7147

因为OVaV^OcSv]可得0<a+SVJi,cos(a+0)=±^|,

又因为y=cos%在(Ojr)上单调递减，且aVa+处所以cosa>cos(a+夕)，

因为cosa=p所以cos(a+/?)=—弓，

所以coSjS=cos[(a+/?)—er]=cos(a+/?)cosa+sin(a+£)sina=—x1+等x竽=

则cos20=2cos2s-1=2x(1)2—1=—

故选：A.

【变式4-2](2024•福建泉州•模拟预测)已知a,0均为锐角，sin(2a—j?)=^cosa+sin7,则sin(a—夕)=

()

A.延B.在C.2D.史

5533

【解题思路】利用2a-/?=a+(a-/?)和6=-[(a-B)-a]对sin(2a-/?)和sin6进行转化即可求解.

【解答过程】由题意sin(2a-0)=sin[a+(a-0)]=sinacos(a—/?)+cosasin(a—/?),

又sin(2a—£)=^cosa+sin0=苧cosa—sin[(a—£)—a[=[卓—sin(a—/?)]cosa+cos(a—/?)sina,

故sinacos(a—/?)+cosasin(a—/?)=[誓—sin(a—/?)]cosa+cos(cr—/?)sina,

即cosasin(a—/?)=[誓—sin(a—例cosa

又a均为锐角，所以cosaHO,

故sin(a—/?)=手—sin(a—/?)=>sin(a-0)=亨，

故选：D.

【变式4-3](2024•山西•三模)若sin2a=4，sin(/?-a)=彳，且aW玲卜朗,则cos(a+£)=

()

AV5+V2n俪k遍c2V5-V2

A.-------B.—C.—D.---------

6636

【解题思路】根据sin2a=终结合a的范围分析可得ae[*),cos2a=-1，再根据sin"-a)=当结合0

3L4Z/3o

的范围分析可得cos(/?-a)=-等，由Q+S=2a+(/?-a)结合两角和差公式分析求解.

6

【解答过程】因为ac[利，则2a€目2叶且sin2a=苧>为

则可得/€玲5,cos2a=——sin22a=—

又因为£6卜3则野且sin(/?—a)=B>0,

可得S-ae(]m)，cos(£-a)=-Jl-sin2(^B-a)=-平，

所以cos(a+0)=cos[2a+Q?-a)]=cos2acos(0—a)—sin2asin(0—a)

=fV6\/V30\V3xV6=2V5-V2

\3J\67366

故选：D.

【题型5三角函数式的化简】

【例5】（2024•全国•模拟预测）管0。一（）

sin25°2tan25°

【解题思路】切化弦后通分，根据两角和差的正余弦公式求解即可.

sin800+cos500_显_$111（60。+20。）+85（30。+20。）_历cos250

【解答过程】

sin25°2tan25°sin25°2sin25°

sin60°cos20°+cos60°sin20°+cos30°cos20°—sin30°sin20°V6cos25°

-sin2502sin25°

_限os200+sin20°+恁os20。-sin200_ecos25°_gcos20。_V^cos25°

2sin2502sin25°-sin2502sin25°

_V3cos(45°-25°)V6cos25°_V3(cos45°cos25o4-sin45°sin250)V6cos25°

sin25°2sin25°-sin25°2sin25°

_V6cos25°+V6sin25°V6cos25°_V6

-2sin2502sin25°~

故选：A.

【变式5-1】（2023•全国•模拟预测）化简：*普（)

A.4B.2C.tan20°D.sin20°

【解题思路】利用三角恒等变换的公式求解即可.

1一倔nalO。coslO。一任inl0°2cos(10。+60。)2cos70。4cos70°

【解答过程】

sinlO°sinl00cosl0osinlO°coslO°sinlO°coslO°sin20°

故选：A.

【变式5-2］（2023•吉林延边•二模）下列化简不正确的是（）

11

A

-cos82°sin52o+sin82℃osl28==--B.sinl5°sin300sin75==-

ctan48°+tan72°盲

ccos215&sin215=D.----------------=V3

-°°Tl-tan48°tan72°

【解题思路】利用三角恒等变换的知识进行化简，从而确定正确答案.

【解答过程】A选项，cos82°sin52°+sin82°cosl28°

=cos82°sin52°+sin82°cos(180°-52°)

=cos82°sin52°—sin82°cos52°

=sin(52°-82°)=—sin30°=-1,所以A选项正确.

B选项，sinl50sin30osin75o

=isinl50sin(90°-15°)=isinl50cosl5°=isin30°=士B选项正确.

2248

C选项，cos215°-sin215°=cos30°=y,C选项正确.

D选项，tan48°+tan72°=tan(48°+72°)=tanl20°V3,D选项错误.

l-tan48tan720

故选：D.

【变式5-3](2024・重庆•模拟预测)，管65；黑5。的值为()

tanl5ocosl0°4-sml0°

A2+V3D1+V3c2+V3c1+V3

A.--------D.----------C/.--------L).----------

2244

【解题思路】由同角的商数关系，两角和的正弦公式，降幕公式，诱导公式化简求值即可.

r铲兹、计于口12cos65°cosl5°_2cos65°cos215°

口tanl5ocosl0°+sinl00sinl50cosl0-+sinl00cosl5°

_sin25Ox(l+cos30。)_.V3_2+遮

-sin25°—~~2，

故选：A.

【题型6给角求值】

【例6】（2024•辽宁•二模）已知sin（15。—^）=tan210。，则sin（6（T+a）的值为（）

【解题思路】根据题意得到sin(15。g)='进而得到侬2(15。/)=3cos(30。一a)=%从而有

sin(60°+a)=sin[90°—(30°—a)]=cos(30°—a).

【解答过程】,・飞也(15。冶)=tan210。，

:.sin(15°--)=tan210°=tan(180°+30°)=tan30°=—,

则COS2(15°—])=1—sin2(15°-])=/

cos(30°—a)=cos2(15°——sin2(15°—y)=|,

Asin(60°+a)=sin[90°—(30°-a)]

=cos(30°—a)=-,

故选A.

【变式6-11(23-24高二上•江西景德镇•期中)已知sina=乎,cos(a一/?)=?,且0<a<华,0〈”苧

则sin/?=()

A9V1511V10C底n同

・35・35•-35~•-35~

【解题思路】易知sin/?=sin(a一(a-/?)),利用角的范围和同角三角函数关系可求得cosa和sin(a-/?),

分别在sin(a-m=卓和-卓两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sin/?,结合0的范围可确定最终结

果.

【解答过程】：sina=—<?且0<a<吗.0<a<三,二cosa=71—sin2a=

72447

又0V/?V?，・••一,Va—/?<：,・,.sin(a-0)=±y/1-cos2(a—^?)=±誓.

当sin(a—/?)=乎时，

sin/?=sin(a—(a—0))=sinacos(a—/?)—cosasin(a—/?)=苧x?—|x9=—要，

••・0VqV手，・•.sin0>0,・,.sin^=—坐不合题意，舍去；

当sin(a—H)=-誓，同理可求得sin/?=野，符合题意.

综上所述：sin/?

故选：A.

【变式6-2](23-24高一下•北京顺义・阶段练习)已知ae(04)且tana=*

⑴求tan2cr,sin2a,cos2a；

(2)若£为锐角，且cos(a+0)=卷，求sin/7.

【解题思路】

(1)二倍角公式直接求tan2a,由tan2仇的正负判断角的范围，结合(sin2a)2+(cos2a)2=1解出sin2a

和cos2a的值.

(2)由tana的值和a的范围求出sina、cosa的值，利用/?=a+p-a,结合两角差的正弦公式即可求出sin13

的值.

3

【解答过程】⑴解：因为tana=1所以tan2a=产2=白=勺；

41—tan4a1——7

16

又a6(0,f,2a6(O,TT),tan2a=y>0,所以2aE(°()，贝！Jsin2a>0,cos2a>0,又tan2a==y,

且(sin2a7+(cos2a尸=1,解得：sin2a=||,cos2a=2

(2)因为a£(0()且tana=：,所以sina=g,cosa=p

因为S为锐角，cos(a+=—>0,所以sin(a+/?)=£,

则sin/?=sin(a+6一a)=sin(a+S)cosa—cos(a+£)sina

1245333

=—X----------X———.

13513565

【变式6・3】(2024•浙江台州•二模)已知函数/(%)=8sin%+cos%.

(I)求函数/(%)的单调递增区间；

(II)若/(a)=W[]旨],求sina的值.

【解题思路】(1)先用辅助角公式变形函数为f(x)=2sin(%+9,再把久+方带入函数单调递增区间，分

离出“即可得解；

(2)由/'(a)=:,即sin(a+§=/根据a的范围求出cos(a+小=一|,带入sina=sin((a+匀—胃即

可得解.

【解答过程】⑴/(x)=V3sinx+cosx=2sin(x+。

令-----F2/CTT4%H—4—F2/C7T,kEZ

262

得-g+2/CTT4％Wg+2/C7T,kEZ,

・•・/(%)的单调增区间为卜年+2也(+2对，kEZ；

(II)/(a)=f,即sin(a+=7,

5\6/5

ae[?卦a+JeM，

V7■(1吟4V3.71

Xsin(«+-)="<—=sin-,

\0/□Z3

所以a+3w仔,斗得cos(a+J=-[

••・sina=sin((a4-J=sin(a+勺cos^—cos(a4-gsin^

4V3+3

~10

【题型7给值求值】

【例7】(2024•河北保定•三模)已知锐角a,/?(a例7)满足sina+2cosa=sin/?+2cos，，则sin(a+0)

的值为()

【解题思路】利用辅助角公式化简已知函数，得到正弦型函数，再利用自变量的范围得到函数是不单调的,

所以自变量不相等但函数值相等的情形就是两角互补，从而就可以通过运算得到结果.

【解答过程】设/(%)=sinx+2cosx=V5sin(x+@),其中sing=等，cos(p=个，0c(。《),

当工€(00)时，工+勿€(0j+0)u(0,K),

此时/(%)=sin%+2cos%=V^sin(%+0)在(0,n),有增有减，

又因为/(a)=f(S),且aW/?,所以a+9+/?+0=TI,所以a+/?=n-2仍

所以sin(a+d)=sin(7i—2(p')=sin2(p=2sin0cos勿=

故选：D.

【变式7・1】(2024•辽宁丹东•二模)已知sina+sin(a+§=苧，则cos(2a+g)=()

7722

A.5B,--C,-D,--

【解题思路】解法1：令a=(a+£)-/a+合(a+?)+2,利用两角和与差的正弦公式化简即可求得

sin(a+“=g,再利用二倍角公式即可求解；解法2：利用两角和的正弦公式将sina+sin(a+5)=g展

开，可得当sina+驷sa=(,再利用辅助角公式求得sin(a+2=g,最后利用二倍角公式即可求解.

【解答过程】解法1：由sina+sin(a+])=个，得sin[(a+[)—e]+sin[(a+：)+(]=',

得sin(a+-)cos--cos(a+-)sin-+sin(a+-)cos-+cos(a+-)sin-=—,

666666663

得限in(a+g)=g所以sin(a+g)=g

o363

所以cos(2a+])=1—2sin2(a+£)=.

解法2：将sina+sin(a+^)=y-

展开得sina+sinacos^4-cosasin^=[，

整理得sjina+jcosa=

即sin(a+^)=-|,

所以cos(2cr+^)=1—2sin2(a+£)=：.

故选：A.

【变式7-2］(2024・贵州贵阳,二模)已知cosa-cos/?=高,sina-sin0=-1,则tan(a+/?)的值为()

A.-4V5B.4V5C.-2V5D.2V5

【解题思路】拆分角度a=*+—，6=--一，再根据和差化积公式求得tan一，由正切二倍角公式

即可得所求.

【解答过程】由戊=半+1，夕=岁—早得

cosa—cosjff=—2sin^^sin^^=—,sincr—sin0=2cos^^sin^^=-

l223l223

两式相除可得tan一二苧，

所以tan(a+/?)=tan(2.亨)=［晨=一4^-

故选：A.

【变式7・3】(2024•辽宁•二模)已知a,/?6(。4)，2tana=高黑隔，则cos已戊+夕+§=()

A.亘B.—包C.iD.-i

2222

【解题思路】由2tana=.产可得料=产能，进而可得sina+sinasin。=cosacosQ,再根据两角

sinp+sin^pcosa1+smp

差的余弦公式化简求出a,S的关系，即可得解.

【解答过程】因为2tana=^黑布，

grpi2sina_2sin0cos夕_2cos/?

cosasin0+sin2sl+sin0'

所以sina+sincrsin/?=cosacos/?,

所以sincr=cosacos/3—sinasin/3=cos(a+0),

所以cos仔—仇)=cos(a+/?),

因为%S€(°4)，所以］一a€(0,9,a+夕€(0,7i),

所以］-a=a+/?,所以2a+S=］,

所以cos(2a+£+"=cos—=-g

\3/62

故选：B.

【题型8给值求角】

【例8】(2023•江苏无锡•三模)已知tan(a+夕)=4署，若。€(0,§,则0=()

A2LBcD

・12-7-T-I

【解题思路】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角a,再利用已知条件即可求解.

【解答过程】因为tan(a+0)—tanS

tana=tan(a+£-£)=l+tan(a+H)・tanH'

cosal+sina

又因为tan"=­：，tan(a+/?)=

1—sinacosa

l+sinacosa(l+sina>(l-sina)-cosacosa

R斤以fon/T=cosa_1-sina_________cosa(l-sina)_______

771/LallU-]।l+sinacosa-cosa-(l-sina)+cosa-(l+sina)9

cosa1-sinacosa(l—sina)

(l+sina)-(l—sina)—cosa-cosa1—sin2a—cos2a

所以tana=

cosa-(l—sina)+cosa-(l+sina)2cosa

因为sin2a+cos2a=1,所以tana=0,

所以a=kn,kEZ,

所以当k为奇数时，cosa=—1,sina=0,

当々为偶数时，cosa=1,sincr=0,

因为tan6=「os。,所以tanS=±l,

1—sina

因为0e(o,3,所以/?=：.

故选：c.

【变式8-1](23-24高三•全国•期末)已知。<a<夕</,cos2a+cos20+1=2cos(a—£)+cos(ct+£),

贝1J()

A.a+S=£B.a+0=g

C.B—cc~—D.B—ct——

产6产3

【解题思路】直接利用三角函数恒等变换进行凑角化简，再根据a,/?的范围即可求出结果.

【解答过程】由已知可将2a=(a+3)+(a—S),2/?=(a+£)—(a—0),

则cos[(a+/?)+(«—jff)]+cos[(a+0)—(a—0)]+1=2cos(a—0)+cos(a+£),

2cos(a+H)cos(a-0)-2cos(a—R)—cos(a+£)+1=0,

[cos(a+/?)—l][2cos(cr—/?)—1]=0,即cos(a+/?)=1或cos(a—

又0<aVSV]，所以0V