高考数学专项复习：排列组合与二项式定理常考小题（20个考点）（讲义）（解析版）

专题19排列组合与二项式定理常考小题

【目录】

考点一：二项式定理之特定项、三项式问题.......................................................7

考点二：二项式定理之系数和问题...............................................................8

考点三：二项式定理之系数最值问题............................................................11

考点四：特殊优先与正难则反策略..............................................................12

考点五：相邻问题与不相邻问题.................................................................13

考点六：列举法...............................................................................14

考点七：定序问题（先选后排）.................................................................16

考点八：多面手问题..........................................................................18

考点九：错位排列问题.........................................................................19

考点十：涂色问题............................................................................20

考点十一：分组与分配问题....................................................................23

考点十二：隔板法............................................................................24

考点十三：查字典问题.........................................................................25

考点十四：分解法模型与最短路径问题...........................................................26

考点十五：构造法模型和递推模型..............................................................28

考点十六：环排与多排问题....................................................................30

考点十七：配对型模型.........................................................................31

考点十八：电路图模型.........................................................................32

考点十九：机器人跳动模型....................................................................33

考点二十：波浪数模型.........................................................................34

排列组合与二项式定理是高考重点考查的内容之一，今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主,

以考查基本概念和基本方法为主，难度中等偏下，与教材相当.本节内容与生活实际联系紧密，考生可适

当留意常见的排列组合现象，如体育赛事排赛、彩票规则等，培养数学应用的思维意识.

考点要求考题统计考情分析

【命题预测】

2023年北京卷第5题，4分预测2024年高考，多以小题形式

2023年天津卷第11题，5分出现，也有可能会将其渗透在解答

二项式定理

2022年I卷第13题，5分题的表达之中，相对独立.具体估

2021年浙江卷第13题，6分计为：

(1)以选择题或填空题形式出现，

2023年乙卷第7题，5分考查数学抽象、数学建模、逻辑推

2023年n卷第3题，5分理与数学运算四大核心素养.

排列组合2023年I卷第13题，5分(2)热点是利用二项式定理求系

2022年n卷第5题，5分数和问题以及利用排列组合解决

2021年乙卷第6题，5分生活问题.

二项式定理

二项式定理二项展开式的通项

二项式系数的性质

排列组合与二项式定理

排列的定义

排列组合

组合的定义

1、如图，在圆中，将圆分〃等份得到〃个区域M2,M3,■■■,Mn(n..2),现取代t..2)种颜色对

这n个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有（-以（4-1）+（左-1）"种.

2、错位排列公式£>“=（之注~+1）•加

4=1，八

3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项

（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要

表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”

原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，

应分类讨论.

4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，

被限制的位置称为特殊位置.这一类问题通常以三种途径考虑：

（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；

（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；

（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数.

5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将〃个不同元素排成一排，其中某七个元素排在相邻

位置上，求不同排法种数的方法是：先将这左个元素“捆绑在一起“，看成一个整体，当作一个元素同其

他元素一起排列，共有4；二3种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有A：种排法.根

据分步乘法计数原理可知,符合条件的排法共有413.履种.

6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将〃个不同元素排成一排，其中某上个元素互不相

邻（左左+1）,求不同排法种数的方法是：先将（〃-左）个元素排成一排，共有种排法；然后把左

个元素插入“-无+1个空隙中，共有种排法.根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有

娼《川种・

7、解决排列、组合综合问题时需注意“四先四后”：

（1）先分类，后分步：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类加法计数原理解决或分

成若干步，再由分步乘法计数原理解决.常常既要分类，又要分步，其原则是先分类，再分步.

（2）先特殊，后一般：解排列、组合问题时，常先考虑特殊情形（特殊元素，特殊位置等），再考虑

其他情形.

（3）先分组，后分配：对不同元素且较为复杂的平均分组问题，常常“先分组，再分配”.

（4）先组合，后排列：对于既要选又要排的排列组合综合问题，常常考虑先选再排.

8、求二项展开式中的特定项的方法

求二项展开式中的特定项问题，实质是考查通项=Cra--rbr的特点，一般需要建立方程求r,再将r

的值代回通项求解，注意r的取值范围（r=aL2L,〃）.

（1）第加项：止匕时r+l=m，直接代入通项；

（2）常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的暴指数为。建立方程；

（3）有理项：令通项中“变元”的募指数为整数建立方程.

特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.

9、赋值法研究二项式的系数和问题

“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如（依+b/,（ax2+bx+cy\a,b,cwR）的式子

求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=l即可；对形如（ax+加）"（a,beR）的式子求其展开式

各项系数之和，只需令》=y=l即可.

10、二项式系数最大项的确定方法

U）若〃是偶数，则中间一项（第2+1项）的二项式系数最大；

2

（2）若〃是奇数，则中间两项（第—项与第3+1项）的二项式系数相等数最大.

22

1.（2023•北京）（2工-工）5的展开式中，x的系数是（）

X

A.-40B.40C.-80D.80

【答案】D

【解析】由二项式定理可知（2%-1）5展开式的第厂+1项

X

5rrr552r

Tr+i=CJ（2x）-（--）=（-D2-''C；x-,（r=0,1,5）

X

令5—2厂=1,可得r=2.即含x的项为第3项，

.•.Z=80x,故x的系数为80.

故选：D.

2.（2023•乙卷）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同

的选法共有（）

A.30种B.60种C.120种D.240种

【答案】C

【解析】根据题意可得满足题意的选法种数为：C：=120.

故选：C.

3.（2023•新高考II）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调

查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则

不同的抽样结果共有（）

A.谓种B.璨y。种

c.C：1C鼠种D.C：MC乳种

【答案】D

【解析】初中部和高中部分别有400和200名学生，

人数比例为400:200=2:1,

则需要从初中部抽取40人，高中部取20人即可，

则有c：Mc鼠种•

故选：D.

4.（2022•新高考n）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，

则不同的排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

【答案】B

【解析】把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有&-驾=48种情况，

甲站在两端的情况有C；用&=24种情况，

.•.甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有48-24=24种，

故选：B.

5.（2021•乙卷）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每

名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

【答案】C

【解析】5名志愿者选2个1组，有C；种方法，然后4组进行全排列，有种，

共有=240种，

故选：C.

6.（2023•天津）在（2X3-」）6的展开式中，/项的系数为.

X

【答案】60.

【解析】二项式（2尤3」）6的展开式的通项为Tr+l=C；（2x3）6,（-与=c；-26T•（_x）r,"8一4"

XX

令18-4厂=2得，r=4,

犬项的系数为C；•2?义（-1）4=60.

故答案为：60.

7.（2022•新高考I）（1-马（尤+»的展开式中Vy6的系数为（用数字作答）.

X

【答案】「28.

【解析】（x+y）8的通项公式为=

当厂=6时，尤2y6,当厂=5时，（=C江3y5,

（1一2）（X+y）8的展开式中Vy6的系数为Cl-Cl=*--2=28-56=-28.

故答案为：-28.

43

8.（2021•浙江）已知多项式（X-1），+（元+1）=犬+OjX+a,尤2+a3x+a^,贝!j%=；

a2+a3+%=•

【答案】5；10.

【解析】％即为展开式中V的系数，

所以q=C；（-1）°+C；=5；

令龙=1,则有1+q+/+%+4=（1一I），+（1+1）4=16,

所以%+%+。4=16—5—1=10.

故答案为：5；10.

9.（2023•新高考I）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门

或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）.

【答案】64.

【解析】若选2门，则只能各选1门，有C：C；=16种，

如选3门，则分体育类选修课选2,艺术类选修课选1,或体育类选修课选1,艺术类选修课选2,

贝情C；C：+C；C[=24+24=48,

综上共有16+48=64种不同的方案.

故答案为：64.

考点一：二项式定理之特定项、三项式问题

题型特训

[例1]（2024•陕西宝鸡•统考一模）口2-1；展开式中的第四项为（）

A.160x3B.-160/C.240D.-240

【答案】B

【解析】3-]展开式的通项公式为心=《（/尸（_2『/=（-2）七55,

所以V=（-2）3C：产3*3=（-8）X20X3=760x3,

故选：B

【变式1-1]（2023•上海奉贤•统考一模）若.+[+£|“（2VyO,〃eN）的展开式中存在常数项,

则下列选项中”的取值不可能是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】由题意得的展开式为却产&/1-2）%口=C；（-2）*f,

[x+j的展开式为K+i=C》Tx-*=C"7*,

要使、4j+[x+£f的展开式中存在常数项，

贝ij〃-3〃=0或〃一2左=0,

所以可得〃的值可能是3,4,6,不可能是5.

故选：C.

【变式1-2］（2024•河南•高三河南省实验中学校考）（3x-y）（2x+y）s的展开式中，Yy3的系数为（）

A.200B.40C.120D.80

【答案】B

【解析】（3%-/2彳+城=3X（2%+,丫-y（2x+y）s,

而（2x+y）s展开式的通项为=C（2x）"炉,

所以当左=3时，的系数为3XC；22=120,

当上=2时，%3丫3的系数为TXC；23=-80,

所以dV的系数为120-80=40,

故选：B

【变式1-3］（2024•全国•校联考模拟预测）在］尤+1一g：的展开式中常数项为（）

A.721B.-61C.181D.-59

【答案】D

【解析】•.{x+l-1j=（x+D-g6的展开式的通项公式为

6r6rlr

Tr+l=Cg（x+1）-Cg（-2）（x+l）x,

其中（x+6广的展开式的通项公式为，u=,

当r=0时，6-r-k=0,:.k=6,常数项为C：C式-2）°；

当r=l时，6—r—k=2,.".k=3,常数项为C；C：（―2）；

当r=2时，6-r-k=4,:.k=0,常数项为C^C；（―2丫；

故常数项为C°C^（-2）°+C：C；（-2）+或C：（-2『=-59.

故选：D

考点二：二项式定理之系数和问题

一题型特训

o23

【例2】（多选题）（2024•广西•模拟预测）已知（l-2x）2°23=%+"+火炉+…+o2023d，则（）

A.展开式中所有二项式的系数和为22。23B.展开式中二项式系数最大项为第1012项

011।]—]“2023=]

D.q+22+3a3+,••+2023。2（）23=—4046

2222322023

【答案】ACD

【解析】对于A：展开式中所有二项式的系数和为2g3,正确；

对于B：根据二项式系数的性质知，C；*；=C轴且是二项式系数中最大的两项，于是展开式中二项式系数

最大项为第1012项和第1013项，错误；

对于c：取尤=0,得取］=；,得0=々+g+冬—卜歌；,

2222

故争与+墨+•••+黑=T，正确;

对于D：等式两边同时求导，得至IJT046。—2#2°22=6+24兀+…+2023%）23X2°22，

取1=1,得q+2a2+3。3-----2023。2023=—4046,正确.

故选：ACD

9

【变式2.1］（多选题）（2024•全国•高三专题练习）已知（1-x）9=%+%%+%兀2H-----F«9x,则（）

A./=1

B.。］+%+。3+,,•+%=0

C.q+g+%+%+“9=—256

D.2al+22%+2^/+,••+佝=-2

【答案】ACD

【解析】对于A,令％=0,则4=1，所以A正确，

对于B,令％=1,贝lj%+q+4+4-----F佝=。，

因为%=1,所以q+%+〃3+…+%=-1，所以B错误，

对于C,令X——1,贝|J〃0—%+〃2—〃3------%=，

因U-Q+q+a2+q+,,,+。9=0，

所以2（q+生+%+%+%）=~2^,

所以％+/+/+%+%=-2*=-256,所以C正确，

对于D,令x=2,贝I%+2q+2?%+2?q+…+2。佝=—1,

因为4=1,所以2q+22a2+2）3+・-+2%9=-2,所以D正确，

故选：ACD.

【变式2・2］（多选题）（2024•河北石家庄-高三河北新乐市第一中学校考阶段练习）若

5345

（1—2x）=a0+axx+a2x^+a3x+a4x+a5x,则下列结论中正确的是（）

A.a0=lB.%=32

C.+1%］+Nl+1"/+1%|=3，D.%+q+26f2+3%+4a4+5%=—10

【答案】AC

2

【解析】由（1一2%）5=%+Q］无+a^X+/光3+/J+/尤5,

对于A中，令x=0,可得g=1,所以A正确；

对于B中，由二项式(1-2邸展开式的通项为=C)(-2"=(-2)JCK，

令，=5,可得”=(-2)5.C*5=-32/，所以B错误;

对于C中，由展开式的通项知：

当r=0,2,4时，可得展开式的系数为正值，当厂=1,3,5时，可得展开式的系数为负值；

1

所以|+1/I++1051=%—%+a>一/+%一。5+4，

令X=-1,可得4—%+—%+。4-。5+。6=3,,

即国+同+同+同+㈤+1%|=3,,所以C正确；

2345

对于D中，由(1—2尤y=4+alx+a2x+a3x+a4%+a5x,

234

两边求导数，可得-10x(l-2尤J=a1+2a2x+3a3x+4i/4x+5。$尤，

令"x=1,可*彳导q+2a②+3a3+4a4+5%=—10,

又由/=1,所以/+%+2%+3a3+4%+5%=-9,所以D错误.

故选：AC.

【变式2-3](多选题)(2024•重庆•高三校联考开学考试)己知

024220232024

(1-2x)*=a0+a^x+a^x+L+a2O^3x+a20-,4x，则()

A.展开式中二项式系数最大项为第1012项

B.展开式中所有项的系数和为1

C幺+竺+%+L|"2023]。2024=]

*222232202322024

D.Q]+2。2+3。3+L+2023^2023+2024。2()24=4048

【答案】BCD

【解析】对于A,由二项展开式中的二项式系数性质可知二项式系数最大为C；黑，易知应为第1013项，即

A错误；

对于B,令％=1,可得(1-2)=%+%+%+L+/023+“2024=1，即展开式中所有项的系数和为1，可得B

正确；

1(1\2024

对于C,令x=°,可得%=1,令尤=5,可得=%+｝与+L+黑+黄=0,

所以票+枭+果+L+箫+然=一1，即C正确；

2023

对于D,将等式(1-2力2°24=aQ-^-aix+a2x+L+(22023^+。2024/°24两边同时求导可得，

2023l20222023

2024X(-2)(1-2X)=^+2a2x+L+2023^2023x+20244Z2024x,

再令1=1,可得q+2%+3%+L+2023%023+2024%024=4048,即D正确.

故选：BCD

考点三：二项式定理之系数最值问题

【例3】（2024•山东日照•高三山东省五莲县第一中学校考）的展开式中第3项与第7项的二

项式系数相等，则［的展开式中系数最大的项的系数为.

【答案】1792

【解析】由C：=C:得〃=8,

所以的展开式的通项为J=C；.（一2»=C；.2）'.”-6,

当展开式的项的系数最大时，『为偶数，

比较C；（—2）°=l,C；（-2?=112,此（-2『=1120,C；（-22=1792,C8（-2）8=256,

所以当r=6时，展开式中项的系数最大，该项系数为1792.

故答案为：1792.

【变式3-1］（2024•海南海口•海南华侨中学校考一模）在（x+l）4（y+z『的展开式中，系数最大的项

为.

【答案】120/）^3

【解析】因为（X+1），的通项为C%-,（y+z『的通项为CRl"

V（x+l）4展开式系数最大的项为=6尤2,

（y+z『展开式系数最大的项为C：yV=20y3z3,

...在（x+l）4（y+z）6的展开式中，系数最大的项为120尤2氏3.

故答案为：120/y3z3.

【变式3-2］若展开式的所有项的二项式系数和为256,则展开式中系数最大的项的二项式系数

为.（用数字作答）

【答案】28

【解析】因为展开式的所有项的二项式系数和为2,=256,解得〃=8,

则展开式为2,r=0,1,2,•••,8，

=—38^Tx

cr

可得第，+1项的系数为%+1=吴,r=042,.-,8,

rir+1

c,8

%+i>a声7-r

、r+2，即VI，角星得厂=6,

%2%G18

9^7

所以展开式中第7项系数最大，其二项式系数为C；=28.

故答案为：28.

考点四：特殊优先与正难则反策略

■k题型特训

［例4］（2024•浙江•高三慈溪中学校联考）从2位男生，4位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每

个场馆各1人，且至少有1位男生入选，则不同安排方法有（）种.

A.16B.20C.96D.120

【答案】C

【解析】若选一男两女共有：C；C；A；=72；

若选两男一女共有：C；C；A：=24；

因此共有96种，

故选：C

【变式4-1］（2024•甘肃兰州•高二兰州一中校考）4张卡片的正、反面分别写有数字1,2；1,3；4,5；

6,7.将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为（）

A.288B.336C.368D.412

【答案】B

【解析】当四位数不出现1时，排法有：C；xC；xA：=96种；

当四位数出现一个1时，排法有：2xC；xC；xA：=192种；

当四位数出现两个1时，排法有：C；xC；xA；=48种；

所以不同的四位数的个数共有：96+192+48=336.

故选：B.

【变式4-2］（2024•全国•高三专题练习）将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人

相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（）.

A.1860种B.3696种C.3600种D.3648种

【答案】D

【解析】7个人从左到右排成一排，共有4=5040种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都相邻有岗春=720

种不同的站法，甲站在最右端有&=720种不同的站法，甲、乙、丙3个相邻且甲站最右端有用闵=48种

不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，不同的站法有5040-720-720+48=3648

种不同的站法.

故选：D

【变式4-3】某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教

师中男女都有，则不同的选派方案共有（）种

A.9B.36C.54D.108

【答案】C

【解析】从含有3名男教师和2名女教师的5名教师中任选3名教师，派到3个不同的乡村支教，不同的

选派方案有A；种，

选出3名教师全是男教师的不同的选派方案有A；种，

所以3名教师中男女都有的不同的选派方案共有A；-A：=54种

故选：C

考点五：相邻问题与不相邻问题

■k题型特训

【例5】（2024•江苏连云港•高三校考阶段练习）2023年11月12日，连云港市赣马高级中学高品质特色

发展暨百年校庆大会隆重举行，赣马高中建校100周年文艺演出中有四个节目：《腰鼓：千年回响》、《歌伴

舞：领航》、《器乐：兰亭序》、《情景剧：我们陪你向前走》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求

《腰鼓：千年回响》与《歌伴舞：领航》相邻，则不同的排列种数为（用数字作答）.

【答案】12

【解析】由于《腰鼓：千年回响》与《歌伴舞：领航》相邻，所以两者“捆绑”，则不同的排列种数为A；A；=12

种.

故答案为：12

【变式5-1］（2024•江西九江•高三校考阶段练习）由1,2,3,4,5,6组成的没有重复数字的六位数，

要求奇数1,3,5两两不相邻，但1和2必须相邻，这样的六位数共有个.

【答案】72

【解析】根据题意1和2必须相邻，将“12”或“21”看成一个整体与4、6全排列，

排好后，要求奇数1,3,5两两不相邻，则有3个空位可选，再将“3”和“5”插入到3个空位中，

所以有2A；A；=72种，即满足条件的六位数共有72种，

故答案为：72

【变式5-2］（2024•全国•高三统考竞赛）某班一天上午有语文、数学、政治、英语、历史5节课，现要

安排该班上午的课程表，要求历史课不排在第一节，语文课和数学课相邻，不同的排法总数是

【答案】36

[解析】将语文课和数学课作排列有A；=2种，

再把语文课和数学课作为整体，与除历史课外的其它2节课作全排列有A；=6种，

由上得到4个空，最后把历史课插入后3个空有C；=3种，

综上，共有2x6x3=36种.

故答案为：36

考点六：列举法

【例6】（2024•全国•高三专题练习）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方

形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走了

几个单位，如果掷出的点数为，（，=1,2,…,6）,则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去.则某人抛

掷三次骰子后棋子恰好又回到起点A处的所有不同走法共有（）

A.21种B.22种C.25种D.27种

【答案】D

【解析】由题意，正方形ABCD的周长为8,抛掷三次骰子的点数之和为8或16,

①点数之和为8的情况有：1,1,6；1,2,5；1,3,4；2,2,4；2,3,3,排列方法共有C；+看+看+C；+C；=21种；

②点数之和为16的情况有：4,6,6；5,5,6,排列方法共有C：+C；=6种.

所以，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点A处的所有不同走法共有21+6=27种.

故选：D.

【变式6-1]（2024•河北•高三河北衡水中学校考阶段练习）从1,2,3,…,100这100个自然数中随机抽取三

个不同的数，这三个数成等差数列的取法数为M，随机抽取四个不同的数，这四个数成等差数列的取法数为N,

则N”的后两位数字为（）

A.89B.51C.49D.13

【答案】C

【解析】解:由题知，当抽取三个不同的数,成等差数列时，记公差为d,

当4=1时，数列可为：

{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},…,{98,99,100}共计98个,

当d=2时，数列可为:

{1,3,5},{2,4,6},{3,5,7},{4,6,8},…,{96,98,100}共计96个,

当d=3时，数列可为:

{1,4,7},{2,5,8},{3,6,9},…,{94,97,100}共计94个,

L

当d=48时，数列可为:

{1,49,97},{2,50,98},{3,51,99},{4,52,100)共计4个,

当d=49时，数列可为:

{1,50,99},{2,51,100}共计2个,

故M=98+96+94+-.+4+2

49(98+2).0,

2

当抽取四个不同的数，成等差数列时，记公差为4,

当4=1时，数列可为：

{1,2,3,4},{2,3,4,5},{3,4,5,6},{97,98,99,100}共计97个，

当4=2时，数列可为：

{1,3,5,7},{2,4,6,8},{3,5,7,9},{4,6,8,10},{94,96,98,100}共计94个,

当4=3时，数列可为：

{1,4,7,10},{2,5,8,11},{3,6,9,12},...,{91,94,97,100}共计91个，

L

当4=32时，数列可为：

{1,33,65,97},{2,34,66,98},{3,35,67,99},{4,36,68,100}共计4个,

当4=33时，数列可为：

{1,34,67,100}共计1个，

故N=97+94+91+…+4+1

=11^=1617,

2

所以N"=1617245°=(17+1600)245°

c172450x24492450

=24so1600°+C^45017x160()1+…C鬣17。x16OO,

所以16172450的后两位与*245。的后两位一致，

172450=2891225=(—1+290)3,

5122412

因为(一1+290产=C葭(―1产x290°+C；22s(-l)x290+%(―1产x290

+...+C；^(-l)°x2901225,

因为C葭(T产x2902+■••+C；g(-1)°x2901225的后两位一定是00,

122512241

故17245。的后两位数与C?225(-1)x290°+C；225(-1)x290的后两位一致，

c122512241

因为?225(-1)X290°+C；225(-1)X290=-l+1225x290=355249,

故17245。的后两位数为49,即NM的后两位数为49.

故选:C

【变式6-21(2024•辽宁沈阳•高二东北育才学校校考期末)定义：“各位数字之和为7的四位数叫幸运数”，

比如“1006,2023”，则所有“幸运数”的个数为()

A.20B.56C.84D.120

【答案】C

【解析】因为各位数字之和为7的四位数叫幸运数，所以按首位数字分别计算

当首位数字为7,则剩余三位数分别是0,0,0,共有1个幸运数；

当首位数字为6,则剩余三位数分别是1,0,0,共有3个幸运数；

当首位数字为5,则剩余三位数分别是1』,020,0,共有3+3=6个幸运数；

当首位数字为4,则剩余三位数分别是2,1,030,共有A；+3+1=10个幸运数；

当首位数字为3,则剩余三位数分别是3,1,0；4,0,0；1,1,2;2,2,0,共有人；+3+3+3=15个幸运数；

当首位数字为2,则剩余三位数分别是4,1,0；5,0,0；1,1,3;3,2,0;2,2,1,共有人；+3+3+人；+3=21个幸运数；

当首位数字为1,则剩余三位数分别是5,1,0；6,0,0；1,1,4;4,2,0;3,2,1;3,3,0;2,2,2,共有

A；+3+3+A；+A；+3+1=28个幸运数；

则共有1+3+6+10+15+21+28=84个幸运数；

故选:C.

考点七：定序问题(先选后排)

—型师训

【例7】(2024•全国•高三专题练习)满足为eN*(i=l,2,3,4),且％＜%(尤3＜匕＜10的有序数组(无”々，马匕)

共有()个.

A.C；B.闵C,盘D.短)

【答案】A

【解析】：数组中数字的大小确定，从1到9共9个数任取4个数得一个有序数组，所有个数为C；.

故选：A.

【变式7・1】（2024•高二课时练习）已知斗£{-1,0]},«=1,2,〃eN*）,则满足㈤+|刃+国+-+|”=2的有序数组

（石户2，不，…,天）共有（）个

A.2n1-2几B.2n2+2nC.-------D.n2-n

2

【答案】A

【解析】/£{-1，0，1}，。=12-、〃,〃£尸）所有有序数组（不打不，…，皿）中,满足㈤+闾+闯+・一+同=2的

有序数组（石，%2，为，-"〃）中包含〃-2个0,另外两个数在1或-1中选择，每个位置有2种选择，由乘法计数原

理得不同的种数为C：X2X2="（"Dx4=2n2-2n

2

故选：A.

【变式7-2]（2024•全国•高三专题练习）OVA是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子，由称

为碱基的化学成分组成它看上去就像是两条长长的平行螺旋状链，两条链上的碱基之间由氢键相结合.在

。乂4中只有4种类型的碱基，分别用A、C、G和T表示，0vA中的碱基能够以任意顺序出现两条链之间能

形成氢键的碱基或者是4T,或者是CG,不会出现其他的联系因此，如果我们知道了两条链中一条链上碱

基的顺序，那么我们也就知道了另一条链上碱基的顺序.如图所示为一条。NA单链模型示意图，现在某同

学想在碱基T和碱基C之间插入3个碱基A,2个碱基C和1个碱基T,则不同的插入方式的种数为（）

...AGGATCGG...

A.20B.40C.60D.120

【答案】c

A6720

【解析】依题意可知，不同的插入方式的种数为二冷六=]「=60.

圈64,6x2x1

故选：C

【变式7-3]（2024•全国•高三专题练习）花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼

具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下,每次取1盏，则不同取法总数为（）

A.2520B.5040C.7560D.10080

【答案】A

【解析】由题意，对8盏不同的花灯进行取下，

先对8盏不同的花灯进行全排列，共有馈种方法，

因为取花灯每次只能取一盏，而且只能从下往上取，

所以须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序，

故一共有福北F=252。种，

Lx1.\e>L

故选：A

考点八：多面手问题

■k题型特训

【例8】（2024•全国•高三专题练习）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人

既会划左舷又会划右舷.现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有

（）

A.56种B.68种

C.74种D.92种

【答案】D

【解析】根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有C；C：种，有

一个“多面手”的选派方法有种，有两个“多面手”的选派方法有CC种，即共有

=92（种）不同的选派方法.

故选：D

【变式8-1]（2023•湖北十堰•高二统考期末）某龙舟队有8名队员，其中3人只会划左桨，3人只会划右

桨，2人既会划左桨又会划右桨.现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派

方法共有（）

A.26种B.30种C.37种D.42种

【答案】C

【解析】根据题意，设4=｛只会划左桨的3人｝,2=｛只会划右桨的3人｝,C=｛既会划左桨又会划右桨

的2人｝,

据此分3种情况讨论：

①从A中选3人划左桨，划右桨的在（B|JC）中剩下的人中选取，有仁=10种选法，

②从A中选2人划左桨，C中选1人划左桨，划右桨的在（HJC）中剩下的人中选取，有C；C；C：=24种选法,

③从A中选1人划左桨，C中2人划左桨，B中3人划右桨，有C；=3种选法，

则有10+24+3=37种不同的选法；

故选：C.

【变式8-2]（2024•河南南阳•高三校考阶段练习）我校去年11月份，高二年级有9人参加了赴日本交流

访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余4人既能唱歌又能跳舞.现要从中选6人上台表演，3人

唱歌，3人跳舞，有种不同的选法

【答案】216

【解析】根据题意可按照只会跳舞的2人中入选的人数分类处理.

第一类：2个只会跳舞的都不选，有C1C；=16种；

第二类：2个只会跳舞的有1人入选，有C；-C〔C；=120种；

第三类：2个只会跳舞的全入选，有C；-C；・C：=80种，

所以共有216种不同的选法，

故答案为：216.

考点九：错位排列问题

［例9］（2024•全国•高三专题练习）编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、

5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（）