高考数学专项复习：解析几何解答压轴题 （附答案 解析）

解析几何解答压轴题

22/T

1.（内蒙古赤峰市•三月考（文））已知椭圆石:=+与=1（。＞匕〉0）的离心率空，其左，右点为

ab3

耳，心，过点耳的直线/与椭圆E交于两点、口MN&的周为4".

（1）求椭圆E的标准方程：

（2）过E右焦点的直线1，2互相垂直，且分别交椭圆E于，和C,。四点，求恒回+|8|的最小值

22

【答案】（1）—+^=1;（2）最小值为2指.

62

【分析】

（1）利用椭圆离心率e=，，DMN月的周为4a=46

（2）分类讨论直线4,4的斜率存在与否，当其中一条直线斜率为0.一条直线斜率不存在，可利用椭圆性

质求出3用+|。＞|=津；当两条直线斜率均存在，设出直线方程，与椭圆联立，利用弦公式求出

\AB\,\CD\,再利用二次函数的值域求法与不等式的性质求得结果.

【详解】

（1）由椭圆的定义知，口跖明的周为4a=4屈，：.a=&

由e=1,即£=如，得c=2

3a3

b"—cr—c1=2,b=y/2

22

故椭圆的方程为：土+匕=1

62

⑵由（1）得，椭圆右焦点为（2,0）,设4（%,口）,B（x2,y2）,C（x3,y3）,D（x4,y4）

①当直线4的斜率为0,直线，2的斜率不存在时，

直线6：y=0,止匕时|A用=2a=2指；直线6：x=2,止匕时仁力=也=^=孚；

|叫+3|=2几+孚丹

276876

②当直线4的斜率为0，4直线的斜率不存在时，|AB|+|CD|=2j&H---------=--------

33

③当直线4，4的斜率都存在，设直线4的方程为x=my+2（〃zw0）,则直线"的方程为工=—工y+2

m

联立《62，整理得(加2+3)丁+4机y—2=0

x=my+2

4m

%+%=__

m+2

A=16m2+8(m2+3)〉0恒成立，则<

2

--F-

m+

Y加2[(—[_2指(〃72+1)

|AB\=y/l+m21%-%|=Jl+7"2网+城-幻％=Vl+m2j(-

ITT+3lr+3,-m2+3

2A/6(--)2+1

m2而二+1)

同理可得|CD|=

3m2+1

m

8向1+1)2

则仙/+仁。|=2八m+1m+1

^m2+33m2+3,3m4+10m2+3

令疗+1=八则g（'）=3『+4/_4=44=2八2.4«〉1）

ttt

2.=irii

当/ea,+s）时，-（--I）2+4e（3,4],则以“__（2_02+彳《

所以|AB|+|CD|e2灰，半

L3J

综上可知，|A@+|CD|e2J&乎一」4同+|0）|的最小值为2#

【点睛】

思路点睛：解决直线与椭圆的综合时，要注意：

（1）注意观察应用设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件;

（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之的关系、弦、斜

率、三角形的积等

2.（河南新乡市•三二模（理））已知椭圆C:=+与=l（a〉b>0）的左、右点分别为A,B,E为

ab

C上不同于A,B的动点，直线AE,3E的斜率&1E，kBE满足Mur&E=—；，理•理的最小值为-

4

（1）求C的方程；

（2）。为坐标原点，过。的两条直线〃满足4〃AE，且4，4分别交。于M，N和尸，

Q.试判断四边形MPNQ的积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由.

22

【答案】（1）—+^=1；（2）是定值，8A/2.

84

【分析】

⑴由A(—a,O),B(a,O),设现工,%),可得AE-BE=^x^-c1，结合已知列方

aa

程求参数。、b、c,写出椭圆方程即可；

（2）由椭圆对称性知：SMPNQ=4S-OMP，设/2的斜率分别为尢，k2，由设知匕•42=—；，讨论直

线MP的斜率，联立直线与椭圆方程，应用根与系数关系确定S"取2是否为定值.

【详解】

22

（1）设E（Xo，%）,则与+四=1,故A(—a,0),8(。,0),

a2b12

b21-4

%笫_-ajb2,

L3在XQ—UXQ—4Xn一。2

_一<%2A2

222

又AE-BE=(x0+a)(/o-a)+y；=(x0+a)(x0—a^+b1y=—x^—c>—c，

\a)a

a2=8

由意知：<a22解得

b2=4

—c1=-4

22

椭圆C的方程为土+乙=1.

84

(2)根据椭圆的对称性，可知=ON,OP=OQ,

.•.四边形MPNQ为平行四边形，所以SMPNQ=4SOMP•

设乙，4的斜率分别为k2,Af(石,％),2(%,%)，贝IX=左心①，%=42々②-

又1,2,即占42&1E左BE2,

当M尸的斜率不存在时，％=-%，占=%2.

122

由①x②，得—y；=匕左2片=一一七,结合土+江=1，解得㈤=2,闻=也.

284

SMPNQ=4S「OMP=4*5*|2%卜同=80.

当MP的斜率存在时，设直线MP的方程为〉=履+〃2,

y=kx+m

联立方程组得%2y2,得（2左之+1）%?++2帆2—8—0,则

T+T-

4km2

A=（4M*2-4（2jt2+l）（2m2-8）=8（8^2+4-m2j>0,即石+%2m-8

2^+1，X1%2-2^+1

22

..‘I%y2kxx+mkx2+mkx1x2+km^+x2）+m1

左］•左2=----------------------------------，

石工22

e^L4km

+km+,m2

2k2+1{2k2+1

----=——,整理得：m2=4A:2+2.

2m2-82

2k2+1

由直线MP过（0,加），SMPNQ=45noMP=4x：x|m\\xi-x^=2\m\-

22m2-84^2Im\-y/sk2+4-m2

=21%一2%I-4x

<2k+12k2+12k2+1

2

将m=4/+2代入，整理得SMPNQ=8^/2.

综上，四边形MPNQ的积为定值，且为8啦.

【点睛】

关点点睛：

（1）应用两点斜率公式、向量数量积的坐标表示，求心E^BE，理.而关于椭圆参数的代数式，结合

已知条件列方程求参数，写出椭圆方程；

（2）利用椭圆的对称性，由直线与椭圆的位置关系，讨论直线斜率的存在性，结合直线与椭圆方程及根

与系数关系，求四边形的积并判断是否为定值.

22

3.（天津滨海新区•三月考）已知椭圆C:=+与=1（。〉5>0）过点P（2,l）,耳、工分别为椭圆。的

ab

左、右焦点，且丽•用=-1.

（1）求椭圆c的方程；

（2）过P点的直线乙与椭圆C有且只有一个公共点，直线乙平行于OP（。为原点），且与椭圆。交于

4、8两点，与直线x=2交于点M■介于/、8两点之）.

（z）当APAB积最大时，求4的方程；

3）求证：

【答案】（1）土+匕=1；（2）⑴y=-x-y[2-Qi）证明见解析.

822

【分析】

（1）根据条件求出力，即可写出椭圆方程；

（2）（/）设直线4的方程为>=；%+/，联立椭圆方程，表示出RPAB，可求出S"AB最大时♦的值，即

可得出/2的方程；

\PA\\PB\

（ii）要证明结论，只证明三£=片£，即证直线x=2为NAPB的平分线，转化成证明：

|MA||MB|

kpA+kpB=0.

【详解】

(1)设耳(—c,0),乙(。,0),则尸耳二(—c—2,—1),PF2=(C-2-1),

■:PF、，PF?=—c2+4+1=—1,/.c-V6,

41

又尸(2,1)在椭圆上，故+=1,

ab

又“2=+6,解得〃2=8,b?=2,

22

故所求椭圆C的方程为—+^=1.

82

(2)(z)由于左OP=L,设6的方程为丁+Axy

22

1

y=—x+t

-2

由＜消去y整理得/+2a+2产一4=0,

22

%.丁-i

I--8-----1----2---—1

Xj+x2=-It

由达定理可得:<XjX2=2/-4

△=—虫―4)〉O=〃<4

则|AB|=

当且仅当4—/=/，即〃=2时，等号成立.

又M介于A、8两点之，故/=-J5.

故直线AB的方程为：y=；x—垃.

\PA\\PB\

⑺要证结论成立,只证明而

\MB\

由角平分线性质即证：直线x=2为NAPB的平分线,

转化成证明：kPA+kPB=0.

由于PA

$一2%—2

(%1-2)(x2-2)

_再々+（/-2）（再+%2）—4«-1）_2t2-4-2?（?-2）-4（r-l）_-4+4?-4?+4

（%；-2）（x2-2）（X[-2）（%2-2）（%1-2）（x2-2）

因此结论成立.

【点睛】

本考查椭圆方程的求法，考查弦公式，考查点到直线的距离公式，考查椭圆中三角形积利用基本不

等式求最值，考查了学生的逻辑推理能力与运算能力，属于.

22

4.（山东泰安市•三月考）已知椭圆C：・+g=l（a>b>0）过点P（2,l）,耳,鸟分别为椭圆C的

左、右焦点且两•理=-1.

（1）求椭圆C的方程;

（2）过尸点的直线4与椭圆C有且只有一个公共点，直线4平行于OP（。为原点），且与椭圆C交于两

点/、B,与直线x=2交于点Af（M介于4、B两点之）.

（力当△PA5积最大时，求，2的方程;

5）求证：|「/伙例=|「训肱4|,并判断/1，/2，PA,P3的斜率是否可以按某种序构成等比数列.

221

【答案】（1）土+匕=1；（2）⑴y=-x+y/2；Qi）证明见解析，不可能构成等比数列.

822

【分析】

（1）设月（-60）,工（c,0）.求出两，班的坐标，根据理.可［=—1,求出c.把点P（2,l）代入椭

圆方程，结合a=b+c，求出。,b,即得椭圆C的方程；

⑵（i）设4方程为＞=g%+/，A（Xi，%），5（%，%）•把直线4的方程代入椭圆方程，由达定理、

弦公式求出|AB|.由点到直线的距离公式求出点尸到/的距离d,则S=-\AB\d,根据基本不等

式求积的最大值，即求4的方程；（而）要证结论成立，只证明三三=三S，即证直线1=2为

ZAPB的平分线，转化成证明kPA+kPB=0.

又4与c有一个公共点，即4为椭圆的切线，可求&=yL=2=—L又见=；.由意—L：，

kpA，-4以四个数按某种序成等比数列，推出矛盾，故不可能构成等比数列.

【详解】

⑴设耳（-c,0）,工（c,0）,

则丽i=（_c_2,_l）,PF2=（c-2,-l）.

•.•两尾=-。2+4+1=一1,；.c=娓.

又尸（2,1）在椭圆上，故E+7T=1,

ab

又a?=/+$,解得/=8,b?=2，

22

故所求方程为工+匕=1.

82

（2）（z）由于左op=g,

设，2方程为y=gx+%，人（％1，，2），区（%2，%）.

1

y=—x+t

2

由＜消整理得必+

22y2a+2/—4=0,

%J-1

[82

芯+%2=-2%

再%2=2/一4

A=—4（2_4）〉0n2<4

当且仅当4—/=/，2/=4,即/=2时，等号成立.

故直线月8的方程为：y=-x±V2.

2

\PA\\PB\_

（ii）要证结论成立，只证明：而

\MB\

由角平分线性质即证：直线x=2为NAPB的平分线,

转化成证明：kPA+kPB=0.

71Vl—1必一1

因为左6+kpB——~

再_2x2-2

[]尤1+,_1（尤2-2）+Qx2+^-1（尤1-2）

（%1-2）（々-2）

玉，2+('—2)(玉+%2)—4(，-1)

(x；-2)(x2-2)

_2t2-4-2f«-2)-4(/-1)——4+4/-由+4

(%-2)(%-2)(%1—2)(%2-2)

因此结论成立.

又/与。有一个公共点，即/为椭圆的切线，

221

由工+匕=1得/=2-工/

824

令x>0,y>0,

_£

Ii,-2%~x

则y=2'/,y=/=

V42^17J32.4-

所以了壶=—g，所以勺=—]

故所研究的4条直线的斜率分别为-工，kpA，-kPA,

若这四个数成等比数列，且其公比记为q,

则应有q=T或/=—1,或/=—i.

因为/=一1不成立，所以q=T,

而当q=-1时，左PA=；，kPB=>

此时直线P8与4重合，不合意，

故/-4,PA,P8的斜率无论怎样排序都不可能构成等比数列.

【点睛】

本考查椭圆的方程，考查弦公式、点到直线的距离公式、基本不等式和等比数列等知识，考查学生的

逻辑推理能力和运算能力，综合性强，属于.

22

5.（浙江绍兴市•三一模）已知抛物线6：必=4'和椭圆。2：、+（=1如图，经过抛物线G焦点产

的直线/分别交抛物线G和椭圆于/,B,C,。四点，抛物线G在点/，8处的切线交于点尸.

y

(i)求点P的纵坐标;

(2)设M为线段A3的中点，PM交G于点。，3。交AP于点？.记口TC。仙Q3P的积分别为

品52.

(i)求证：。为线段的中点;

S.8

(ii)若寸=7，求直线/的方程.

)2'

【答案】(1)-1；(2)(i)证明见解析；(ii)y=x+l或y=—x+1.

【分析】

(1)假设点A3坐标并得到直线/的方程，同时得到点2处的切线方程，然后得到点尸的坐标，根据

直线/与抛物线联立方程，使用达定理可知结果.

2

(2)(i)得到的坐标，然后根据中点坐标公式可得结果；(ii)依据S/AB=§SRB，得到

8\CD\....

A了扃，然后利用弦公式计算最后根据等式进行计算即可.

S?

【详解】

(Qc

(1)解:设点A再，才,Bx2，直线/的方程为丁=履+1.

(4J

2

x2=4y=>y=—=>yr=—>可知抛物线在点8处的切线的斜率分别为‘■，土

4222

22

抛物线。在点/,8处的切线方程分别为y=2x-2产=迤％-

2424

联立方程组，解得点尸的坐标为

y~kX+i,得7-4区-4=0,A,=16(Zr2+l)>0,

由＜

[x=4y

所以西+々=4瓦=-4,所以点P的坐标为（2左，一1）,

即点尸的纵坐标为1

（2）（i）证明：由⑴得P（2h—1）,M（2左,2左2+1）,。（2人/2）,

因为(2左2+1)+(—1)=2左2,

所以，点。是线段RW的中点.

（ii）解：因为。分别为线段ABPM的中点，所以

2113

所以STAB=]S—PAB，所以邑=QBP=5SQMBP=ZS|3PAB=&^UTAB，

Si_STD_8S^TCD_8CD\

所以S23s3S/AB3AB\

8

设点C。的横坐标分别为W，所，

\y=kx,+\

由〈得(4左2+3)x?+8H—8=0,42=96(2左2+1)>0,

岗1+■)厅―012=0

b।8k8

所以『"一EX"E'

所以・再0F=4指・巨胆曰

由⑴得|A@=J1+左2.,(再+%)2_4再尤2=4('+11

S]_8CD\_876以2+1

所以，同=§.布=亍.(4公+3)病+]

2x+l-16f—20x-5

设/(%)=(SO),则/'(%)=<0,

(4x+3)2(x+1)(4x+3)3(x+1)2

所以/(%)在［0,+8)上单调递减.

因为之一"⑹斗所以/(X)=5占，所以左2=1,即八±1,

经检，符合条件，所以直线/的方程为＞=x+l或y=-x+1.

【点睛】

思路点睛：第(1)，①假设直线/的方程并与抛物线方程联立，使用达定理；②得到在A,B处切线

S8CD\

方程并联立得到点P坐标；③计算即可.第(2),①得到积的比值”=三丹；②利用弦公式

S23AB\

得到③计算得到女.

6.(江苏盐城市•三二模)已知直线/：y=x+加交抛物线

(1)设直线/与x轴的交点为T.若有=2历，求实数小的值;

(2)若点M,N在抛物线C上，且关于直线/对称，求证：四点共圆.

【答案】(1)机=一8；(2)证明见解析.

【分析】

(1)设A(XI，%),B(X2，%)，直线方程代入抛物线方程后由判别式得根的范围，由达定理得

再由向量的数乘可得%+2%=0,结合达定理可得%,%,机值;

(2)设/(%,%)，"(5,%)，由对称性得”=一4-%,x4=-4-2m-x3.再由M,N在抛物线上，代入

变形得力与机的关系，然后计算应5.丽，得

同理NALNB,得证四点共圆.

【详解】

y=x+m。

解：由＜得y—4y+4m=0.

[y?=4%

设Aa，%),*%,%)，

则%+%=4,%%=4加.

因为直线/与C相交,

所以A=16-16加>0,

得m<1.

（1）由才了=2TB，得X+2%=0，

所以4+%=0,解得％=一4,

从而％=8,

因为必为=4加，

所以4m=-32,解得机=-8.

（2）设〃（七,丁3）川（》4。4），

因为M,N两点关于直线y=x+m对称，

=4=1

22

则迎一退y4y3%+为

44

解得乂二-4-%.

又&±%=皿+加

22

于是土&±丛=土乜+机

22

解得》4=-4-2"-%3.

又点N在抛物线上，

于是（-4-%）2=4（-4-2加-%）.

2

因为y3=4x3,

2

所以y3+4y3+16+47n=0,

于是庇•砺=（再-退）（马-九3计（X-%）（%一%）

2222

=%-?（牛-%）（%-%）

="%处F[（x-%）（%-%）+16]

"%）[弘＞2+%（乂+%）+^+16]

lo

因此

同理M41,NB

于是点M,N在以AB为直径的圆上，

即A,5,M,N四点共圆.

【点睛】

方法点睛：本考查直线与抛物线相交，解方法是设而不求的思想方法，如设交点坐标为

4（和乂）,8（%,%）,直线方程代入抛物线方程后应用达定理可得%+%,%%，再利用向量的线性运

算求得M，%关系，从而可求得%，为，机值.

7.（内蒙古赤峰市・三月考（理））已知椭圆£:[+，=l（a〉b〉0）的离心率为半，且过点

（V3,l）.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）过椭圆E右焦点的直线h4相互垂直，且分别交椭圆E于48和C、。四点，求|4却+|。。|的最

小值.

22

【答案】（1）土+匕=1；（2）276.

62

【分析】

（1）设椭圆的标准方程为W+/=l,将点（6,1）代入方程，由5=9,结合a2=〃+c2即可求解.

（2）当直线4的斜率为0时，分别求出|A创，|8|,可得|AB|+|CZ）|；当直线4的斜率不存在时，求出

\AB\+\CD\；当直线4的斜率存在且不为。时，直线4的方程可设为％=切+2（m。0）,可得直线4的方

程为工=-1丁+2,分别将直线与椭圆联立，利用弦公式求出|。必，可得

m

2

8mlm2+1,2

\AB\+\CD\=，令加？+1=八构造函数g（f）=3/；由4即可求解.

3m+10m2+3

【详解】

解：（1）由意可设椭圆的标准方程为二+二1

a

V6cV6

由e即

再由/=/+，

可得a=6b①

将点（G』）代入椭圆方程，可得/+3=i②

由①②可解得=J5

故椭圆的方程为三+上=1

62

（2）由（2）知，椭圆右焦点为（2,0）,

设A（%，%）,8（%2，%），。（%3，%），。（X4，%）

当直线4的斜率为。时，|A用=2。=2指，直线，2：X=2,可得g力=平

876

所以|AB|+|CD|=2#+=

亍

当直线4的斜率不存在时，直线人的斜率为o,|A@+|cq=乎

当直线人的斜率存在且不为0时，直线k的方程可设为x=my+2（m^0）,

则直线，2的方程为工=—，y+2

m

[22

二+匕=]

?.<62整理得（加2+3）y2+4m>-2=0

x=my+2

A=16加2+8（加之+3）>0恒成立,

4m

%+%=_

m2+3

则＜

2

%%=一

m~+3

而=Vl+m2=Vl+m2+%『—4%%

2

/—f7M2+1疗+1'8V6(m+l

则|AB|十|CD|=^m2+3+3m2+l

73m4+10m2+3

令疗+i=f

d_1_1

令gU尸3r+4"4=44=~(2~V~

V+7+3-H+4

所以|AB|+|CD|e276,—,

L3,

综上"AB|+|CD|e2瓜峥

当相2=1时，|AB|+|CD|的最小值为2的.

【点睛】

关点点睛：本考查了直线与椭圆的位置关系，弦公式，解的关是利用弦公式以及达定理得

中86(疗+1)一老杳了物-—管”后办.H•八咕田相

出|八§||1。刈=、______-_,考查了数学运算以及分类讨论的思想.

11113m4+10/7?2+3

8.(全国大联考(理))已知抛物线C：/=2px(p〉0)的焦点为尸，过点歹且垂直于X轴的直线与C交

于A,3两点，[]A03(点。为坐标原点)的积为2.

(1)求抛物线C的方程；

()()的倾斜角互补，直线4与抛物线C交于”,N两点，直线4与

抛物线C交于P,Q两点，口FMN与△尸尸。的积相等，求实数。的取值范围.

【答案】(1)/=4%；(2)(0,l)U(l,V2).

【分析】

(1)由焦点/1•l，。],求得点A3的坐标，然后根据DAOB的积为2求解；

(2)设直线/]：x=/(y-a),联立方程可得「结合达定理，利用弦公式求得MN,以

x=tyy-a)

及焦点/到直线4的距离，求得S：FMN，将f用T替换，得到S：FP2，由力,=SAFP。，可得f与。的关

系，然后再结合判别式大于求解.

【详解】

(1)因为焦点歹已o],所以点43的坐标分别为，,“，，，-p)

所以S^°B=：2P£=2,故°=2.

故抛物线C的方程为：/=4x.

(2)由意可知直线4的斜率存在，且不为o,设直线乙：x=/(y-。).

点Ng%).

y2=4x,

联立方程可得</消去了,可得好―4k+4G=0.

x=tyy-av)

则A[=16t2-16at>0.

因为M+%=4,X%=4G,

所以|=Jl+/卜i—=Jl+/J16(/2—=4，1+1?~~at,

11+^1

焦点尸到直线k的距离d=，

2

所以S^FMN=7x4，1+/J/一或xI!=2yJt—at11+以|.

2，1+产

A=16t+16at>0,

将，用T替换，可得S“p0=2犷嬴忆―1|

由S△尸皿=§△尸PQ可得2-at|1+tc^—2J/+at^tci—1|，

即上g=丝乙，两边平方并化简可得/=」^,

\t-ata-12-a

所以2—〃〉0，解得0＜q＜血.

又由4＞。且4＞。得，＜一。或/＞。，可知产〉片，

所以」方＞/,即/I）所以awl,

所以实数a的取值范围是（O」）U（1,0）.

【点睛】

方法点睛：（1）解决直线与曲线的位置关系的相关，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化

简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关.涉及弦中点的常常用“点差法”解决，往往会

更简单.

（2）解决直线与曲线的弦时，往往设直线与曲线的交点坐标为N（xi,刃），8（X2,y2）,

则\AB\=J（l+左2）［包+々）2-=J（1+：T）］（X+—4%.为］也为直线斜率）.

注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于.

22

9.（江西八校4月联考（理））已知椭圆E：0+方=1（。＞/,〉0）.左焦点E（TO）,点"（0,2）在

椭圆E外部，点N为椭圆E上一动点，且口凡〃尸的周最大值为2百+4.

(1)求椭圆E的标准方程;

(2)点8、C为椭圆E上关于原点对称的两个点，A为左点，若直线A3、AC分别与》轴交于尸、。

两点，试判断以PQ为直径的圆是否过定点.如果是请求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由.

22

【答案】(1)3+专=1；(2)是，定点为(6,0)和卜6,0).

【分析】

(1)口尸的三边有一边已经确定，转化为，何时另外两边之和最大，结合椭圆的定义，以及三角

形两边之差小于第三边即可确定思路；

(2)分直线3c斜率存在与不存在分别研究，不存在容易得出定点，存在时，可以设出斜率左，再联立椭

圆方程，求出P,Q坐标，最后求出以尸。为直径的圆的方程，方程里含有3再令0即可.

【详解】

(1)设右焦点为耳，则闺+2?=百=产町|

.■.(|W|+|A^F|)max=4+275-75=4+V5

xv|2VF|=2。-四|

\MN\+1N用=|MNI-1Nf；I+2a<\MFt\+2a

即N点为“可与椭圆的交点时，周最大

,/\MF^=A/5,所以2a+A/5=4+y[5=>a=2,c=1

b=y/a2—c2=A/3

22

所以椭圆E的标准方程为工+匕=1

43

⑵由⑴知A(-2,0),设8(%,%),则C(-%,-%)

当直线斜率存在时，设其方程为丁=履

y=kx

12

联立口匚户9;MF

[43

设尸。中点为S,则s

所以以PQ为直径的圆得方程为

即尤2+y2+_y_3=0

k

令y=o,得了=土也

所以过点(6,0)和卜6,0),且为定点.

当直线BC斜率不存在时，容易知道5(0,5,C(o,-V3)

此时P(0,石),Q(0,—石)

所以以PQ为直径的圆是以原点为圆心，石为半径的圆，显然也过定点(6,0)和卜6,0)

综上，此圆过定点（G,o）和卜6,0）

【点睛】

方法点睛：对于过定点的，可以先通过特殊情况得到定点，再去证明一般得情况.

22

10.（天津南开区•三一模）已知椭圆T+与=l（a〉b>0）的左、右焦点分别为耳，F2,右点为点

ab~

A,点E的坐标为（0,4），延线段1交椭圆于点M,MB，》轴.

（1）求椭圆的离心率；

（2）设抛物线丁=彳笈的焦点为b，8为抛物线上一点，忸同=《。，直线W交椭圆于尸，。两

42

点，若|AP「9+|AQ『9=歹，求椭圆的标准方程.

22

n%।y7

【答案】（1）（2）504126

2-----------

3131

【分析】

⑴由意可得E为耳M的中点，从而有闺闾=2|OE|=g,则有之=《，得：=（，进而可求出椭

圆的离心率；

（2）由抛物线的定义可得/=?人，从而可求得点3（亚b,四或3（亚瓦-约5与，当

8（孝5,苧时，可得直线3斤的方程，与椭圆方程联立方程组，消去％,再利用根与系数的关系得

y+%=—X5瓦%为=—§/，从而把|AP「+|AQ「表示出来，列方程得求出

515133

b-=—,进而可求出椭圆的方程

31

【详解】

解：（1）由意得在△耳8M中有4耳心,OE，耳耳，

因为。为片心中点，则E为耳”的中点,

（hh

因为E的坐标为Oq,所以|。目="寓M|=2|O同=5,

b2

令兀=。，得y=±_,

a

h1bh1

则意得y”〉o,所以幺=2,得一=:

设2（国,％）,。（尤2，%），

因为忸耳所以九5=1~人，代入中得，y=±12后8,

3335

12小匕

当3（亚瓦坦6。）时，kBF—=与,则直线8斤的方程为x=^y+［。,

55——万一

5

A1丫22

因为一==，所以。=26，则椭圆方程为二+与=1,即/+4丫2=4〃，

a24/72h2

x2+4/=4b-

-2424,64"c

由＜26，得彳y2+-=by--b-=O,

x=-j=y-\--b55,7525

贝UM+%=-丰"，

212212412368,

所以尤1+%=而（/+%）+二匕=一1＞+二》=2。,再々=1%%+法（%+%））+石9＞，

所以|AP「+|AQ-=（七一2»2+y：+（9—26）2+

二/2+yj+X，+y2_4Z?（X1+x0）+Sb

22-2

=（玉+x2）+（%+y2）-2xrx2-2%%4b（x1+x2）+8b

1,16,16,3142

=4b92+-b2——b2+—b2-4b-2b+Sb92=—b92=—,

5515155

得八M

当3（日瓦—今5。）时，同理可得从=号,

…,21262504

综上，b=---，a=4b=----,

3131

3131

【点睛】关点点睛：此考查抛物线的定义的应用，考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关

系，解的关是由已知条件求出点B的坐标，求出直线BF的方程，再与椭圆方程联立方程组，然后利

用根与系数的关系，再由+|AQ『=日列方程求出126

力，属于较

22

11.（四川成都市•三二模（文））已知椭圆C：.+%=i（a>b>0）经过点,其半轴

为2.

（1）求椭圆。的方程;

（II）设经过点8（-1,0）的直线/与椭圆C相交于。，E两点，点E关于％轴的对称点为歹，直线。尸与

x轴相交于点G,求DBEG与DBDG的积分别为加，邑，求应-S?1的最大值.

r23

【答案】(I)---1-2=1;(II)—.

44

【分析】

（I）由轴知〃=2,结合椭圆过/点，求