高考数学专项复习：几何证明选讲试题-理（含解析）

a

专题14.1几何证明选讲

【三年高考】

1.12016高考天津】如图，是圆的直径，弦与相交于点E,BE=2AE=2,BD=ED,则线段CE的

长为.

【答案耳

【解析】设=则由相交弦定理得%。七=月七5七，DE=L又BD=DE=L所以

xx

AC=AE=1因为45是直径，则==20,,在圆中A5CESDAE,

则能=至，即-^==手，解得工=范

.IDAE413

2.12016高考新课标1卷】如图,△。48是等腰三角形,NAQB=120。.以。为圆心一。4为半径作圆.

2

(I)证明：直线AB与。相切;

(II)点C,。在0。上，且CQ四点共圆,证明：AB//CD.

1

a

【解析】(I)设E是.45的中点,连结。旦因为Qd=0B40B=120。：所以OE_L,®ZAOE=60。.在

Rt^iOE中：OE=(X。,即O到直线AB的距离等于圆O的半径，所以直线AB与。O相切.

(II)因为。匀=2。＞,所以。不是4氏四点所在圆的圆心及。’是4瓦C。四点所在圆的圆心作

直线。。’.由已知得。在线段的垂直平分线上:又O在线段的垂直平分线上:所以0O_LAB.同

理可证。。'_L.所以州＞!CD.

312016高考新课标2】如图，在正方形ABCD中，E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合)，且OE=£＞G,

过。点作。尸，CE,垂足为

(I)证明：B,C,G,尸四点共圆；

(II)若AB=LE为ZM的中点，求四边形3CG厂的面积.

【解析】(D因为。尸，EC,所以ADEF〜AC。工则有NGDE=/DEE=ZFCB,4-=—=—所

CFCDCB

以ADGF〜ACBF,由此可得ZDGF=ZCBF,由此NCGF+ZCBF=180°,所以5C,G,尸四点共圆.

(II)由氏C,G,尸四点共圆，CGLCB知产GLEB,连结G5,由G为品△D/C斜边CD的中点，知

GF=GC,故RtABCG〜RtABFG,因此四边形BCGF的面积S是AGCB面积S^GCB的2倍，即

S=2S&GCB=2x—X—xl=-

1

a

4.12016高考新课标3】如图，。中AB的中点为P,肱PC,PD分别交A8于E,尸两点.

(I)若NPFB=2ZPCD,求NPCD的大小；

(II)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OGLCD.

【解析】(I)连结尸氏BC,则/8P。=/。氏4+/875。,/?8=/?。8+/88.因为473=373,所

以NPBA=NPCB,又NBPD=NBCD,所以/BFD=NPCD.又

ZPFD+ZBFD=180°,ZPFB=2ZPCD,所以3NPCD=180°,因此ZPCD=60°.

(II)因为/PCD=ZBFD,所以NPCD+NEFE>=180。，由此知C,D,£E四点共圆，其圆心既在CE

的垂直平分线上，又在。尸的垂直平分线上，故G就是过C,D,”E四点的圆的圆心，所以G在的垂

直平分线上，又。也在CD的垂直平分线上，因此OGLCD.

5.12015高考新课标2,】如图，。为等腰三角形ABC内一点，圆。与AA5C的底边交于V、N两

点与底边上的高AD交于点G,与A3、AC分别相切于E、歹两点.

1

a

(I)证明：EF//BC；

(II)若AG等于O。的半径，且AE=MN=2y^,求四边形EBCF的面积.

【解析】(I)由于AA5C是等腰三角形，ADL6C,所以A。是NC4B的平分线.又因为(。分别与A3、

AC相切于E、尸两点，所以AE=A尸，故ADJ_E尸.从而EF//BC.

(II)由(I)知，AE=AF,AD±EF,故AD是所的垂直平分线，又所是「0的弦，所以。在AD

上.连接0E,,则OE，AE.由AG等于。。的半径得AO=2OE,所以ZOAE=30°.所以AABC

和AAER都是等边三角形.因为AE=2^,所以40=4,OE=2.

因为QW=0E=2,DM=-MN=y[3,所以。D=1.于是A£)=5,=所以四边形EBCF

23

的面哆畔样一加如圣哈

6.12015高考陕西一,】如图，AB切。Q于点B,直线AD交。于D,E两点，BC±DE,垂足为C.

(I)证明：NCBD=ZDBA；

(II)若AD=3DC,BC=J5,求.：0的直径.

1

a

【解析】(D因为DE为圆O的直径,则ABED+ZEDB=9(T,又BC，DE,所以NCBD+zEDB=90,

从而NCBD=NBED.又AB切圆O于点B,得/DBA=NBED,所以NCBD=/DBA.

(ID由⑴知BD平分NCBA,则巴=些=3又BC=0,从而.45=30,所以

BCCD

AC=^4BZ-BCZ=4,所以，D=3.由切割线定理得AB:=AD-AE，即,江=理1=6,故

DE=AE-AD=3,即圆O的直径为3

7.12015高考新课标1】如图，AB是一。的直径，AC是。的切.线，BC交。于E.

(I)若。为AC的中点，证明：DE是O的切线；

(II)若OA=6CE,求NACB的大小.

【解析】(I)连结AE,由已知得，AELBC,AC±AB,在放AAEC中，由已知得QE=Z)C,：.ZDEC=Z

DCE,

连结OE,ZOBE=ZOEB,,：ZACB+ZABC=90°,：..ZDEC+ZOEB=90°,：.ZOED=90°,是圆。的

切线.

(II)设CE=1,AE=x，由已知得A8=2g,BE=4T2—£,由射影定理可得，AE?=CE.BE,

8.12015高考湖南】如图，在圆。中，相交于点E的两弦A3,CD的中点分别是N,直线与

直线

1

a

CD相交于点R,证明：

(1)/MEN+ZNOM=180；

(2)FEFN=FMFO

【解析】(1)如图a所示，'：M,N分别是弦A3,CD的一中点，ONLCD,

即NOME=90,ZENO=90,NOME+NENO=180,又四边形的内角和等于360,故

ZMEN+ZNOM；

(2)由(D知，O,M,E,N四点共圆，故由割线定理即得=

9.12014高考辽宁第22题】如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连

接。G并延长交圆于点A,作弦A8垂直EP,垂足为足

(I)求证：AB为圆的直径；

(II)若AC=B。，求证：AB=ED.

1

a

【解析】（I）因为尸Q=PG,所以/PDG=/PGD由于PD为切线，i^ZPDA=ZDBA,又由于/PGO=/

EGA,故/DBA=NEGA,所以/DBA+NBAZ）=NEGA+/BA。,从而/BD4=/尸刚.由于AP垂直EP,所以/

PFA=90°,于是NBZM=90。，故A2是直径.

（11）连接8。OC由于AB是直径，故/BZM=NACB=90。，在BDA与ACB中,AB=BA,AC=BD,

从而RtABDA义RfAACB,于是RdBZX4与NZMB=NCA4.又因为NOC8=NZMB,所以/£>CB=/C3A,故

DC//AB.

由于ED是直径，由（I）得ED=AB.

10.12014高考全国2第22题】如图，P是e。外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与e。相交于点

B,C,PC=2PA,D为PC的中点，AD的延长线交e。于点E.

证明：（I）BE=EC；

（II）ADDE=2PB2

1

a

【解析】(I)连结AB,AC,由题意知？A=PD,故因为/尸。X=NZUC+NOC"

/.PAD=MAD+NPAB,ZDCA=APAB,所以ADAC=ABAD,从而BE=EC,因此BE=EC.

(II)由切割线定理得：尸/=PBPC,因为尸C=2PA,所以PA=?PB,PC=APB,

由相交弦定理得:ADDE=BDDC=(PD-PB)PD=&PC-PB)qPC

=(2PB-PB)-2PB=2PBZ,所以等式成立.

11.12014高考全国1第22题】如图，四边形A5c。是二。的内接四边形，A5的延长线与OC的延长

线交于点石，且CB=CE.

(1)证明：ZD=ZE：

(II)设不是匚O的直径，AO的中点为M,且Affi=MC,证明：AM)石为等边三角形.

【解析】(I)由题设知A,3,C,。四点共圆，所以ND=NCBE.由已知得NE=NCBE,故ND=/E.

(ID设ZC的中点为N,连接MN,则由MB=MC知跖VL5C,故。在直线上.又不是C。

的直径，的中点为M,故即肱VLAD.所以AD/ABC,故NA=NCBE.又

ZE=ZCBE,故NE=/4.由(1)知，ZD=ZE,所以A4Z汨为等边三角形.

1

a

【三年高考命题回顾】

纵观前三年各地高考试题，高考对几何证明的考查，主要考查有关三角形相似、全等、面积、线段长度及

角相等的求解及证明，以平行线等分线段定理，平行线截割定理，相似三角形的判定与性质定理，直角三

角形射影定理，圆心角、圆周角定理，圆内接四边形的性质定理及判定定理，圆的割线定理，切割线定

理，弦切角定理，相交弦定理等为主要考查内容，题目难度一般为中、低档，备考中应严格控制训练题的

难度.

【2017年高考复习建议与高考命题预测】

由前三年的高考命题形式可以看出，高考对这部分要求不是太高，要求会以圆为几何背景，利用直角三角形

射影定理，圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理，相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定

定理、切割线定理证明三角形相似，全等，求线段长等，预测2017年高考还会以圆为几何背景，考查相交

线定理，切割线定理，以及圆内接四边形的性质定理与判定定理，考查学生的数形结合的能力.“几何证明选

讲”是选修系列4的一个专题，该专题在高考中只考查“相似三角形”和“圆”这两部分平面几何内容，且与另三

个选修4的专题一起命题，供考生选择作答.其核心内容为:线段成比例与相似三角形，圆的切线及其性质，与圆

有关的相似三角形等.对同学们来说，“几何证明选讲”是初中所学知识的深化,因而倍感亲切.试题题型为解答

题，且难度不大.题型以比例问题为主，平行线分线段成比例定理、相似形、角平分线定理、直角三角形中的

射影定理、圆中的割线定理、切割线定理和相交弦定理等，都涉及线段成比例，因此比例问题是本专题中所占

比重最大的题型.解决这类问题，主要方法就是设法利用上述定理，并灵活变形.复习建议：圆内接四边形的重

要结论：内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些

性质可以大大简化证明有关几何题的推证过程.与圆有关的比例线段的证明要诀：相交弦、切割线定理是法

宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析

综合要记牢，十有八九能见效.

1

a

[2017年高考考点定位】

几何证明选讲的内容涉及的考点可归纳为:①相似三角形的定义与性质;②平行线截割定理;③直角三角形射

影定理;④圆周角与圆心角定理;⑤圆的切线的判定定理及性质定理;⑥弦切角的性质;⑦相交弦定理;⑧圆内接

四边形的性质定理和判定定理;⑨切割线定理.

【考点1】相似三角形的判定与性质

【备考知识梳理】

1.平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.

推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.

推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰.

2.平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.

3.相似三角形的判定与性质

(1)判定定理：

内容

判定定理1两角对应相等的两个三角形相似

判定定理2两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似

判定定理3三边对应成比例的两个三角形相似

(2)性质定理:

1

a

内容

性质定理1相似三角形对应高、中线、角平分线和它们周长的比都等于相似比

性质定理2相似三角形的面积比等于相似比的平方

相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似

结论

比的平方

直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中

射影定理

项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项

【规律方法技巧】

1.判定两个三角形相似的常规思路

(1)先找两对对应角相等；

(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；

(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递

性

2.借助图形判断三角形相似的方法

(1)有平行线的可围绕平行线找相似；

(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；

(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边.

3.比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移

比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.

4.判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理,特别要注意对应角和对应边.在一个题目中，

相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到.相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也

可间接证明线段相等.

5..在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”.证题时，要注意作

垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法.

6.相似关系的证明中，经常要应用比例的性质：

1

a

,,ac„.„«b„,,^a+bc+d„a-bc-d^a+bc+d„aa+c

若一=-,则①一=-；②ad=bc；③------=-----；④-----=-----；⑤-----=-----；⑥一=-----.

bdcdbdbda-bc-dbb+d

7.辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故

作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行

关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常

用的作辅助线方法.

【考点针对训练】

1.【2016届河南省郑州一中高三考前冲刺四】如图所示，已知圆O外有一点P,作圆O的切线PM,M为切

点，过PM的中点N作割线NAB,交圆。于A,B两点，连接PA并延长，交圆。于点C,连接PB交圆O

于点D,若MC=BC.

(1)求证：△APMs△ABP；

(2)求证：四边形PMCD是平行四边形.

【解析XD因为PM是圆。的切线,NAB是圆。的割线，N是PM的中点，所以MA*=PNZ=NA-NB,

PV\A

所以j=上.又因为APNA=乙BNP,所以APAN8A5XP.所以^4PX=乙PBX,即

BNPN

UPNI=APBA

因为MC=BC,所以NAL4c=ABAC,所以ZSL4P=NPAB.所以MPMs&4BP

(2)因为乙4C0=APBN,所以乙4CD=乙PBN=AAPN,即APCD=ZCPM.所以PM〃8.因为

Z14PJ/8SABP,所以RPMA=ABPA

因为PM是圆。的切线，所以NR也d=NMCP所以ZPM4=ABPA=ZA/CP,即ADPC=Zi/CP

所以，所以四边形RUCO是平行四边形.

1

a

2.【2016年山西省右玉一中高考冲刺压轴卷三】如图，已知。。和。/相交于A、B两点,AO为。M的

直径，直线30交。。于点.C,点G为弧3。中点，连结AG分别交。。、BD于点E、F,连结CE.

(I)求证：AGEF=CEGD；

GFEF2

(II)求证:

~AG~CEi

【解析】(I)连结为。"的直径，NA3D=90°,为。。的直径，

ZCEF=ZAGD,,/NDFG=ZCFE,：.NECF=ZGDF,:G为弧3。中点，，ZDAG=ZGDF,

AG

•:ZECB=ZBAG,：.ZDAG=ZECF,：.ACEF-AAGD,=：.AGEF=CEGD.

EFGD

(II)由(I)知/DAG=NGDF,ZG=ZG,：.ADFG-AADG,：.DG2^AGGF,由(I)

八EF2GD2.GFEF2

知---7=-------,••------=-------■

CE2AG2AGCE2

【考点2］圆的有关问题

【备考知识梳理】

1.圆周角定理

(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角.

(2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

(3)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数.

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90。的圆周角所对的弦是直径.

2.圆内接四边形的性质与判定定理

1

a

⑴性质：

定理1:圆内接四边形的对角互补.

定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.

(2)判定:

判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.

推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.

另外：若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别的，对定线段张

角为直角的点共圆.

3.圆的切线

(1)直线与圆的位置关系

直线与圆交点的个数直线到圆心的距离d与圆的半径厂的关系

相交两个

相切一个d=r

相离无4r

(2)圆的切线性质及判定定理

性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等.

3.弦切角

(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切,另一边与圆相交的角.

(2)弦切角定理及推论

①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半.

②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相篁，同弧(或等弧)上的弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.

1

4.与圆有关的比例线段

定理名称基本图形条件结论应用

(1)B4P8=(1)在以、PB、PC、

弦AB、C£＞相交PCPD；尸£＞四线段中知三

相交弦定理

&于圆内点P(2)AACPs求一；

△DBP(2)求弦长及角

⑴

抬切。。于A,(1)已知B4、PB、

PBPC；

切割线定理P8C是。。的PC知二可求一；

(2)APAB^^x

割线(2)求解AB、AC

PCA

⑴求线段小、尸8、

PC、PD及AB、

PAB,PCD是。PCPD；

割线定理CD-,

0的割线(2)ABAC^A

(2)应用相似求

PDB

AC,BD

(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.

(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.

(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.

(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹

角.

【规律方法技巧】

1.与圆有关的比例线段：(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角

形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等.

(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明.解决问题时要注意相似三角形

知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用.

1

a

（3）相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理统称为圆幕定理：圆的两条弦或其延长线若相交，各

弦被交点分成的两条线段长的积相等.当两交点在圆内时为相交弦定理，当两交点在圆外时为割线定理，两

交点重合时为切线，一条上两点重合时为切割线定理，两条都重合时为切线长定理，应用此定理一定要分

清两条线段是指哪两条.

2.弦切角定理及推论的应用

（1）圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线

段或角的大小.

（2）涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线（或半径）或向弦（弧）两端画圆周角

或作弦切角.

3.证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距

离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补.

4.涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径（或半径）或向弦（弧）两端画圆周角

或作弦切角.

5.一般地，涉及圆内两条相交弦时首先要考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和割

线时要注意应用切割线定理，要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线定理线段关系之间的区别.

6.在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似.在涉及两

圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦.如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理.在两个.圆内实

现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向.

【考点针对训练】

1.12016届湖北七市教研协作体高三4月联考】已知AABC中，AB=AC,。是AA6C外接圆劣弧AC上

的点（不与点AC重合），延长5D至E,延长AD至尸.

1

a

(2)若NA3C=75,AABC中BC边上的高为2+6,求AABC外接圆的面积.

【解析】(1)如图，由A5=AC得NA5C=NACB,；NACfi与NADS都是同弧A3所对的圆周角,

；.NACB=NADB且NADB=/EDF,故ZABC=/EDF.

(2)设。为外接圆圆心，连接A0交于H,则连接。C,由题意易得/BAC=30°,

NQ4C=NOC4=15°,且NACfi=75°NOCH=60°,设圆半径为厂，则厂+理r=2+退，

2

解得厂=2,故外接圆面积为4》.

2.【2016届陕西省高三下学期教学质检二】如图，己知圆。与。2相交于A3两点，过点A作圆。1的切线

交圆。2于点C，过点8作两圆的割线，分别交圆。1、圆。2于点。、E,OE与AC相交于点P.

(I)求证：ADEC；

(II)若AD是圆。2的切线，且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.

D

【解析】（I）连接B4.〈AC是圆。的切线，・・・/BAC=ND.又・・・NH4C=NE,・・・NO=NE,・・・

1

a

ADEC.

(II)证明：设==9：PA=6,PC=2,・,•孙=12.又•・・ADEC,：.—=——，

PEPC

9+x6

——=—.又•••x>0,y>0,联立上述方程得到％=3,y=4,DE=9+x+y=16.•••AD是圆。2的切

y2

线，AAD2=DB-DE=916.：.AD=12.

【应试技巧点拨】

1.辅助线作法：

几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主

要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等

长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线

方法.

2.比例的性质的应用

相似关系的证明中，经常要应用比例的性质：

,,ac„«Z?„,,„a+Z?c+d„a-bc-d^a+bc+d„

若一=一,则①一=一；②ad=bc；③------=-----；④-----=-----；⑤-----=-----；⑥

bdcdbdbda-bc-d

a_a+c

bb+d

3.同一法：先作出一个满足命题结论的图形，然后证明图形符合命题已知条件，确定所作图形与题设条件

所指的图形相同，从而证明命题成立.

4.证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离

相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补.

1

a

5.与圆有关的比例线段

(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓.住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、

与圆有关的相似三角形等.

(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明.解决问题时要注意相似三角形

知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用.

二年模拟

1.【2016年山西榆林高三二次模考】如图所示，在AABC中，是NACfi的平分线，AACD的外接圆

交BC于点、E,AB=2AC.

(1)求证：BE=2AD；(2)当AC=1,EC=2时，求AD的长.

【解析】(1)连接OE,因为四边形ACED是圆内接四边形，所以NBDE=NBCD,所以ADfiEACBA,

BEDE

即有——=——，又A6=2AC,所以BE=2DE，又是NACB的平分线，所以4。=£)石，从而

BACA

BE=2AD-,

(2)由条件得AB=2AC=2,设=根据割线定理得：BD.BA=BE.BC,即

1

a

(AB-AD)»BA=2AD.(2AD+CE),所以有(2T)x2=212f+2),解得：Z=1,所以=

2.【2016年湖北八校高三四次联考】如图，在锐角三角形ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆。与边

3cAe另外的交点分别为D,E,且。尸，AC于F.

(I)求证：。尸是。。的切线；

7

(II)若CD=3,EA=-,求AB的长.

5

【解析】(I〉连结则加_L3C,又看=M?,.'D为的中点，而。为看中点，

又DFLAC,：.ODLDF,而OD是半径，二.D尸是。。的切线.

(II)连DE,贝ijNCED=N3=NC,贝49。尸经AD£F,二CF=庄，设CF=fZ=x,贝i]D尸：=9-x：,

Z

由切割线定理得：DF=FE-FAf即9-x：=x：t-?,解得：x：=g,三=-：(舍)，...耶=皿？=5.

\5J52

B

3.【2016年安徽安庆二模】如图，以AABC的边A3为直径作圆。，圆。与边的交点。恰为BC边的中

点，过点。作DE_LAC于点E.

(I)求证：DE是圆。的切线；

A17

(II)若N5=30，求上的值.

DC

1

a

【解析】（1）如图，连接.因为。是AB的中点.Z）是BC的中点师以OD/C.因为DE，KC所以

DE_8,所以DE是。。的切线.

（ID因为且3是。。的直径点。在。。上:所以.n）_3c.又。是BC的中点，所以-如=XC.故

乙4CD=NB=3（T.因为DE_/C.所以乙IDE=30:在直角三角形，回中土=tan30=；在直角三

DE

角形.,电器=向3°\于是言（

4.【2016年江西高三九校联考】如图所示，AC为e。的直径，。为的中点，E为3C的中点.

(1)求证：DE//AB-,

(2)求证：ACBC=2ADX：D.

【解析】（I）连接OE,因为。为的中点，E为BC的中点，所以。ED三点共线.因为E为BC的

中点且。为AC的中点，所以OE//AB,故DE//AB.

（II）因为。为的中点，所以4LD^ZZMC,又NBAD=NDCB,NDAC=NDCB.又因为

AC47)

AD±DC,DE±C,ADACAECD.—=—ADCD=ACCE,2AD-CD=AC-2CE,

CDCE

2ADCD=ACBC.

1

a

5.【2016年安徽淮北一中高三模考】如图，A,3是圆。上的两点，P为圆。外一点，连结分别

交圆。于点C,。，且=连结并延长至E,使/PEB=/PAB.

(1)求证：PE=PD；

(2)若AB=EP=1,且/54。=120°,求AP.

【解析】(1)连结。C,因为NPCEMNACBMNAOB.NPCDMNAB。，又因为AB=A£>,所以

ZABD=ZADB,所以NPCE=NPCD,由已知NPE5=NB45NPDC=NPAB,所以

ZPEC=ZPDC,且FC=PC,所以"EC合"DC,所以PE=PD.

(2)因为ZACB=NPBA,NBAC=NPAB,所以AABCAAPB,则AB?=AP.AC=AP(AP-PC),

所以AP2—AB?=AP.PC=PD.PB=PD(PD+BD),又因为PD=AB,AB=1,所以

6.【2016年江西南昌高三一模】如图，圆M与圆N交于A,B两点，以A为切点作两圆的切线分别

交圆M和圆N于C、D两点，延长DB交圆M于点E,延长CB交圆N于点F.已知BC=5,DB=10.

(I)求AB的长；

1

a

CF

(II)求J

DE

【解析】(I)根据弦切角定理，知NB4C=NADA,/ACB=/DAB,：•丛ABCs4DBA,贝(j

—,故AB?=8。-5。=50,43=5后.

DBBA

「42「RCF

(II)根据切割线定理，知CA2=CBCF,DA2=DBDE,两式相除,得一-=--------(*).由△ABC

DA2DBDE

AC_AB_572V2C421cB51CF

s'DBA,/H____—_,----------由(*)得J=L

^~DA~~DB~~[G~^rZM2-2DB102DE

7.【2016年河南八市高三三模】已知，AABC内接于圆，延长A3到。点，使得£＞。=2。&£＞。交圆于E

点.

(1)求证：AD=2DE；

(2)若AC=DC,求证：DB=BE.

r)DnF

【解析】(1)如图，连结BEDBDA=DEDC..——=——.又DC=2DB,DA=2DE.

DCDA

(2)■,AC=DC,：.ZD=ZA/BED=ZA,：./BED=ZD.：.BD=BE.

1

a

A

8.12016届河北省石家庄市高三二模】如图，H7AABC内接于O。，NC=90。，弦3歹交线段AC于E,

E为AC的中点，在点A处作圆的切线与线段OE的延长线交于。，连接。尸.

(I)求证：DE-EO=FE-EB；

(II)若NCE3=45°,。。的半径r为2芯，求切线的长.

【解析】〈D证明：•••在。。中，弦AC、BF相交于E,，FE-£B=TE-EC,又E为AC的中点，所

以FEEB=㈤,又因为OS:OE^AE,根据射影定理可得

AE1=DEEO,:.DEEO=FEEB;

<ID因为45为直径，所以NC=90：,又因为NC3E=451所以A5CE为等腰直角三角

形.二XC=2BC,根据勾股定理得AC'+SC：=53C：=80,解得3C=4,所以=4,OE=2,

由(1)得所以DE=8,所以，切=4AE，+DE：=+针=4在.

9.【2016届陕西省高三高考全真模拟四】如下图,A3,CD是圆。的两条互相垂直的直径,E是圆。上的点,

过E点作圆。的切线交AB的延长

线于连结CE交AB于G点.

1

a

(1)求证：FG?=FA.FB；

(2)若圆。的半径为2百,03='G,求EG的长.

【解析】(1)证明：连接OE,DE,由弦切角定理知NREG=N。，ZC+ZD=90ZC+ZFEG^90,

又NC+NCGO=90,ZCGO=ZFGE,ZC+ZFGE=90NPGE=NFEG,即尸G=FE.由切割

线定理得FE1=FA.FB，所以FG2=FA.FB.

(2)由03=百06=2石知，OG=2.在处AOCG中，由OC=20,OG=2得，CG=4,NC=30.

在RfACD石中，由C£>=4g,NC=30得CE=6,于是EG=CE—CG=6—4=2.

10.12016届山西右玉一中高三下学期模拟】已知如图，四边形ABC。是圆。的内接四边形,对角线AC,8。

交于点E,直线AP是圆。的切线，切

点为A,ZPAB^ZBAC.

⑴若BD=5,BE=2,求AB的长;

1

a

(2)在AD上取一点E,若NFED=NCED,求4LF+NB防的大小.

【解析】(1)•..”是圆。的切线，；.々43=/406,由NQ45=NB4C,NADB=/B4C.又

A_BBD

/ARD=/ERA,：.AABDAEBA,：.——=—.又BD=5,BE=2,：.AB?=BD・BE=1。，：.

EBAB

AB=710.

(2)由(1)知，ZBAD=ZBEA,ZBEA=NCED=/FED,；.ZBAD=/FED,：.

ZBAF+ZBEF=ZBAD+ZBEF=ZFED+ZBEF=180.

11.【2015届陕西西安西北工大附中高三下学期5月模拟】如图，。和「。'相交于A,B两点，过A作

两圆的切线分别交两圆于C,D两点，连结并延长交00于点E.

证明：(I)ACBD^ADAB；(II)AC=AE.

【解析】(1)由AC与。相切于A,得NC钻=NADfi,同理NACB=NZM5,

Ac47?

所以AACBAZM5从而=二£2,即4€\8£>=4£>.他

ADBD

(2)由AD与。。相切于A,得NAED=NBAD,XZADE=ZBDA,得AEM>AABD

spAr)

从而一=——，即AE,BD=AD.AB,综合(1)的结论，AC=AE

ABBD

12.12015届陕西省西工大附中高三下学期模拟考试一】如图,。。的直径A5的延长线与弦CD的延长线相

交于点73,后为。。上一点八£=人(2,。石交45于点R,且46=25。=4,

(I)求PR的长度.

(II)若圆F与圆。内切，直线PT与圆F切于点T,求线段PT的长度

1

a

【解析】(I)连结OCODOE,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长AE等于弧长

AC可得ZCDE=NAOC,又NCDE=ZP+ZPFD,ZAOC=NP+NOCP,从而NPFD=NOCP,故APED-

APCO,,由割线定理知PCPD=RbP8=12,故尸产="£2="=3.

PCPOPO4

(II)若圆F与圆。内切，设圆尸的半径为r,因为OF=2—r=l即厂=1,所以08是圆尸的直径，且

过P点圆P的切线为PT,则PT?=P5・PO=2x4=8,即PT=2J5

13.12015届吉林省吉林市高三第三次模拟考试】如图，在△ABC中，ZB=90,以AB为直径的。。交AC

于。，过点。作。O的切线交3C于E,AE交。。于点尸.

(I)证明：E是的中点；

(II)证明：ADAC=AEAF.

【解析】(I)证明：连接3。，因为45为。。的直径，所以又