高考数学专项复习：集合和常用逻辑用语（6大题型）（练习）（解析版）

专题01集合和常用逻辑用语

目录

题型01集合的基本概念1

题型_02集合间的基本关系3

题整03集合的运算7

题整04以集合为载体的创新题10

题整05充分条件与必要条件13

题型_06全称量词与存在量词17

一题型_01集合的基本概念

.（2023-四川成都•高三校考阶段练习）小于2的自然数集用列举法可以表示为（）

A,{0,1,2}B.I}C.{°』D.乩2}

【答案】C

【解析】由题设，小于2的自然数有°」,

所以，列举法表示集合为{°/}.

故选：C

\y\y=-^-z,xeZ,yez\

2.（2023•河南南阳•高三校考阶段练习）集合〔x+2J中的元素个数为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

6u.

【解析】因为NeZ,即x+2，,所以x+2的可能取值为±1,±2,±3,±6,

分别代入可得歹=F-3,-2,-1,1,2,3,6,所以集合中共有&个元素.

故选：D

3.（2023•广东河源•高三河源市河源中学校考阶段练习）集合卜卜3<2x-l43,xeZ}二（）

A.（-1，2]B.{I?c.{0,1,2}口.{-2,-1,0,1,2}

【答案】C

【解析】由-3<2x-l43,可得-l<x«2,又xeZ,

所以集合卜卜3<2x-1W3,xeZ}={0,1,2}

故选：C

4.（2023•上海静安•高三上海市市西中学校考开学考试）已知集合/,B,若N不是B的子集，则下列

命题中正确的是（）

A.对任意的都有。任8B.对任意的都有aeN

C.存在％,满足且。。拓8口.存在°。，满足旬^”,且

【答案】C

【解析】对于选项A、B：例如"=92}，'={2,3},满足z不是B的子集，

但2e42e8,故A错误；3任43e8,故B错误；

对于选项C：对任意的都有aeB,则

若N不是5的子集，则存在『，满足且』任8,故c正确；

对于选项D：例如'={1}]={2},满足/不是8的子集，

但不存在“。，满足且。。《巴故D错误；

故选：C.

/=[xeR

5.（2023•广东惠州•高三统考阶段练习）集合〔2x+1J,若3e/且-则。的取值范

围为（）

A.a<3B.aWTC.D.T<"3

【答案】B

3—CL—1—a

c,——>0--------<0

【解析】因为3e/且一"4，所以6+1且-2+1，解得

故选：B.

6.（2023•全国•高三专题练习）已知集合'={°际疗一3心+2},且2力，则实数加为（）

A.2B.3C.0或3D.。23

【答案】B

【解析】因为人国在苏-3加+2}且26儿

所以加=2或加之一3nl+2=2,

①若加=2,此时疗-3%+2=0,不满足互异性;

②若加2-35+2=2,解得机=0或3,

当机=°时不满足互异性，当机=3时，/={0，3,2}符合题意.

综上所述，机=3.

故选：B

・题型02集合间的基本关系

7.（2021•上海）已知集合/={尤|无>-1,xeR},8={x|/-x-2...0,xeR],则下列关系中，正确的

是（）

A.AjBB.=C.A^\B=0D.A\jB=R

【答案】D

【解析】已知集合/={x|x>—1,xeR},B={x\x1-x-2...0,x&R},

解得2={x|X...2或x>>-1,xe7?）,

={x\x,,-1,xeR},={x|-1<x<2}；

则/U3=R,/pp={x|尤…2},

故选：D.

8.（2022•乙卷）设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足«河={1，3},则（）

A.2GMB.3GMC.4^MD.5龟M

【答案】/

【解析】因为全集。={1,2,3,4,5},={1,3},

所以M={2,4,5},

所以3走M,AeM,5^M.

故选：A.

A=[x\4x>4）B=<4

9.（2023•河北石家庄•高三石家庄市第十八中学校考阶段练习）已知集合III,II

，则（）

6AB

A.2B.^C.4岳wBD.AcB

【答案】C

【解析】因为/={m>4}={小>1},W<4}={x"x<16},

所以，4用eB,A与8之间没有包含关系.

故选：C.

10.（2023•江西•高三校联考阶段练习）已知集合/={.0<xT<7},8={x|x=2左+1,左eZ},则

/cB的真子集的个数为（）

A.6B.7C.8D.15

【答案】B

【解析】因为"={刈0<1<7}={刈1<”8},

v5={x|x=2A:+l,^eZ}={•••,-3,-1,1,3,5,7,9,••■}

所以'0'={3,5,7},所以/cB的真子集有23-1=7个.

故选：B

11.（2023•安徽•高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）已知集合"={x|l'x<5}.

8={x［—"x34},若RznS）,则a的取值范围为（）

A.{。卜2<"-1}B.回。<-2}

C.{布“1}D.M«>-2}

【答案】C

【解析】•••已知Ba（，n8）,又因为（NcB）i,

.../n5=8,即8u/,

①当8=0时，满足8=4,此时一a”+4,解得aV-2；

_q<a+4

<-a>\

②当8关0时，由8。”,得〔。+4<5,解得_2<aV-l；

综上所述，aV-1.

故选：C.

12.（2023•山西太原•高三山西大附中校考阶段练习）若集合"={刘2<、<3},B={x\x>b,beR}则

的充要条件是（）

A.b>3B.2VbM3

C.b<2D,b<2

【答案】D

［解析］因为集合/={刈2<X<3},B={x\x>b,b^R}且/勺氏所以642,

故选：D.

13.（2023•黑龙江哈尔滨•高三哈九中校考阶段练习）已知集合"nt'"},'={1,。+2},若8勺/,

则。=（）

A.1B.T或2C.2D,-1

【答案】C

【解析】因为合"={1'3M2},*{1,。+2}且8。工，

所以a+2=3或0+2=/,

解得°=1或a=T或"2,

当°=±1时/=1,集合A不满足元素的互异性，故"±1,

当a=2时"={L3,4},8={L4}符合题意.

故选：C

14.（2023.山东济宁.高三校考阶段练习）已知集合/=,€此|/_3》<0},则满足条件5勺4的集合

8的个数为（）.

A.1B.2C.3D,4

【答案】D

【解析】由'={、€也℃<3}={1,2},又B=4,

故3可以为0,再，{2}，{1，2}共4种.

故选：D

M={x\x=—+—Af={x|x=—+—

15.（2023•全国•高三对口高考）已知集合42,后一},24,keZ},贝°

（）

A.M=NB.M[]NC.N口〃D.McN=0

【答案】c

k1kqD

M={x\x=—+—,kE：7}={x\x=--—，左£Z}

【解析】

N={x\x=+={x\%=271,左eZ}

由％eZ,E+2为整数，2左+1为奇数，故集合MN的关系为N口M.

故选：C

16.（2023•山西大同•高三校联考阶段练习）已知集合={x/T<3卜八{布>0},若则实

数。的取值范围为（）

A.（f-2）B（-oo,2]c,[2,+oo）D,（2,H

【答案】C

【解析】由"=①,<4}=（-2,2）,有44=（_00,一2]32,同,

若有。22,即实数。的取值范围为[2,+00）.

故选：C.

■题鳖03集合的运算

17.（2023•浙江•模拟预测）已知集合'={*（*-2）2"+10},5=卜2”>1},则/口八（）

A.付途3}B.{x\x>6}

C.{x|无<2或xN3}D.尤<T或无>°}

【答案】D

【解析】由题意/="g-2)2Nx+10}={x|x4-l或x26},5={x12X>1}={x|x>0}

所以/U8={x|xVT或x>0},

故选：D.

18.(2022•北京)已知全集。="|-3<工<3},集合/={刈-2<布1},贝博,/=()

A.(-2,1]B.(-3,-2)U[l，3)C.[-2,1)D.(-3,-2]|J(1,3)

【答案】D

【解析】因为全集。={尤|-3Vx<3},集合/={x|-2<x”l},

所以句/=*|一3<冷-2或l<x<3}=(-3,-2]J(l,3).

故选：D.

19.(2021•新高考I)设集合/={x|-2<x<4},8={2,3,4,5},贝)

A.{2,3,4}B.{3,4}C.{2,3}D.{2}

【答案】C

【解析】•.•集合/={x|-2<x<4},B={2,3,4,5},

，/r|8={2，3}.

故选：C.

20.(2021•乙卷)己知集合5={S|5=2〃+1,neZ},T={t\t=4n+1,neZ},贝！|S0|T=()

A.0B.SC.TD.Z

【答案】C

【解析】当〃是偶数时，设n=2k,贝!Is=2〃+1=4左+1,

当〃是奇数时，设〃=2左+1,则s=2"+1=4左+3,k&Z,

则TOS，

则Sp|7=T，

故选：c.

21.（2021•甲卷）设集合M={x|0<x<4},^={x||nx„5},则M0|N=（）

A.{x\0<x,）^-}B.{x|；,,x<4}C.{x|4,）x<5}D.{x|0<x3i5}

【答案】B

【解析】集合加^{xlOvxvd},N={x|；”x”5},则〃0|N={x|；”x<4},

故选：B.

22.（2021•乙卷）已知全集。={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则e（W|jN）=（

）

A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}

【答案】A

【解析】•.•全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},

:.M{jN=\l,2,3,4},

;©（MjN）={5}-

故选：A.

23.（2023•江苏淮安•高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）已知集合

/={x|xF—7x—8<0},5={xx=3左一1,左£N}贝（jZnB=（）

A.忆5}B.I"}c,{2,5,8}D.{-1,2,5,8）

【答案】A

【解析】由八W，一7》-8<0}可得/{x|-l<x<8},又3={7.3后-1,%阴={-1,2,5,8,...

，所以

4n3={2,5},

故选：A

24.(2023•甘肃定西•高三陇西县第一中学校考阶段练习)已知集合"=卜上=2左-1,%CZ},

B={x\x=4k+l,keZ}则()

A.A^}B=AB.A<JB=B

c8c(dN)=0D47«8)=0

【答案】C

[解析]N={x[x=2左一1,左ez}={x1x=4后+1,左eZ}u{x|x=4«—1,左eZ}

故8是A的真子集，

故4(")8=3,ADB=A,5c(.N)=0/c(a8)={x|x=4左一1,左eZ}片0

故A,B,D均错误，C正确.

故选：C.

25.(2023•海南省直辖县级单位•校考模拟预测)已知集合/=卜9一7x<。},8={小>4},

A<JB=()

A.0B.(47)C.(°，+劝D.(°<)

【答案】C

【解析】因为“邛7x<0}={x[0<x<7},”{小>4},

故/U8=(O,+℃)

故选：c.

26.(2023•云南昆明•高三昆明一中校考阶段练习)某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历

史两门学科的兴趣爱好情况，其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占90%,对物理感兴趣的占

56%,对历史感兴趣的占74%,则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例是()

A.70%B.56%C.40%D.30%

【答案】C

【解析】对物理感兴趣的同学占56%,对历史感兴趣的同学占74%,

这两组的比例数据都包含了既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学的比例，

设既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例为X,

则对物理或历史感兴趣的同学的比例是56%+74%一心

所以56%+74%—x=90%,

解得尤=40%,

故选：C.

27.(2023•全国•高三专题练习)我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用card(/)表示有限集合

A中元素的个数.例如，/=｛。，瓦可，则card(⑷=3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有/，用。三

类，那么，card(/U8UC)=

car(L4+card5+cardC-card(y4A-card(5AC)-cardClC)+card(^A5AC)某校初一四班学生人

寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游

泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？(教材阅读与思考改编)

()

A.2B.3C.4D.5

【答案】c

【解析】设集合4=｛参加足球队的学生｝,

集合3=｛参加排球队的学生｝,

集合C=｛参加游泳队的学生｝,

则card(/)=25,card(B)=22,card(C)24

cardCl=12,card(SQC)=8,cardClC)=9

设三项都参加的有x人,即card(/n3nc)=x,card(AUBUC)=46,

所以由cardU3UC)=car(L4+cardfi+cardC-card(/Cl8)-card(8ClC)-card(4ClC)+cardCl8ClC)

即46=25+22+24-12-8-9+%,

解得"4,

三项都参加的有4人，

故选：C.

一题型04以集合为载体的创新题

28.(2023•全国•高三专题练习)非空集合G关于运算㊉满足：(1)对任意的。，beG,都有

a@b^G.(2)存在eeG,都有a㊉e=e㊉a=a,则称G关于运算㊉为“融洽集，，.现给出下列集合和运

算：

①G=｛非负整数｝,㊉为整数的加法；②G=｛偶数｝,㊉为整数的乘法；

③G=｛平面向量｝,㊉为平面向量的加法；@G=｛二次三项式｝,㊉为多项式的加法.

其中G关于运算㊉为“融洽集”的是.(写出所有“融洽集”的序号)

【答案】①③

【解析】对于①，G=｛非负整数｝,㊉为整数的加法；

当。，台都为非负整数时，a,°通过加法运算还是非负整数，满足条件(1),

且存在一整数OeG有°+。=。+°=。，满足条件(2),

所以①为“融洽集”；

对于②，G=｛偶数｝,㊉为整数的乘法，

由于任意两个偶数的积仍是偶数，故满足条件(1),

但不存在偶数e,使得一个偶数与e的积仍是此偶数，故不满足条件(2),

故不满足“融洽集”的定义；

对于③，G=｛平面向量｝,㊉为平面向量的加法，

若2,B为平面向量，两平面向量相加仍然为平面向量，满足条件(1),

且存在零向量通过向量加法，满足条件(2),

所以③为“融洽集”；

对于④，G=｛二次三项式｝,㊉为多项式的加法，

由于两个二次三项式的和不一定是二次三项式，如。x'+bx+c与-办2-云+。的和为2c,不满足条件

(1),

故不满足“融洽集”的定义；

故答案为：①③

29.(2023•全国•高三对口高考)设尸和。是两个集合，定义集合，一°=卜及‘尸，且“',如果

P=｛x|log2x<l]<0=m=坨(-/+4尸3)｝,那么尸等于

【答案】｛x|O<xVl｝

【解析】不等式四2》<1解得0<x<2,则尸={x|log2X<l}={x[0<x<2上

由一公+4%一3>0,解得]<x<3,贝卢=如=—(_.+4A3)}={却<x<3},

所以尸一。=甸°<""}.

故答案为：国°<"1}

30.(2023•全国•高三对口高考)已知集合尸={4,5,6},0={1,2,3},定义

P㊉°={x|x=p_g,peP,”0,则集合尸㊉。的所有非空子集的个数为.

【答案】31

【解析】集合尸={45,6},2={1,2,3)；定义尸㊉^二任住二夕-见?右尸国^。},

则「㊉°=乩2,3,4,5},元素个数为5,

故集合尸㊉°的所有非空子集的个数为25-1=31.

故答案为：31

31.(2023•上海徐汇•统考三模)对任意数集”={%%，%},满足表达式为N=一x_i且值域为人

的函数个数为P.记所有可能的P的值组成集合3,则集合8中元素之和为.

【答案】643

]_1

2

【解析】y=3x+2x-l=(x+l)(3x-l)；当x<T或时，">0,当一时，”。，

1/I1、

_3,2](—00,—1),(—,+00)(一1,1)

即函数V=x+X-%—1在3上单调递增，在3上单调递减，

132

32X——----

当尸-1时，函数了=尤+x-XT取得极大值0,当3时，该函数取得极小值27,图象如图：

/\|。/x

观察图象知，当夕="«=1",3)与图像有一个公共点时，相应的x有1种取法；

当7("1,2,3)与图像有两个公共点时，相应的x有227=3种取法；

当>=%(，=1,2,3)与图像有三个公共点时，相应的x有23_1=7种取法，

直线7=%"==出与函数图象的交点个数可能的取值如下：

(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,3),(2,2,3),(2,3,3)(3,3,3),

对应的函数个数为L3,7,3X3,3X7JX7,3X3X7,3X7X7,7X7X7,

1+3+7+3x3+3x7+7x7+3x3x7+3x7x7+7x7x7=643

所以集合8中元素之和为643.

故答案为：643

32.(2023•全国•高三专题练习)如图所示，，8是非空集合，定义集合4@3为阴影部分所示的集

合.若x,yeR,^={x|0<x<2},B={y\y=?>x,x>0},贝［JN@8=.

【答案】QI]U(2,+8)

［解析］由题得台二。#00),所以/c5=(l,2］

由题得N@"d（/n8）ua（/n8）=[o,i]U（2,+co）

故答案为：[°1]U（2,+S）

33.（2023•全国•高三专题练习）若集合M至少含有两个元素（实数），且M中任意两个元素之差的绝

对值都大于2,则称"为“成功集合”，已知集合$=｛1，2,3,…」0｝,则S的子集中共有个“成功集

口•

【答案】49

【解析】设集合｛12…，〃｝（〃22）的子集中有见个成功集合，则出=%=0,%=1.对于"25时，可将满足

要求的子集分为两类：一类是含有〃的子集，去掉〃后剩下小于2的单元素子集或乩2,…,--3｝满足要

求的子集，前者有〃一3个，后者有。”一3个；

另一类是不含"的子集，即U2,…，〃-0满足要求的子集，有为，一个.

于是，«„=（«-3）+«„-3+«„->.从而根据递推关系得：%=3,&=6,%=11,1=19,佝=31,

%0=49.

故答案为：49

一题型05充分条件与必要条件

34.（2023•江苏淮安•高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）已知机wR,命题

p:VxeR,F-4x+2加20,命题q:加N3,贝i]P是1的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

[解析]P：VxeR,x2_4x+2〃？N0为真命题，则A=16—8加WO,^m>2,

由于｛相加22｝,所以P是4的必要不充分条件，

故选：B

35.（2022•浙江）设xwR,贝!1"sinx=1"是"cosx=0"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】sin2x+cos2x=1,

①当sinx=l时，则cosx=Q,.,.充分性成立,

②当cosx=0时，贝l|sinx=±l,.•.必要性不成立，

sinx=l是cosx=0的充分不必要条件，

故选：A.

36.（2022•天津）“x为整数”是“2x+l为整数”的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】A

【解析】x为整数时，2x+l也是整数，充分性成立；

2x+l为整数时，x不一定是整数，如》=工时，所以必要性不成立，是充分不必要条件.

2

故选：A.

37.（2022•北京）设｛4｝是公差不为0的无穷等差数列，则”｛4｝为递增数列”是“存在正整数乂，当

〃>或时，>0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】因为数列｛%｝是公差不为。的无穷等差数列，当｛%｝为递增数列时，公差d>0,

令=%+("-l)d>0,解得力>1-女，［1-幺］表示取整函数，

dd

所以存在正整数N0=l+［1-争，当〃>或时，4>0,充分性成立；

当"〉乂时，>0,则必要性成立；

是充分必要条件.

故选：C.

38.(2021•甲卷)等比数列出,｝的公比为q,前”项和为S,.设甲：q>0,乙：｛'｝是递增数列，则(

)

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【解析】若q=-1,q=l,则则｛S“｝是递减数列，不满足充分性；

i-q

则s“+i=F-

i-q

••・S,+「S,=:(q"-qZ)=4q"，

1一4

若｛S“｝是递增数列，

F-s”“>o,

贝!J%>0,q>Q,

二.满足必要性，

故甲是乙的必要条件但不是充分条件，

故选：B.

39.（2021•全国）设c,万是两个平面，直线/与c垂直的一个充分条件是（）

A.///夕且a_L尸B./_L分且a_L尸C./u尸且a_L尸D.11/3旦al1/3

【答案】D

【解析】A,当///月且a_L4时，贝l"_La或///&或/ua,错误，

B,当/_L夕且a_L尸时，贝l］///a或/uc,错误，

C,当/u/?且a_L/?时，则/_La或///a或/ua或/与c相交不垂直，错误，

D,当/_L尸且a///7时，贝二。正确，

故选：D.

40.（2023•天津北辰•高三校考阶段练习）已知。：°<尤<2,q：-l<x<3,则P是4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

［角军析］因为“0<%<2»n“一l<x<3”，“0<%<2”中“一1<%<3”，

所以，P是0的充分不必要条件.

故选：A.

tana-tana+—=5

41.（2023•河北石家庄•高三石家庄市第十八中学校考阶段练习）“tana=2，，是，，I”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

（兀、tana+1厂

tan。-tana+—=tana---------=5

［解析］由I4>Jana,

得tan"-5tana+6=（tana-2）（tana-3）=0,即tana=2或3,（经检验均为原分式方程的解），

（兀）

tana-tana+—=5

所以，，tana=2”是，，I”的充分不必要条件.

故选：A.

42.（2023•山东泰安•高三泰安一中校考阶段练习）的一个必要不充分条件为（）.

A.0<x<4B.0<x<2c,x<0D.x<4

【答案】D

【解析】显然A项是充要条件，不符合题意；

由，，0<x<2，，可推出，，0<x<4，，，即B项是充分条件，不符合题意；

“x<。”不能推出"°<x<4，，，反之"0<x<4，，也推不出“x<0，，，即C项为既不充分也不必要条件，不符合题

,A.

忌；

易知（°'4）真包含于（-00M）,所以“0<x<4”的一个必要不充分条件为“X<4”，

故选：D.

p:―<x<l;q:a<x<a+1

43.(2023•河北承德•高三承德市双滦区实验中学校考阶段练习)设2，若0是

P的必要不充分条件，则实数。的取值范围是()

【答案】D

1,

P：—<X<1,/1C

【解析】因为2,+又0是p的必要不充分条件，

[«<1

-21

Z7I1>10WW—

所以〔"+121,解得2,经检验满足题意.

故选：D.

44.(2023•四川广安•高三四川省广安友谊中学校考阶段练习)已知条件p：(%一优)(》一加一3)>°；条件

q：X2+3X-4<0,若g是p的充分不必要条件，则实数加的取值范围是()

A(-<»,-7)U(l,+<»)B0,+℃)

C.(-7,1)D.[-7』

【答案】B

【解析】由g：X2+3X-4<0,得-4<X<1,

由m(x-m)(x-w-3)>0；得x<加或x>:〃+3,

因为q是p的充分不必要条件，

所以m+3W-4或相21,

解得me(ro,-7]U[L+oo)

故选：B

■JM瞿06全称量词与存在量词

33.（2023•河北石家庄•高三石家庄市第十八中学校考阶段练习）已知命题?：水€（1,2）1>1皿，则夕的

否定为.

［容案］Vz€（1,2）,Z2<In/

【解析】因为命题。:土e。，2）/>1皿,

所以“："e（l,2）,『Vint

故答案为："e（l，2）/<ln/

34.（2023•山东泰安•高三新泰市第一中学校