高考数学专项复习：函数的单调性、极值与最值【七大题型】

专题3.2函数的单调性、极值与最值【七大题型】

【新高考专用】

►热点题型梳理

【题型1利用导数判断单调性、求单调区间】....................................................2

【题型2由函数的单调性求参数】..............................................................3

【题型3利用导数求函数的极值（点）】........................................................3

【题型4根据极值（点）求参数】..............................................................4

【题型5利用导数求函数的最值】..............................................................4

【题型6已知函数最值求参数】.................................................................5

【题型7函数单调性、极值与最值的综合应用】..................................................5

►命题规律

1、函数的单调性、极值与最值

导数与函数是高中数学的核心内容，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，高考中常涉

及的问题有利用导数解决函数的单调性、极值和最值等；与不等式、方程的根（或函数的零点）等内容结合

考查，此类问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问题在选择、填空、解答题中都有考查，

而在解答题中进行考查时试题难度较大.

►知识梳理

【知识点1导数中函数单调性问题的解题策略】

1.确定函数单调区间的步骤；

（1）确定函数作）的定义域；

⑵求了（x）;

（3）解不等式f（x）＞0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;

(4)解不等式f(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.

2.含参函数的单调性的解题策略：

(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因

式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.

3.根据函数单调性求参数的一般思路：

(1)利用集合间的包含关系处理：》=/□)在(。,6)上单调，则区间(。力)是相应单调区间的子集.

(2&)为增(减)函数的充要条件是对任意的在(°力)都有/(x巨0(/(*0),且在Q6)内的任一非空子区间

上，/(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.

(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.

【知识点2函数的极值与最值问题的解题思路】

1.运用导数求函数於)极值的一般步骤：

(1)确定函数於)的定义域；

(2)求导数/(x)；

(3)解方程/(x尸0,求出函数定义域内的所有根；

(4)列表检验/(x)在/(x)=0的根%o左右两侧值的符号；

(5)求出极值.

2.根据函数极值求参数的一般思路：

已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方

程组，利用待定系数法求解.

3.利用导数求函数最值的解题策略：

⑴利用导数求函数Ax)在用上的最值的一般步骤：

①求函数在(a,b)内的极值；

②求函数在区间端点处的函数值八0),»；

③将函数人x)的各极值与人。)，人为比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤:

求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性

和

极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.

►举一反三

【题型1利用导数判断单调性、求单调区间】

【例1】（2023•江西鹰潭・贵溪市实验中学校考模拟预测）函数y=-7+lnx的单调递增区间为（）

A.Q,e）B.（0,e）C.伍D.（。忘）

【变式1-1］（2023•辽宁鞍山•鞍山一中校考二模）下列函数中，既是偶函数又在（0,+8）上单调递增的函

数是（）

A./(%)=xlnxB./(%)=In(-％+J。+0

C.f（x）=ex+e_xD.f（x）=ex-e~x

【变式1・2】（2023・上海静安・统考二模）函数y=久也%（）

A.严格增函数

B.在（0）上是严格增函数，在（3+8）上是严格减函数

C.严格减函数

D.在（0。上是严格减函数，在（：,+8）上是严格增函数

【变式1-3］（2023•全国•模拟预测）已知函数"x）=ln（x-2）+ln（4-x）,则/'（x）的单调递增区间为

（）

A.（2,3）B.（3⑷C.（-8,3）D.（3,+8）

【题型2由函数的单调性求参数】

【例2】（2023•广西玉林•统考二模）若函数/（X）={ax+1）『在［1,2］上为增函数，则a的取值范围是

)

A.[4+8）B.[4+8）

C.[-1+8）D.[0,+oo）

X21

【变式2-1]（2023•宁夏银川•银川一中校考三模）若函数f（x）=5-lnx在区间（血即+目）上不单调，则实

数优的取值范围为（）

22

A.0<m<B.^<m<l

2

C.3<m<1D.m>l

【变式2-2]（2023下•重庆•高二校联考期中）若函数/O）=久之-alnx-比-2023（a6R）在区间[1,+8）上

单调递增，贝la的取值范围是（）

A.（-oo,l）B.（-oo,l]C.（-D.（-oo,-

【变式2-3]（2023•全国•模拟预测）已知函数9（0=当?-1!1（2久-1）在[1,+8）上单调递减，则实数0

的取值范围是（）

A.（-oo,4]B.[-oo,y]C.（4,y]D.（-8,6]

【题型3利用导数求函数的极值（点）】

【例3】（2023•全国•模拟预测）函数/（x）=2x-tanx-ir在区间（-弱的极大值、极小值分别为（）

ITTCK31T

A.'+1,一]+1B.-2+一彳+1

311nH3TE

C.H-1,-]+lD.——1,—彳+1

【变式3-1]（2023・河南洛阳•校联考模拟预测）已知函数“外及其导函数/（X）的定义域均为R,且/（0

（%）=%2e2x,f（O）=0,则/'（x）（J

A.有一个极小值点，一个极大值点B.有两个极小值点，一个极大值点

C.最多有一个极小值点，无极大值点D.最多有一个极大值点，无极小值点

【变式3-2]（2023・河北•模拟预测）若函数f（久）=5也%-。且，则f（久）极值点的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【变式3-3]（2023•河南・统考三模）已知函数fQ）=/lnx,则下列结论正确的是（）

A./（x）在％处得到极大值B./（x）在％=加处得到极大值：

C.f（久）在*处得到极小值D./（%）在工=加处得到极小值g

【题型4根据极值（点）求参数】

]n%

【例4】（2023•贵州遵义统考三模）已知函数+丁+1在％=1处取得极值0,则a+b=（）

A.-1B.0C.1D.2

【变式4-1]（2023•陕西商洛・统考三模）若函数/（%）=：+Q%2+Q+6）%无极值，贝心的取值范围为

（）

A.[-3,6]B.（-3,6）

C.（一8,-3]U[6,+8）D.（一8,-3）U（6,+8）

【变式4-2]（2023•四川绵阳•统考一模）若函数y=cos（3久+：）（3>0）在区间（->））上恰有唯一极值

点，则3的取值范围为（）

A.惊]B.（|）|]C,（|）|]D,（|1）

【变式4-3]（2023•高二课时练习）已知函数/0）=久3+（1久2+（£1+6）%+1有极大值和极小值，则°的取

值范围是（）

A.-1<a<2B.口<-3或。>6C.-3<a<6D.a<-1或a>2

【题型5利用导数求函数的最值】

【例5】（2023・四川绵阳•三台中学校考模拟预测）当％=2时，函数/（%）=/+6/-12刀取得极值，则/

G）在区间[-4,4]上的最大值为（）

A.8B.12C.16D.32

【变式5-1］（2023•广西玉林•校联考模拟预测）己知正实数x,y满足y/=lnx-lny,则四皆+lny的最

大值为（）

A.-1B.0C.1D.2

【变式5-2］（2023•江西赣州•南康中学校联考模拟预测）已知函数外幻=e2x-2tex+1+（e2+l）t2-2tln

x+（lnx）2,tER,则函数fCr）的最小值为（）

11e22e2

A.4B.2C.2D.2

ee2+le+1e+1

【变式5-3】（2023•陕西汉中•统考一模）设定义在R上的函数/（外满足/（幻+外幻=3/0-=且/（0）=0

,则下列结论正确的是（）

A./（%）在R上单调递减B./G）在R上单调递增

C./（%）在R上有最大值D./（x）在R上有最小值

【题型6已知函数最值求参数】

【例6】（2023•广西•统考模拟预测）已知函数/（x）=lnx+ax存在最大值0,贝b的值为（）

1

A.-2B.C.1D.e

【变式6-1】（2023・四川宜宾・统考三模）若函数“式）=［（：-3皿）：-22'”：°的最小值是-2,则实数m的取

I2x-3%,%>0

值范围是（）

A.m<0B.m<0C.m>0D.m>0

la7

【变式6-2］（2023,上海松江•统考二模）已知函数y=/-%-3x+a,aER,在区间（t-32+5）上有

最大值，则实数f的取值范围是（)

A.-6<t<0B.-6<t<0

C•—6<t<2D.-6<t<2

【变式6-3](2023•高二课时练习)已知函数/(久)=/+%3+缶-3)久+1在区间(0,1)上有最小值，则实

数。的取值范围是()

A.(e2)B.(-e,1-e)C.(1,2)D.(-oo,l-e)

【题型7函数单调性、极值与最值的综合应用】

sinx'

【例7】(2023•全国•模拟预测)已知函数/(%)=—+acosx(aER)/(%)为函数/(%)的导函数.

e

⑴若2,讨论/(%)在(0,2冗)上的单调性；

(2)若函数g(%)=/(%)+/(%),且g(%)在(Oji)内有唯一的极大值，求实数Q的取值范围.

【变式7-1](2023•吉林•统考一模)已知函数/(%)=e"+znsin%.

(1)若函数/(%)在(0m)上单调递增，求正实数m的取值范围；

(2)求证：当租=1时，/(%)在(-71,+8)上存在唯一极小值点％0,且-

【变式7-2](2023•吉林长春•东北师大附中校考二模)已知函数/(汽)=mxe~x+x-\nx(mGR).

⑴讨论函数/G)的极值点个数；

(2)若m>0,/(%)的最小值是1+Inm,求实数租的取值范围.

【变式7-3](2023•陕西汉中•校联考模拟预测)已知函数八幻=汨11%-亚1/7，其中a^R.

(1)若a=l,求/(久)的单调区间；

(2)若八久)恰有2个不同的极值点，求a的取值范围；

(3)若f(x)恰有2个不同的零点，求a的取值范围.

1.(2023•全国•统考高考真题)函数f(x)=d+以+2存在3个零点，则a的取值范围是()

A.(-oo,-2)B.(-8,-3)C.(-4,-1)D.(-3,0)

2.(2023•全国•统考高考真题)己知函数/(K)=。丁_也久在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为

().

2-1-2

A.eB.eC.eD.e

3.(2023•全国•统考高考真题)已知函数/(%)的定义域为凡/(%y)=,则().

A./(O)=0B./(I)=0

C./(%)是偶函数D.%=0为f(%)的极小值点

4.（2023・全国・统考高考真题）若函数八支）=山!1乂+:+5（£170）既有极大值也有极小值，则（）.

入X

2

A.b