高考数学专项复习：复数（选填题10种考法）（解析版）

专题02复数(选填题10种考法)

考法解读

(―定义一形如a+8i(a,8dR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2=­l.

走余方注复数通常用字母z表示，即z=a+bi(H,力£R),

衣不力佑其中〃叫做复数z的实部，加U做复数z的虚部.

佚数5=0,

,—分类由砧［纯虚数a=0.

虚数"0L匕价诙制,

排纯虚数产01

型▽_两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，

正乂一这两个复数叫做互为共拆复数(实同虚反)

共趣

复数

复{表示一，z的共枕复数用Z表示，即若z=a+bKa,46R).则:=a-bi

数

的

管*fr*日笺设a,b,c,d都是实数，则Ja+bi=c+di0a=c且b=d,

概要数相管a+bi=00a=b=0

念

复平面

f①复数z=a+历(a,6GR)二宜平面内的点Z(a,b)

几何意义

②复数2=a+bi(a,—R).一甲应-平面向量位.

定义一向量方的模叫做复数z=a+5i(a,HR)的模或fe对值

J模长记作—复数：=a+bi的模记为团或|a+b”

公式一~|z|=|a+6i|=V02

典例剖析

考法一复数的实部与虚部考法六复数的分类

考法二共辗复数考法七在复数的范围内解方程

考法三相等复数考法八与复数相关的轨迹

考法四复数的模长考法九最值

考法五在复平面对应的象限考法十复数的综合运用

考法一复数的实部与虚部

【例1-1】（2023•贵州遵义•统考模拟预测）若复数z满足z«T=2+3i,则复数z的虚部是（）

11.55

------1——1

A.2B.2C.2D.2

【答案】C

z_2+3i_(2+3i)(l+i)_2+2i+3i+3i?_-l+5i5

2

【解析】(i)(l+i)2,故复数z的虚部是5.故选：C

【例1-2】（2023・贵州毕节•校考模拟预测）已知z=（l-i）（"+i）,若z的虚部等于实部的两倍，则实数。

（）

]_」

A.3B.-3C.3D.3

【答案】D

【解析】因为z=(lf(a+i)=a+i-aJ『=(a+l)+(l-a)i

又z的虚部等于实部的两倍，所以1一"=2（。+1）,解得“一一3.故选：D

【变式】

1.（2023•河南•校联考模拟预测）若复数z满足（l-2i”=lO-5i,贝1的虚部为（）

A.-3B.3C.3iD.4

【答案】B

【解析】因为°一万）2=10",

10-5i_(10-5i)(l+2i)

Z==(2-i)(l+2i)=2+4i-i-2i2=4+3i

l-2i-(l-2i)(l+2i)

所以

所以z的虚部为3.

故选：B.

2.（2023•辽宁鞍山•鞍山一中校考二模）若i是虚数单位，则复数2=产,（2一玉）的虚部等于（）

A.2B.-2C.2iD.-2i

【答案】B

4x504+3

【解析】z=泮'9•Q-劣）=i.（2-3i）=-i（2-3i）=-3-2i；

■■■复数z的虚部等于-2.

故选：B.

]

3（2023•河南•长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知复数z=l-i,则z?+2z的实部为（）

J__J_]_]_

A.10B.10C.5D.5

【答案】A

【解析】：因为z=l-i,所以z2+2z=(l-iy+2(l-i)=2-4i,

112+4i2+4i11,i1

___________________________________।__ji上

所以z?+2z2-4i(2-4i)(2+4i)20105；所以z?+2z的实部为10.故选:A.

i-2023

1—1

4.(2023•福建宁德•校考模拟预测)设aeR,若复数括的虚部为3(其中i为虚数单位)，则。=

()

_j_J_

A.3B.-3c.3D.3

【答案】A

%0+i)iT+i_li

【解析】复数山-aaa,

1c1

——3a=—

因为其虚部为3,所以a,可得3.故选：A.

考法二共朝复数

2-(--------)

【例2-2】(2023•陕西西安•统考一模)复数Ji的共轨复数为()

A.-2iB.-4iC.2iD.4i

【答案】C

2

z=[.2i(l+i)『=(_1+i)2=_2i_z=(—)

【解析】(1T)(1+D,贝V=2i,所以复数l-i的共轨复数为2i.故选：C

【例2-3】(2023•全国•唐山市第十一中学校考模拟预测)已知复数z满足z-2zi-3+i=0,贝”的共辗复数

Z=()

1.1,

—+1——1

A.1+iB.l-iC.5D.5

【答案】B

【解析】由z-22i-3+i=0,得l-2i(1-21)(1+21)5,所以彳=l-i.故选：B

【变式】

2+i

Z-~~2—一

1.（2023•全国•统考高考真题）设1+1+1,贝厂=()

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【答案】B

2+i2+ii(2+i)2i-l,

z=-----------------=---------=----------=-------=1一

【解析】由题意可得1+尸+『1-1+ii2-1

则2=1+2.

故选：B.

1-i

Z——

2.(2023•全国•统考高考真题)已知2+2i,则z-z=()

A.-1B.1C.0D.1

【答案】A

1_(TOT/J)-1.

Z=

2+2i2(l+i)(l-i)42,所以z=

【解析】因为即z-z=-i

故选：A.

Z

3.(2022•全国•统考高考真题)若z=-l+Ki,则应-1()

1V3,1V3.

A.T+/B.T-百iC.3+31D.331

【答案】C

[解析1彳=-1一V3i,zz=(-1+>/3i)(-l-VJi)=1+3=4.

z-1+V3i1V3.

---------------———1——]

无一1333故选：c

考法三相等复数

---=1+2i

【例3-1】(2023•新疆•统考三模)已知1-山，其中aeR,i为虚数单位，则。=()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】D

【解析】工=J?：则5=(l+2i)(-i)=(l+2a)+(2一咪

11+2。=5

贝解得”2,故选：D.

【例3-2】(2023•甘肃金昌•永昌县第一高级中学统考模拟预测)若复数z满足z+2』=2+i,其中i为虚数单

位，贝”=()

2.2.

—i—F1

A.3-2iB.2+3ic.3D.3

【答案】C

【解析】设复数2='+负，则z=x—i("wR),

—%—2_

贝ljz+2z=x+yi+2x-2yi=3x-yi=2+i,贝।3,>=一1,

2.

z=——1

所以3.

故选：C.

【变式】

ai.

---=—b7—1

1.(2023•海南海口•海南华侨中学校考模拟预测)设1+为，其中。，°为实数，则()

A.〃二-5,b=2B.4=5,b=-2

C.a=5fb=2□a=-5fb=-2

【答案】A

2=0

【解析】■"i=（H“（l+2i）=（b-2）+（26+l）i,..j26+l=-a,：上=2,a=-5.

故选：A

2.（2023•全国•统考高考真题）设aeR,（a+i）（l-ai）=2,,则°=（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】因为S+i）（lii）="/i+i+a=2“+（l-/）i=2,

J2a=2

所以解得：故选：c

3.（2022•浙江•统考高考真题）已知./€&。+至=（6+顼（］为虚数单位）,则（）

A.Q=l,b=-3B.a=T,6=3Qa=—l,b=-3DQ=1,6=3

【答案】B

【解析】a+3i=-l+6i,而。，6为实数，故。=-1,6=3,

故选：B.

考法四复数的模长

【例4-1】（2022•北京•统考高考真题）若复数z满足i-z=3-4i,则目=（）

A.1B.5C.7D.25

【答案】B

=3-4i_(3-4i)(-i)=___________

【解析】由题意有i「㈠)\故⑶/(-4『+(-3丫=5.

故选：B.

【例4-2工(2023•全国•统考高考真题)R+'+2J|=()

A.1B.2C.加D.5

【答案】C

【解析】由题意可得2+i?+2i3=2-l-2i=l-2i,则1+'+2斗="2i|="+(一2丫=:.故选:仁

【变式】

1.(2023・湖北武汉•华中师大一附中校考模拟预测)若2-z=zi,则归+q=()

A.1B.2C.及D.石

【答案】D

2,.

z——--1—1_

【解析】2—z=zi,则1+i,有z=l+i,

|z+i|=|1+2i|=Vl2+22=#)

故选：D

2.(2023・河南•校联考模拟预测)已知1+i一；，则同=().

V2

A.6B.2C.2D.1

【答案】C

［解析］由币一1一；」+1,得z=（l+i『=2i,

则彳=-2i,所以团=2.

故选：C.

3（2023・湖北黄冈・统考模拟预测）若复数2=l-i+i2-i3+-+i2°22-i2023,贝।|z卜（）

A.0B.夜C.1D.2

【答案】A

6

...2.3.2。22-2。231一I广1一产1一（1广八

【解析】IT1+i1+i,

故选：A

考法五在复平面对应的象限

【例5-1】（2023・河南•校联考模拟预测）若复数z满足（l-i"=（2-i）2,则z在复平面内对应的点位于

（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

2

-_（2-0（3-4i）（l+i）_71

—oZ—------------------------------—------1

【解析】由（1"=（2T）,可得—（f（l+i）22,

z=z+匕

所以z-^十2:故z在复平面内对应的点位于第一象限.

故选：A.

-2+ai

z=--------

【例5-2】（2023•河北秦皇岛•校联考模拟预测）复数2+i在复平面内对应的点位于第二象限，则实数

。的范围为（）

A.（-°°，-4）U（l,+8）B.（-oo,-l）u（4,+oo）

C.（T，4）D.Il）

【答案】C

z=-2±£i=（-2+ai）（2-i）=£-4+2±2^.

【解析】由2+1（2+D（2T）55,

i<o

<5

复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则［5,解得一1<。<4,故选：C.

【变式】

1.（2023•全国•统考高考真题）在复平面内，（1+犯（37）对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】因为。+3。（3-i）=3+8i-3，=6+8i,

则所求复数对应的点为（6,8）,位于第一象限.

故选：A.

2.（2023•河南郑州•统考模拟预测）已知Z=（"I）"+（3T）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数加

的取值范围是（）

(T1)

A.B.(T3)

(1,+°°)(-oo,-3)

c.D.

【答案】A

【解析】将z=0+i）s+（3T整理化简可得2=加+3+（吁5,

所以复数z在复平面内对应的点坐标为（加+3,加-1）,

J加+3>0

由点位于第四象限可得1机T<0,解得一3<加<1,

所以实数优的取值范围是（一31）.

故选：A

_3+tzi

3.（2023•河南开封•统考三模）（百"是"复数2+i（i为虚数单位）在复平面上对应的点在第四象

限”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

3+ai6+Q+（2Q-3）i

【解析】因为z-。一5

又复数z在复平面内所对应的点在第四象限,

J6+Q>03

所以自一3<0,解得-6<4</,

瓜-6<«<2

因此.<13是2必要不充分条件,

故选：B

考法六复数的分类

【例6-1】(2023•河南•校联考模拟预测)若复数z=(l+D(l+°i)为纯虚数(aeR),则匕+"=()

A.5B.2C.小D.戈

【答案】C

【解析】由题意，。©口，

在z=(l+i)(l+oi)中z=l-〃+(a+l)i

vz为纯虚数，

...1-。=0,。+1W0,解得：。=1,

...z=2i"z+l|=|l+2i|=1^=囱，

故选：C.

【例6-2】(2023•河南信阳•信阳高中校考模拟预测)已知aeR,复数z="+2i,z?-2z是实数，则日二

()

A.5B.10C.#1D.晒

【答案】C

［解析］z2-2z=(a+2i)2-2(a+2i)=q2_4+4ai-2(a+2i)=/_2a_4+(4a_4)ieR,故40_4=0,解

得。=1,故目=一.

故选：C

【变式】

L(2023•浙江嘉兴•统考模拟预测)复数z="2+“+("2—0)i为纯虚数，则实数。的值是()

A.-1B.1C.0或-1D.0或1

【答案】A

【解析】因为复数'=为纯虚数，

[a2+a=0

所以1力-"2°,解得：«=

故选：A.

(3+i)(a+2i)

2.(2023•山西运城・山西省运城中学校校考二模)已知i为虚数单位，若1+i为实数，则实数。=

()

A.-1B.4C.2D.-2

【答案】B

(3+i)(a+2i)_3a-2+(6+a)i=[(3a-2)+(6+a)i](l-i)_(3。-2+6+a)+(6+a-3a+2)i

【解析】1+i1+i(l+i)(l-i)-2

=(2a+2)+(4-a)i,

(3+i)(a+2i)

要使1+i为实数，需满足4=0,所以。=4.

故选：B.

—2+tzi

z----------

3.(2023•河南,统考三模)复数2+i纯虚数，则实数。的值为()

A.-4B.-1C.4D.1

【答案】C

-2+ai(-2+m)(2-i)(a—4)+2(a+l)i

z-------=------------=--------------

［解析］2+i(2+i)(2-i)5为纯虚数，

fa-4=0

所以+,故a=4.故选：c

考法七在复数的范围内解方程

【例7-1】(2023・山东济南•统考三模)已知复数4/2是关于X的方程x-2x+3=°的两根，则z-的值为

()

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】D

【解析】解法一：由xJ2x+3=0,得4=1+",二2=1-"，

所以2=(1+行i)(l-Ci)=3；

3、

、平2=一=3

解法二：方程X2-2X+3=0,由韦达定理可得-1.

故选：D

【例7-2】(2023•河南•统考模拟预测)已知加，〃为实数，IT(i为虚数单位)是关于x的方程

尤2-〃JX+〃=0的一个根，则〃?+〃=()

A.0B.1C.2D.4

【答案】D

【解析】由l-i是关于无的方程--7加+"=°的一个根，

则1+i是关于*的方程x2-mx+n=0的一个根，

则加=]_j+]+i=2,〃=（l_i）x（l+i）=2,

即%=2,"=2,则加+〃=4,故选：D.

【变式】

1.（2023・重庆,统考三模）设马，马是方程x2+x+l=°在复数范围内的两个解，则（）

|z]-z2|=V2B,闵=0JZ]+Zz=l口,z：=z：=l

【答案】D

-1±Gi

[解析]由方程/+x+l=0得A=l_4=_3<0,由求根公式得根为2,

1V3.13

z}=------1---1z9=-------1

不妨设22,'22

pt—z2|=15/3i|=>/3

A错误;

目2

㈤」+乌2=1

11122J

，B错误;

Z+Z2=T,c错误;

令d-]=（X-I），+1+1）=0,得1_]=0或12+1+]=0,

所以4,Z2也是方程1=0的两个根，所以D正确.

故选：D.

2.（2023•辽宁沈阳・沈阳市第一二O中学校考模拟预测）已知2-i（i是虚数单位）是关于工的方程

%2+bx+c=0S,c£R）的一个根，贝|6+。=（）

A.9B.1C.一7D.2i-5

【答案】B

【解析】己知2-i（i是虚数单位）是关于%的方程/+6x+c=0（仇ceR）的一个根，

13+26+。=0

贝ijQ—i）2+6（2―i）+c=0,即4—4i-l+26—bi+c=0,gp[-4-6=0,

JZ?=-4

解得5,故b+c=l.

故选：B.

3.（2023•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）已知方程/+S+i）x+4+ai=0（。eR）有实根%

且z=a+6i,则复数z等于（）

A.2—2iB.2+2iC.-2+2iD.一2—2i

【答案】A

【解析】由6是方程f+（4+i）x+4+H=0（awR））的根可得〃+（4+通+4+而=0,

[b+a=Q（a=2

整理可得：伍+"“+W+46+4）=0,所以b+46+4=0,解得卜=-2,

所以z=2-2i.故选：A

考法八与复数相关的轨迹

【例8】.(2023•河北沧州•校考三模)设复数z满足匕-1+卜2,z在复平面内对应的点为(乐力，则

()

2

A(x+l)+(y-l『=4B(x+l『+(y+l)2=4

22

C.(xTy+(yT)2=4D.(X-1)+(7+1)=4

【答案】D

【解析】复数z满足Z…川…R）,则卜-1+（>1川=2一..（1）。（了+1）2=4,故选:D

【变式】

1.（2023・辽宁锦州•统考模拟预测）已知复数z=a+6i（a，beR,i为虚数单位）,z2为纯虚数，则在复平面

内，z对应的点Z的轨迹为（）

A.圆B.一条线段C.两条直线D.不含端点的4条射线

【答案】D

【解析】由题意可知，复数2=。+历在复平面内对应的点Z（aS）,

2=(Q+bi1=a?+2abi+(bi?=a2-b2+2abi

所以

[a2-b2=0

因为Z?为纯虚数，所以出底。，解得a=bwo或a=-6wo,

故在复平面内，z对应的点Z的轨迹为不含端点的4条射线.故选：D.

2.（2023•陕西西安・西安市大明宫中学校考模拟预测）已知复数z满足b+2i|=3,z在复平面内对应的点为

（“）,则（）

A.（X-2）2+/=9B.（X+2>+/=9

c.£+3+2）2=9D/+3-2）2=9

【答案】C

【解析】因为Iz+2i|=3,可知复数z在复平面内对应的点为（x，V）到点（°，—2）的距离为3,

则正+(y+2)2=3,即x?+(y+2)2=9

故选：c.

3.(2023•江苏扬州•统考模拟预测)复数2=x+W(XJeR』为虚数单位)在复平面内对应点Z(xj),则

下列为真命题的是().

A.若1z+l|=|z-l],则点Z在圆上

B.若|z+l|+|z-l|=2,则点Z在椭圆上

C.若1z+l|一|zT|=2,则点Z在双曲线上

D.若I尤+1|=匕-1|,则点Z在抛物线上

【答案】D

[解析]lZ+1l=加+丁+/表示点J/)与(T0)之间的距离，

卜T|=而-I)，+)表示点(x,y)与(1,0)之间的距离,记片(TO),I。，。),

对于A,匕+[=匕-1,表示点Z(x,y)到耳、巴距离相等，则点Z在线段耳巴的中垂线上，故A错误；

或由(x+l)2+/=(I)2+/,整理得x=0,所以点Z在x=0,故A错误；

对于B,由b+l|+1z-l|=2得忆闻+区用=阳闾=2,这不符合椭圆定义，故B错误；

对于C,若1z+lHz-l|=2,|Z闻.|Z用=由与|=2,这不符合双曲线定义，故c错误；

对于D,若Ix+gz-1|,则(x+l)2=(x-iy+/,整理得F=4X,为抛物线，故D正确.

故选：D.

考法九最值

【例9-1】(2023•河南•校联考模拟预测)已知且㈤=1,^zl+z2=i则㈤的最大值是()

A.5B.4C.3D.2

【答案】D

【解析】设4=a+biMbeR,

因为㈤=1,故/+〃=1,*1,1]

因为4+z2=i,所以Z2=_a+（>b）i,

故㈤=卜a+（1-6川=+（1-6）2=yja2+b2-2b+l=<2-2b,be[-1,1]

当6=T时，㈤有最大值为2.故选：D.

【变式】

1.（2023•全国•高三专题练习）已知复数z满足1z-"+|z+l[=4,贝i]|z|的取值范围为（）

A.[°」B.[2,3]c,[1,V3]D.[百，4

【答案】D

【解析】复数z满足|ZT+|Z+1]=4,

则复数z对应的点的轨迹为以（T，°），（1，°）为焦点，长轴长2。=4的椭圆，

则椭圆短半轴长为6=,2?-1?=百,椭圆方程为4+3-，

表示椭圆上的点到原点的距离，

当点位于椭圆长轴上的顶点时，上|取值大值2；

当点位于椭圆短轴上的顶点时，取值小值百；

故⑶的取值范围为[6，2],

故选：D

2.（2023秋•四川遂宁,高二射洪中学校考阶段练习）己知复数z满足2+3igz-i|,则匕+l+2i|的最小值

为（）

A.1B.3C.百D.6

【答案】A

【解析】设复数z在复平面内对应的点为Z,

因为复数z满足匕+3gz-i|,

所以由复数的几何意义可知，点Z到点（°，一3）和（0』）的距离相等，

所以在复平面内点Z的轨迹为＞=T,

又上+1+2i|表示点%到点（-1，-2）的距离，

所以问题转化为V=T上的动点z到定点（T，-2）距离的最小值，

当Z为（T，T）时，到定点（一1，一2）的距离最小，最小值为1,

所以匕+1+的的最小值为1,故选:人.

3.（2023•上海•统考模拟预测）设eC且4=i%,满足卜-1|=1,则归一z?|的取值范围为

【答案】［。2+伺

【解析】设4=。+从/2=c+%,a,6,c,deR,

z2=c-di则a+bi=i=d+ci

a=d

所以b=c

匕T|=|（aT）+同=，（"1『+必=1,所以（。一1丫+/=1,

即4对应点（”力）在以°，°）为圆心，半径为1的圆J一方+必=1上.

Z2=c+di=6+ai,Z?对应点为（“。），

（"⑼与（仇"）关于＞=x对称，

所以点色“）在以（°』）为圆心，半径为1的圆x2+（yT『=i上，

上一句|表示（。，与与他⑷两点间的距离，

圆—1）一+/=1与圆x2+（y_l）2=l相交，圆心距为0,如图所示,

所以归的最小值为0,最大值为亚+1+1=2+收，

所以归T2I的取值范围为［°，2+收】

故答案为:［。,2+伺

考法十复数的综合运用

【例10】（2023秋•辽宁•高三东北育才学校校联考开学考试）（多选）设复数句/2/3,且ZE’O,其中句为

确定的复数，下列说法正确的是（）.

A.若2色=团［则a+z2是实数

B.若y2=团，则存在唯一实数对S，6）使得23=叼+她

C.若Z1Z3+&3鼻=°,则Z3在复平面内对应的点的轨迹是射线

之2-Z3<]

D.若㈤+匕3|<1,则1-Z2Z3

【答案】ACD

【解析】对于A中，若平2=㈤，因为ZRNO,则ZE=k「=z/\可得Z2=4,

设…+杭…R,则Z|+Z2=z+0=2meR,所以A正确;

对于B中，由A得Z2=Z|,设4=机+疝，加,“eR,若23=%+历2,

则Z3=az1+bzx=a(jn+ni)+b(m-ni)=(a+b)+(a-b)n\

只要根=°或〃=O,选项B就不正确;

例如：Z[=〃i(〃HO,〃eR),此时Z2=Z]=fi

Z3=5〃i可表示为Z3=5"i=4"i+i=44-Z2或Z3=5〃i=6"i-i=64+z?,

所以表示方法不唯一，所以B错误.

z1z3+|z3zl|=O>则平3+忆闵=0,可得㈤k|=，Z3eR

对于C中，若

则㈤同=一2，0,所以Z34eR且z31Vo

ttz,tt

—八Z3===-==f-pZl=tZ\"=「下4°

设Z3Z]=/«0,则4Z]Z||zj,其中㈤

则复数Z3对应的向量与复数为对应的向量方向共线，且长度是同倍,

故Z3在复平面内对应的点的轨迹是射线（且与04方向共线），所以c正确.

对于D中,若㈤+团<1,可得团-1<-团<0,同理忆|-1<0,

z?-Z3<]

由I-Z2Z3,即"-Z3|<|1-Z2Z3],可得(Z2-Z3)(Z2-Z3)<(1-Z2Z3)(1-Z2Z3)

即Z]Z[+Z3Z3—(Z2Z3+Z2Z3)<1+Z2Z好3Z3一(Z2Z3+Z2Z3)

ZZ+ZZzZZZZ

gp2233<1+2233,即卜2|+阂<l+|z2|\}\(

即(㈤T)(㈤T)>0,

因为匕2|-1<。，匕31T<0,所以(匕2|-1)(|23|-1)>。成立，

所以1-Z2Z3成立，所以D正确.

故选：ACD.

【变式】

1.（2023秋•辽宁抚顺）（多选）若复数z在复平面内对应的点为Z,则下列说法正确的是（

A.若z（i7）二,必-1,则Z在第二象限

B.若z为纯虚数，则Z在虚轴上

C.若忖43,则点Z的集合所构成的图形的面积为6兀

D.若马，Z2互为共轨复数，则句4是实数

【答案】BD

-i-1i+1（1+i）2.

【解析】对于A项，因为z"T）=i-I""'则11-i2,

所以Z（°，l）在坐标轴上，故A项错误;

对于B项，若z为纯虚数，则z=6i（6#0）,则Z（O,b）（6x0）在虚轴上，故B项正确；

对于C项，设z=a+6i（a,beR）,因为忖43,所以必寿43,即

则点Z的集合所构成的图形是圆心为（0，°）,半径为3的圆及其内部，

所以点Z的集合所构成的图形面积为乎x兀=9兀，故c项错误；

对于D项,设…+历叱"则z?="历，所以为七=（°+历）（"历）=/+〃eR,故0项正确

故选：BD.

2.（2023春・河北石家庄）（多选）下列命题中正确的是（）

A.若x+yi=2+2i（x/eR）,则x=y=2

B.若复数4/2满足z；+z；=0,则4=Z2=0

C.若Iz『=z2,则复数z一定为实数

D.若复数z满足则Iz|最大值为亚+1

【答案】ACD

【解析】A选项，由于x+yi=2+2i（x,yeR）,

根据复数相等的知识可知*=V=2,A选项正确.

B选项，若4=5=1,则z；+z；=O,但Z]*Z2,B选项错误.

C选项，设2=。+员（。,北2,

由|z『=z2得八廿=。2_人2+2。历，

JQ2+/=Q2_^2

则I2仍=°,解得6=°,所以z=a为实数，c选项正确.

D选项，由于上-1=0，所以z对应点的轨迹是以（L°）为圆心,

半径为夜的圆，而回表示圆上的点到原点的距离，

所以⑶最大值为亚+1,D选项正确.

故选：ACD

3.（2023秋•广东河源•高三河源市河源中学校考阶段练习）（多选）已知复数z,2>,为，z是z的共辗复

数，则下列说法正确的是（）

A.Z，Z=IZ|2B.若忸=1,贝ljz=±l

c"z「z』=㈤归D.若匕一［=1,则匕+U的最小值为1

【答案】ACD

【解析】对于A,设2=。+及（。,武叫则z-z=（a+⑸（"历）=/+/=联故人正确；

对于B,令3i,满足目=W=L故B错误；

对于C,设4=q+6i(a，6eR),z2=c+di(c,dwR),则

Z[Z2=^a+bi){c+di)=ac-bd+(“d+Z>c)i所以匕囚=J(ac-6d)~+(ad+bc)~

=J（ac）2+（bd『+gd『+（6c『=y/a2+b2sld2+c2=㈤民］,故c正确.

对于D,设z=a+6i（°,beR）,贝Jz-1|=卜—］+历|=J（a.］『+/=1,

即（"1）一+”=1,表示以（L°）为圆心，半径为1的圆，

\z+l\=/a+\）2+b2表示圆上的点到（T，。）的距离，故匕+1的最小值为万-1

1,故D正确.

故选：ACD

强化训练

一、单选题

1.（2023•北京•统考高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（T，百）,

则z的共轨复数7=（）

A1+A/3ZB1-V3i

C.—1+V3iD.-1-V3i

【答案】D

【解析】z在复平面对应的点是（T，省），根据复数的几何意义，z=-l+6i,

由共轨复数的定义可知，z=T-百i.故选：D

5（1+『）「

2.（2023•全国•统考高考真题）（2+1）（2-力（）

A.-1B.1C.1-iD.1+i

【答案】C

【解析】（2+或2-D5故选：C.

3.（2022•全国•统考高考真题）（2+2i）（l-2i）=（）

A.一2+4iB.一2-4ic.6+2iD.6-2i

【答案】D

【解析】（2+2i）（l-2i）=2+"4i+2i=6-2i,故选:D

4.（2022•全国•统考高考真题）设（l+2i）a+6=2i,其中。力为实数，则（）

Aa=l,6=—1BQ=1,6=]Qu——1,6=1口a=_1,Z?——1

【答案】A

【解析】因为R,（。+6）+20=汽所以a+6=0,2a