高考数学专项复习：分类打靶函数应用与函数模型（6大考点）（讲义）（解析版）

专题05分类打靶函数应用与函数模型

【目录】

......................................................................................................................................................2

......................................................................................................................................................3

考点一：二次函数与幕模型.....................................................................9

考点二：分段函数模型........................................................................11

考点三：对勾函数模型........................................................................14

考点四：指数函数模型........................................................................17

考点五：对数函数模型........................................................................18

考点六：函数模型的选择......................................................................19

本节内容，常以其他学科或与社会生活息息相关的背景来命题，如现实中的生产经营、企业盈利与亏损

等热点问题中的增长、减少问题，在这些背景中发现、选择、建立数学模型，如二次函数、指数函数、对数

函数模型，对现实问题中数据进行处理以解决问题，体现数学知识的实用性.

考点要求考题统计考情分析

2021年北京卷第8题，4分【命题预测】

二次函数模型，分段函数模型

2020年上海卷第19题，14分预测2024年高考，可能结合

2023年/卷第10题，5分函数与生活应用进行考察，

指数函数、对数函数模型

2021年甲卷（文）第6题，5分对学生建模能力和数学应用

2020年山东卷第6题，5分能力综合考察.

1、几种常见的函数模型:

函数模型函数解析式

一次函数模型f{x}=ax+b{a,Z?为常数且Q。0)

反比例函数模型k

/(%)二—(女为常数)

二次函数模型/(x)=ax2+bx+c(a,b,。为常数且

指数函数模型x

/(x)=ba+c(a,b,。为常数，bwO,a>Qf

对数函数模型

f(x)=b\ogax+c(a,b,c为常数，bwO,a>0,awl)

累函数模型/(x)=axn+b(a,b为常数，

2、解函数应用问题的步骤：

（1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；

（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用己有知识建立相应的数学

模型；

（3）解模：求解数学模型，得出结论；

（4）还原：将数学问题还原为实际问题.

3、解答函数应用题应注意的问题

首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往

往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟

其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思

路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它.

其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函

数关系.

其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键.在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题

一样，有“泛读”与“精读”之分.这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地

相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量

关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即

可.反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍

不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率.

1.（2021•甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小

数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足乙=5+/gV.已知某同学视力的五

分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为（）（啊。1.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【答案】C

【解析】在乙=5+/gV中，乙=4.9,所以4.9=5+/gV,即/gV=-0.1,

解得V=1001=-=---x0.8，

1O01晒1.259

所以其视力的小数记录法的数据约为0.8.

故选：C.

2.（2021•北京）某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深

度，称为这个时段的降雨量（单位：mm）.24/z降雨量的等级划分如下：

等级24/z降雨量（精确到0.1）

..........

小雨0.1〜9.9

中雨10.0〜24.9

大雨25.0〜49.9

暴雨50.0〜99.9

..........

在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200〃侬，高为300〃M的圆锥形雨量器.若一次降雨过程

中，该雨量器收集的247z的雨水高度是150mm（如图所示），则这24〃降雨量的等级是（）

C.大雨D.暴雨

【答案】B

【解析】圆锥的体积为V==

33

因为圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半,

所以圆锥内积水部分的半径为-xlx200=50mm,

22

将r=50,/z=150代入公式可得V=125000万（〃力力，

图上定义的是平地上积水的厚度，即平地上积水的高，

平底上积水的体积为V=S/z,且对于这一块平地的面积，即为圆锥底面圆的面积,

所以S="•（gx200）2=100007r（mm2）,

则平地上积水的厚度/7="迎”=12.5（〃?〃?），

10000万

因为10<12.5<25,

由题意可知，这一天的雨水属于中雨.

故选：B.

3.(2020•山东)基本再生数舄与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传

染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：

/«)=e"描述累计感染病例数/⑺随时间f(单位：天)的变化规律，指数增长率r与T近似满足

&=l+rT.有学者基于已有数据估计出&=3.28,T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病

例数增加1倍需要的时间约为()(/"2q0.69)

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

【答案】B

【解析】把扁=3.28,T=6代入扁=1+〃，可得r=0.38,.,./«)=萨",

当t=0时，/(0)=1,则e°.=2,

两边取对数得0.38/=历2,解得/=——“1.8.

0.38

故选：B.

4.(2019•新课标II)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天

事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为

解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日4点的轨道运行.4点是平衡

点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为月球质量为知2,地月距离为尺，4点到月球的距离为

，根据牛顿运动定律和万有引力定律，厂满足方程：/？+牛=(R+r)4.

2

(R+r)2rR3

+3a4+

设。=二.由于。的值很小，因此在近似计算中3a3,则厂的近似值为()

R(l+a)2

D

A.B.c•瞪R-低式

【答案】D

【解析】:.r=aR，

R

出口+工口MMo…、M

厂7两足方程：------H—z-=+r)——.

2(R

(R+r)/'R3

1R2r

------------------M1+--M2=(1+一)M1,

,cr/122R1

1+2--+—r

RR-

r11

把二二一代入，得：-----y,Af,H——,—(1+,

R(l+a)21cr221

2

(l+a)3_a(a+3a+3)

(l+a)2.「-57^?-1

A/^23a3+3a4+cc^

~M[~(1+0)2

故选：D.

5.（多选题）（2023•新高考I）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级

L=20xlgP-,其中常数吊（4>0）是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级:

A）

声源与声源的声压级

距离/加/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽1050〜60

车

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10机处测得实际声压分别为0,以，P3,贝1（）

A.pv.p2B.p2>10p3C.p3=100p0D.pp,100p2

【答案】ACD

9

【解析】由题意得，6族切/g旦90,IO。。，。蛋归lO^Po，

Po

5

5啖切这匹60,I。］/张归I。。。，。，

Po

20/g隹=40,p3=100p0,

Po

可得〃.1力2，A正确；

2，,1。2=1000〃0，5错误；

〃3=10000,。正确；

95

Pi轰！lO?Po=100x102/J。100必，pp,100p2,£)正确.

故选：ACD.

6.（2018•浙江）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱

三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为X,

x+y+z=100

y,z,则<1，当z=81时，、=,y=

5x+3y+-z=100------

【答案】8；11

x+y+z=100

x+y=19

【解析】<当z=81时，化为:

5x+3y+gz=1005x+3y=73

解得％=8,7=11.

故答案为：8；11.

7.(2020•上海)在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆

密度是该路段一定

时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v=9,X为道路密度，4为车辆密度，交通流

X

'80

0,、100-135-(-r,0<x<40

里n=J(z尤)=j3•

「左。-40)+85,4噫/80

(1)若交通流量v>95,求道路密度x的取值范围；

(2)已知道路密度x=8O时，测得交通流量v=5O,求车辆密度q的最大值.

【解析】(1)按实际情况而言，交通流量v随着道路密度x的增大而减小，

故^=f(x)是单调递减函数，

所以左>0,

当4(凝/80时，v最大为85,

180on

于是只需令100-135•(?*>95,解得x〈学

故道路密度》的取值范围为(0,—).

3

(2)把兄=80,口=50代入v=/Cx)=一依％—40)+85中,

7

得50=—左・40+85,解得左二一.

8

[80

100x-135.(j)T-x,0<x<40

:.q=vx=<

7

一一(%-40)1+85%,4(啜!k80

、8

i§2

①当0vxv40时，v=100-135-(-)"<100,

q=vx<100x40=4000.

7

②当4Ok80时，q是关于x的二次函数，q=--x1+n0x,

对称轴为此时q有最大值，为二x（出）2+12。＞＜型=型＞4。。。.

78777

综上所述，车辆密度4的最大值为啰箸.

8.（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”S=区,其中工为建筑物暴露在

匕

空气中的面积（单位：平方米），匕为建筑物的体积（单位：立方米）.

（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为R,高度为X,暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑

体的“体形系数”S；（结果用含尺、”的代数式表示）

T2

（2）定义建筑物的“形状因子”为了=上，其中A为建筑物底面面积，L为建筑物底面周长，又定义T为

A

总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）.设力为某宿舍楼的层数，层高

为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为S=、＞当/=18,7=10000时，试求当该宿舍

VT3〃

楼的层数〃为多少时，“体形系数”s最小.

【解析】（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：

22

Fo=2兀RH+TTR-V0=7TRH,

FTTR(2H+R)2H+R

所以S=o

%-—兀NH-HR

旦+_L=巫+_L,

（2）由题意可得S=nsN*,

100003n1003n

3

令s，=o,解得吟3”992

»6.27,

81

所以S在口，6.27］单调递减，在［6.27,+8）单调递增,

所以S的最小值在〃=6或7取得,

当"=6时‘

当〃=7时，S=豆亘+，”0.16,

1003x7

所以在〃=6时，该建筑体S最小.

9.（2021•上海）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润

为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长4%.

(1)求今年起的前20个季度的总营业额；

(2)请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%?

【解析】(1)由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，

则首项%=11，公差d=0.05,

20(21)

S20=20^+^~6/^20x1.1+10x19x0.05=31.5,

即营业额前20季度的和为31.5亿元.

(2)解法一：假设今年第一季度往后的第w(〃eN*)季度的利润首次超过该季度营业额的18%,

贝0.16x(l+4%)”>(1.1+0.05”)•18%,

令/(")=0.16x(1+4%)"-(1.1+0.05”)•18%,("eN"),

即要解/(n)>0,

则当九.2时，/(“)-/(〃-1)=0.0064-(1+4%)i-0.009,

4/(«)-/(«-1)>0,解得：九.10，

即当掇女9时,f(〃)递减;当九.10时，f(")递增,

由于/(1)<0,因此f(")>0的解只能在加.10时取得，

经检验，/(24)<0,f(25)>0,

所以今年第一季度往后的第25个季度的利润首次超过该季度营业额的18%.

解法二：设今年第一季度往后的第n(neN*)季度的利润与该季度营业额的比为4,

则也=3吏±”网“。4-此=1+0.04(1-上)，

an1.1+0.05〃22+〃22+〃

?.数列｛。〃｝满足Oy>a2>a3>a4=a5<a6<Oj<...，

注意到，a25=0.178...,a26=0.181...,

...今年第一季度往后的第25个季度利润首次超过该季度营业额的18%.

考点一：二次函数与幕模型

・规律总结

1、二次函数模型的应用

构建二次函数模型解决最优问题时，可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求

最值，也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解，但一定要注意自变

量的取值范围.

2、暴函数模型为丫=办"+。（。，6为常数，。中0）,

在计算塞函数解析式、求事函数最值的时候，通常利用暴函数图像、单调性、奇偶性解题.

—型特训

例1.（2023•江苏南通•高三统考开学考试）一个动力船拖动载重量相等的小船若干只，在两个港口之间

来回运货.若拖4只小船，则每天能往返16次；若拖7只小船，则每天能往返10次.已知增加的小船只数

与相应减少的往返次数成正比例.为使得每天运货总量最大，则每次拖只小船.

【答案】6

【解析】设每日每次拖了只小船，每日来回y次，每只小船的载重量为〃，每日的运货总重量为G,

由题意设,=履+3则;:〃A，解得:..,

[7左+/?=10[b=24

所以>=—2x+24,

所以每日运货总重量为6=Mxy=Me（-2尤+24）=-2M（x-6）2+72M,

所以当尤=6,〉=12时，G取得最大值72M,

即每次拖6只小船，

故答案为：6

例2.（2023•全国•高三专题练习）为弘扬“中国女排精神”，加强青少年体育发展.学校在体育课中组织学

生进行排球练习，某同学以初速度为=12m/s竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点2根以上的位置最多停

留时间为秒（小数点后保留两位有效数字）.（注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点

2

的高度为（m）与时间f（s）满足关系式=，其中g=9.8m/s,7655^25.59.）

【答案】2.09

【解析】由题意，竖直上抛的物体距离抛出点的高度Mm）与时间f（s）满足关系式/z=引一;g/,

因为%=12m/s,所以〃=12f-；x9.8产，

令/?=2,可得12f—：x9.8r=2,即49产-120r+20=0,

所以4+,2=詈，斯2=%，所以『1一L|=+，2）2-4他=4X2.09s.

所以排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留2.09秒.

故答案为：2.09.

例3.（2023•四川泸州•四川省泸县第二中学校考模拟预测）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全

部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应

政府号召，积极参与帮扶活动.该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政

府将补贴10万元.若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：

VL82»1.22,^/1?73®1.2）（）

A.10%B.20%C.22%D.32%

【答案】B

【解析】由题意，设年平均增长率为x,则150（1+X）3+10=270,

所以x=合1.2-1=0.2,故年平均增长率为20%.

故选:B

例4.（2023-广西•统考模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系

通常以幕函数形式表示.比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重x满足>=丘3其中左和。为正常数，

该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状

态的8倍，则a为（）

A.-B.；C.-D.-

4234

【答案】D

【解析】设初始状态为（%，%）,则％=16%，%=8%，

又％=卮：，y2=kx^,即8%=左（16xja=左」6ax：,

8%公160¥43/。3

—=——16a=8,24a=23,4a=3,

yxkx^4

故选：D.

考点二：分段函数模型

规律总结

1、分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当做几个问题，将各段的变化

规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.

2、构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏

题型特训

例5.(2023•全国•高三对口高考)已知A8两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A

地前往8地，到达3地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x(千

米)表示为时间f(小时)的函数，则下列正确的是()

60;(04*2.5)

A.x=60t+50z(0<t<6.5)B.x=150(2.5<t<3.5)

150-50/(3.5<f<6.5)

60r,(0<f<2.5)

60r(0<f<2.5)

D.x=<150,(2.5<?<3.5)

150-50(>3.5)

150-50(f-3.5),(3.5<Z<6.5)

【答案】D

【解析】因为AB两地相距150千米，

所以当汽车以60千米/小时的速度从A地前往8地时，

需要要=2.5小时，此时汽车离开A地的距离为：

60

A：=60^(0<r<2.5),

到达5地停留1小时，此时汽车离开A地的距离为：

x=150(2.5<t<3.5),

当汽车以50千米/小时的速度从B地前往A地时，

需要黑=3小时，此时汽车离开A地的距离为：

x=150-50(r-3.5)(2.5<t<6.5),

'60f,(0<Z<2.5)

所以由题意有：x=150,(2.5<?<3.5)

150-50(/-3.5),(3.5<?<6.5)

故选：D.

例6.(2023-全国•高三对口高考)2005年10月27日全国人大通过了关于修改个人所得税的决定，工

薪所得减去费用标准从800元提高到1600元也就是说原来月收入超过800元部分就要纳税，2006年1月

1日开始超过了1600元才需要纳税，若税法修改前后超过部分的税率相同，如下表：

级数全月应纳税所得额税率(％)

1不超过500元5

2500-2000元10

32000-5000元15

某人2005年9月交纳个人所得税123元，则按照新税法只要交税()元.

A.43B.2280C.680D.不能确定

【答案】A

【解析】设工资为x元，

当0VXV800,纳税为0元；

当800<xV1300,纳税为(x-800)x5%元；

当1300<xV2800,纳税为500x5%+(x-1300)xl0%元；

当2800cXV5800,纳税为5OOx5%+15OOxlO%+(x-28OO)xl5%元；

0,0<x<800

X

——40,800<x<1300

20

所以，纳税为>=<Y

——105,1300<x<2800

10

3x

——245,2800<x<5800

120

Y

而25<123<175,令m-105=123,可得x=2280元,

由x-1600=680>500,则按新税法只要交税500x5%+(680-500)x10%=43元.

故选：A

例7.(2023•云南•统考二模)下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格:

一次购买件数5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上

每件价格37元32元30元27元25元

张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具()

A.116件B.110件C.107件D.106件

【答案】C

【解析】设购买的件数为％,花费为y元，

37x,l<x<10

32x』1WxW50

贝l|y=，30x,514xW100,当x=107时，y=2889<2990,

27x,101<x<300

25x,x>300

当x=108时，y=2916>2900,所以最多可购买这种产品107件,

故选：C.

考点三：对勾函数模型

1、解决此类问题一定要注意函数定义域;

h

2、利用模型/（x）=«x+2求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件.

X

■■题型特训

例8.（2023•湖南•湖南师大附中校联考一模）某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割

机，并立即投入生产.预计该机第一年（今年）的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保

养费均比上一年增加4万元.若当该机的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是

（）

A.6年B.7年C.8年D.9年

【答案】B

【解析】设第"年的维修保养费为为万元，数列｛%｝的前“项和为S“，该机的年平均耗费为。，

据题意，数列｛%｝是首项为12,公差为4的等差数列.

S+981「n（n-\\198I98

贝ijp=^——=_12n+-^——^x4+98=2n+—+10>22n—+10=38.

nn2nyn

当且仅当2几=一，即〃=7时，〃取最小值38.

n

所以这台冰激凌机的使用年限是7年.

故选:B.

例9.（2023•江苏南通•高三江苏省如东高级中学校考期中）某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积

为48m2,房屋正面每平方米的造价为1200元（包含门窗），房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造

价为5800元.如果墙高为3m,且不计房屋背面和地面的费用，则最低总造价是（）

A.57600元B.63400元C.69200元D.57600&元

【答案】B

AQ

【解析】设房屋的正面边长为加（了>0）,侧面边长为四（y>0），总造价为Z元，则冲=48,即y=?,

所以z=3尤xl200+6yx800+5800=3600尤+^^^+5800

X

>2^3600%•“600x4+5800=63400.

当3600x=57600x4时,即当％=&时，z有最小值，最低总造价为63400元.

X

故选：B

例10.（2023•全国•高三专题练习）某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万

元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比

上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（）

A.8B.10C.12D.13

【答案】B

【解析】设该企业需要更新设备的年数为尤（尤6N*）,设备年平均费用为y万元，

则x年后的设备维护费用为2+4+6++2X=M2,）=X（X+I）,

匚g、…左.干小段中口l0°+°.5x+尤（尤+1）1003、J100343,七一、

所以x年的干均费用为,=-----------------=尤-|-----1—22jx------1--=—（万兀），

x%2Y尤22

当且仅当x=10时，等号成立，

因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为10.

故选：B.

例11.（2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨三中校考三模）如图为某小区七人足球场的平面示意图，A3为球

门，在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线5米的P点处接球，此时tanNAP3=g,假设

甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点。处射门，为获得最佳的射门角度（即-AQB最大），则射

门时甲离上方端线的距离为（）

c.10V2D.10^/3

【答案】B

【解析】设AB=X，并根据题意作如下示意图，由图和题意得：PH=25,BH=10,

所以tan/3PH=型上=2,<tanZAPB=—,

HP25531

52

所以tanZAPH=tan(ZAPB+ZBPH)=_

./AnqAHA.B+BHx+10已广…x+103左力，口_口门入门「

XtanZAPH=—=—所以一^=^，解得x=5,即AB=5,

PHrri25255

没QH=h,/?e[0,25],则AQ="Q〃2+AH2=J/z2+i52,

BQ=y]QH2+BH2=V/z2+102,所以在，AQB中，

AQ2+BQ1-AB2/r+150

有cosZAQB=

2AQxBQV/Z4+325/I2+22500，

令根=层+150(15。4机4775),所以/?=m-150,

一一cosAAQB=[-----=।=

所以J("7-150)2+325("150)+22500J3750।25।1，

因为150V机W775,所以二V’W工，则要使NAQ8最大，

775m150

cosZAQB=-,I375f)~~25

即375025，要取得最小值,即、-字+4+1取得最大值,

J------5-+—+1Vm2m

Vmm

即-W3750+25+l在11士1取得最大值,

mm775m150

1___1_

，⑺=—3750/+25,+1,

775，150

所以/⑺的对称轴为：，=5，所以/⑺在单调递增，在^0'^单调递减，

所以当，=工时，/⑺取得最大值，即-AQ8最大，此时,=工，即机=300，

300m300

所以/=150,所以〃=5#,即为获得最佳的射门角度（即-AQ8最大），

则射门时甲离上方端线的距离为：5瓜

故选：B.

P

考点四：指数函数模型

一挪律何结

在解题时，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于1）的一类函数模型，与增长率、银行利率

有关的问题都属于指数模型.

^题型特训

例12.（2023•浙江绍兴•统考模拟预测）人类已进入大数据时代.目前，数据量已经从

TB（1TB=1024GB）级别跃升到PB（1PB=1024TB）,EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）级别.国际数

据公司（IDC）的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为Q500ZB,2010年增长到L125ZB.若从2008

年起，全球产生的数据量产与年份f的关系为尸其中4,a均是正的常数，则2023年全球产生的

数据量是2022年的倍.

3

【答案】1.5/-

【解析】由题意，1.125=0.5/°电2008,所以所以尸=0515-2°08,

所以2022年全球产生的数据量为0.5.1,514,则2023年全球产生的数据量0.5.1.515,

所以2023年全球产生的数据量是2022年的”与=1.5倍.

0.5-1.514

故答案为：1.5

例13.（2023•福建龙岩•高三上杭一中校考阶段练习）研究表明大气中二氧化碳的含量对地表温度有明

显的影响：当大气中二氧化碳的含量每增加25%,地球平均温度就要上升0.5℃.若到2050年，预测大气中

二氧化碳的含量是目前的4倍，则地球平均温度将上升约℃.（参考数据：1g2。0.3010）

【答案】3

【解析】设目前大气中二氧化碳的含量为。，

依题意，当二氧化碳的含量为1.25a时，地球平均温度上升0.5℃,

当二氧化碳的含量为ax1.252时，地球平均温度上升（0.5x2）℃,

依次类推，当大气中二氧化碳的含量为axl.25”时，地球平均温度上升（。.5X”）。。，

1g421g221g22x0.301“

令axl.25"=4a,即1.25"=4,方程两边同时取常用对数，贝l|-lgl.25-,5-l-31g2~1-3x0.301~,

所以到2050年，地球平均温度将上升约0.5义6=3（℃）.

故答案为：3

例14.（2023•江西•高三校联考阶段练习）研究发现某人的行车速度v（km/h）与行驶地区的人口密度p

（人/kn?）有如下关系：v=5Ox（O.5+2^00004^,若此人在人口密度为。人/km?的地区的行车速度为

70km/h,则他在人口密度为2a人/km?的地区的行车速度是km/h.

131

【答案】65.5/—^―

【解析】由70=50><e.5+2„）,#2^00004a=0.9,

所以当人口密度为2a人/km?时，他的行车速度

v=50x（0.5+2Awamx2a）=50x0.5+（2-0000（14fl）2]=65.5km/h.

故答案为：65.5

考点五：对数函数模型

一榭隹敢结

在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数图像

求解最值问题.

一题型特训

例15.（2023•上海长宁•统考一模）在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值丫（单位：

dB）定义为y=101g：.其中/为声场中某点的声强度，其单位为亚/!1?,/0=10*亚/1112为基准值.若

/-10W/m2,则其相应的声强级为dB.

【答案】130

*122

【解析】因为/=10W/m2,Z0=10W/m,

所以其相应的声强级为y=101g蒜=101gl0"=130dB.

故答案为：130.

例16.（2023•云南楚雄•高三统考期中）生物学家为了了解某药品对土壤的影响，常通过检测进行判断.

12

已知土壤中某药品的残留量y（mg）与时间/（年）近似满足关系式y=〃log2不（〃。0）,其中〃是残

留系数，则大约经过年后土壤中该药品的残留量是2年后残留量的；.（参考数据：血。1.41，

答案保留一位小数）

【答案】7.5

1?

【解析】当，=2时，y=a\og2-^—^=2af

121

由Qlog2y^=]a,得£=6^/5—1B7.5

故答案为：7.5

例17.（2023•山西-高三统考阶段练习）科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设/为地震时所散发

出来的相对能量程度，则里氏震级/可定义为7=0.61g/.在2021年3月13日下午，江西鹰潭余江区发

生里氏3.1级地震，2020年1月1日，四川自贡发生里氏”级地震，若自贡地震所散发出来的相对能量程

度是余江地震所散发出来的相对能量程度的100倍，贝”=.

【答案】4.3嗒43

【解析】设里氏3.1级地震所散发出来的能量为人，里氏"级地震所散发出来的能量为八，则/2=1。。/-

由已知可得3」=0.6坨4.

所以，»=0.61g/2=0.61g100Z,=0.6（lgl00+lg/1）=1.2+0.61gZ1=1.2+3.1=43.

故答案为：4.3.

例18.（2023•山西晋中•高三介休一中校考阶段练习）大西洋鞋鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研

究鱼的科学家发现大西洋鞋鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v=；log3葛，其中M表示鱼的耗氧量