高考数学专项复习：导数压轴大题归类（解析版）

专题2-7导数大题求参归类

目录

题型01恒成立求参：常规型.......................................................................1

题型02恒成立求参：三角函数型..................................................................5

题型03恒成立求参：双变量型....................................................................10

题型04恒成立求参：整数型......................................................................13

题型05恒成立求参：三角函数型整数..............................................................17

/题型06“能”成立求参：常规型..................................................................21

题型07“能”成立求参：双变量型................................................................25

题型08“能”成立求参：正余弦型...............................................................29

题型09零点型求参：常规型.....................................................................31

题型10零点型求参：双零点型...................................................................35

题型11零点型求参：多零点综合型...............................................................41

题型12同构型求参：xi,X2双变量同构............................................................45

题型13虚设零点型求参.........................................................................48

高考练场.......................................................................................51

热点题型归纳N

题型01恒成立求参：常规型

【解题攻略】

厂的超导数泵廨寥薮范函的丽帝甬石茎———

(1)分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关

I系，求解出参数范围；

(2)分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围

］最后取并集.

I

I

丽一而72024.工赢:高三瓶Q丁说彘丁南薮73二环

⑴讨论/(x)的单调性;

(2)若求。的取值范围；

(3)若/'㈤VI,求服

【答案】⑴/⑴在［单调递减，在卜;单调递增

【分析】(1)利用导数与函数单调性的关系即可得解；

(2)构造函数g(x)=x"Hnx,分类讨论。21与0<。<1,结合(1)中结论即可得解；

(3)构造函数〃(x)=/(x),利用导数分类讨论。的取值范围，结合/x)的单调性即可得解.

【详解】(1)因为/(x)=x"ln尤的定义域为(。,+8),a>0,

则/'(x)=axFnx+x"T=x"T(“lnx+l),令/''(x)<0,得。<丫之"；令/''(x)>0,得丫>［；

(二、(_1、

所以八>)在0,e0单调递减，在ea.+oo单调递增.(2)因为％>0,所以/(%)4工等价于产1lnx«1,

\7\7

记函数g(x)=x"Tlnx,当时，g(e2)=2e2(<--1)>l,不合题意；

当0<a<l时，由(1)知g(x)4ge〜=-_—<1,解得ae(0,l-eT］；

()(l-a)e'」

综上，。的取值范围是(0,1-e-1.

(3)记函数/z(x)=/<%)=x"T(alnx+l),则〃'(x)=x"之［(/一。)1n工+？。一［,

11_2,

若a=—,〃(%)=——x2lnx,令〃'(x)>0,得0<x<l；令"(x)<0,得x>l；

24

〃(X)在(0,1)单调递增,在(L+8)单调递减，故〃(幻”⑴=1,符合题意；

若aw0,；,当e岩〈Ye时，"(x)<0,则〃(x)在即乜/单调递减，

1，\7

(l-2a\/1\C1-2。、

故刀e右>A(1)=1,不合题意；若ae不1,当［一介岩时，〃(x)>0,则〃(x)在l,e"单调递增,

\//1\A\U

k71〃\7

'1-2。、

故6e入>"(1)=1,不合题意;若。€口,+⑹，当x>l时,h'(x)>0,则〃(x)在(1,+8)单调递增,

kJ

故〃(x)>〃⑴=1,不合题意.综上，a=1.

【典例1-2】(2024上•甘肃武威・高三统考期末)已知函数/(x)=|j+aln(x+l).

(1)当。=0时，求/(x)的最大值；

(2)若/"(x^O在xe[0,+s)上恒成立，求实数。的取值范围.

7

【答案】⑴々2)(—,-2]

e

【分析】(1)先求解出/(无)，然后根据尸(无)的正负确定出“X)的单调性，然后可求“X)的最大值；

(2)先求解出/'(无)，令/'(x)的分子部分为g(x),再根据。与0的关系进行分类讨论：当“=0时，根据

(1)的结果进行分析；当a>0时，根据/(x)解析式各部分取值正负进行分析；当a<0时，根据g(O)的正

负再进行讨论，由此求解出结果.

【详解】(1)由题可知“X)的定义域为(-1,+8),当。=0时，f(x)=2，

因为/(月=三』，

当xw(-1,1)时，/0(X)>0,当xe(l,+ao)时,/,(x)<0,

所以〃x)在(-1,1)上单调递增，在。,+⑹上单调递减，

所以/⑴2“⑴二)

9v/7px_9r2-i-9

(2)因为/(x)=F+aln(x+l),所以/'(x)=-^-----n_T>

Qix।lie

令g(x)=ae*-2x?+2,贝！]g'(x)=ae*-4x,

2

当。=0时，由(1)知/(x)=—>0,不满足题意；

1mxe

当a>0时，xe[0,+«)),-^>0,«ln(x+l)>0,所以/(x)20恒成立，不满足题意；

当。<0时,g'(x)«O在[0,+功上恒成立,

所以g(x)在[0,+功上单调递减,所以g(x)7g(O)=a+2.

①当aV-2时，因为g(x)4g⑼40,所以/(X)VO,

所以/(无)在[o,+8)上单调递减，所以/'(X)4/(0)=0,所以-2满足题意，

②当-2<a<0时，因为g(x)在[0,+功上单调递减，且g(O)=a+2>O,g(l)=ae<0,

所以存在X。€(0,1),使得g(x°)=o,

当xe(O,Xo)时，g(x)>0,即

当xe(%,+oo)时，g(x)<0,gp/,(x)<0,

所以/(无)在(0户。)上单调递增，在(%,+«))上单调递减，

因为/(0)=0,所以当尤e(O,x。)时，/(x)>0,不满足题意，

综上所述，as(-oo,-2].

【变式1-1](2023上•江苏镇江•高三校考阶段练习)已知函数/(同=三竺.

⑴若/(x)在(-2,-1)上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)若/'(x)2sinx对恒成立，求实数0的取值范围.

【答案】(1)18,-"|(2)[-l,+CO)

【分析】(1)先求/'(X),然后将问题转化为"x2-(a+2)x+aW0对XC(-2,-1)恒成立”，然后通过分离参数

结合函数的单调性求解出。的取值范围；

(2)将问题转化为"e，sinx-%?+uxW0对尤e(-a)⑼恒成立"，然后构造函数

g(x)=e1sinx-x2+«x,x6(-«,0],通过多次求导分析函数单调性的过程求解出a的取值范围.

/、(2x-a)eJ-(x"-axje'%2—(a+2}x+a、

【详解】(1)因为/(无)=-------4------=------—,又/(无)在(-2,-1)上单调递增，

⑹)e

所以/'(x)20对xe(-2,-l)恒成立,所以X?-(。+2)「+。40对」€(-2,-4)恒成立,

所以aVx-1-一匚对xe(-2,-1)恒成立；令f=x-1e(-3，-2),且〉在(-3,-2)上单调递增，

x-1t

所以[x-1---1■]>-3-々=一。，所以即0的取值范围是；

Ix-\)-333I3」

(2)因为/'(x)*inx对xe(-t»,0]恒成立，所以e"sinx-/+axV0对xe(—0,0,亘成立，

设g(x)=e*sinx-x2+ax,xe(-oo,0],所以g'(x)=ex(sinx+cosx)-2x+a,令=e*(sinx+cosx)-2x+a,

所以(x)=ex(cosx-sinx+sinx+cos无)-2=2ercosx-2,

因为xe(-a),0],所以e*e(0,l],cosxe[-1,1],所以2e*cosx-2V2-2=0,

所以"(x)40,所以%(x)在(-oo,0]上单调递减，所以〃(x)N/z(O)=a+l,

当a+lNO时,即aZT,h(x)=g'[x)>Q,所以g(x)在(-oo,0]上单调递增，

所以g(x)Vg(O)=O,满足条件；当a+l<0时，即0<-1,/?(0)=«+1<0,且X-YO时，〃(x)f+co,

所以〃(无)在(Y»,0]上有唯一零点，记为飞,贝lJxe(fo,Xo),/z(x)>O,xe(X0,O),/z(x)<O,

,,

gpxe(-oo,x0),g(x)>0,g(x)单调递增，xe(xo,O),g(x)<O,g(x)单调递减,

故当x«x0,0)时,g(x)>g(O)=O,与题意矛盾，综上所述，。的取值范围是[T+s).

【变式1-2】(2024上•山西•高三期末)已知函数/'(x)=-2x+21nx,m>2.

⑴求证：函数/(x)存在单调递减区间，并求出该函数单调递减区间的长度b-a的取值范围；

⑵当x21时，/(x)V2xei-4尤恒成立，求实数机的取值范围.

【答案】⑴证明见解析，1,1](2)[2,4]

【分析】(1)先求尸(x),然后分析/'(x)=o的根，由此完成证明；利用韦达定理表示出b-。结合机的范

围求解出其范围；

(2)将问题转化为“根(尤-l)2+2x+21nx-2xei40在［L+co)上恒成立"，建立函数

2

F(x)=m(x-l)+2r+211K-2re,通过多次求导分析函数单调性的过程求解出m的取值范围.

【详解】(1)r(x)=2m(%-1)-2+-=W-(2ot+2)x+2,令“(x)=2加/-(2加+2)x+2,

因为〃？22,二次函数对称轴力(0)=2>0,>A=(2w+2)2-4x2mx2=(2m-2)2>0

4m2m

恒成立，

所以〃(x)=0恒有两个不相等的正实根，且这两个正实根分别为。力优>a),a+6='担，ab=-,

mm

所以/(无)的单调递减区间是(a,6),所以单调递减区间(a,6)的长度

b—a=J(b+a］1-4ab=jl—二1―-,

v\mmm

因为加22,所以b-a的取值范围为；/；

(2)由题意加-2%+21nx<2xe"T-4x在［1,+s)上恒成立，即m(x-l)2+2x+21nx-2xex-1<0在［1,+⑹

上恒成立，

2

令/(%)=加9+2x+21nr-2xex-1,贝！Jk(x)=2加(％-1)+2+—(2x+2)e>,令

2

G(x)=2m(x-l)+2d---(2x+2)e”一，

794

贝lJG(x)=2加—---(2x+4)ex-1,令H(x)=2m—---(2x+4)ex-1,则牙⑴=方-(2%+6产,令

4

\=--(2x+6)e"T,

x

io

则"(x)=-5-(2x+8)e\当X21时，”(x)<0,所以M(x)在［1,+s)上单调递减，

M(x)<M(l)=4-8=-4<0,

所以"(x)在［1,+s)上单调递减，⑴=2〃7-2-6=2〃.8,

当2〃L840,即用44时，G'(x)=〃(x)W0,所以G(x)=b'(x)在［1,+s)上单调递减，尸'(x)4产⑴=0,

所以尸(x)在［1,+8)上单调递减，尸(x)4/⑴=0成立，所以24小44；

当2加-8>0,即加>4,单调递减函数”(x)在xf+8时，且H⑴=2加-8>0,

所以〃(x)=0在［1,+oo)上有根，记为看,在［1,天)上，〃(尤)>0,在上〃(x)<0,

所以尸'(x)在［1,工0)上单调递增，在(%,+00)上单调递减，且尸")=0,函数尸'(X)在X->+00时，尸'(X)-00,

因此尸'(x)=0在(1,+⑹上有解，记为4，在(1,不)上，F'(x)>0,尸(x)单调递增，而尸⑴=0,

因此在(1,占)上，尸(无)>尸⑴=0,从而在［1,小)上尸(x)V0不恒成立，

综上所述，加的取值范围是［2,4］.

【变式1-3］(2024・全国•模拟预测)已知函数/(x)=2x?-alnx-1,aeR.

⑴求函数/(x)的单调区间；

(2)若对任意的xe(0,+s),不等式〃x+l)>(x+l)2+工一二恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】⑴答案见解析⑵(-*2］

【分析】(1)第一步：求函数/(X)的定义域与导函数/'(X),第二步：分“W0,。>0分别讨论了‘(X)的正负,

得函数〃x)的单调区间.

(2)第一步：转化不等式，第二步：构造新函数g(x)并求导，第三步：分。>0分别讨论g(x)的单

调性，求出其最值，第四步：总结，得。的取值范围.

【详解】(1)函数/(x)的定义域为(0,+勾1,广。)=4工-q=竺♦巴，

XX

当a<0时，/'(x)>0J(x)在区间(0,+00)上单调递增；

当a>0时，由((无)>0,得x>五,由/''(x)<0,得o<x〈正，

22

・・.〃x)在区间［,?］上单调递减，在区间［等,+m］上单调递增.

综上所述，当aWO时，“X)的单调递增区间为(0,+8),无单调递减区间;

Cr\(r\

当。>0时，的单调递减区间为。，咚,单调递增区间为号,+6.

l2Jl2)

(2)当xe(0,+8)时/(x+l)>(x+l)2+^——^恒成立，等价于当xe(0,+s)时,

x+1e

+2xH------ciln(x+1)--------->0恒成立.

exx+1

设g(x)=x2+2xH---dtln(x+1)--------，则当％w(0,+8)时，g(x)>0恒成立，

ex+1

g<x)=2x+2-------—+——---.

exx+1(x+1)

①当a«0时，由x〉0可得2x+2>2,0<—<1,/.2x+2-—>0,又-----+-----y>0,/.g(x)>0,

excxx+1(x+1)

・•・g(x)在(0,+8)上单调递增,而g(0)=0,.•.当xe(0,+oo)时.g(x)>0恒成立.

②当。>。时,令垢)=g'(x),则如)=2+：+赢-七=2卜人〉](九.

门>0,。>°，,2卜&]>0,且卜表>0,

因此〃'(x)>0,即g'(x)在(0,+oo)上单调递增，.•.当x>0时,g'(x)>g'(0)=2-a.

当2-aNO,即0<aW2时，g'(0)20,.,.当x>0时，g'(x)>0,，g(x)在(0,+功上单调递增.

g(0)=0,.,.当xe(0,+oo)时，g(x)>0恒成立.

当2—a<0,即a>2时，g,(0)=2-a<0,gr(a-l)=2a-l--+二.

ea

•：a>2,2a—1>1,而工―<1,因2a-1——>0,故g'(a-1)>0,

ee

而g'(x)在(0,+co)单调递增，，当工武。,/)时，g'(无)<0,

.•.g(x)在(0,%)上单调递减，从而当无e(0,尤0)时，g(x)<g(0)=0,不符合题意.

综上所述，«<2,即实数”的取值范围是(--2].

题型02恒成立求参：三角函数型

【解题攻略】

三角函数与导数应用求参：

1.正余弦的有界性

2.三角函数与函数的重要放缩公式：x2sinx(xN0).

【典例1-1】(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(#=蓼，g(x)=«cosx.

(1)求证：时，/(X)<1；

(2)当曰与。］］。,?时，/(x)>g(x)恒成立，求实数0的取值范围；

(3)当时，［〃x)［2>g(x)恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】⑴证明见详解⑵(，》』⑶(一8』

【分析】(1)根据题意，转化为sinx<x,令夕(x)=sinx-x,利用导数求得<p(x)的单调性，结合夕(x)<0(0),

即可得证；

⑵令/(x)=/(x)-g(x)=smxaxcosX,转化为尸⑺>0在(0,?上恒成立，令H(x)=sinx-axcosx>0

在(%)上恒成立，求得“'(x)=(l-a)cosx+axsinx,分aWO、0<aWl和a>l,三种情况讨论，即可求

解；

(3)由(1)(2),令G(x)=［/(x)T-g(x)=si/xq/cosx,转化为G(x)>0在，鼻上恒成立，令

//卜)=$苗2苫-办285苫>0在(0,3上恒成立.分。<0、0<a41和a>l,三种情况讨论，结合函数的单调

性和最值，即可求解.

【详解】⑴证明：x<0,3时，求证/(x)<l等价于求证sinx<x,

令°(x)=sinx-x,贝！|"'(x)=cosx-lV0,故°(x)在上单调递减，故夕@)<夕⑼=0,不等式成立.

sinx-axcosx

(2)解:令尸(x)=〃x)-g(x)=

x

因为尸(r)=尸⑺，所以题设等价于尸(x)>0在上恒成立，即H(x)=sinx-axcosx>0在(0身上恒

成立，

可得"'(x)=(l-a)cosx+arsinx,且a(0)=0,H'(0)=l-a.

(i)当aVO时，在(。,力上sinx>0,-axcosx>0,故7f(x)>0,所以尸(x)>0,符合题意；

(ii)当0<aVl时，〃'(x)=(l-a)cosx+办sinNO在由上恒成立，故〃(无)在词上单调递增，故

H(x)>H(0)=0,所以尸(x)>0,符合题意；

(iii)当“>1时，〃⑼=l-a<0,"'U=券>°，

故必存在/(。，鼻，使得“'(x°)=0,且当无e(0,x°)时，*(x)<0,

故》(无)在(0,x0)上单调递减，故在(0,%)上8(x)<8(0)=0,不符合题意.

综上所述：实数。的取值范围是(-85.

(3)解：由(1)知：sinx<x在(0,2上恒成立.

由(2)知：当4=1时，/(x)>g(x),即包把〉(：05%=>$111%>%(：05%在(0,3上恒成立.

人\\~|2sinxsinx-axcosx

令G(x)=[/(%)」_g(z%x)=^_—acosx=--------p----------，

因为G(-x)=G(x),所以题设等价于G(x)〉0在(0,野上恒成立，

即：〃(x)=sin2x-QX2cosx>0在(。金)上恒成立.

(i)当aWO时，在上sin?x〉0,-ax2cosx>0,故〃卜)>0,所以G(x)>0,符合题意;

(ii)当0<Q«1时，〃(%)=sin2x-ax2cosx>sin2x-x2cosx,

4"r(x)=sin2x-x2cosx,xG[^9~2

则rr(x)=2sinxcosx-2xcosx+x2sinx>2sinxcosx-2sinx+x2sinx

=|^x2-2(l-cosx)Jsinx=^x2-4sin2^-jsinx=4-sin2sinx>0,

所以r(x)在(og)上单调递增，所以r(x)>r(O)=O,故火力>0,所以G(x)>0,

符合题意；

(iii)当°>1时，A(x)=sin2x-ox2cosx<x2-ax2cosx=x2(1-acosx),

当cosxe(，,lj旦xe(。，1')时，1-acosx<0,故〃(x)<x?-ox?c°sx=x?(1-acosx)<0,不符合题意.

综上所述：实数。的取值范围为(一叫1].

【典例1-2】(2023上•全国•高三期末)已知函数/(x)=e*sinx-2尤.

(1)求曲线了=〃尤)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)求/(x)在区间0胃上的最大值；

⑶设实数a使得/(x)+x>ae*对xeR恒成立，求a的最大整数值.

【答案】(l)x+〉=0⑵77一兀⑶-2

【分析】(1)求出函数在x=0处的导数，即切线斜率，求出/'(0),即可得出切线方程;

(2)求出函数在区间0胃上的单调性，求出最值即可;

Yy

(3)依题意，将不等式等价转化为a<sinx-=在R恒成立，构造函数夕(尤户siiw-三，利用导数求出函数

的单调性和最小值的范围，进而求解.

【详解】(1)f(x)=exsinx-2x,f'(x)=ex(sinx+cosx)-2,

.-./(0)=-l,/(0)=0,所求切线方程为>-0=-(》-0),即x+y=o,

所以切线方程为x+y=0.

ITjr

(2)令g(x)=/<x)=e"(sinx+cosx)—2,则g<x)=2e"cosx,当1£0,-时，gr(x)>0,g(x)在0,-上单调

递增.

X-.-g(0)=-l<0,g[3=VF-2>0,使得8(%)=0.

.,.当丁€(0,天)时，f\x)<0,/(x)单调递减；当xe[xo，|^时，f'(x)>0,/(x)单调递增.

乂/(0)=0,/W=AF-K>0,/(x)max=/M=V7-K,

所以函数/(X)在区间上的最大值为J/一兀.(3)不等式〃x)+x>ae，恒成立等价于"Sinr-i恒成

立，

YV

令夕(x)=sinx——-,当时，一一->0,°(x)>—1恒成立，

Xy—1

当x>0时，令〃(x)二——,则〃'(%)=—1,.,・当0<x<1时，h\x)<0,%(%)单调递减;

ee

当X〉1时，h\x)>0,〃(%)单调递增，〃(X)min=/1)=-,，

e

当1.0+时，0-；当％f+oo时，/幻—0-，./(x)的值域为—

3兀

11V，一2<-1一:<Wmin<-1，所以4的最大整数

Qsin%i[-1,1],夕(1)=sinl——>――,)=-1—y-<-b

ee-f

e2

值为2

【变式1-1］(2023上•湖北省直辖县级单位•高三校考阶段练习)已知函数/(%)=*-2"(QERMWO).

⑴讨论〃x)的单调性;

⑵若不等式/(x)之sinx-cosx+2-2QX对任意x>0恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】(1)/(X)在区间［-8,墨］上单调递减，在区间1号,+e)上单调递增(2)［1,+⑹

【分析】(1)求导函数，对进行分类讨论，利用导数研究函数的单调性；

(2)由题意，构造函数％(x)=esinx+cosx-2,利用导数研究函数的单调性，多次构造函数，通过导数

研究单调性以及特殊点，即可求解.

【详解】⑴f(x)=e热一2"，则/(x)=ae--2a=a(e--2),

当。>0时，令/''(x)<0,解得》<区，令#(x)〉0,解得也，

aa

所以“X)在区间(-j邛］上单调递减，在区间上单调递增；

当a<0时，令/⑺<0,解得x<@2；令H(x)〉0,解得

aa

所以/(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增.

综上，/(X)在区间，上单调递减，在区间［T，+")上单调递增.

(2)由题意得e*2sinx-cosx+2对任意xNO恒成立，令才(x)=e"'—sinx+cosx-2,则

h'(x)=asax-cosx-sinx.

若xNO,当aZl时，e"2e*-cosx-sinx,令"(x)=x-siwc(xW0),则“'(x)=1-COST20,

所以K(X)在区间［0,+司上单调递增，且W(x)>w(0)=0,

RPx>sinx,令丫(〉)=］-丫-1(420),则M(x)=e*-120,

所以v(x)在区间［0,+司上单调递增，且v(x)"(0)=0,即e，2x+l,

所以当x20时,e1>x+l>sinx+l,则/z'(x)2e"-cosx-sinxNl-cosxN0,

所以M尤)在区间［0,+e)上单调递增，且力(x)N「(O)=O,即以会2-(:。航+2恒成立.

当a<1时，A'(0)=a-l<0,存在实数%>0,使得Vxe(0,尤0),均有〃'(x)<0,

则〃(x)在区间(0,无。)上单调递减，且刈力<〃(0)=0,不符合题意.

综上，实数a的取值范围是[1,内).

【变式1-2](2023上•甘肃定西•高三甘肃省临洗中学校考阶段练习)己知函数〃x)=e'-sg-cosxj。)为

其导函数.

⑴求“X)在[-⑥+⑹上极值点的个数；

(2)若/'(x)2"+2-2cosMaeR)对Vxe[-兀,+co)恒成立，求a的值.

【答案】(1)2(2)2

【分析】(1)利用指数函数的单调性与三角函数有界性分段讨论/(X)的符号，由此得函数"X)的单调性

与极值；

(2)先探求恒成立的必要条件，再证明其充分性.充分性的证明先构造函数，再利用导函数研究函数单调性,

结合(1)结论可证.

【详解】(1)/'(X)=e*-cosx+sinx=e*+5^~sin卜-

①当一兀也时，--<x--<-n,所以血sin[x-£]>0,d>0,则f'(x)>0,

444<4；

所以在「-兀兀3、)单调递增；

②当一型Vx〈一乙时，则一兀Wx—四<_至，

4244

设g(x)=f\x)=ex+乃sin[一：)，则g'W=e'+6"cos[-,

且e，<l,-V2<V2cos^-^<-l,则gU)<0,所以g(x)在一：匹一驾单调递减，

又g(-(j=eJ>0,g[-^]=e2-1<0,故存在％•无,使得86)=0,即/'(/)=0,

且在兀/)上，f'(x0)>0,在上，/'(x)<0,

所以/(X)在上单调递增，在[x。,-])上单调递减；

③当一"vxvO时，则-电■Wx-四<-巴，所以—J^sin(x--1,又e*<l,

2444I

所以/'(x)<0,故/(x)在-；,oj上单调递减；

④当04x<巴时，则一百4x-巴<0,所以-1(收sin(x-；]<0,又e—l,

所以/G)20,当且仅当x=0时取等号，所以/(x)在0,：)上单调递增；

⑤当x2工时，贝!Jx—乌20,ex>e^>Ve>V2,V2sin|x-—|>-V2,

44<4J

所以/''(x)>0,/(x)在上单调递增；

综上所述，/(X)在[-兀/)上单调递增，在(％,0)上单调递减，在[0,+8)上单调递增.

所以/W在[-兀,+8)上仅有2个极值点.

(2)当工之一兀时，/'(X)Nax+2—2cosx(。wB恒成立，即d+sinx+cosx-QX-2〉0(QE的.

令0(x)=eX+cosx+sinx—ax—2,若°(x)N0对VXE[—兀,+oo)恒成立，由°(0)=e°+cos0—2=0,

夕0)>0=9(0),

所以当x=0时，p(x)取得最小值.由(p\x)=ev-sinx+cosx-a,

则x=0为函数仪幻的极小值点，故,'(0)=2=0,解得q=2.

下面证明：当。=2时，x=0为函数0(x)的最小值点，(p\x)=er-sinx+cosJC-2,

令=e*-sinx+cosx-2,〃㈤=e*-cosx-sinx=/(x),

由(1)可知，/(x)在[-兀内))上单调递增，在(％,0)上单调递减，在[0,+8)上单调递增.

又/(-兀)=b+1>0,且"0)=0,

所以当X?-兀时，〃X)的最小值为"0)=0,则/(x)20恒成立，即〃(x)20在卜5+⑹上恒成立,

所以h{x)即0(尤)在[-71,+®)上单调递增,又“(0)=0,

所以当一兀4x<0时，^(%)<0,当x>0时，(p{x}>0,

所以函数0(x)在『私0)单调递减，在(。,+纥)上单调递增，

所以夕(x)N夕(0)=0,即e*+sinx+cosx-2x-220恒成立，符合题意.综上所述，a=2.

题型03恒成立求参：双变量型

【解题攻略】

一般地，已知函数y=/(x)，xe[a，H,V=g(x),xe[c,d]

⑴若也目。，引，总有/'(xJvgH)成立，故/(x)1mx<g⑴1n;

⑵若％e[a,b],3x2&[c,d],有/(占)<g&)成立，故"力皿vg(x)皿;

(3)若王月。,司,Vx闫C,d],有/(xj<g(x2)成立，故/(x)min<g(尤)min；

(4)若玉1na,可,3x2e[c,d],有/(再)<g(xj成立,故/⑺1nhi<g(x)1Mx.

彳五祠一17172023加7|孽耘忍获植而'福而T三面函薮冗»工京二；(星河二

⑴当。=1时，求的单调区间；

⑵设函数g(x)=(Y-l)e*-当g(x)有两个极值点玉玉<工2)时，总有

值(%)2(2+xj(eJx；-3)成立，求实数f的值.

【答案】⑴xe(O,+a>)单调递增,》«-<»,0)单调递减(2)/=-1

【分析】(1)求出导函数/‘(X),由/'(x)>0得增区间，由r(x)<0得减区间；

(2)求出g'(x),由g'(x)=0有两个不等实根Xj,X2(X]<X2),结合判别式韦达定理得。>-2且再+%=-2,所

以西不等式中消去。,占得关于％J的不等式，分离参数转化为求函数的最值，从而得出结论.

【详解】(1)0=1时，函数〃x)=e=x的定义域为RJ'a)=e-L由/'(x)=0解得x=0.

当xe(-叫0)时，/(x)<0J(x)在尤e(-哈0)单调递减；

当xe(0,+oo)时，((x)>0J(x)在xe(0,+oo)单调递增.

(2)g(x)=(x2-a-l)e\则g<x)=(x2+2x-a-l)e”.

根据题意，得方程/+2工-0-1=0有两个不同的实根尤户12(为<々)，

/.A>0,即〃〉一2且再+工2=—2,所以再<—1<%2.

X22X2

由tg(x2)>(2+x1)(e+x2-3),可得“勾_QT)e“2>(2+x1)(e+W—3)又％;-a-l=-2x2,2+xi=-x2

X2

•••总有一2及2©巧>(~x2)(e+%2-3)=>/忤叱一伫2+%2_3Jj<0对声>一1恒成立.

①当％2=0时，起卜作用—(科+考—3)](0恒成立，此时看cR；

②当了2«-1,0)时，2代一(户+寸一3”0成立，即2出户+竿一3

令函数〃(尤2)=e"+：j3,则”伍)=_xj鼠声+3=+>：2-3)>o在马«-1,0)恒成立

故〃(工2)在％2£(—1，°)单调递增，所以2%2%(。)=—2=/2—1.

③当苫240,+动时，2代-(e*+%2-3)W0成立，即

由函数〃(尤2)=°"+：：―3,则〃⑺//+*「3)=0,解得％=3

2o

当工2©(0,3)时，〃(3)>0，力(工2)单调递增；当％e(3,+co)时，单调递减又分(3)=1+三6,

当/f+oo时，〃卜?)—>1；.所以2lV〃(0)=—2=>ZV—1.综上所述，Z=-1.

【典例1-2】(2024上•四川成都•高三成都七中校考阶段练习)设函数/(x)=ex-依，其中aeR.

⑴讨论函数/*)在口,+◎上的极值；

(2)若函数有两零点玉,%(不<%),且满足华学>1,求正实数4的取值范围.

【答案】⑴答案见解析⑵口,+8)

【分析】(1)求出/'(x)=e「a,分a<e、a>e讨论，可得答案；

X

(2)由零点存在定理可知0<玉<111。<尤2,而题设e』"X|=e*-3=0,消去。可得一^2==选，令

e1再

^=->1.且lnt=X2-王，求出巧，不将其代入三当>1得/⑺=空吗a>0,再利用导数分

/1+AZ/+1

421、0<4<1讨论可得答案..

【详解】(1)由/(x)=e"一⑪知/)x)=e、-a,

1)当时，且有、£工位)，/'(幻之0,/(%)单调递增，故无极值；

2)当Q〉e时，有xw(l,lnq),f(x)<0,/(%)单调递减,而xw(lna,+8),f\x)>0,/(%)单增,故

/(%)极小值=/(lna)=""lna,/(、)无极大值.综上，当q«e时，/⑴无极值；

当〃〉e时，/(%)极小值为Q-lna,/(%)无极大值；

(2)由(1)可知当Q>e时，f(lna)=a(l-1na)<0,/(0)=1>0,且xf+―/(x)f+oo,

由零点存在定理可知0<%<出。<工2，而题设可知。-3=e、2-〃/=0，消去〃可得

e%2/人，x?tintInt

~~~=e-=,令/=>1,且In/=%—石，即/=---，%-----，

e'X]x1t-1t-\

将其代入>1,整理可令得小⑺=In"?),T)>°，而尸'(。=1_(2+D：

1)当八1时，且止(1,+8),有/⑺>0,小。单调递增，尸(。>尸(1)=0,满足题设；

2)当0</<1时，且有尸⑷<0,尸(。单调递减，/⑺〈尸(1)=0,不满足题设；

综上，4的取值范围为□,+◎.

【变式1-1](2023•上海松江•校考模拟预测)已知函数/(x)=or-alnx-g.

X

(1)若。=0,求函数y=〃x)的极值点；

(2)若不等式〃x)<0恒成立，求实数。的取值范围；

⑶若函数了=/(尤)有三个不同的极值点X]、巧、了3，且/(占)+/■(%)+/(三)<35-6,求实数。的取值范围.

【答案】(l)l(2)a<e(3)e<a<e2

【分析】(1)首先求函数的导数，并判断函数的单调性，即可求函数的极值点.

(2)由/(x)<0分离常数。，利用构造函数法，结合导数来求得。的取值范围.

(3)首先根据/(x)有3个不同的极值点求得a的一个范围，然后化简不等式/(占)+/(%)+/(%)43e?-e,

利用构造函数法，结合导数求得。的取值范围.

【详解】(1)当°=0时，=,

XJC

当0<x<l时，/幻)>0,X>1时，r(x)<0,所以函数在区间(0,1)单调递增，在区间。,+⑹单调递减，

所以函数在x=l处取得极大值，函数的极值点为1；

(2)函数“X)的定义域为(0,+8),不等式/(x)<0恒成立，即a(x-lnx)〈.在(。,+⑹上恒成立，

1Y_1

记〃(x)=x-Inx,则/(%)=1——=----,得到MX)在区间(0,1)上〃'(％)<0,〃(x)单调递减，

xx

在。,+8)上〃'(％)>0,〃(%)单调递增,则〃⑴二="1)=1,即。%)之1在区间(0,+8)上恒成立,

分离变量知：〃<丁€—=8(外在(0,+8)上恒成立，则。〈江工心，

x-xInx

ex(x2-xlnx)-ex(2x-lnx-l)ex-xlnx-2x+lnx+l)

g(x)—7~2i\2-7T'

lx-xlnxI(x-xInxI

='［，［)-(x”nx］=e'(二,由前面可知，当.(。/川化+⑹时，"(x)=x-lnx>1恒

成立，BPx-l-ln