高考数学专项复习：导数必考压轴解答题全归类【十一大题型】（新高考专用解析版）

重难点06导数必考压轴解答题全归类【十一大题型】

【新高考专用】

►题型梳理

【题型1函数的切线问题】.....................................................................3

【题型2（含参）函数的单调性问题】...........................................................8

【题型3函数的极值、最值问题】..............................................................13

【题型4函数零点（方程根）问题】...........................................................17

【题型5不等式的证明】......................................................................22

【题型6利用导数研究不等式恒成立问题】....................................................25

【题型7利用导数研究能成立问题】...........................................................30

【题型8双变量问题】........................................................................34

【题型9导数中的极值点偏移问题】...........................................................39

【题型10导数与三角函数结合问题】..........................................................44

【题型11导数与数列不等式的综合问题】......................................................49

►命题规律

导数是高中数学的重要考查内容，是高考必考的热点内容.从近几年的高考情况来看，在解答题中试

题的难度较大，主要涉及导数的几何意义、函数的单调性问题、函数的极值和最值问题、函数零点问题、

不等式恒成立与存在性问题以及不等式的证明等内容，考查分类讨论、转化与化归等思想，属综合性问

题，解题时要灵活求解.

其中，对于不等式证明中极值点偏移、隐零点问题和不等式的放缩应用这三类问题是目前高考导数压

轴题的热点方向.

►知识梳理

【知识点1切线方程的求法】

1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：

①求出函数产丝)在产沏处的导数，即曲线产心)在点(沏加0))处切线的斜率；

②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f(x0)(x-x0).

2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：

①设出切点坐标7的加o))(不出现K)；

②利用切点坐标写出切线方程：y=/(xo)4/(xoXx-xo)；

③将已知条件代入②中的切线方程求解.

【知识点2导数中函数单调性问题的解题策略】

1.含参函数的单调性的解题策略：

(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因

式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.

2.根据函数单调性求参数的一般思路：

(1)利用集合间的包含关系处理：y=/a)在(0力)上单调，则区间缶力)是相应单调区间的子集.

(2求用为增(减)函数的充要条件是对任意的让①必都有f(x)>0(/(x)<0),且在36)内的任一非空子区间

上，/(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.

(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.

【知识点3函数的极值与最值问题的解题思路】

1.运用导数求函数人处极值的一般步骤：

(1)确定函数兀T)的定义域；

(2)求导数/(X)；

(3)解方程/(x尸0,求出函数定义域内的所有根；

(4)列表检验/(x)在/(x)=0的根XQ左右两侧值的符号;

⑸求出极值.

2.根据函数极值求参数的一般思路：

已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方

程组，利用待定系数法求解.

3.利用导数求函数最值的解题策略：

⑴利用导数求函数/)在口用上的最值的一般步骤：

①求函数在(a,b)内的极值；

②求函数在区间端点处的函数值八°),»；

③将函数人x)的各极值与人a),人力比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：

求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性

和

极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.

【知识点4导数的综合应用】

1.导数中的函数零点(方程根)问题

利用导数研究含参函数的零点(方程的根)主要有两种方法：

(1)利用导数研究函数於)的最值，转化为段)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.

(2)分离参变量，即由兀0=0分离参变量，得斫且⑴，研究产。与尸g(x)图象的交点问题.

2.导数中的不等式证明

(1)一般地，要证外)>g(x)在区间(a,6)上成立，需构造辅助函数尸(©=危)一g(x),通过分析尸(x)在端

点处的函数值来证明不等式.若F(a)=0,只需证明尸(x)在(a,3上单调递增即可；若尸(6)=0,只需证明

F(x)在(a,6)上单调递减即可.

(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题.

3.导数中的恒成立、存在性问题

解决不等式恒(能)成立问题有两种思路:

（1）分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另

一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题.

（2）分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分

类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可.

4.导数中的双变量问题

破解双参数不等式的方法：

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的

不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.

5.极值点偏移的相关概念

所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对

称性.

极值点偏移的定义：对于函数在区间伍力）内只有一个极值点看,方程/a）的解分别为

Xpx2且Q<匹<<b

、1+%2J%

（i）若2°,则称函数在区间a，/）上极值点/偏移；

匹+一2〉/

（2）若2°,则函数V=/（x）在区间（下，》2）上极值点X。左偏，简称极值点X。左偏；

X1+-2—0

（3）若2°,则函数V=/（x）在区间（下，》2）上极值点X。右偏，简称极值点X。右偏.

►举一反三

【题型1函数的切线问题】

[例1](2023•河南・统考模拟预测)已知函数/(无)=a(e%-l)-lnx.

(1)当a=1时，求”外的图象在点(1/(1))处的切线方程；

(2)当。之1时，证明：/(%)>sinx.

【解题思路】(1)分别求出八1)/(1),再利用直线的点斜式方程即可求解；

(2)利用作差法并构造函数g(%)=e”-l-ln%-sin%,并利用二次导数求出雇观^>。恒成立，即可求解.

【解答过程】⑴当a=l时，/(x)=ex-1-Inx,贝=

所以f(l)=e-l,又因为/(l)=e-l,

故所求切线方程为y-(e-1)=(e-l)(x-1),即、=(e-l)x.

(2)因为/(%)的定义域是(0,+8),

所以当a>1时，/(x)-sinx=a(e%-1)-Inx-sinx>e%-1-Inx-sinx

设g(%)=e%-1-Inx-sinx,贝Ug(x)=e%-1-cosx,

设h(%)=g(x)=excosx,则h(%)=e'+[+sinx>0在(0,+8)上恒成立，

XX

1

所以h(%)在(0,+8)上是增函数，则=-3-cos1<0,

nIT

又因为从=e"-：-sin1,因为e">2.7^>16=2匕所以e">2,

又因为三+sin^<«1.984<2,所以>0,

所以九0)在Q9上存在唯一零点汽°,也是M%)在(0,+8)上的唯一零点，

Z>.XQ1XQ1

所以/i(%o)=e---cosx0=0,即e=—+cos%0，

当0<久<%0时，g(%)<0,g(%)在(Ox。)上单调递减,

当%>和时，g(%)>0,gCr)在(%0,+8)上单调递增，

%01

所以g(x)min=g(%0)=eo_lnx0-1-Sinxo=-+cos,-ln%0-1-sinxQ

由于0<和<：,所以[>1,Inx。<0,cos%0>sinx0,

所以gGr)min=g(”o)>°，所以g(x)>0,

所以当a21时,/(x)-sinx>0,即/'(x)>sinx成立.

【变式1-1](2023•四川雅安•统考一模)已知函数/(久)=aex+bx+c在工=ln2时有极小值.曲线y=f(x)

在点(0/(。))处的切线方程为x+V=0.

⑴求a,b,c的值；

⑵若对任意实数K,/(X)>(e-2)x+nt恒成立，求实数m的取值范围.

【解题思路】(1)对函数求导，利用在x=ln2时有极小值和在点(0/(0))处的切线方程，即可求出a力,c的

值；

(2)将函数代入不等式并分离参数，转化成--ex-l>爪对任意实数x恒成立问题，构造函数g(x)=ex

-ex-l(xe/?),通过讨论新函数的单调性，求出新函数的取值范围，进而得出实数皿的取值范围.

【解答过程】(1)由题意，XER,

在/(x)=ae"+bx+c中，f(x)=aex+b,

在％=ln2时有极小值.曲线y=/(>)在点(0/(0))处的切线方程为x+y=0.

,•(⑹=。fa+c=0,a=1

f(0)=—1即,a+6=—1,b=-2

,/(ln2)=0(2a+b=0c=-1

・•・f(x)=ex-2x-l,/(%)=ex-2,

当％>ln2时，/(%)>0/(%)在(ln2,+8)上单调递增.

当久<ln2时，/(%)<0/(%)在(-8,ln2)上单调递减.

当久=ln2时，/(%)=0/(%)在％=ln2时有极小值.

故。=1力=—2,c=—l符合题意，即为所求.

(2)由题意及(1)得，xER,

在/(%)=aex+b%+c中，/(%)>(e-2)x+m,即e"-ex-12m对任意实数%恒成立，

设g(%)=不一e久一1(%€R),则g(%)=e%—e.

当%>1时，ex-e>0,则g(%)>0,故g(%)在(1,+8)上单调递增；

当％<1时，ex-e<0,则g(%)v0,故g(%)在(-8,1)上单调递减；

当％=1时,ex-e=0,则g(%)=0,

故％=1时g(x)有极小值，也就是g(%)的最小值g(l)=-1,

故加工-1即为所求.

2

【变式1-2](2023•广东•东莞市校联考一模)函数/'(X)=鬓+lnx在x=4处的切线方程为y=h(久).

⑴求h(x)；

(2)已知:<a<l,过(a,b)可作f(x)的三条切线，证明：h(a)<b</(a).

【解题思路】(1)根据导数的几何意义即可求解；

(2)先求出过①力)的切线方程，根据过(a力)可作三条切线，得到所证不等式.

-21x-2

【解答过程】(1)/'(久)的定义域(0,+8),/(%)=--+-=

XX

•111

所以f(4)=g，且f(4)=2+ln4=]+21n2,

11

则/(%)在％=4处的切线方程为y--21n2=g(x-4),

1

即h(%)=g%+21n2.

(2)设切点Q,|+lnt),又/(t)=,

则切线方程为y-(|+Int)=-t),

又过点(a力)，

2xt—2.

(7+IntJ=F(a-t),

2xt-2.

(-+Intj+-^-(a-t),

Lr4t-2

即b=7+Int+-丁a-1,

1t

4t-2

令g(t)=7+Int+~^~a-l,tE(0,+oo),

1t

-41-1+4

3a,

则g(t)=-/+E+t

4tt2-t+4t2-(4+a)t+4a

=，+/+-----------3----------

tttt

(t-4)(t-a)

=~?-'

因为te(0,+8),且］<a<l,所以g(t)在区间(0,a)单调递增，在区间(a,4)单调递减，在区间(4,+8)单

调递增，

_5

,./_耳e—2耳、，、44-2CL

~S*g(e)-4e-5+_10a-1=e(4+a-2ae)-6<0Vg(4)=4+ln4+货a—1—g-F21n2,

t趋向+8时g(t)趋向于+8.

又因为过(。力)可作/(%)的三条切线，所以b与g(t)有三个公共点,

所以g(4)V(Vg(a)f

4-4—2a

又9⑷=1+ln4+-rr-a-1=p+21n2>0,

一4loO

根据(1)ft(x)=+21n2,所以g(4)=，+21n2=h(a),

,、4u—2.2,、

又gw=~+Ina+—-1=-+Ina=fva),

aaa

所以h(a)<b<f(d).

【变式1-3](2023•全国•模拟预测)已知函数/'(久)=alnx-(；a-1*之-2x++1.

(1)当a=4时，求/(久)的极值及曲线y=/(X)在点处的切线方程；

(2)若函数/(久)有两个零点，求实数a的取值范围.

【解题思路】(1)求导得到单调区间，计算极值，再计算切线方程得到答案.

(2)求导得到导函数，确定/(1)=0,考虑aN2,1<a<2,a=l,0<a<1,aWO几种情况，根据函

数的极值结合零点存在定理计算得到答案.

【解答过程】(1)当a=4时，/(x)=41nx-x2-2x+3,x6(0,+oo),

Ll//、4-2(%—1)(%+2)

贝1/(%)=M-2%-2=-----------,

令得0<%Vl；令/(%)v。，得%>1,

/(%)在(0,1)上单调递增，在(L+8)上单调递减，

故/(%)在％=1处取得极大值f(1)=0,无极小值，

/(1)=0,/(1)=0,故曲线y=/(功在点(1/(1))处的切线方程为y=0.

(2)/(%)=[-(a-2)%-2=0"”I%€(0,+8),/⑴=一Q"1)-2+)+1=0,f(1)=0.

①当a>2时，(2-a)x-a<0,

当OV%<1时，/(x)>0,/(%)单调递增；

当汽>1时，/(%)<0,/(%)单调递减，

所以/(%)4/(1)=0,则/(%)只有一个零点，不符合题意，舍去.

a.(21)

②当1<。<2时，/(%)=---------------，

令/(%)>0,得第e(o,l)u(£,+8)；令f(%)<o,得％e(i,乙)，

所以f(%)在(0,1)上单调递增，在(1,//上单调递减，在岛,+8)上单调递增.

因为/(1)=0,所以/(£)VO，取%1>1且%1>工，

-

则f(%J=a\nx1-Qa-1卜：-2x1+|a+1=^1-1a^x1-2k+aln%]+|a+1>|(1-2k1+a

11

In,+产+1=alnx1+产+1>0,

所以/(占)"(xj<。.因为/'(x)在Q三,+8)上单调递增,

所以由零点存在定理，得存在唯一x()eQ三,+8),使得/(%)=(),

又/⑴=0,此时,函数人外有两个零点，符合题意.

I(X-1)2

③当a=1时，f(X)=--->0,/(X)在(0,+8)上单调递增，

则f(x)只有一个零点，不符合题意，舍去.

a.(2-a)(x-£)(x-l)

④当。<a<1时，0<YTa<1>fW=---------------，

令/(x)>o,得xe优，占)u(1,+8)；令/(x)<o,得比

所以f(%)在伍，尤)上单调递增，在(£,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

因为/(1)=0,所以且当i>1时，/(x)>0,无零点，

2222222

取0V%2<。。且X2VA。)=alne。-Qa-l)(e-2ea+|a+1<-2+1-|a-2ea+|a+1

2

=-2e-a<0,

则/⑷<0,所以/昆)•/Q三卜0.因为/(X)在他，金)上单调递增,

所以由零点存在定理，可得存在唯一吗6(。，尤)，使得/(叼)=°，

又f(l)=o,此时，函数外公有两个零点，符合题意.

⑤当aWO时，(2-加卜-尤)>0,

当0<x<l时，/(%)<0,/■(£)单调递减；

当x>l时，/(x)>0,外幻单调递增，

所以/(02/(1)=0,则/(x)只有一个零点，不符合题意，舍去.

综上所述：实数a的取值范围为(0,1)U(1,2).

【题型2(含参)函数的单调性问题】

【例2】(2023・海南•校联考模拟预测)已知函数/G)=xlnx-a，.

(1)当a=l时，讨论函数/(久)的单调性；

(2)若不等式/(x)>aex+(1-a)/-%恒成立，求实数a的取值范围.

【解题思路】(1)当a=l时，对/(%)求导，令血(久)=/(%)=ln%+0,讨论血(%)与0的大小可

得血(%)<0,即/(久)<0,即可得出函数/(%)的单调性；

(2)由题意可得a<丑也在(0,+8)上恒成立，设九(%)=:+：<€(0,+8),只需a<h(%)i,

e"emin

求解即可得出答案.

【解答过程】(1)当。=1时，/(%)=xlnx-x2,x>0,所以/(、)=In%+1-2%,

令m(%)=/(%)=Inx+1-2x,x>0,

_11-2%

可得m(x)=--2

当％G(。，时，m(%)>0,m(%)单调递增；

当xGQ,+8卜寸，rn(x)<O,m(x)单调递减，

所以当x时，爪(x)取得极大值，也为最大值，且爪0=1《+=

所以「(无)<0,所以/(X)在(0,+8)上单调递减.

(2)由/(%)>aex+(1-a)x2-x,得ae*<xlnx-%2+%,

即a<Mnx-f+x在(0,+8)上恒成立.

e

./、xlnx-x2+x,，/、(%-l)(x-2-In%)

令h(x)=--------,%€(0,+8),可得fi(%)=------------,

ee

i1jc—1

令9(%)=%-2-ln%,(%)=1--=—,

令9(%)>0,可得％>1；

令cp(x)<0,可得0<%V1,

所以0(%)在91)单调递减，在(L+8)单调递增，

又g(e3)二屋3一2一Ine-3=e-3+l>0,

9⑴=l-2-lnl=-1<0,

9⑷=4-2-ln4=2-21n2>0,

所以在(e-3,。中存在唯一的》]使得"(xj=0,

在(1,4)中存在唯一的马使得9(马)=°，

即有％1-2-In%[=0,x2-2-ln%2=0.

因为租(%)在(0,1)单调递减，在(1,+8)单调递增，

所以当时，(/>(%)>0；当久i<%Vl时，(p(x)<0；

当1V%<%2时，0（%）<0；当%>%2时，0（%）>0.

(x-l)(x-2-Inx)(x-1)</>(%)

又fl(%)=>0,

所以当0<%V%i时，/i(%)<0；当第］V%V1时，/i(%)>0；

当1V%<%2时，/i(%)<0；当％A/时，h(%)>0,

所以在(o,比J单调递减，在a")单调递增，

在(1,%)单调递减，在(久2,+8)单调递增，

所以Xe(0,1)时，Mx)的极小值为

xe(l,+8)时,八(动的极小值为

%(比2)=

因为-2-In%1=0,%2-2-ln%2=0,

一x-In%,7XQ-lnx7

129

可得%1-ln%1=2,X2-ln%2=2,所以e=e,e=e,

xiX2XXr

、19

即e或=章e=e2,所ct*i以i工1=石2=e—2•

12ee

代入In%1=%1一2和In%2=4-2，

%1(%1-2)-％j+/x.

则有=

同理可得％(4)=-e-2

所以八(久J=/i(x2),

所以a<二，即实数a的取值范围为(-8,_目.

【变式2-1](2023•黑龙江•校联考模拟预测)已知函数/G)=xe：xeR.

(1)求函数/(工)=xe”单调区间；

(2)若过点P(l,t)(teR)可以作曲线y=f(x)的3条切线，求实数t的取值范围.

【解题思路】(1)求出函数的导数，解不等式，即可求得函数单调区间；

(2)设切点坐标为(％,y°),利用导数的几何意义求出切线方程，推出方程1=:。(-4+,+1)有三个不

等实数根，构造函数，将方程根的问题转化为函数y=t,y=e%(-4+,+：L)图像的交点问题，利用导数

判断函数的性质，作出函数图像，数形结合，即可求解.

【解答过程】(1)函数/(x)的定义域为R,f'(x)=ex+xex^e\x+l),

令f(x)>0,解得%>-1,所以函数/(%)的单调递增区间是(-1,+8);

令f(x)<0,解得％<-1,所以函数/(x)的单调递减区间是(-8，-1)

(2)由题意可得/(动=0+1)-，

设切点坐标为(与,%)，则切线斜率卜=(x0+1)-e”,

X

所以切线方程为y-xoe°=(%0+1)-e\x-x0),

%0

将P(Lt)代入得t=e(-%o+x0+1).

因为存在三条切线，即方程t=e%(-XQ+%0+1)有三个不等实数根，

%0

方程t=e(-+x0+1)有三个不等实数根等价于函数y=t,y=e/(-焉+/+1)的图像有三个交点，

设g(x)=(-/+%+1)/,则g(x)=-(x-l)(x+2)ex,

当(-2,1)时，g(x)>0,g(x)在(-2,1)上单调递增；

在(-8,-2)和(1,+8)上,g(%)<0,g(x)在(-8,-2)和(1,+8)上单调递减,

9(-2)=--i，g⑴=e；

e

.1-A/51+1--\/51+,/、

当式<—或％>―2-时，gw<0,—2—<x<—2时，g(%)>0,

当久->一8时，g(%)-»0；当%7+8时，g(%)T-8,

画出g(%)=(-，+乂+l)e”的图象如图,

要使函数y=t,y=+,+1)的图像有三个交点，需g⑵<t<0,

即即实数t的取值范围(-R.

【变式2-2](2023・四川成都・统考一模)已知函数“幻=2『-。孙16兄

(1)讨论函数f(久)的单调性；

(2)当a=e时，求证：/(%)>e(l-cosx).

【解题思路】(1)求导，然后分QW0和。>0讨论分别求单调性；

(2)当久W0时，通过证明l+1-cos%W0可得结论；当久>0时，转化为证明2e*T-2%>1-cos%-汽,

不等式两边分别构造函数，求出函数最值即可得结论.

【解答过程】(1)由已知/(%)=2/-m

当QW0时，/(%)>0恒成立，函数/(%)在R上单调递增；

当。>0时，若/(%)>0,得％>ln,函数f(%)单调递增，

若/(%)<0,得久<ln(,函数f(%)单调递减;

综上所述：当。<0,函数/(%)在R上单调递增，

当。>0时，函数/(%)在(ln2+8)单调递增，在(-8,1《)单调递减;

(2)由0=e,f(x)>e(l-cos%)得2e"-ex>e(l-cosx),

即证2e*-i>%+1-cosx,

①当无<0时，设函数k(%)=x+1-cosx,

则k(%)=1+sin%>0,k(%)在(-8,0］上单调递增，

所以々(%)<MO)=0

所以2e*T>02％+1-cos%成立；

②当%>0时，要证2e*T>%+1-cos%成立，

即证2e“-1-2%>1-cosx-x

设函数h(%)=2e"T-2%,%>0,

则h(x)=2e%-1-2,

当h(%)<0时，0<%Vl,函数/i(%)单调递减，

当h(%)>0时，x>1,函数h(%)单调递增，

所以h(%)>Ml)=2e°-2=0,gp2ex-1-2x>0,

设g(%)=1-cosx-%,%>0

则g(x)=sinx-1<0,g(%)在(0,+8)上单调递减,

所以g(%)<g(o)=o,即o>1-cos%-x,

所以2e“-1-2x>0>1-cosx-x,

综上：/(%)>e(l-cos%)成立.

【变式2-3](2023•河北邢台•宁晋中学校考模拟预测)已知函数/0)=。(丁+屋5-1(0是非零常数，e

为自然对数的底数)

(1)讨论函数/O)的单调性；

(2)当a>0时，若在R上恒成立，求实数0的取值范围.

【解题思路】(1)对函数求导，讨论a<0、a>0研究函数的单调性；

X2+2

(2)问题化为a2丁工在R上恒成立，利用导数研究右侧单调性并求最值，即可得参数范围.

e+e

(e2x-1

【解答过程】(1)由题设/(%)=*(—[),

e

当aV0,若%£(-8,0)时((%)>0,即/(%)递增，若%£(0,+8)时f(久)v0,即/(%)递减；

当。>0,若％E(-8,0)时/(%)<0,即/(%)递减，若%€(0,+8)时/(%)>0,即/(%)递增；

综上，0则/(%)在(-8,0)上递增，在(0,+8)上递减；

a>0则/(%)在(-8,0)上递减，在(0,+8)上递增；

x2+2

(2)由题设a2^~~不在R上恒成立，

e+e

人22-x2x

令=X+2贝,-(x--+-2-%-+--2?)e一-七(x---2-x-+--2)一e，

e+e(ex+e-x)

2

令@(X)=(%2+2%+2)e-x-(%2-2%+2)ex,则g((%)=-^-x2ex<0,

e

所以0(%)单调递减,且@(0)=0,故(-8,0)上0(%)>0,(0,+8)上w(%)v0,

所以(-8,0)上g(%)>(),即g(%)递增，(0,+8)上g(%)V0,即9(%)递减，

所以g(%)wg(o)=L故心1.

【题型3函数的极值、最值问题】

[例3](2023•全国•模拟预测)已知函数/(%)=xlnx+(t-1)(%-t)(tER).

(1)当t=0时，讨论函数/(%)的极值;

⑵若F(x)=f(x)-7有两个不同的极值点，求t的取值范围.

e

【解题思路】(1)求导，利用导数判断原函数的单调性和极值；

(2)根据题意可得向>)有两个不同的变号零点，整理得eMx+lmc=丁-'+(久-匕设函数g(x)=e*+x,

结合单调性可知直线y=t与曲线Mx)=x-lnx有两个不同的交点，利用导数判断原函数单调性和极值，进

而根据交点分析求解.

【解答过程】(1)当t=0时，f(x)=xlnx-%,则/(%)的定义域为(0,+8),且/(%)=ln%,

在(0,1)上，/(%)<0,/(%)单调递减；

在(1,+8)上，/(%)>0,/(%)单调递增；

所以八%)的极小值为无极大值.

e"'gx

(2)由题意可知：F(x)=xlnx+(t-l)(x-t)-则F(%)=In%+t-彳=In%+C-不一；

ee

因为F(x)有两个不同的极值点，则函数/(X)有两个不同的变号零点,

可知方程In久+t=e*T有两个不等实根，

此方程可变形为Inx+x=ex~t+x-t,即e”"+Inx=不一+(%-t).

设函数g(x)=e"+x,则g(lnx)=g(x-t),

又因为y=e；y=x在R内单调递增，则g(x)在R内单调递增，

可得In%=x-t,即t=x-Inx.

设M%)=x-\nx,则直线y=t与曲线y=h(%)有两个不同的交点，

।i%—1

可知h(%)的定义域为(0,+8),且hO)=1,

在(0,1)上，h(x)<0,在%)单调递减;

在(1,+8)上，ft(%)>0,枢%)单调递增;

则衣X)mm=九(1)=1，当XT。小时，h(X)f+8,当X7+8时，九(%)一+8,

若直线y=t与曲线y=%(久)有两个不同的交点，则t>1,

故f的取值范围为(L+8).

【变式3-1］(2023•陕西西安•校联考模拟预测)已知奇函数/(0=ad+bx2+ex在x=1处取得极大值2.

(1)求f(久)的解析式；

(2)求fG)在［-4,3］上的最值.

【解题思路】(1)利用函数奇偶性可得b=0,再由f(x)在x=l上取得极大值2可求得a=-l,c=3,可得

解析式；

(2)由(1)中解析式求导可得其在［-4,3］上的单调性，得出极值并比较端点处的函数值即可求出其最值.

【解答过程】(1)易知函数/G)的定义域为XCR,

因为“外是奇函数，所以"-%)=-/G),贝拈=0.

由/(%)=a%3+ex,得f(%)=3ax2+c.

因为/(%)在久=1上取得极大值2,

所以康(仁渭建2°'解得「黑’

经经检验当(时，外动在x=1处取得极大值2,

故/(%)=-x+3%.

(2)由(1)可知，/(%)=-3%2+3=-3(%-1)(%+1),

当时，/(%)>0/(%)单调递增；

当无£［-4,-1)和(1,3］时，/(%)<0,/(汽)单调递减；

即函数/(%)在％=-1处取得极小值/(-1)=-2,在％=1处取得极大值/(1)=2；

又因为f(-4)=52/(3)=-18,

所以f(功在［-4,3］上的最大值为52,最小值为-18.

【变式3-2］(2023•宁夏固原•宁夏回族自治区西吉中学校考模拟预测)已知实数a>0,函数f(x)=xln

a-alnx+(x-e)2,e是自然对数的底数.

(1)当a=e时，求函数/(无)的单调区间；

(2)求证：f(x)存在极值点久。,并求小的最小值.

【解题思路】(1)f(x)求导，根据/(%)的正负判定函数的增减即可；

(2)根据导数的分母正，需要分子有变号零点，转变为双变量函数的恒成立和有解问题，利用导数再次

确定新函数单调性和最值即可求解.

【解答过程】(1)当a=e时，/(%)=x-elnx+(x-e)2,

-)

i,1e2x+(1-2e)x-e(2x+1)(%-e)

则/(%)=1一£+2(%-e)=-------------=----------,(第>0)

令f(%)>0,得x>e；令f(%)<0,得x<e；

所以，函数y=g(%)的单调增区间为(e,+8),单调减区间为(0,e).

'a2x2+(Ina-2e)x-a

(2)/(%)=Ina--+2(%-e)=-------------

令力(%)=2%+(Ina-2e)x-a=0,因为A=(lna-2e)+8a>0,

所以方程2#+(Ina-2e)x-a=0,有两个不相等的实根<x2),

又因为％所以％i<0V%2，令列表如下：

(0,久0

X%（久0,+a

-0+

f(x)减极小值增

所以f(x)存在极值点..所以存在X0使得2久()2+(Ina-2e)x0-a=0成立，

所以存在%o使得2%o-2ex0=a-xolna,

所以存在久°使得a-％olna=2%：-2、对任意的a>0有解，

因此需要讨论等式左边的关于。的函数，ifiu(t)=t-xolnt,所以〃=

当OVtV%o时，单调递减；当I〉与时，〃⑷>0,〃(。单调递增.

所以当t=，时，u(t)=t-％01nt的最小值为〃(和)=xo-xolnxo.

所以需要2君-2ex0-a-%olna>xQ-x0ln%0,即需要2君-(2e+1)%0+%0ln%0>0,

即需要2,-(2e+1)+ln%0>0,即需要2%4-lnxQ-(2e+1)>0

因为u(t)=2t+Int-(2e+1)在(0,+8)上单调递增，且"(,)>v(e)=0,

所以需要％>e,

故%°的最小值是e.

【变式3-3](2023•吉林长春•东北师大附中校考二模)已知函数/(%)=mxe-%%-lnx(meR).

(1)讨论函数/(%)的极值点个数；

(2)若m>0,/(%)的最小值是1+Inm,求实数血的取值范围.

【解题思路】(1)求出/(幻的导数，按血<e和分类讨论，并借助零点存在性定理推理作答即可;

(2)利用(1)中信息，按mWe和zn>e探讨，利用导数研究函数/(%)的最小值求解即可.

【解答过程】(1)函数f(%)的定义域为9+8),

,11//\

e•e1%—1_)

令〃(%)=--m,则〃(x)=--2—，

人X

令〃(%)<0,可得令〃(%)>0,可得％>1,

所以“(%)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

故〃(%)min=〃(1)=e-m,

①时，u(x)min>0,则“(%)之0,令/(%)<0,可得0<%Vl,

令f(%)>0,可得久>1,

所以/(%)在(0,1)上单调递减，在(L+8)上单调递增，所以/(%)有1个极小值点；

@m>e时，u(x)min<0,

因为令九(%)=ex-%-1,则九(%)=ex-1,

当%>0时，/i(%)>0,则/i(%)在(0,+8)上单调递增，

当％V0时，/i(x)<0,则九(%)在(-8,0)上单调递减，

故九(%)之/i(O)=0,所以丁2％+1,当久=0时取等号.

当％时，u(x)>—^-m=l+--m>0,

止匕时E(0,1),使得〃(%J=0,

令u(%)=e"-x2,x>1,有u(x)=ex-2x,令g(%)=ex-2x,x>1,

9(%)=e"-2>0,9(%)在(1,+8)上单调递增，即0(%)>0(1)=e-2>0,

即有u(%)>0,即u(%)在(1,+8)上单调递增,

即u(%)>v(l)=e-2>0,所以e%>x2,

%2

当％>?n>e时，u(x)>—-m=x-m>0,止匕时2c(1,+8),使得〃(％2)=。，

因此ie(0,%J,/(%)<0,/(%)单调递减,

XE(Xpl),/(%)>0,/(%)单调递增，

%E(L%2)，/(%)V。，/(%)单调递减，

xe(%2,+oo),/(%)>o,/(%)单调递增，

所以/(%)由3个极值点；

所以当THMe时，/(%)恰有1个极值点；当m>e时，/(%)恰有3个极值点；

(2)由(1)知，当OVznWe时，/(%)在(0,1)上单调递减，在(L+8)上单调递增，

所以f(%)min=f⑴=1+2=1+Inm,

~,1Inm“,、Inx/1-In%

所以&=至~,令g(%)=7ME(0,e],则g(%x)=,NO,

函数g(%)在(0,e]上单调递增，g(%)max=g(e)=(则TH=e,

当zn>e时，E(0,1),使得〃(%J=0,3%2G(1,+oo),使得〃(%2)=0,

所以/(%)在(0,%1)上单调递减，在(叼,1)上单调递增，在(1,%2)上单调递减，在(%2，+8)上单调递增,

X.I

其中《-jn=0。=1,2),即々=lnm+lnxr所以/(心讪=min{/(x1),/(x2)}=1+Inm,

mx

而f(%)=FL+毛-In/=1+Irun符合要求，所以m>e,

e

综上可得，实数血的取值范围为{m|m之e}.

【题型4函数零点(方程根)问题】

【例4】(2023•全国•模拟预测)已知函数/(%)=2%+萼+a.

X

(1)当a=1时，求曲线f(x)在点(1)(1))处的切线方程.

(2)若/(久)有两个零点，求实数a的取值范围.

【解题思路】(1)利用导数的几何意义求得切点与切线的斜率，从而得解;

x24-Inx

(2)利用参变分离，构造函数g(x)=利用导数研究其性质，从而作出图象，结合图象即可得解.

【解答过程】(1)当。=1时，/(%)=2%+[+1,则"1)=3,

X

'1-21nx-,1

/(%)=2+^^,所以/(1)=3.

X

故曲线/(%)在点(1/(1))处的切线方程为y-3=3(x-l),BP3%-y=0.

,alnx.__..__,

(2)由/(%)=2%+—+a有t两个零点，

X

a(x+In%)

得方程2x+—%—=0在(0,+8)上有两个不同的实数解.

X

当a=0时，显然方程没有正实数解，所以a#0.

2%2+]n%

则方程-£=—L在(0,+8)上有两个不同的实数解.

uX

.%2+Inx„,,1-%2-31nx

令9(x)=——(x>0),则g(%)=----4----

XX

显然8(x)=1-X2-31nx在(0,+8)上为减函数,又尹⑴=1-1-31nl=0,

所以当xe(0,1)时，g(%)>0；当xe(l,+8)时，g(%)<0.

所以g(X)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，且gQ)max=g(l)=1.

当X时，g(x)=eg-e)<0；当x>l时，g(x)>0,

2支2+InV

要使方程-£=在(0,+8)上有两个不同的实数解，

uX

2

则g(x)与y=-£的图象在(0,+8)上有两个不同的交点，

2

结合图象可知0<-£<1,解得a<-2,

综上，实数a的取值范围为(-8,-2).

1

【变式4-1](2023•广东广州•广东广雅中学校考二模)已知函数=

(1)求函数/(%)的最小值；

(2)若g(%)=x2[/(x)+l-a]-x+a,求函数g(%)的零点个数.

【解题思路】(1)求出定义域，求导，得到函数单调性，进而得到最值；

(2)化简得到gCr)=/(in%+g-a),令0(x)=In%+§-。，求出y=@(%)在(0,+8)上的零点个数即

可，求导，当a40时，9(%)有唯一零点，a>0时，求出函数单调性，最值夕(%)min=

-a+于换元后，求导得到函数单调性，分声=1,0<靖<1,回>1,三种情况，结合函数单调性

和零点存在性定理求出零点个数.

【解答过程】(1)由