高考数学重难点专练：一元二次不等式恒成立、能成立问题【六大题型】

重难点02—元二次不等式恒成立、能成立问题【六大题型】

【新高考专用】

►题型梳理

【题型1一元二次不等式在实数集上恒成立问题】..............................................2

【题型2一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】.............................................3

【题型3给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】...........................................3

【题型4一元二次不等式在实数集上有解问题】.................................................4

【题型5一元二次不等式在某区间上有解问题】.................................................5

【题型6一元二次不等式恒成立、有解问题的综合应用】........................................6

►命题规律

一元二次不等式是高考数学的重要内容.其中，“含参不等式恒成立与能成立问题”是常考的热点内

容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法

灵活等特点备受高考命题者的青睐.另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数与方程”、

“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维能力

都起到很好的作用.一兀二次不等式应用广泛，考察灵活，高考复习过程要注重知识与方法的灵活运用.

►知识梳理

【知识点1一元二次不等式恒成立、能成立问题】

1.一元二次不等式恒成立、能成立问题

不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R,对于一元二次不等式ax2+6x+c>0,它的解集

为R的条件为Error!

一元二次不等式ax2+bx+c^Q,它的解集为R的条件为Error!

一元二次不等式QN+6X+C>O的解集为0的条件为Error!

2.一元二次不等式恒成立问题的求解方法

(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成

立.

(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的

范围，谁就是参数.

①若aN+6x+c>0恒成立，则有a>0,且△<()；若ax2+bx+c<0恒成立，则有a<Q,且△<().

②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).

3.给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略

解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求

谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列

式求解.

4.常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略

不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：

(1)对任意的xe[加闭,。次x)恒成立今。次吟的；

若存在xe[m,n],。次无)有解=>

若对任意xG[m,n],。次r)无解今

(2)对任意的xe[加川，。矶r)恒成立=>a<fix)min；

若存在xe[m,n],。牙X)有解今a</(x)max；

若对任意xe[m,n],。勺(x)无解今a^fix)max.

►举一反三

【题型1一元二次不等式在实数集上恒成立问题】

【例1】(2023•江西九江•校考模拟预测)无论久取何值时，不等式7-2日+4>0恒成立，贝妹的取值范

围是()

A.(-oo,-2)B.(-co,-4)C.(-4,4)D.(-2,2)

【变式1-1]（2023・山东潍坊・统考一模）“66（-2,2）”是，卬久€凡#-法+120成立，，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式1-2]（2023上•福建三明•高一校联考期中）己知函数f（X）=-#+a%-4.

（1）当a=5时,解不等式/（久）<0;

（2）若不等式/（%）40的解集为R,求实数。的取值范围.

【变式1-3]（2023上•浙江•高一校联考期中）已知函数/G）=（a2-2a）7+（2a-2）x+l.

（1）若对VxeR,都有/（x）〉-l成立，求实数a的取值范围；

（2）解关于x的不等式八式）>0.

【题型2一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】

【例2】（2023•辽宁鞍山•鞍山一中校考二模）已知当x>0时，不等式：7-加久+16>0恒成立，则实数

血的取值范围是（）

A.（-8,8）B.（-oo,8]C.（-oo,8）D.（8,+8）

【变式21]（2023上•辽宁铁岭•高三校联考期中）已知Vxe[l,2],VyG[2,3],y2-xy-mx2<0,则实

数冽的取值范围是()

A.[4,+oo)B.[0,+8)C.[6,+8)D.[8,+8)

【变式2-2](2023上•福建莆田•高一校考期中)设函数/0)=/-2垃+2,其中teR.

(1)若力=1,且对任意的工€[a,a+2],都有f(%)45,求实数a的取值范围；

(2)若对任意的4%2G都有|/(%i)-/(叼)|<8,求实数t的取值范围.

【变式2-3](2023上•江苏盐城•高一校联考期中)设函数/(%)=Tn/一7n%一1.

(1)若对于％W[-1,1]/(%)<-m+5恒成立，求m的取值范围；

(2)若对于me[-2,2]/(x)<-TH+5恒成立，求％的取值范围.

【题型3给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】

【例3】(2022下•河南濮阳・高一濮阳一高校考期中)已知当时，j+(a—4)%+4-2a>0恒

成立，则实数%的取值范围是()

A.(-8,3)B.(-8,1]u[3,+8)

C.(-00,1)D.(-8,1)U(3,+8)

【变式3-1](2023上•山东淄博•高一校考阶段练习)若命题。%2一(2。一1)%+3一。<0"

为假命题，则实数%的取值范围为()

A.{x|-1<x<4]B.^x|o<x<|j

C.卜1-1WxW0或gWxW4}D.^x|-1<x<OH^|<x<4j

【变式3-2](2023上•浙江宁波•高一校考阶段练习)(1)解关于x不等式a%2-3x+2>5-ax(a>0)；

(2)若对于-2WmW2,不等式7n#-7n久-1<_爪+5恒成立，求x的取值范围.

【变式3-3］（2023上•山东潍坊•高一校考阶段练习）已知关于x的不等式

（1）是否存在实数m,使不等式对任意xeR恒成立，并说明理由；

（2）若不等式对于me［-2,2］恒成立，求实数比的取值范围；

（3）若不等式对xe［2,+8）有解，求小的取值范围.

【题型4一元二次不等式在实数集上有解问题】

【例4】（2023下•辽宁阜新•高二校考期末）若命题汨％eR,Mm+2<0”为真命题，则实数加

的取值范围是（）.

A.771<-1或771>2B.7711或m22

C.-1<m<2D.-1<m<2

4-Y+m

【变式4-1］（2023上•高一课时练习）若存在％ER,使得^------22成立，则实数6的取值范围为

x-2%+3

A.(m\m<0}B.(m\m>0}

C.{m\m>-2}D.{m\m<-2}

【变式4-2](2022上•湖南•高一统考期末)设函数/(x)=a'+(b-i)x+2.

(1)若不等式f(久)<0的解集为(1,2),求实数a,6的值；

(2)若/(-1)=5,且存在使f(x)<l成立，求实数a的取值范围.

【变式4-3](2022上•辽宁沈阳•高一校联考期中)已知“幻=久2-。尤-6a,其中a是常数.

(1)若f(x)<0的解集是51-3<久<6},求a的值，并求不等式/(%)20的解集；

(2)若不等式f(x)<。有解，且解区间的长度不超过5个单位长度，求实数a的取值范围.

【题型5一元二次不等式在某区间上有解问题】

【例5】(2023・河南•长葛市统考模拟预测)已知命题“叫6[-1,1],-焉+3,+a>0”为真命题，则实

数a的取值范围是()

A.(一8,-2)B.(一8,4)C.(-2,+oo)D.(4,+8)

【变式5-1](2023上•福建•高一校联考期中)若至少存在一个x<0,使得关于万的不等式3-|3久-a|>7

+2久成立，则实数a的取值范围是()

/37\/13\/3713\,、

A.(-不3)B.(-3彳)C.(-不彳)D.(-3,3)

【变式5-2](2023上•重庆•高一校联考阶段练习)已知函数f(%)=27—2a%+l.

(1)解关于久的不等式/(%)>a+1-x；

(2)若不等式/(%)V0在％E[-2,0)上有解，求实数a的取值范围.

【变式5-3](2023上•山东淄博•高一校考期中)设函数/(%)=m%2一6%一1.

(1)若命题：R,/(%)>0是假命题，求机的取值范围；

(2)若存在Xe(-10)/(%)>(m+l)x2+3成立，求实数zn的取值范围.

【题型6一元二次不等式恒成立、有解问题的综合应用】

【例6】(2023上•浙江台州•高一校联考期中)已知函数f(%)=2j一。％+。2一4,g(%)=j一%+/一?

,(a6R)

(1)当。=1时，解不等式/(久)>g(%)；

(2)若任意久>0,都有/(%)>g(%)成立，求实数a的取值范围；

⑶若G[0,1],Sx2e[0,1],使得不等式>g(%2)成立，求实数Q的取值范围.

【变式6-1］（2022上•重庆渝中•高一校考阶段练习）若命题p：存在lWxW2,/-%+3-a<0,命题q：

二次函数y=%2-2ax+1在1<x<2的图像恒在x轴上方

（1）若命题p,q中至少有一个真命题，求a的取值范围？

（2）对任意的-1WaW1,存在0WbW2,使得不等式¥-2。尤+a2|b-1|+|b-2|成立，求x的取值范

围？

【变式6-2］（2023下•浙江•高二统考学业考试）设二次函数/（久）=/+"+。（仇。eR）.

（1）若c=b,且/（久）在［0,2］上的最大值为c+2,求函数/'（X）的解析式；

（2）若对任意的实数6,都存在实数,6［1,2］,使得不等式|/（%）|2和成立，求实数c的取值范围.

【变式6-3］（2023上•天津北辰,高一校考阶段练习）已知函数为=x+爪和为=ax?++c.

(1)若c=2-a,关于％的不等式a%2+b%+c>0的解集是{%|一1v%<3}.求实数a,b的值；

(2)若c=2-a,b=2,a>0,解关于％的不等式a/+必+c〉0；

病

(3)若a=l,b=-m,c=-^-+2m-3,对V4E{%|0<%<1},^3%2G{x|l<x<2},使得丫1(%1)>丫2

(%2)，求实数M的取值范围、(注：丫1(%1)表示的是函数丫1=%+血中％1对应的函数值，、2(%2)表示的是当

=ax+bx+c中式2对应的函数值.)

►直击真题

1.(2005•辽宁•高考真题)定义在灭上的运算：％*y=