高考数学解答题提高第一轮复习：利用导函数研究函数零点问题（典型题型归类训练）（学生版+解析）

专题07利用导函数研究函数零点问题

(典型题型归类训练)

目录

一、必备秘籍........................................................1

二、典型题型........................................................2

题型一：判断(讨论)零点(根)个数问题...........................2

题型二：证明唯一零点问题.........................................3

题型三：根据零点(根)的个数求参数...............................4

三、专项训练........................................................5

一、必备秘籍

1、函数的零点

(1)函数零点的定义：对于函数y=/O),把使/(%)=0的实数x叫做函数y=/(x)的零点.

(2)三个等价关系

方程/(%)=0有实数根。函数y=/(x)的图象与x轴有交点的横坐标o函数y=/(%)有零点.

2、函数零点的判定

如果函数y=/(x)在区间句上的图象是连续不断的一条曲线，并且有/3>/3)<0,那么函数

y=/(x)在区间(。力)内有零点，即存在ce(a,3,使得/(c)=0,这个c也就是/(%)=0的根.我们把

这一结论称为函数零点存在性定理.

注意：单调性+存在零点=唯一零点

3、利用导数确定函数零点的常用方法

(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题(画草

图时注意有时候需使用极限).

(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极

值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.

4、利用函数的零点求参数范围的方法

(1)分离参数(a=g(x))后，将原问题转化为y=g(x)的值域(最值)问题或转化为直线V=。与y=g(x)的

图象的交点个数问题（优选分离、次选分类）求解;

（2）利用函数零点存在定理构建不等式求解;

（3）转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.

二、典型题型

题型一：判断（讨论）零点（根）个数问题

1.（2023•河北邯郸•统考模拟预测）已知函数F（x）=lnx+（。—2）x+a.

Q）若°=1，求曲线y=〃x）在点（e，〃e））处的切线方程；

⑵讨论函数〃尤）的零点个数.

2.（2023•陕西渭南•校考模拟预测）已知函数/。）=二-办-1,其中e为自然对数的底数.

（1）求的单调区间：

（2）讨论函数/（X）在区间［0,1］上零点的个数.

3.（2023上,广东中山•高三校考阶段练习）设函数=g（x）=x2-（m+l）x,m>0.

（1）求函数的单调区间；

⑵当机“时，讨论”X）与g（x）图象的交点个数.

4.(2023上,上海虹口,高三校考期中)函数/O)=sinx+cos尤，g(x)=ln尤

⑴求函数y=/(x)在点(0,1)的切线方程；

(2)函数y=2+2g。)，(meR,777^0),是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由;

⑶若meR,请讨论关于尤的方程劭=Y-2ex+加解的个数情况.

X

5.(2023上•广东揭阳•高三统考期中)给定函数〃x)=(x+2)e，.

(1)讨论函数〃尤)的单调性，并求出的极值；

⑵讨论方程/(x)=a(aeR)解的个数.

题型二：证明唯一零点问题

1.(2023上•广东珠海•高三校考阶段练习)已知函数〃x)=2sin尤-xcosx-x,y=/'(x)为y=的导

数.

⑴求曲线y=〃x)在处的切线方程：

⑵证明：y=尸(x)在区间(o,兀)存在唯一零点；

2.(2023上•黑龙江•高三校联考阶段练习)已知函数〃x)=x+lnx,g(x)=e'lnx+o,且函数〃尤)的零

点是函数g(x)的零点.

⑴求实数a的值；

(2)证明:y=g(x)有唯一零点.

3.(2023下•河南•高三校联考阶段练习)己知函数f(x)=a尤-Inx,oeR.

(1)过坐标原点作f(x)的切线，求该切线的方程；

⑵证明：当。＜0时，/(©+依2=0只有一个实数根.

题型三：根据零点(根)的个数求参数

1.(2023上•北京•高三景山学校校考期中)已知函数〃x)=ln(ax)-g无3(4片0).

⑴当。=2时，求曲线y=/(x)在点二,出"处的切线方程；

⑵讨论函数的单调性；

⑶当。=1时，设g(x)=/(x)+r,若g(©有两个不同的零点，求参数r的取值范围.

三、专项训练

一、单选题

1.（2024上•广东江门•高三统考阶段练习）直线尤+y=0与函数y=lnx-Y的图象公共点的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2023上•河北•高三校联考期末）已知函数/（x）=eAa-lnx-a有两个零点，贝"的取值范围为（）

A.（l,+oo）B.（e,+co）C.[1,+℃）D.[e,+oo）

3.（2023下广东阳江,高二校考期中）若函数/（尤）=尤3-3x-左在R上只有一个零点，则常数k的取值范围

是（）

A.（YO,T）B.（2,+co）

C.（^»,-l）u（l,+oo）D.（―,-2）U（2,+a3）

二、填空题

Inx

4.（2023上•江苏常州•高三统考期中）若关于x的方程一=f有两个不相等的实数根，则实数f的取值范

x-2

围是.

£±1x<0

5.（2023•贵州遵义•统考模拟预测）已知函数〃x）=e，'-，若关于x的不等式/（%）+4（耳<0恰

x2-x,x>0

有一个整数解，则实数。的取值范围为.

6.（2023下•重庆江北•高二重庆十八中校考期中）已知函数=的图象与函数g（x）=ar+alnx的图

象有两个交点，则实数。的取值范围是.

三、问答题

7.（2023上•山东•高三济南一中校联考期中）已知函数〃工）=二+2召—依+2（aeR）.

⑴若函数y=在xe[l,+e）上单调递增，求。的取值范围；

⑵若函数y=/（x）的图象与y=4。-元）有且只有一个交点，求〃的取值范围.

8.(2023上•吉林长春•高一吉林省实验校考期中)已知函数/(x)=V—(a+2)x+aln尤，(aeR)

(1)求函数的单调区间与极值点；

(2)若。=4,方程7。)-机=0有三个不同的根，求机的取值范围.

9.(2023上■江苏■图二校联考阶段练习)已知函数/(x)=-尤,sinx-cosx.

⑴若曲线y=在点(%"(x。))处的切线与x轴平行，求该切线方程；

⑵讨论曲线y=〃尤)与直线y=。的交点个数.

10.(2023下•山东荷泽•高二校考阶段练习)给定函数〃x)=(x+3)e，

(1)判断的单调性并求极值；

⑵讨论/(x)=7〃(nieR)解的个数.

专题07利用导函数研究函数零点问题

(典型题型归类训练)

目录

一、必备秘籍........................................................1

二、典型题型........................................................2

题型一：判断(讨论)零点(根)个数问题...........................2

题型二：证明唯一零点问题.........................................3

题型三：根据零点(根)的个数求参数...............................4

三、专项训练........................................................5

一、必备秘籍

1、函数的零点

(1)函数零点的定义：对于函数y=/O),把使/(%)=0的实数》叫做函数y=/(x)的零点.

(2)三个等价关系

方程/(%)=0有实数根。函数y=/(x)的图象与x轴有交点的横坐标o函数y=/(x)有零点.

2、函数零点的判定

如果函数y=/(x)在区间句上的图象是连续不断的一条曲线，并且有/3>/3)<0,那么函数

y=/(x)在区间(。力)内有零点，即存在ce(a,b),使得/(c)=0,这个。也就是/(x)=0的根.我们把

这一结论称为函数零点存在性定理.

注意：单调性+存在零点=唯一零点

3、利用导数确定函数零点的常用方法

(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题(画草

图时注意有时候需使用极限).

(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极

值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.

4、利用函数的零点求参数范围的方法

(1)分离参数(a=g(x))后，将原问题转化为y=g。)的值域(最值)问题或转化为直线V=。与y=g(x)的

图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；

(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；

(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.

二、典型题型

题型一：判断(讨论)零点(根)个数问题

1.(2023•河北邯郸•统考模拟预测)已知函数/(x)=lnx+(a—2)x+a.

⑴若a=l,求曲线y=/(x)在点(ej(e))处的切线方程；

(2)讨论函数/(X)的零点个数.

【答案】①]：一1卜一y+l=0

⑵答案见解析

【详解】(1)当a=l时/(x)=lnx—x+l,贝ij/(e)=lne—e+l=2—e,

r(x)=--l,所以尸(e)」一1,

xe

所以曲线y=〃x)在点(e"(e))处的切线方程为y-(2-e)=g-"(x-e),即1-1卜-y+1=0.

(2)函数〃x)=lnx+(a-2)x+a定义域为(0,+8),

=—+a-2,

当a-220,即a»2时外")>°恒成立，所以〃尤)在(。，+“)上单调递增，

又当x趋向于。时〃x)<0,/(l)=2a-2>0,所以函数〃力有一个零点;

当a-2<0,即a<2时令/'(x)=0,解得x=—，

所以当0<%〈七时方(无)>。，当尤>心时r(尤)<。，

所以/(x)在上单调递增，在上单调递减,

当X趋向于0时/(尤)<0,当X趋向于正无穷时〃x)<0,又，4]=ln(不匚]-1+”,

—CL)[2—CL)

1

令"(a)=In—1+〃(a<2),

2—ci

贝U〃(a)=4+l>0,所以〃(a)在(—,2)上单调递增，且可1)=0,

若=1"六)T+“>°'即1<"<2时函数〃x)有两个零点；

若/［一［=1"占卜1+"=°'即。=1时函数A”有一个零点；

若/(£］=ln［六］T+"。，即。<1时函数/(X)没有零点；

综上，当a<1时函数〃x)没有零点，当。=1或时函数〃x)有一个零点，当1<。<2时函数〃x)有两

个零点.

2.(2023•陕西渭南•校考模拟预测)已知函数/(x)=e，-"-1,其中e为自然对数的底数.

(1)求/⑴的单调区间：

⑵讨论函数/(X)在区间［。山上零点的个数.

【答案】(1)答案见解析

⑵答案见解析

【详解】C1)因为/(x)=e*-or-l,所以f(x)=e*-a,

当a40时，/(幻>0恒成立，

所以的单调增区间为(-«,+®),无单调减区间.

当a>0时，令f\x)<0,得x<Ina,

令TOO,得x>lna,

所以/“)的单调递减区间为(-jIna),单调递增区间为(Ina,+8).

(2)由(1)知,f'(x)=ex-a.

①当a41时，/(x)在区间［0,1］上单调递增且f(0)=0,

所以/")在区间［0,1］上有一个零点.

②当a2e时，/(%)在区间［0,1］上单调递减且/(0)=0,

所以,⑴在区间［0,1］上有一个零点.

③当l<a<e时，/(x)在区间［0,Ina］上单调递减，在(Ina,1］上单调递增,

而/(l)=e-a-l.

当e-a-120,即l<aVe-1时，/(元)在区间［0,1］上有两个零点.

当e—a—1<0,即e-l<a<e时,/*)在区间［0,1］上有一个零点.

综上可知，当aVl或a>e-l时，/⑺在［0,1］上有一个零点，

当l<aWe-l时，/(x)在区间［。,1］上有两个零点.

【点睛】方法点睛：利用导数处理函数零点常用方法

(1)构造新函数g(x),利用导数研究g@)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.

(2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点.

3.(2023上•广东中山•高三校考阶段练习)设函数/(尤)="1尤2-g(x^x2~(m+r)x,m>0.

⑴求函数的单调区间；

(2)当机“时，讨论/(x)与g(x)图象的交点个数.

【答案】(1)单调递增区间是(而,”)，单调递减区间是(0,而)

(2)函数“X)与g(无)的图象总有一个交点

【详解】(1)函数“X)的定义域为(0,+“)，尸⑺」犬+册)6刊.

当0<尤<而时，/，(x)<0,函数单调递减；

当尤〉而时，f^)>0,函数/(x)单调递增.

综上，函数/(无)的单调递增区间是(赤，+8),单调递减区间是(。，市).

⑵令尸(x)=/(x)-g(x)=+(m+l)x-mlnx,x>0,

题中问题等价于求函数尸(x)的零点个数.

〃⑺=T+(m+l)-『-生牛⑹，

当相=1时，F(x)<0,函数尸(x)为减函数，

因为F⑴=]>(),F(4)=-ln4<0,所以网尤)有唯一零点；

当加>1时，0<x<l或时，F,(x)<0；1cx时，Fz(x)>0,

所以函数歹(X)在(0,1)和(m,+30)上单调递减，在(1,m)上单调递增，

因为尸(1)=根+(>。，

F(2m+2)=—«71n(2o7+2)<0,

所以*x)有唯一零点.

综上，函数“尤)有唯一零点，即函数〃尤)与g(x)的图象总有一个交点.

4.(2023上•上海虹口•高三校考期中)函数/'(x)=sinx+cosx,g(x)=lnx

(1)求函数y=/(尤)在点(0,1)的切线方程;

(2)函数y=§+2gQ),(meR,777^0),是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由;

⑶若小eR,请讨论关于X的方程小»=/-2eX+相解的个数情况.

［答案］⑴％_y+i=o；

⑵m<0时无极值点；m>0时有极小值点X=而，无极大值点.

⑶答案见解析.

【详解】(1)由题设/'(X)=cos尤-sinx,则/'(0)=1,而洋0)=1,

所以，切线方为y-i=x,即x-y+i=o.

2A77

(2)由题设y=—rn+21nx,则y=—(1—1),且x£(0,+(x)),

XXX

当机v。时，y'>0恒成立，故〉=二+21nx在(0,+s)上递增，无极值；

x

当机>0时，xG(0,Vm)<0,%£(V^?,+8)时y'>0,

贝！Jy=2+21nx在%£(0,诟)上递减，在%£(标,+8)上递增；

此时有极小值点为尤=而，无极大值点.

Inx

(3)由题意，只需讨论根=——/+2前在%£(0,+s)上根的情况，

x

令/z(x)=+2ex,贝=~^^+2(e-x),而〃(e)=0,

xx

当兀£(0,e)时/(尤)>0,/z(x)递增；当无£(e,+8)时〃(%)<0,/?(%)递减；

且x趋向0或+8时%(%)趋向-，极大值为人(e)='+e2,

e

综上，当根〉，+e2,原方程有无解；当机=工+匕2,原方程有一个解；当加<1+。2,原方程有两个解;

eee

5.(2023上•广东揭阳•高三统考期中)给定函数〃x)=(x+2)e\

⑴讨论函数/(x)的单调性，并求出/(%)的极值；

(2)讨论方程/⑺=。(。eR)解的个数.

【答案】⑴〃尤)在区间(―,-3)上单调递减，在区间(-3,内)上单调递增；极小值为-《，无极大值

(2)答案见解析

【详解】(1)函数的定义域为xeR.

r(x)=(x+2)&+(x+2乂e*)'

=e，+(x+2)e，=(x+3)e\

令/'(x)=0,解得x=-3,

f\x),“X)的变化情况如表所示.

X-3(-3,+co)

/(x)-0+

“X)单调递减单调递增

e3

所以，“X)在区间(为,-3)上单调递减，在区间(-3,—)上单调递增.

当尤=一3时，〃力有极小值〃-3)=-，，/(X)无极大值

(2)方程/(x)=a(aeR)的解的个数为函数y=的图象与直线y=。的交点个数.

令〃x)=0,解得x=—2.

当尤＜一2时，/(x)＜0；当x＞-2时,/(x)＞0.

又由(1)可知，"X)在尤=-3时有唯一极小值，也是最小值-

所以，的图象经过特殊点1-3,(-2,0),(0,2).

且当x＞0时,有〃x)=(x+2)eje，；

当尤＜一2时，有"x)=(x+2)e，＜0.

如图，作出函数的图象

由图象可得，

当时，y=f(x)与的图象没有交点，所以方程〃x)=a的解为。个；

当。=-5或。20时，y=/(x)与y="的图象只有一个交点，所以方程=a的解为1个;

当-4＜。＜0时，y=〃x)与y=。的图象有两个交点，所以方程〃力=。的解为2个.

题型二：证明唯一零点问题

1.(2023上广东珠海•高三校考阶段练习)已知函数〃x)=2sinx-xcosx-x,y=尸(力为y=的导

数.

⑴求曲线y=〃x)在[jg,处的切线方程：

(2)证明:丫=/(无)在区间(0㈤存在唯一零点；

【答案】(1)，=(，-小+2-?；

⑵证明见解析.

【详解】(1)f[^)=2sm2~2C°S2~2=2~2,所以切点为[32-刃|,

又/'（九）=2cosx-cosx+xsinx-l=cosx+xsinx-1，

所以左=/15j=cos5+Tsin5—l=5-l,

所以切线方程为y_（2---]]，即y=^|T）X+2_5;

(2)由(1)矢口/'(x)=cos犬+xsinx-1,令g(x)=/'(x)=cosx+xsinx-l

贝！Jg'(%)=一sinx+sinx+xcosx=xcosx,

令g[x)>0,解得XJo,此时g(x)单调递增，

令g[x)<0,解得此时g(x)单调递减，

所以g(x)max=&0=/1>。,

又g⑼=1-1=0,所以在区间]。,£|上g(x)>0恒成立，

g(7i)=-l-l=-2<0,所以存在％eg,。使得g(x())=0,

所以g(x)在(0,兀)上存在唯一的零点七,

即y=/(力在区间(o,兀)存在唯一零点,得证.

【点睛】方法点睛：导数问题一般可以先通过求导得到函数的单调性，再由单调性判断函数的图像，根据

图像解决相关问题.

2.(2023上•黑龙江•高三校联考阶段练习)已知函数/'(x)=x+lnx,g(x)=e'lnx+a,且函数的零

点是函数g(x)的零点.

(1)求实数a的值；

(2)证明：y=g(x)有唯一零点.

【答案】(1)1

⑵证明见详解

【详解】(1)由，(x)=x+lnx易判断〃尤)在(0,+功单调递增，

且/臼」+1/」一1<0,f(l)=l+lnl=l>0,

VeJeee

所以可令/(%o)=Xo+ln/=0,

得%=Tn%,所以Xo+ln/=111(%0匕与)=。=%0匕%=1,

由题意g(%o)=0,即e%In%+〃=-e^Xo+a=-l+a=O9

所以Q=1；

(2)g(x)=e"lnx+l,则g<x)=e(lnx+1,

令p(x)=lnx+，，贝|//(尤)=1y=,

XXXJC

所以当xw(O,l)时，p(x)<0,P(尤)单调递减，当xw(l,+°o)时，0(尤)>0,P(x)单调递增，所以

p(x)2p⑴=1>0,

所以，(尤)=e(ln尤+：)>0,

结合(1)可得存在唯一使得g(%)=0,即函数y=g(x)有唯一零点.

【点睛】关键点点睛：解决本题(D的关键是通过同构得出％e'。=1；(2)的关键是二次求导确定函数的

单调性.

3.(2023下•河南•高三校联考阶段练习)已知函数f(x)=ox-lnx,«eR.

⑴过坐标原点作〃x)的切线，求该切线的方程；

⑵证明：当好0时，/。)+以2=0只有一个实数根.

【答案】(i)y=,T]x

(2)证明见解析

【详解】(1)函数〃尤)的定义域为(0,+动，设切点为(如/-皿)，

f'[x)=a--,则((%0)=。-工，

X玉)

故切线方程为丁-(硒)-1叫))=a(x-x0),

Ixo)

由切线过原点。一(o%—1叫))=A-----^(O-XQ),得/=e,

所以所求切线方程为y=jx；

（2）要证明a<0时，/（力+依2=0只有一个实数根，

即证+=0只有一个实数根，

令/2（犬）=办一101：+加（%>0）,

l7，/\］clax2+ax-1„

贝17n！（%）=a---F2ax=----------<0，

xx

即〃（%）单调递减，

当x=时，=ae"—3a+ae，">a—3a+a=—a>0,

又力⑴=2av0,

由此可知，〃（%）的图象在（O,+。）上有且只有一个公共点，

从而。<0时，/（九）+依2=。只有一个实数根.

【点睛】思路点睛：本题第二问解题思路是构造函数令人（同=改-lnx+办2@>0）,结合零点存在性定理求

解.

题型三：根据零点（根）的个数求参数

1.（2023上•北京•高三景山学校校考期中）已知函数/（x）=ln（ax）-；尤3mH0）.

⑴当。=2时，求曲线y=/（x）在点g，U处的切线方程；

⑵讨论函数/（X）的单调性；

（3）当。=1时，设g（元）=/（元）+/,若g（尤）有两个不同的零点，求参数f的取值范围.

【答案】（l）2U2y-ll=0；

（2）答案见解析；

⑶，>；.

【详解】（1）由题设/（元）=ln（2x）尤3,则广⑴△一炉,故/（3=一上，

3x22424

所以在点［I，/］；1］处的切线方程为>+：=］（无一；），Bp21x-12y-ll=0.

\1_3

（2）由尸（无）=上一无2=£^rL,

xx

当。<0,定义域为xe（』,0）,此时l-d>o,故尸（无）<0,即小）在（-8,0）上递减;

当。>0,定义域为工£(0,+oo),

若工£(0,1),则八%)>0,/(%)在(0,1)上递增;

若工£(1,+8),则r(x)<0,/(x)在(1,+00)上递减；

(3)由题设，f(x)=lnx--x,故g(x)=lnx-§d+/在无£(0,+8)有两个不同零点,

所以t=gx3-inx在在尤40,+8)有两个不同根，

1丫3_］

令人>)=一%3一1口工，则/(%)=----,

3x

在无£(0,1),则〃(x)<0,力(X)在(0,1)上递减，

在%£(1,+8),则%尤)>0,/z(x)在(1,+00)上递增，且人⑴=g,

X趋向于。或+8时人(尤)都趋向于+8,故只需满足题设.

2.(2023・陕西咸阳•校考模拟预测)已知函数〃%)=疣二履2欢£R.

⑴当k=0时，求函数/⑺在［-2,2］上的值域；

⑵若函数/(力在(0,+")上仅有两个零点，求实数上的取值范围.

1J

【答案】⑴—，2e2

e

(2)(e,+oo)

【详解】(1)当％=0时，/(x)=x-e"(xeR),所以解(x)=(l+x>e",

令广(力=。，则X=T.

(-2,-1)-1(T2)

-0+

“X)单调递减极小值单调递增

12

所以〃尤)min="T)=一『=一一，又〃一2)=-三,"2)=2d,

ee

所以“X)在［-2,2］上的值域为-。2片.

(2)函数/(天上m'-小=x(e'-Ax)在(0,+s)上仅有两个零点,

令g(x)=e“-kx,则问题等价于g(x)在(0,+8)上仅有两个零点,

易求g《x)=e、J左，因为xe(0,4w),所以e*>L

①当左时，8'(尤)>0在(0,+8)上恒成立，所以g(无)在(0,+功上单调递增，

所以g(x)>g(O)=l,所以g(x)在(O,+e)上没有零点，不符合题意；

②当左e(l,+oo)时,令g[x)=O,得x=ln3

所以在(0,如左)上g'(%)<0,在(1M,+8)上g'(x)>0,

所以g(元)在(0/")上单调递减，在0成,+动上单调递增，

所以g(x)的最小值为g(lnF)=左-左•1水,

因为g(x)在(0,+8)上有两个零点，

所以g(ln&)=左一左JM<0,所以左>e.

因为g(0)=l>0,g(ln左2)=左2—左.]n左2=左(左_21n左)，

7Y-?

令/z(x)=尤-21nx,/7'(元)=1-二=---,

所以在(0,2)上〃(x)<0,在(2,+8)上,〃(x)>0,所以无⑴在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增;

所以;/(尤)上2—21n2=lne2—ln4>0,所以g(l加=左(左一2皿)>0,

所以当k>e时，g(x)在(0,1加)和(in匕+8)内各有一个零点，即当“e时，g(无)在(0,+<»)上仅有两个零点.

综上，实数上的取值范围是(e,+8).

3.(2023上■重庆涪陵•高三重庆市涪陵高级中学校校考开学考试)已知函数/(x)=gx3+«x,g(x)=-x2-a(aeK).

(1)若函数/。)=〃幻-8。)在工€[1,+8)上单调递增，求。的最小值；

(2)若函数G(x)=/(x)+g(x)的图象与>=依有且只有一个交点，求〃的取值范围.

【答案】⑴-3

4

(2)u(0,»)

【详解】(1)F(x)=f(x)-g(x)=^x3+ax+x2+a,F'(x)=x2+2x+a,

因函数/。)=/(尤)-g(x)在无e[1,+8)上单调递增，

所以尸'(x)=V+2》+。之0在无e[l,+oo)T亘成立，gpa>(-x2-2x),a>-3,

・••〃的最小值为-3.

(2)G(x)=/(x)+g(%)=93—公+⑪”与丁=办有且只有一个交点，

即^x3-x2+ax-a=ax只有一个根，

-x2-〃=0只有一个根，

令〃⑺=；/一一,所以〃⑺的图象与y=a的图象只有一个交点，

/?,（x）=x2-2x,令〃（x）＞0,解得x＜0或x＞2,

令〃（无）＜0,解得0＜x＜2,所以万⑺在（一吗0）,（2,+8）上单调递增,（0,2）上单调递减，〃（x）的图象如

下所示：

••力⑺极大值=人⑼=°皿"极小值=〃⑵=一g，

又的图象与y=a的图象只有一个交点，

4

a€（-co,--）u（0,oo）.

2

4.（2023下•湖南衡阳•高二校考阶段练习）己知函数/（x）=§尤3-信+1）尤2+2履，g⑺=2履+1（其中keR）.

⑴讨论函数〃尤）的单调性；

⑵若方程f（x）=g（x）有三个根，求左的取值范围.

【答案】⑴答案见解析

（2）（9,_珍-1）.

【详解】（1）解：由题意得函数〃元）的定义域为R,

/'（尤）=2尤2-2（左+l）x+2左=2（%—1）（了一女）,

①当左=1时，/'（%）＞0,即/（尤）在R上单调递增；

②当左＞1时，由/''（x）＞0,得x＜l或无〉上，由/得l＜x＜左，

\〃勾在（1，无）上单调递减,在（＜，1）和（k+8）上单调递增;

③当左＜1时，由/''（x）＞0得了＜兀或x＞l,由/'（x）＜0得k＜x＜l,

\〃尤）在（晨1）上单调递减，在（―，左）和（1，+8）上单调递增，

综上所述，当左=1时，“X）在R上单调递增；

当上＞1时，“X）在（1,左）上单调递减，在（-8,1）和伏,+00）上单调递增；

当左＜1时,“尤）在（k1）上单调递减，在（-»，外和（1，+8）上单调递增；

(2)方程〃x)=g("有三个根，即-依+1)/+2履=2辰+1有三个根，

.•yd-伏+1)/_1=0有三个根，显然x=0不是方程的根，

则％=9(x1-有三个根，即>=上与函数〃(x)=：9x-十1-1的图象有三个交点,

h'(x)=-+^,令〃(x)=0,可得x=_%，

由〃(x)>0,可得x<—旨或x>0,由〃'(x)<0,可得一跖<尤<0,

则h(x)在~,-汨和(0,+8)上单调递增，在卜班,0)上单调递减，

r./z(x)在％=-^3处取得极大值为h：一回1,

当Xf-8时，/z(x)->YO,当x->0-时，/z(x)->ro,

当尤.0+时，〃(无)-当xf+oo时，/?(x)f+co,

如图所示：

,、D1

，要使y=左与函数〃(x)=三无--T-1的图象有三个交点，

3x

只需左〈-为-1,.”的取值范围是卜8,-3-1).

5.(2023下•浙江衢州•高二统考期末)已知函数/(x)=F

⑴若过点(0,〃z)作函数/(尤)的切线有且仅有两条，求〃?的值；

(2)若对于任意左e(3,0),直线广质+》与曲线y=/(x)(xe(O,+8))都有唯一交点，求实数b的取值范围.

4

【答案】(1)m=下

e

4

⑵〜

【详解】(1)设过点(。,〃2)作函数〃尤)切线的切点为［.A),

因为r(x)=±3,所以切线方程为y-==F(x-。)，BPy=—x+—,

eeeee

2

又因为切线过点(0,加)，所以机=3

令g(x)=9,则8，(司=哼立，

ce

所以xe(-oo,0),g1尤)<0,g(x)递减;

xe(O,2),g，(x)>0,g(x)递增;

xe(2,-H»),g[x)<0,g(x)递减.

当尤=0时，g(x)取极小值g(0)=0；当x=2时，g(x)取极小值g⑵=，,

g(o)=o,尤<0时g(x)>0；尤>0时g(x)>0,

根据以上信息作出g(x)的大致图象，

由题意，直线y=加与g(元)的图象有且仅有两个交点，

4

所以机=g⑵=下.

e

Y11~)

(2)由题可得日+人==有唯一解，即左==-一出>。有唯一解.

eex

i卜

令/z(x)=——,%>0,

ex

若bwo,贝1」了一一>0与题设左£(—,0),矛盾，故b>0.

ex

又因为xf0,/2(%)一—8;%f+8,/z(x)^O,

1h

结合题意可得"(X)=《在(0,+8)上单调递增，

ex

结合⑴可得用=。所以》q.

三、专项训练

一、单选题

1.(2024上•广东江门•高三统考阶段练习)直线x+y=O与函数y=lnx-/的图象公共点的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

[详解]联立x+y=0与y=]nx—尤2,消去y得，/一元_inx=0,

令/(无)=x2-x-lnx,xe(0,+<»),求导得f'(x)=2x-l--=+~,

xx

当xe(0,l)时，尸(x)<0J(x)单调递减；当xe(l,+s)时，r(x)>0,〃x)单调递增，

因此/(X)mm=/⑴=0，函数F3有唯一零点1,

所以直线无+丁=0与函数y=lnx-尤2的图象公共点的个数为L

故选：B

2.(2023上•河北•高三校联考期末)已知函数/(%)=/-“-Inr-。有两个零点，贝的取值范围为()

A.(1,+(»)B.(e,+co)C.[1,+℃)D.[e,-H»)

【答案】A

【详解】令/3=。,则ei=lwc+a,

注意函数/=6>。与函数y=hu:+a互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，

则要使函数/(x)有两个零点，只需y=hu+。与直线y=x有两个交点即可，

即关于X的方程lnx+a=x有两个根，即。=x-hu在(0,+8)上有两个根，

设g(x)=x-lnx,贝i]g[x)=l-L

X

易知当0<x<l时，gr(x)<0,g(无)单调递减，

当x>l时，g'(x)>。，g(x)单调递增，

则g(X)min=g(D=l，且X-。时，g(X)T"+<»,当X-+8时，g(x)—+co，

故4>1,

故选：A.

3.(2023下•广东阳江•高二校考期中)若函数，(x)=V-3x-人在R上只有一个零点，则常数k的取值范围

是()

A.(-<x>,-l)B.(2,+8)

C.(^»,-l)u(l,+oo)D.(f,-2)U(2,+s)

【答案】D

【详解】令/(x)=d-3x-左=0,贝1]/-3%=上，

构建g(力=炉-3了，原题意等价于y=g(力与”上有且仅有一个交点，

因为g，(x)=3/-3,

令g'(x)>0，解得x>l或无<T;令g'(x)<0,解得一

则y=g(x)在(—,T),(i，y)上单调递增，在(Tl)上单调递减，

可得y=g(x)在X=-1处取到极大值g(T)=2,在x=1处取到极小值g⑴=-2,

且当x趋近于时，y=g(x)趋近于一°°,当x趋近于+8时，y=g(x)趋近于+℃,

结合y=g(x)的图象可知：若y=g(尤)与丫=上有且仅有一个交点，则上<—2或左>2,

所以常数k的取值范围是(-8,-2)U(2,y).

故选：D.

二、填空题

InX

4.(2023上•江苏常州•高三统考期中)若关于x的方程一=f有两个不相等的实数根，则实数7的取值范

x-2

围是.

【答案】(0,+8)

121

1nx一(x—2)—InxI----Inx

【详解】令y=〃x)=—^且xw(0,2)U(2,”),则_x__________二%

x—2一(x-2)2.(%—2产

令g(无)=l_2_lnx,则g'(无)=於一，=^~^,

%XXX

当xe(O,2)时g'(x)>0,即g(x)递增；当XW(2,4«)时g'(x)<0,即g(x)递减；

所以g(x)1mx=g(2)=—ln2<。，故以(x)<0恒成立,即在(0,2)、(2,+8)上递减,

而Ovxcl时/(x)>0；1cx<2时/'(x)<0；x>2时/(x)>0；

所以y=F(x)的图象如下图示，故〃尤)=，有两个根0te(0,+s).

故答案为：(0,+8)

----%<0

5.(2023•贵州遵义•统考模拟预测)已知函数/(x)=e*'-，若关于x的不等式产(力+疗(x)<0恰

x2-x,x>0

有一个整数解，则实数〃的取值范围为.

【答案】[-2,—l)u(e2,2e3]

r，(、(x+l^ier-(%+l)er-x

【详解】当x<0时，fW=rj=―鬲—=/上。，

即函数/(X)在(F,0]上单调递增

/(-3)=-2e3,/(-2)=-e2,/(-l)=O,/(O)=l,/(l)=O,/(2)=2

函数〃尤)的图像如下图所示:

由f(x)+4(x)<0得出f(x)(f(x)+o)<0,

当。=0时，显然不成立.

但a>0时，解得-a</(x)<。，使得不等式只有唯一整数解，Itm-2e3<-a<-e2.

即e2<aW2e3时，唯一整数解是x=-2,

当a<0时，0</(x)<-a,使得不等式只有唯一整数解，此时

即—24。<—1时，唯一整数解是x=0.

综上，ae[-2,-l)o(e2,2e3].

故答案为：卜2,-l)u(e2,2e3]

6.(2023下•重庆江北•高二重庆十八中校考期中)已知函数=的图象与函数g(x)=or+alnr的图

象有两个交点，则实数。的取值范围是.

【答案】(e,+8)

【详解】因为〃x)=xe*=e"111”,g(x)=izx+alnx=a(x+ln尤),

且、=x,y=ln尤在(0,+8)上单调递增，可知f=x+lnx在(0,+(»)上单调递增，

由题意可知：函数y=e,的图象与函数y=〃的图象有两个交点，

又因为y'=e',

设切点坐标为(根,加)，则切线斜率左=e“，切线方程为>-泌=暧(/-根)，

若切线过原点，贝！J-e"'=-加e"',解得"z=l,A=e,

结合图象可知：若函数y=e'的图象与函数y=a的图象有两个交点，则a>e,

所以实数。的取值范围是(e,+00).

故答案为：(e,+8).

三、问答题

7.(2023上,山东,高三济南一中校联考期中)已知函数"xb三+Zd-分+2(aw

⑴若函数y=〃x)在xe[l,+8)上单调递增，求。的取值范围；

(2)若函数y=的图象与y=a(l-尤)有且只有一个交点，求a的取值范围.

【答案】⑴(-8,7]

(2)ae(-℃,2)U^—

【详解】(1)由/'(元)=炉+2x?—ar+2,贝(x)=3f+4x—a,

因为函数y=/(x)在xe[l,+e)上单调递增，

所以/''(x)=3d+4x-a20在xe[1,+动恒成立，

gp^<(3x2+4x),

1V/min

而y=3/+4%在％£11,+8)上单调递增，

当x=l时，(3f+4m.=7,

所以“的取值范围

(2)/(x)=x3+2/-依+2与y=a(l—x)有且只有一个交点，

即/+2/_改+2=。(1一%)只有一个根，尤3+2尤2+2=a只有一个根，

令网力=三+2/+2,所以h(x)的图像与>=。的图像只有一个交点，

/Z,(X)=3X2+4X,令〃(X)>0,解得•或X>0,

令〃(x)<0,解得—|<x<0,

所以"(x)在，巴-2,(。,+s)上单调递增，1*。]上单调递减，

所以g)极大值=〃1£|=||，蛆)极小值=力(0)=2,

又因为/z(x)的图像与y=a的图像只有一个交点，所以ae(-s,2)u|||,+，|.

8.(2023上•吉林长春•高一吉林省实验校考期中)已知函数/(力=尤2—(a+2)x+aln尤，(aeR)

(1)