高考数学专项复习：圆锥曲线离心率（解析版）

专题20圆锥曲线离心率

圆锥曲线离心率是高考数学命题中“永不消失的电波”，每年高考数学题中总是离不开圆锥

曲线的离心率问题.为什么会如此呢?其一，离心率是圆锥曲线的重要几何特征;其二，圆锥曲线

的离心率与其他基本量联系密切,容易产生知识交汇;其三，离心率与非解析几何知识相融合

可以检测学生的综合分析能力.圆锥曲线离心率就是椭圆、双曲线的离心率,但由于椭圆、双

曲线可以与平面几何中的三角形、四边形、圆等结合，许多几何性质叠加在一起，使应试者一

时找不到突破口，形成思维卡壳点，必须寻找排除痛点的有效途径.

一、充分挖掘几何图形中几何性质

问题1：如图1,已知椭圆9+5=1（。＞。＞0）的左、右焦点分别为尸1,尸2,1豆尸21=W6P是y

轴正半轴上一点,P&交椭圆于点力，若伍1P&,且A4PF2的内切圆半径为冬则椭圆的离心

率为()

A.-B与C.等

4D.雷

【解析】卡壳点:对图形中几何性质的挖掘成为障碍.

应对策略:把直角三角形的内切圆性质与椭圆几何量之间建立联系.

问题解答:设46=r1,AF2=r2.

先挖掘信息”△APF2的内切圆半径为日..

因为=PA+q,又PF?=PA+上一企,所以万一G=四①.

再挖掘信息1P0"得博+号=10②.

由①②可得r2rl=4.

故（上+q）2=（r2—q）2+4r2rl=18,r2+=3V2=2a,2c=JIU,所以e=口故选B.

【反思】（1）通过挖掘问题中的平面几何图形来构造或列举a,6,c的关系式，这是离心率问题中

最常见的类型之一.掌握平面几何图形的特征与相关性质是高考的基本要求.

（2）本题关键是挖掘出平面几何知识“直角三角形的内切圆的半径长等于两直角边之和减去

斜边长的一半”，再加上“直角三角形中的勾股定理”，从而突破障碍.

二、等价转化探求离心率不等式

问题2:如图2,己知双曲线—箕=l（a>0,b>0）,4,4是双曲线的顶点尸是右焦点，点

8（0,b）,若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点P&=1,2）,使得△PA4构成以线段44

为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是（）

A.（VX等）B.（.,+8）C.（l,学）D.（V2,+°o）

图2

【解析】卡壳点:不理解题设条件中隐藏的几何性质.

应对策略:多角度理解题意，将目标层层转化.

问题解答:条件“若在线段上（不含端点）存在不同的两点P&=1,2）,使得△^414构成以

线段44为斜边的直角三角形”可转化为“以&&为直径的圆与线段8尸有两个交点”，即转

%2+V2=Q?

Lyl「‘有两解”，进而转化为“圆心（o,o）到线段汇+^=c）的距离小

—I--=1C0

{cb

于半径a”,最后转化为<*+*且b>a（否则只会有一个交点）”，即“e4一3e2+1<0且

e>V2W,SPe>&且e2<竽.故选择A.

【反思】（1）本题题设的几何条件代数化的转化过程是漫长的，先“由形到数”，再“由数到形”,

多次转化才破解问题.

（2）必须了解直线与圆有两个交点的代数意义，且了解方程组有两解所呈现的几何意义.

（3）离心率问题就是要找到圆锥曲线基本量a,b,c之间的代数关系式（等式或不等式）.

三、定义况性质建立离心率方程

离心率是椭圆与双曲线的重要的几何性质之一，它离不开椭圆与双曲线的定义（基本定义与

第二定义等），只有把问题中涉及定义的内容做精做细，才能找到基本量a,6,c之间的数量关系.

22

问题3:如图3,已知双曲线C曝一色=1的左、右焦点分别是&尸2,过点尸2且倾斜角为60。的直

线与双曲线的右支交于点4,8,若△TlBFi为等腰三角形，则双曲线C的离心率是()

A-1+V13D1+V13c-14-^/13-1x1+713c1+V3

D.取----

A.---2----2--C.---2--2D.---2----

【解析】卡壳点:对题设中的等腰三角形不会分类思考.

应对策略:对等腰三角形的两腰分类分析.

问题解答:解法1丁2-G=2afr3-r4=2a,由对称性知&AWF】B.

若F/=A凡即73=q+Q,则G=2a,r2=4a.

由余弦定理知母=r+(2c)2—2xx2ccosl20°,BP3a2—c2—ac=0,所以e=言相.

若FM=AB,即厂2=q+Q,则丁3=4a,Q=2a.

由余弦定理知母=疗+(2c)2—2xqx2ccos60。,即3。2—c2+ac=0,所以e=li尹.

又2<遮，所以选择A.

a

解法2目标优先思维，由对称性知丰&B,所以只有另两种情形，但必须满足£<百,所以选

择A.

【反思】对于特殊三角形，要抓其本质特征进行分类讨论，解法2能秒杀关键在于从“形”上

分析.

四、几何代数法共寻离心率

22

问题4:如图4,已知点F为椭圆£橐+a=l(a>6>0)的右焦点，点“为圆。:/+外=匕2上

一动点(y轴右侧)，过点M作圆。的切线，交椭圆于4B两点，若△力8F的周长为3b,则椭圆E的离

*C?率为.

y

图4

【解析】卡壳点:小题大做，跳入思维火坑不能出来.

应对策略油繁杂运算至简单运算的过程中，守找不同的思维切入点.抓住焦半径思考是一个

智慧点.

问题解答:解法1(考虑切点、切线的特殊性，结果跳入火坑)

当点M为(仇0)时=子,AF=BF=J㈢2+口_4，

则2J管)+(c—b)2+拳=3b,即4[(bc)2+(c—b)2a2]=(2bc—3ab产

整理得-12b2c+5b2a+8abc—4ac2=0,

两边同除以。3,得-12g)2e+5(£)2+8C)e-4e2=0,

即12e3-12e-9e2+5+8eVl-e2=0.

将e=手代人验算知满足题意.

【反思】此处虽然考虑一种特殊位置关系,但运算太复杂，且最后的方程无法求解.

解法2(小题大做,结果发现一条性质)

设直线=kx+由其与圆。相切可得6=萼，所以M=b2+b2k2.

Vl+k2

不妨设点M在第一象限，则k<0,m>0,故m=hVl+fc2.

将y=fcx+zn代人椭圆方程得(Mi_|_62)%2_|_2a2kmx+a2(m2—Z)2)=0.

整理得(a2k2+力2)%2+2a2kby/l+k2x+a2b2k2=0.

设人(久1，月),8(%2，丫2)，则+%2=_2。：卷::::△=4a2b2c2k2

7

故％—冷|=—-翳懵，|力用=-2a鬻^

11z1a2k2+b211a2k2+b2

由焦半径公式可得|/F|+\BF\=a-ex+a-ex=2a-\-之。；零：：

r2F.

从而|4F|+\BF\+|AB|=2a,由题设知2a=3b，故e=当

解法3(几何代数一起挖掘,结果寻找到一个简捷途径)

设/(%"1),8(%2，丫2)，%1＞。,％2＞。，

222

顺ZM|=y/\OA\—b—'好+y/一岳=J好+「(i_意_b2—exr,

\AM\+\AF\=exr+a—exr—a.

同理可得+\BF\=ex2+a—ex2=CL.

从而|/尸|+\BF\+\AB\=2a.

由题设知2a=3b,故e=与

解法4(参数化表达，三角运算化解)

设F(c,0),4(acos3lfbsin%),B(acos32,bsing),

2222222

则|AM|=y/\OA\—b=A/acos01+bsin^1—b=ccos01,

222

\AF\=y/(acos61—c)+bsin^1

222222

=A/acos01—2CZCCOS01+c+(a—c)sin31

222

=^/a—2accos61+ccos01=a—ccos6lf

\AM\+|”|=a.

同理可得|BM|+\BF\=a.

从而|4尸|+\BF\+\AB\=2a.

由题设知2a=3b,故e=当

【反思】(1)面对小题时，特殊化思维虽然是一条解题途径，但并非是一条能够迅速达到目标的

最佳路径，因此，遇到障碍时，要及时修正，开辟新的思路.

⑵积累圆锥曲线的一些性质和一些相关的智慧点是数学高考应试的技巧之一.

(3)清圆锥曲线的本质特征，善于从几何与代数两个角度思考，从圆锥曲线的定义去思考并链

接，可以找到快速求解的途径，解法3是最好的说明.

五、先建切线方程减少运算量

问题5:简化的奥运会主体育场的“鸟巢”钢结构俯视图如图5所示，内外两圈的钢骨架是离

心率相同的椭圆，外层椭圆方程为7^7+7^7=1(。>b>0,m>1),顶点

(may(mby、'

A(jna,0),B(0,附,向内层椭圆9+2=1引切线AC,BD,若切线4C与的斜率之积为—看,

则椭圆的离心率是.

【解析】卡壳点:代数式运算力不足.

应对策略:利用椭圆上点的切线方程,减少运算量.

问题解答:设。01多),。3,光),则C4,+簧=1①,

：

BDWa2+胃b2=1

把a点坐标代人①式,B点坐标代人②式得久i=[,%=*

将式】,光的值分别代人椭圆方程可得当=小T'X2=a}T.

卷=T7m:=即％=

由题思知k/ckpDmcl

故02=1-看=看解得e=%

【反思】(1)此题的另一种解法，运算量就大得多.设内层椭圆方程为捻+5=1,外层椭圆方程

22

为(/)2+焉羽=1(。>b>0,m>1),则/(zn0O),8(O,znb).

设切线/C的方程为y=k](x-zna),切线8。的方程为y-mb=k2x.

由"J"'[。，’消去y得(川+M般)％2_2ma3klx+7712a4蜉_(如/=0.

△=(—2?71a3苗)2_4(fo2+a2kl)[m2a4kl—(ah)2]=0,得般=匕•瓶二.

2222222

同理由，(“：)+("')〃一’消去y得(炉+a/c：2)x+2mbak2x+mab—(ah)=0.

ly=凡2%十

A=(2mba2k2)2—4(b2+a2k^im2a2b2—(ah')2]-0,得厩=(m2—1).

所以―2=_g,即g=2,故e2=i-2=2_，解得e=­.

16a2a21616164

(2)本题是用数学眼光观察世界理念的产物，从北京奥运会的著名建筑“鸟巢”的设计信息中

提炼抽象出这样一个数学问题.

六、把垂直关系用活求离心率

用代数方法解决几何图形中的问题，这是解析几何的基本研究方法，所以离心率问题也离不开

代数变形、方程求解、不等式求解,挖掘几何性质或利用定义只是为了减少运算而不是完全

去掉运算，所以在繁杂的数量关系中，一定水平的运算能力是解决问题的基本功.

22

问题6:已知直线〃y=x+1与曲线琶=l(a>0,6>0)交于不同的两点4,8,。为坐标

原点.

(I)若|OA|=|OB|,求证:曲线C是一个圆；

(II)若OA1OB,当a>b且a6惇，手]时,求曲线C的离心率e的取值范围.

【解析】卡壳点:题设中几何条件的转化成为一个障碍.

应对策略:充分利用两点坐标A(Xi，y)B(X2，y2),当OA1OB时，得到x或?+y1y2=0.

问题解答:。)证明:设直线1与曲线C的交点为A(Xi，y)B(X2，y2).

因为|OA|=|OB|,所以Jx亥+资=Vx2+y^BPxi+Yi=x2+月

所以蜉-x名一箝.

因为点A,B在曲线C上,所以胃+吟=1,当+,=1.

azbzazbz

两式相减得好一x刍=告例一Y1).

所以[=1,即a2=b2.

故曲线C是一个圆.

(II)设直线1与曲线C的交点为A(x1,yj,B(X2,y2).

因为a>b>0,所以曲线C是焦点在x轴上的椭圆.

因为OA1OB,所以沮■—=一1,即yiy2=-XiX2.

X1X2

将丫=x+1代人b?x2+a2y2—a2b2=0,整理得(b?+a2)x2+2a2x+a2-a2b2=0.

匕匚2a2a2(l—b?)

所以X1+X2=-薪,X】X2=小1.

因为点A,B在直线1上，所以%丫2=(Xi+l)(x2+1)=XiX2+Xi+x2+1.

又因为y1y2=一X1X2,所以2X1X2+xt+x2+1=0.

所以2•驾券—畀+1=0,所以a?+b2—2a2b2=0,

az+b2az+b2

即a?+a2—c2—2a2(a2—c2)=0,

整理得2a4-2a2+c2-2a2c2=0,所以c?=2az(广。

2az-l

故e24=W9=-1

2a2-l*

因为a6惇,所以2a2-1e[2,4],所以1—2aLC图，故臼碧.

【反思】为了寻找离心率的范围,题中给出某一个几何量的变化范围，本身就是一个提示，建立

离心率与此几何量的关系是目标,也是智慧点.

强化练习

1.若离心率为e1的椭圆与离心率为e2的双曲线有相同的焦点，且椭圆长轴的端点、短轴的端点、

焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等比数列，则署等于（）

11

A.一生B.-CoC.---D.---

e2

【解析】由题意知q=八=要竺=也&=淄4=外,43=修竺=b2.

Ja2+b2%J送+必&J磅+状

22

从而（等）=等,历,即a六而—虚）=。遥2（或-a力两边同除以於得第|=一故选A.

【反思】三个点到一直线的距离间有等量关系，因此为寻找两曲线离心率间的关系指出了方

向.

2.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为1,若1与双曲线捺-卷=l（a>0,b>0）的两条渐近线

分别交于点A和点B,且|AB|=4|0F|（0为原点）,则双曲线的离心率为（）

A.V2B.V3C.2D.V5

【解析】抛物线外=4x的焦点为F（l,0）,准线为-=-1,\AB\=4|0F|=4.

因为4（一1,?,所以5=2,

e2=1+g）2=5,选择D.

【反思】对条件“|AB|=4|0F|”的挖掘是关键.

2

3.如图,F],F2是椭圆Civ：?+y2=1与双曲线C2的公共焦点AB分别是Ci，C2在第二、四象限的

公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）

A.V2B.V3C,-D.—

22

第3题图

【解析】解法1思维进人一般方法时:由题意。82=3,

a23Q-a2

一

则有＜丁=1解得《

%2+y2=3

所以2—17-3,整理得d-6Q2+8=0,解得彦=2或小=4(舍去)，选择D.

a"3-uz

解法2思维进人定义时:由题意c=3,AF2+AF1=4,4尸2-4&=2a,解得力F2=2+a,AF1=

2-a.又4呼+2昭=6昭，得a=2,e=奈选择D.

【反思】把题设条件中图形的几何性质挖掘出来.

4.(1)如图1,已知双曲线=l(a>0,b>0)的左焦点为F,右顶点为A,虚轴的上端点为

B,线段AB与渐近线交于点M,若FM平分/BFA,则该双曲线的离心率e等于()

A.1+V3B.l+V2C.V3D.V2

(2)如图2,A,F分别是双曲线C:||—，=l(a,b>0)的左顶点、右焦点，过点F的直线I与双曲

线C的一条渐近线垂直，与另一条渐近线和y轴分别交于点P和点Q.若AP1AQ,则C的离心率是

()

A.&B.V3C.1D.1

第4题图2

【解析】⑴AB：X=l,OM:y=',;ab

2‘2.

故M为4B的中点，从而判断△力BF为等腰三角形,BF=FA,^c2+b2=a+c,

所以e?-2e-2=0,解得e=2+^=1+百,选择A.

(2)“c,0),c2=bxFQ,FQ=9,OQ=jg-c2=表PQ4+案=1,

~abc-0

联立方程北工U解得MW言），于是。2标U=—1,整理得2M+ac—

a2c

2c2=0,解得e=1，选择D.

【反思】抽象字母的代数式运算是基本功，在圆雉曲线运算中涉及方程组求解、繁分式运算

都是常事，首先内心要接受，其次努力去化简，运算智慧是关键.

5.如图，已知双曲线谓一\=l（a>0,b>0）的左右焦点分别为FI，F2，P为双曲线C上一点,Q

为双曲线渐近线上一点，点P，Q均位于第一象限，且2茄=第，肃.逋品，则双曲线C的离

心率为（）

A.V3-1B.V3+1C.V13-2D.V13+2

第5题图

【解析】设F2(c,0),QD),

2

22

由“"讴-QF2=0”得偿)=(C-X)(x+c)=c-x,

解得x=a,所以Q(a,b),从而得P(等,g).

又点P在双曲线上，所以(罢丫一管了=1,化简得(e+2)2=13,选择C.

【反思】(1)一是挖掘几何条件，即将几何条件代数化;二是运算中不能出错，细心细心再细心，

代入时要细心，计算时要细心，一步一步做，不要跳步，要在草稿纸上留下痕迹，以便核对.

(2)解析几何问题以运算繁杂为主要特征,因为运算要涉及运算方向、运算规则、运算次序，稍

有一点出错，就可能导致解题失败.

6.已知椭圆C:1+《=l(a>b>0)的左、右焦点分别为FI，F2，P为椭圆C上一点，且NF1PF2=

a2bz

事若点Fi关于/F1PF2平分线的对称点在椭圆C上,则椭圆C的离心率为.

【解析】本题容易设点运算进人复杂思路，难以自拔.

事实上,为正三角形,由于点P的任意性，考虑特殊化情形，即PQ为通径时，如答图.

第6题答图

可得食=tan-=遗，所以廿=逋,

2c63ac3

即2—e=2,整理得e2+型!e—1=0,解得e=

e333

【反思】(1)对圆雉曲线小题题设的每一个信息都要把握，缺一不可，否则思维就要受阻，一定要

从几何图形上去挖掘，从特殊化上去挖掘，从定义上去挖掘,一旦进入实际计算，就会有新会有

繁杂的运算等着你.

(2)将一般问题特殊化处理是解决小题的常用思维方式，小题不能大做.

7.设F是椭圆《+卷=l(a>b>0)的左焦点,A是该椭圆上位于第一象限的一点，过点A作圆

x2+y2=b2的切线，切点为P,则|AF|—|AP|=.

【解析】设F(-c,0),4(acos8,bsine)淇中8e(呜)

\AF\=y](acos+c)2+/72sin20

=yja2cos23+2accos9+c2+(a2—c2)sin23

=+2accos3+c2cos23=a+ccos6,

\AP\=y/\OA\2—b2=Va2cos26+h2sin20—b2=ccos0,

\AF\-\AP\=a.

【反思】椭圆上点的三角表示是运算简化的基础.

8.已知椭圆C的焦点为Fl(-l,0),F2(L0),过点F2的直