高考数学专项复习：圆锥曲线高频压轴解答题（16大题型）（练习）

专题18同锥曲线高频压轴解答题

目录

01轨迹方程2

02向量搭桥进行翻译.................................................................3

题型03弦长、面积背景的条件翻译.........................................................4

题型04斜率之和差商积问题..............................................................5

05弦长、面积范围与最值问题.........................................................6

06定值问题.........................................................................7

07定点问题.........................................................................9

08三点共线问题....................................................................10

题型09中点弦与对称问题................................................................11

10四点共圆问题...................................................................12

题型11切线问题........................................................................14

匹i12定比点差法.....................................................................

13齐次化16

题型14极点极线问题...................................................................17

15同构问题.......................................................................18

一题型01轨迹方程

x2y2

-z--------5—1（。>0,Z）>0）

1.（2024•重庆•高三重庆南开中学校考阶段练习）已知双曲线a-b-的一条浙近线方程为

产％,且点尸（跖亚）在双曲线上.

（1）求双曲线的标准方程;

⑵设双曲线左右顶点分别为43,在直线x=l上取一点尸直线/尸交双曲线右支于点C,直

线3尸交双曲线左支于点。，直线和直线3C的交点为0,求证：点0在定直线上.

22

三+乌=1（〃>6>0）

2.（2024•重庆•统考模拟预测）已知椭圆C：/b2的长轴长是短轴长的2倍，直线

1

y=­x

-2被椭圆截得的弦长为4.

（1）求椭圆C的方程;

⑵设M,N,P,。为椭圆°上的动点，且四边形MVP。为菱形，原点。在直线上的垂足为点〃，求

X的轨迹方程.

3.（2024•福建莆田•统考一模）曲线C上任意一点P到点尸（2，°）的距离与它到直线x=4的距离之比等于

变

2,过点“（4，°）且与x轴不重合的直线/与C交于不同的两点48.

（1）求°的方程；

（2）求证：厂内切圆的圆心在定直线上.

・题型02向量搭桥进行翻译

222

C:^+^=l（a>b>0）—~y2=l

4.（2024•陕西咸阳•校考模拟预测）已知椭圆直b-的离心率是双曲线3的离

心率的倒数，椭圆°的左、右焦点分别为耳耳，上顶点为尸，且可,%二-2.

⑴求椭圆C的方程；

⑵当过点°（Q2）的动直线,与椭圆C相交于两个不同点48时，设而=4砺，求几的取值范围.

「+A=l（a＞b＞。）/T——

5.（2024•上海奉贤•统考一模）已知椭圆〃b2的焦距为2A/3,离心率为2，椭圆的左

右焦点分别为片、网,直角坐标原点记为0.设点尸（°，'），过点P作倾斜角为锐角的直线/与椭圆交于不

同的两点8、C.

（1）求椭圆的方程；

⑵设椭圆上有一动点T,求尸“（3一有）的取值范围；

（3）设线段8c的中点为加，当,2行时，判别椭圆上是否存在点°,使得非零向量而与向量而平行，

请说明理由.

6.（2024•云南昆明•高三统考期末）已知动点尸到定点B（°/）的距离和它到直线＞=1距离之比为2；

（1）求点尸的轨迹C的方程；

（2）直线/在x轴上方与x轴平行，交曲线C于/,5两点，直线/交y轴于点D设。。的中点为是否

存在定直线/,使得经过〃的直线与C交于尸，Q,与线段N5交于点N,~PM=^PN,超=2画均成

立；若存在，求出/的方程；若不存在，请说明理由.

题型03弦长、面积背景的条件翻译

22/Q八

C：j+2=1（。>6>0）4（。」），尸||

7.（2024•陕西榆林•统考一模）已知椭圆a-b2"经过155）两点.

（1）求C的方程;

（2）斜率不为0的直线/与椭圆C交于M,N两点，且点/不在/上，AMLAN,过点尸作丁轴的垂线，交直

线尤=-1于点S,与椭圆°的另一个交点为7,记ASMN的面积为.，△7MN的面积为邑，求邑.

22

£:1+4=1（〃>6>0）

8.（2024•四川绵阳•高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知椭圆a26-'的左、

1,——

右焦点为耳，居，若E上任意一点到两焦点的距离之和为4,且点【2J在片上.

（1）求椭圆E的方程；

k.左=_£

（2）在（1）的条件下，若点A,8在E上，且"°B-4（°为坐标原点），分别延长NO,BO交E于C,

0两点,则四边形"BCD的面积是否为定值？若为定值，求四边形/8C。的面积，若不为定值，请说明理

由.

---歹=]J-'77

9.（2024•上海•高三上海市大同中学校考期末）已知双曲线〃：4的左、右焦点为4,

左、右顶点为4,4,椭圆£以4,4为焦点，以月片为长轴.

（1）求椭圆£的离心率；

⑵设椭圆E交＞轴于⑸，B"过⑸的直线/交双曲线》的左、右两支于C,。两点，求△与⑦面积的最

小值；

⑶设点"（加'"）满足加＜4〃2.过M且与双曲线”的渐近线平行的两直线分别交〃于点P,Q.过M且

MS

与尸。平行的直线交》的渐近线于点S,T.证明：为定值，并求出此定值.

一题型04斜率之和差商积问题

10.（2024•贵州铜仁•校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知过动点作x轴垂线，分别与

y=i和k-4交于p,0点，且4H，o）,4（2,0）,若实数a使得外。尸.。。二曲旦成立（其中0为

坐标原点）.

⑴求M点的轨迹方程，并求出当力为何值时M点的轨迹为椭圆;

2_逅

⑵当一5"时，经过点8（4,0）的直线/与轨迹〃交于＞轴右侧C,。两点，证明：直线4C,4。的斜

率之比为定值.

11.(2024•安徽•高三校联考期末)已知抛物线C：/=2px(p>0)的焦点为尸，点尸(4，%)是抛物线。上

7

一点，点0是P尸的中点，且。到抛物线C的准线的距离为5.

(1)求抛物线C的方程；

(2)已知圆M：(X-2)2+V=4,圆”的一条切线/与抛物线。交于N,B两点,O为坐标原点，求证:

OA,02的斜率之差的绝对值为定值.

12.(2024•海南海口•统考模拟预测)在平面直角坐标系xP中，已知双曲线/b2的左

顶点为A,离心率为④，焦点到渐近线的距离为2.直线/过点尸&且垂直于x轴，过户的直

线/'交C的两支于G,“两点，直线分别交/于两点.

(1)求C的方程；

k.k—_

⑵设直线AN，°M的斜率分别为左，左2,若I2一2,求点尸的坐标.

题型05弦长、面积范围与最值问题

22

FFAf：—+与=l（Q>b>0）

13.（2024•陕西商洛•镇安中学校考模拟预测）已知片，匕分别为椭圆/b2的左、右焦

点，直线4过点且与椭圆交于43两点，且片工的周长为（2+收）a.

⑴求椭圆”的离心率;

⑵直线4过点外，且与4垂直，4交椭圆”于CO两点，若。=血，求四边形/C8D面积的范围.

14.（2024•河南•统考模拟预测）已知抛物线C：V=4x的焦点为尸，过厂的直线/交C于48两点，过

尸与/垂直的直线交C于2E两点，其中民。在x轴上方，M，N分别为的中点.

⑴证明：直线过定点；

（2）设G为直线AE与直线BD的交点，求&MN面积的最小值.

15.（2024•上海嘉定•统考一模）抛物线r=4x上有一动点P（sJ）J>0.过点尸作抛物线的切线/,再过

点尸作直线〃？，使得机上/,直线加和抛物线的另一个交点为0.

（1）当s=l时,求切线/的直线方程;

（2）当直线/与抛物线准线的交点在x轴上时，求三角形°尸。的面积（点。是坐标原点）;

⑶求出线段।尸0关于s的表达式，并求।尸。1的最小值;

一题型06定值问题

22

X4=1（Q>6>0）

16.（2024•全国•模拟预测）如图,已知5片分别为椭圆C：b2'的左、右焦点，尸为

椭圆C上-点，若历+药行四=4,S-

（1）求椭圆c的标准方程;

⑵若点P坐标为（6,），设不过点P的直线/与椭圆c交于a

2两点，/关于原点的对称点为记直

77k、*—

线/,PB,尸工'的斜率分别为左，与，/，若一3,求证：直线/的斜率先为定值.

22

_C：♦-2=ig>0,b>0）,耳，巴〃

17.（2024•安徽•高三校联考阶段练习）已知双曲线/b2分别是0的左、右焦

点.若。的离心率e=2,且点(46)在。上.

(1)求C的方程.

1]

(2)若过点g的直线/与°的左、右两支分别交于48两点(不同于双曲线的顶点)，问：1^1忸口|是否

为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

18.(2024•全国•高三阶段练习)如图所示，已知抛物线y=是抛物线与％轴的交点,

过点加作斜率不为零的直线/与抛物线交于两点，与X轴交于点Q,直线NC与直线3。交于点P.

\CM\-\DM\

⑴求的取值范围;

(2)问在平面内是否存在一定点T,使得取,道为定值？若存在，求出点7的坐标；若不存在，请说明理

由.

一题型07定点问题

19.(2024•广东广州•广东实验中学校考一模)设抛物线=2px(p>0),过焦点厂的直线与抛物线

E交于点/国必)、8(%，%),当直线垂直于x轴时，卜叫=2.

(1)求抛物线E的标准方程.

⑵已知点网点)，直线/尸、8P分别与抛物线E交于点C、。.求证：直线CD过定点.

20.(2024•宁夏银川•高三银川一中校考阶段练习)在平面直角坐标系苫勿中，椭圆

22

C——+=l(iz>6>0)—•—>—>—■

"方的左，右顶点分别为A、B,点尸是椭圆的右焦点，AF=3FB,AF，FB=3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)经过椭圆右焦点厂且斜率不为零的动直线/与椭圆交于"、N两点，试问x轴上是否存在异于点尸的

定点T,使I儿平川NT|=|NFHMT|恒成立？若存在，求出7点坐标，若不存在，说明理由.

21.(2024•四川甘孜•统考一模)在平面直角坐标系X0中，抛物线E：V=20x(p>O)的焦点为尸,E的

准线/交x轴于点K,过K的直线/与抛物线E相切于点A,且交了轴正半轴于点P.已知E上的动点3到

点F的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3.

(1)求抛物线E的方程;

⑵过点P的直线交E于M，N两点，过M且平行于了轴的直线与线段■交于点T,点“满足而=用.证

明：直线小V过定点.

一题型08三点共线问题

22.(2024•广东•高三校联考阶段练习)点厂是抛物线「：声=2Px(p>0)的焦点，0为坐标原点，

过点尸作垂直于x轴的直线/,与抛物线「相交于A,3两点，AB|=4,抛物线「的准线与x轴交于点K

(1)求抛物线「的方程；

(2)设C、。是抛物线「上异于A、8两点的两个不同的点，直线"C、2。相交于点£,直线2c相

交于点G,证明：E、G、K三点共线.

23.(2024•贵州毕节•校考模拟预测)已知b是抛物线°：廿=2*(0>0)的焦点，过点尸的直线交抛物

线C于42两点，当相平行于井轴时，>同=2.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若°为坐标原点，过点8作了轴的垂线交直线于点D,过点A作直线。尸的垂线与抛物线C的另一

交点为凡/£的中点为G,证明：&及。三点共线.

22

C:0+4=l(a>6>0)

24.(2024•贵州贵阳•高三贵阳一中校考期末)已知48为椭圆«，的左、右顶

-1

点，P为椭圆上异于4,2的一点，直线/尸与直线3尸的斜率之积为4,且椭圆C过点I2人

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线AP,AP分别与直线，：x=4相交于M,N两点，且直线2M与椭圆C交于另一点0,证明：A,

N,。三点共线.

■题整09中点弦与对称问题

22

C：r+t=l(a>6>0)

25.(2024•福建福州•高三福建省福州格致中学校考期末)已知椭圆«b-'的离心率为

2,椭圆上的点到焦点的最小距离是3.

(1)求椭圆。的方程;

。卜,3]

(2)是否存在过点I2J的直线交曲线C于两点，使得。为中点？若存在，求该直线方程，若不存

在，请说明理由.

26.(2024•全国•高三专题练习)已知圆”«+3)2+了2=4,圆N:(x-3p+/=W，动圆尸与圆〃■外

切并且与圆N内切，圆心尸的轨迹为曲线C

(1)求C的方程；

(2)是否存在过点I2J的直线交曲线C于两点，使得Q为中点？若存在，求该直线方程，若不存

在，请说明理由.

My2

27.(2024•贵州黔东南•高三校考阶段练习)已知椭圆C：/+/的一个焦点为厂(T，°),

且点尸到C的左、右顶点的距离之积为5.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)过点尸作斜率乘积为T的两条直线4,4,4与c交于/,3两点，4与c交于D,E两点，线段4B,

OE的中点分别为"，N.证明：直线与x轴交于定点，并求出定点坐标.

一题型10四点共圆问题

c•二上=1

28.(2024•湖北•高三校联考阶段练习)已知双曲线«2护的离心率为2,过0上的动点M作曲

373

线C的两渐近线的垂线，垂足分别为A和B,^ABM的面积为工了.

(1)求曲线°的方程;

⑵如图，曲线°的左顶点为。，点N位于原点与右顶点之间，过点N的直线与曲线C交于G,R两点，直

线/过N且垂直于x轴，直线DGQR分别与/交于P，。两点，若。，2尸，°四点共圆，求点N的坐标.

29.（2024•河南•高三校联考阶段练习）已知椭圆/一的左、右焦点分别为耳，工

353

，点。在C上，四七，M广」阴平闾，且△留月的面积为5.

（1）求c的方程；

⑵设C的左顶点为N,直线/：x=-6与X轴交于点P,过P作直线交C于G,〃两点直线NG,分别与

/交于M,N两点，O为坐标原点，证明：O,A,N,M四点共圆.

30.（2024•江苏南通•统考模拟预测）己知动圆〃过点/3°）且与直线产-1相切，记动圆圆心M的轨

迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

⑵若直线/：'=加（加＜°）与x轴相交于点尸，点8为曲线C上异于顶点。的动点，直线网交曲线C于另

一点、D,直线2。和。。分别交直线/于点S和厂若。1，S,T四点共圆，求加的值.

一题整11切线问题

V2

31.（2024•河南周口•高三校联考阶段练习）已知点“（2」）在离心率为2的椭圆

x2y2

=1（Q〉b>0）

a2b2上，点用C为椭圆刊上异于点A的两点.

⑴求椭圆/的方程;

⑵若MAC,过点及C两点分别作椭圆"的切线，这两条切线的交点为。，求的最小值.

—+^—=1

32.（2024•山东德州•高三德州市第一中学校考阶段练习）如图所示，已知椭圆0：63与直线/

"=1

：63.点尸在直线/上，由点?引椭圆。的两条切线融、PB,A、B为切点、,。是坐标原点.

⑴若点P为直线/与了轴的交点，求△尸48的面积S；

/।.2_]

（2）若8,/8,。为垂足，求证：存在定点°,使得口口为定值.（注：椭圆/十记一在其上一点处

VJV

"（x。/。）的切线方程为/+b2=1）

33.（2024•辽宁辽阳•高三统考期末）在平面直角坐标系X。7内，已知定点尸（28），定直线‘“一'，动

273

点尸到点尸和直线/的距离的比值为3,记动点尸的轨迹为曲线反

（1）求曲线E的方程.

⑵以曲线E上一动点〃为切点作E的切线J若直线厂与直线/交于点N,试探究以线段"N为直径的圆

是否过x轴上的定点.若过定点.求出该定点坐标；若不过，请说明理由.

W12定比点差法

34.（2024•吉林•统考一模）已知抛物线G：V=2*（0>0）的焦点厂到其准线的距离为尔椭圆

=1（Q>b〉0）

经过抛物线G的焦点足

（1）求抛物线G的方程及。；

（2）已知。为坐标原点，过点“（U）的直线/与椭圆相交于48两点，若而=机标，点N满足

12

=-mNB,且|最小值为5,求椭圆C?的离心率.

22

「:-7+=1（。〉人〉0）—

35.（2024•江苏•高二专题练习）已知椭圆〃b2的离心率为3,半焦距为且

a-c=l.经过椭圆的左焦点下，斜率为乙化”°）的直线与椭圆交于42两点，。为坐标原点.

⑴求椭圆r的标准方程；

⑵当勺=1时，求黑的值;

⑶设&（1，0）,延长/凡5R分别与椭圆交于C,。两点，直线CD的斜率为仁，求证：网为定值.

2

36.（2024•安徽合肥•统考一模）在平面直角坐标系X0中，尸是抛物线Ux=2"（。＞°）的焦点，M

是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过“*，°三点的圆的圆心为N,点N到抛物线C的准线的距

3

离为

（1）求抛物线°的方程；

（2）当过点尸（4」）的动直线/与抛物线°相交于不同点48时，在线段28上取点0,满足

证明：点°总在某定直线上.

W13齐次化

9

37.已知椭圆。:了+/=1,5(0,1),P,。为上的两个不同的动点，kBPkBQ=^求证：直线尸°

过定点.

38.已知椭圆C:，+/=i,设直线/不经过点8(0,1)且与C相交于4，8两点.若直线鸟/与直线

£8的斜率的和为-1,证明：直线/过定点.

39.如图，椭圆E:、+/=l,经过点”(1,1),且斜率为无的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q

(均异于点/(0,-1),证明：直线/尸与/。的斜率之和为2.

一题型14极点极线问题

二_Ji

40.（2024•江苏南通•高二统考开学考试）已知双曲线C：a2b2（。＞0,6＞。）实轴端点分别为

4（一凡o）,4（凡0）,右焦点为尸，离心率为2,过4点且斜率1的直线/与双曲线c交于另一点B,已知

9

△48b的面积为2.

⑴求双曲线的方程；

（2）若过/的直线/'与双曲线C交于"，N两点，试探究直线4M与直线4N的交点。是否在某条定直线

上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由.

22

c—=1（。＞6＞°）—/T

41.（2024•安徽六安•校联考一模）已知椭圆«2b-的离心率为2,短轴长为23.

C1）求椭圆C的方程;

（2）设8分别为椭圆C的左、右顶点，若过点尸（4°）且斜率不为0的直线/与椭圆C交于“、N两

点，直线与3N相交于点0.证明：点。在定直线上.

xy,

42.（2024•北京海淀•统考模拟预测）已知椭圆M：/b2（0>6>0）过/（-2,0）,B（0,1）

两点.

（1）求椭圆M的离心率；

（2）设椭圆M的右顶点为C,点P在椭圆〃•上（尸不与椭圆M的顶点重合），直线与直线CP交于点

Q,直线AP交x轴于点S,求证：直线S。过定点.

一题型15同构问题

43.（2024•广东广州•统考一模）已知抛物线C：/=2"（p>0）的焦点厂到准线的距离为2,圆/与了

轴相切，且圆心”与抛物线C的焦点重合.

⑴求抛物线C和圆川的方程；

⑵设尸为圆加外一点，过点P作圆加的两条切线，分别交抛物线c于两个不同的点

/（士,弘）,2（%,%）和点。（工3，%）,尺（》4，乂）,且乂％%%=16,证明：点P在一条定曲线上.

44.（2024•湖北襄阳•襄阳五中校考一模）已知抛物线G：「二x,圆°2：（龙-4）一+/=1

（1）求圆心02到抛物线G准线的距离；

（2）已知点P是抛物线G上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交抛物