甘肃省庆阳市2025届高三年级上册阶段性调研测试（一模）数学试题（含答案）

甘肃省庆阳市2025届高三上学期阶段性调研测试（一模）

数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若集合4={5,6,9,10,14},B={6,9,12,15,16],则An8中元素的个数为()

A.1B.2C.3D.4

2.已知复数z=-5-2G则Z2的实部为（）

A.20B.21C.-21D.-20

3.若双曲线卷-5=1的右支上一点P到右焦点的距离为9,贝UP到左焦点的距离为（）

A.3B.12C.15D.3或15

4.已知某圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,高为2平,则该圆台的体积为（）

岑%

A,6^71B.C.7国D.yTT

5.函数外吗=lg（10-2/的值域为（）

A.(-oo,l]B.(0,1]c（。尚D.(-吗

6.在平行四边形4BCD中,AB=2AE,BF=2FC,则丽=()

A.2AB+^ADQ.^AB+^ADC.^AB+2ADD.2AB+2AD

7.若锐角。满足sinJcos。+cos20=则tan36=()

4D—Z

A-7B-3C-Hu.11

8.已知函数/'（%）的定义域为R,/（/（X+y））=/（%）+/（y）,/（I）=1,则下列结论错误的是（）

A./（0）=0B.f。）是奇函数

C./（2024）=2024D./㈤的图象关于点&0）对称

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知椭圆M：%2+^-=1,则（）

A.M的焦点在%轴上B.M的焦距为10

C.M的离心率为甯D.M的长轴长是短轴长的5倍

10.设函数/'（久）=2sin（2"x-§（72eN*）的最小正零点为an,贝！|（）

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A）（久）的图象过定点（0,—避）B./Q）的最小正周期为券

C.{a,J是等比数列D.{4}的前10项和为需

11.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2兀

与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制表示.例如：正

四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为全故其各个顶点的曲率均为2兀-3x»7T.如图，在正方体

中，AB=逆,贝!］（）

A.在四面体ABC/中，点4的曲率为号

B.在四面体ABCDi中，点的曲率大于答77T

C.四面体4BCD1外接球的表面积为127r

D.四面体ABCDi内切球半径的倒数为4e+3"

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.己知一组数据1,2,3,3,5,1,6,8,则这组数据的第60百分位数为；若从这组数据中任意

抽取2个数据，则这2个数据不相等的概率为.

13.为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，小明10月1日运动了5分钟，从第二天开始，每天运动的时长比前

一天多2分钟，则从10月1日到10月的最后一天，小明运动的总时长为分钟.

14.若过圆。/+0-2）2=产&>0）外一点「（2,-2）作圆。的两条切线，切点分别为4B,且|4切=胃，则

r=.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题13分）

在"BC中，AB—5,AC=4^/3,A=，.

（1）求BC的长；

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(2)设。为4C边上一点，且8。=3,求sin/BD4.

16.(本小题15分)

如图，AEl^ABCD,平面力BCD,四边形力BCD为正方形，E,F位于平面48CD的两侧.

(1)证明：平面BDF1平面4ECF.

(2)若CF=2,AE=3,AD=4,求平面ABF与平面4ECF夹角(锐角)的余弦值.

17.(本小题15分)

贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕.贵妃杏

口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一.已知该地区某种植园成熟的贵妃杏

(按个计算)的质量M(单位：克)服从正态分布Nd，/)，且p(96<M<106)=0.7,P(94<M<96)=0.1.从

该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量(单位：克)为101,102,100,103,99,98,100,99,97,101,这

10个贵妃杏的平均质量恰等于〃克.

(1)求〃.

(2)求P(100<MS104).

(3)甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，

则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏.记甲和乙获赠贵妃杏的总个数

为X,求X的分布列与数学期望.

18.(本小题17分)

已知动点P在抛物线C:y2=2px(p>0)上，(2(-2,3),点P到C的准线的距离为d,且d+|PQ|的最小值为

5.

(1)求C的方程；

(2)若过点(1,0)的直线，与C交于48两点，且直线Q4的斜率与直线QB的斜率之积为-今求珀勺斜率.

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19.(本小题17分)

定义：对于函数f(%),g0),若Va,b,ce(0,+8),f(a)+/(b)>g(c),则称“人吗一g(x)”为三角形函数.

(1)已知函数/'(X)=x-lnx,若g(x)为二次函数，llg(2-x)=g(x),写出一个g(x),使得“f(x)-g(x)”为

三角形函数；

(2)已知函数/(%)=言e(0,+8),若“/(%)—/(%)”为三角形函数，求实数t的取值范围；

(3)若函数/(、)=ln(%++%,证明："/(%)-gQO”为三角形函数.(参考数据：ln|

X0.405)

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参考答案

1.5

2.B

3.C

4.B

5.D

6.C

7.C

8.D

9.BC

IQ.ACD

11.ABD

12.3；g

13,1085

14.2或4

15.⑴

在"BC中，AB=5,AC=4圾4=*

由余弦定理得：BC=y)AB2+AC2—2.AB-ACcosA=[52+(4避尸—2x5x4避x宇=

(2)

在“8。中，由正弦定理得一广怒，

所以sin/BDA=叱川)=2=|.

B

ADC

16.(1)

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因为力El平面ABCD,CFJ.平面ABCD,

所以AE〃CF,

所以点4片。尸四点共面，

因为4E1平面4BCD,BDu平面4BCD,

所以BD1AE,

因为四边形4BCD为正方形，

所以BD1AC,

又4EnA。=A,AE,ACu平面4ECF,

所以BD_L平面AECF,

因为BDu平面BDF,

所以平面BDF1平面AECF；

(2)

因为4E1平面ABC。，AB,ADu平面ABC。，

所以4E1AB,AE1AD,

因为四边形ABCD为正方形，所以AB1AD,

以点4为原点，以说，前,版为居％z轴的正方向，建立空间直角坐标系,

因为CF=2,AE=3,AD=4,

则4(0,0,0),5(4,0,0),F(4,4,-2),

所以同=(4,0,0),而=(4,4,一2),

设平面4BF的法向量为何=(a,b,c),

-AB-0,,f4cz-0

则n(方•而=O'故(4a+46—2c=0，

令c=2,可得b—1,<2=0,

故帚=(0,1,2)为平面力BF的一个法向量，

因为BD_L平面4ECF,

所以而=(-4,4,0)为平面2ECF的一个法向量，

设平面4BF与平面4ECF夹角为仇

所以cos。=|cosBD,m|=|瑞扁卜百山=手

所以平面4BF与平面力ECF夹角(锐角)的余弦值为相.

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17.⑴

101+102+100+103+99+98+100+99+97+101.„„

〃=-------------Yd-------------------------=10°：

(2)

因为〃=100,所以P(104<M<106)=P(94<M<96)=0.1,

所以P(100<M<104)=0,7-01=0.3.

⑶

设1人获赠贵妃杏的个数为y,贝叶(丫=0)=0.5,P(y=1)=03,P(Y=2)=0.2.

依题意可得X的可能取值为0,1,2,3,4,

P(X=0)=0.5x0.5=0.25,

P(X=1)=0.5x0.3x2=0.3,

P(X=2)=0.32+0.5x0.2x2=0.29,

P(X=3)=0.3x0.2x2=0.12,

P(X=4)=0.2X0.2=0.04,

则X的分布列为

X01234

P0.250.30.290.120.04

所以E(X)=0x0.25+1X0.3+2x0.29+3X0.12+4x0.04=1.4.

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18.(1)

设抛物线C的焦点为尸出0),由抛物线的定义可得|PF|=d,

则d+\PQ\=\PF\+\PQ\>\FQ\,

当Q,P,F三点共线且点P在线段QF上时，|PF|+|PQ|取得最小值5,

22

则|FQ|=J(E+2)+3=5,整理得(尹2)2=16,解得p=4或p=—12,

因为p>0,所以p=4,故。的方程为y2=8x.

(2)

设过点(1,0)的直线=my+l,A(x1,y1),B(x2,y2).

联立H二篇+1，消元得俨-8ay-8=0,则｛先:「二8吗

小小I_yi_3丫2_3______(yi-3)(y2-3)______工

出也4•KQB=五不•豆”=(myi+3)(my2+3)=一了

2

得(m2+2)yiy2+(37n—6)(yi+y2)+27=—8(m+2)+8m(3m—6)+27=0,

代入韦达定理得：(加2+2)(-8)+(3m-6)(8m)+27=-8(m2+2)+8m(3m-6)+27=0,

化简得167n2-48血+11=0=>(4m-1)(4m—11)=0,

得m=3或坐

故/的斜率为4或

19.⑴

由/(%)=%—In%,xE(0,+8),

[y_1

得r(x)=1--=-,令f，(x)=0,解得久=1.

当0<x<(时,f'(x)<0,/'(X)在(0,1)上单调递减;

当%>1时,[(x)>0,/(%)在(1,+8)上单调递增.

所以/(久)min=f(D=1.

因为g(x)为二次函数，且g(2—x)=g(x),所以g(x)的对称轴为x=1,

设9(久)=ax2-2ax+c(a40),

要使为三角形函数，只要2/Q)min>gQ)max，

取a=-l,c=0,则g(X)=一久之+2x=—(x—l)2+1,

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gQ)max=g(l)=1，满足2/(1)=2>1=5(1),

则Va,b,ce(0,+oo),y(a)+/(&)>2/(1)>g⑴>g(c),即/'(a)+f(b)>g(c)成立.

故若/(x)=x-lnx,取g(x)=-x2+2x,可使得久)”为三角形函数.

(答案不唯一，参考函数g(x)=-a(x-l)2+c,a>0,c<2,写出任意一个满足题意的g(x)都可以)

(2)

所)=厚=1+*-0,+8),

①当t=2时，f(x)=1,

则任意Va/,cG(0,+oo),/(a)+f(b)=2>1=/(c),故af(x)-f(x)n为三角形函数.

②当t>2时，由久>。,2，+2>3,。<露

J</t—2<t—2tt—2t+1

^'OFT2-K/«<1+—=

要使“为三角形函数，

由2义12寄，解得t<5,

则有Va,6,cG(0,+8),/(a)+/(b)>22寄>/(c),

所以2<t<5；

③当t<2时，则詈(就§<0，寄<八吗<1，

要使"八久)一/(久)”为三角形函数，由2xg」Nl,解得t号，

则有Va,6,cG(0,+8),/(a)+/(6)>2(寄)21>/(c),

所以，Wt<2；

综上所述，实数t的取值范围为限,5].

(3)

/(%)=久一In%,x€(0,+8).

由⑴知,/(%)min=/(l)=1,

则任意a/6(0,+8),/(a)+/(6)>2/(1)=2；

下面证明gQ)max<2.

由g(%)=ln(x+1)—xlnx+x,xG(0,+oo),

则g'O)=^j^—lnx-1+1=^-