甘肃省兰州某中学2024-2025学年高二年级上册11月期中考试 数学试题（含解析）

2024年兰州市高二级第一学期期中学业质量检测卷(3)

、、九

数学

(本卷满分150分，考试时间120分钟)

第I卷(非选择题共60分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一个选项是符合题目要求的.

1.已知两个非零向量”=(西'%*1),b=(x2,y2,z2^则这两个向量在一条直线上的充要条件是

().

C.+%%+Z/2=0D.存在非零实数左，使£=左3

2.已知焦点在x轴上的双曲线的焦距为2百，焦点到渐近线的距离为则双曲线的方程为

A.^-y2=lB.x2-^=lC.y2--=lD.^-x2=l

2-222

3.若直线x+加歹=2+加与圆工2+y2一2%―2天+1=0相交，则实数加的取值范围为()

A.(—00,+00)B.(—00,0)C.(0,+8)D.(―8,0)U(0,+8)

4.已知圆C:(x—百『+(y—丁=1和两点幺(乜0),8(7,0川＞0),若圆C上存在点尸，使得

N4PB=90°，则/的最小值为

A.4B.3C.2D.1

5.若圆(x-a)2+(y-。)2=4上有且仅有两个点到原点的距离为2,则实数。的取值范围为()

A.(-272,0)B.(-272,0)0(0,272)

C(-2V2,-l)o(l,2V2)D.(0,2回

6.如图所示，在三棱锥尸-/BC中，PAL^ABC,。是棱尸2的中点，已知尸N=3C=2,48=4,

CBVAB,则异面直线PC,所成角的余弦值为

p

V30

5i(r

7.若尸，0分别为直线3x+4y—12=0与6x+8y+5=0上任意一点，则|尸0|的最小值为（）

9182929

A.—B.—C.—D.—

55105

8.阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数左（左＞0且

左片1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A、5间的距离为2,动点尸与A、B

距离之比为血,当尸、A、8不共线时，△尸48面积的最大值是（）.

A在B.工C.V2D.20

■33

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.若平面内两条平行线小x+（a—1）＞+2=0与小办+2y+l=0间的距离为迷，则实数。=

-5

（）

A.-2B.-1C.1D.2

10.已知£、马、1和2为空间中的4个单位向量，且"+刃+"=6,|a-d\+|b-d\+|c-d\

可能等于（）

A.2B.3C,4D.5

11.下列命题是真命题的是（）

A.若同=|力，则Z］的长度相等而方向相同或相反

B.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

c.若两个非零向量罚与函满足方+函=0,则方〃①

D.若空间向量与，①满足|益|〉|函|,且在与函同向，则刀〉而

12.如图所示，棱长为1的正方体幺BCD-451GA中，尸为线段48上的动点（不含端点），则下列结

论正确的是（）

U-IULLXUI

A.平面。/|尸，平面44PB.4P-OG不是定值

c三棱锥片—DP。的体积为定值D.尸

第n卷（非选择题共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知入射光线经过点回（-3,4）,被直线/：x-y+3=0反射，反射光线经过点N（2,6）,则反射光线

所在直线的方程为.

14.如图所示，平行六面体45CD—中，AB=AD=AAl=l,ZBAD=ZBAA[=120°,

NDAA]=60。，则线段ZG的长度是.

II

15.抛物线/=4x的焦点为尸，过尸的直线与抛物线交于42两点，且满足二』=4,点。为原点,

四I

则AAOF的面积为.

16.如图所示，在正四棱柱48CD-451GA中，，4=2,AB=BC=1,动点P、。分别在线段

AC±,则线段尸。长度的最小值是

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.

已知平行六面体Z8CD—48C2中，各条棱长均为机，底面是正方形，且/4幺。=/428=120°,

设AB=a,，AD=b，44=c.

(i)用。，b,"表示西及求|M1

(2)求异面直线NC与8A所成的角的余弦值.

18.过点P(4,1)作直线/分别交x轴，y轴正半轴于A,B两点，0为坐标原点.

(1)当AAOB面积最小时，求直线/的方程；

⑵当10A1+0B］取最小值时，求直线I的方程.

7T

19.如图所示，在ZL4BC中，ZABC=~,O为AB边上一点,且308=3OC=2幺8,尸。，平面

4

ABC,2DA=2AO=PO,且DA//PO.

(1)求证：平面尸80,平面COD；

(2)求直线PQ与平面HOC所成角的正弦值.

20.如图，三棱柱48C—44G中，44c5=90°，AC=BC=CCi=2,A}B1BXC.

(i)证明：4Qiccx-

(II)若45=2jL在棱CG上是否存在点£，使得二面角的大小为30。，若存在，求CE

的长，若不存在，说明理由.

21.如图，在多面体PKN8CD中，底面N5CD是梯形，AD//BC,BC=2AD,ZABC=45°>

尸4,底面Z5CD,PA//DK,Z8=NC=尸幺=2Z)K=2,点E为8c的中点，点M在线段PK

(1)证明：DE，平面PNC；

(2)如果直线ME与平面尸所成的角的正弦值为士，求点M的位置.

15

22

22.已知椭圆E：，+讶=1(。〉6〉0)上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的3倍，且点

尸在椭圆E上.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点”(1,1)任作一条直线/,/与椭圆E交于不同于P的A、3两点，/与直线机：

kk2k

3x+4y—12=0交于。点，记直线PN、PB、PC的斜率分别为左、左2、々，求证：i+2=3-

2024年兰州市高二级第一学期期中学业质量检测卷（3）

、、九

数学

（本卷满分150分，考试时间120分钟）

第I卷（非选择题共60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一个选项是符合题目要求的.

1.已知两个非零向量"=（西'必'4）,%=（X2，％，Z2）,则这两个向量在一条直线上的充要条件是

ab

A.HB.%一=%%=2/2

C.XjX2+y1y2+zlz2=0D,存在非零实数左，使£=左各

【答案】D

【解析】

【分析】

分析各选项中&、B的位置关系，由此可得出合适的选项.

【详解】若非零向量a=（X1/I，zj,B=（%2，%，22）在同一条直线上，则G、5共线.

ab

对于A选项，=产［二万［,且尸［是与五同向的单位向量，币是与B同向的单位向量,

ab

所以，万、5同向，所以，尸［二同是5、5在一条直线卜.的充分不必要条件；

H\b\

对于B选项，取2=（1,2,3）,3=（6,3,2）,则毛％=%必=z/2,但&、5不共线；

对于C选项，若西%2+%为+2隆2=0,则小5=0，可知万_1_5;

对于D选项，“存在非零实数左，使£=口”0"7/力'.

故选：D.

2.已知焦点在x轴上的双曲线的焦距为2百，焦点到渐近线的距离为则双曲线的方程为

-X=

【答案】B

【解析】

【详解】c=拒,焦点到渐近线的距离为近，说明b=JI，则。=1,

2

・,•双曲线的方程为——2=1

2

故选:B

3.若直线x+my=2+机与圆一+了2-2x—2y+l=0相交，则实数机的取值范围为()

A.(—co,+8)B.(—co,0)C,(0,+8)D.(一℃,0)U(0,+°0)

【答案】D

【解析】

【分析】

圆心到直线的距离小于半径解不等式即可.

【详解】解：圆的标准方程为(x—iy+O—lA=1,圆心半径r=l,

ll+m-2-ml

•・•直线与圆相交，.・.4=^—.——-1<r=l,解得加>0或加<0,

Vl+m

故选：D.

4.已知圆C:(x—+(y—1『=1和两点幺(7,0),89,0)(/>0),若圆C上存在点尸，使得

NAPB=90°，贝U/的最小值为

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：由N4P8=90°得点P在圆上，因此由两圆有交点得

\t-]\<OC<t+l^\t-]\<2<t+l^l<t<3,即/的最小值为1.选D.

考点：两圆位置关系

5.若圆(x-ap+S-a)?=4上有且仅有两个点到原点的距离为2,则实数。的取值范围为()

A.(-272,0)B.(-272,0)0(0,272)

C.(-2VI-1)。(1，2衣D.(0,2回

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意可得已知圆与圆/+/=4相交，由圆心距和两圆半径之间的关系，列式即可得解.

【详解】由题意可得：已知圆与圆/+/=4相交,

,1-2-2<Ja~+<2+2，

0<J/+/<4，

解得—2啦<a<2正且。工0,

故选：B.

6.如图所示，在三棱锥P-4BC中，PAmABC,。是棱必的中点，已知尸/=3C=2,AB=4,

CBLAB,则异面直线PC,AD所成角的余弦值为

【答案】D

【解析】

【详解】因为尸/_L平面N2C,所以尸/_L42,PA±BC.过点/作/E〃C2,又CB_LAB,贝U/P,AB,AE

两两垂直.如图，以/为坐标原点，分别以AE,/尸所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标

系，

则4(0,0,0),P(0,0,2),2(4,0,0),C(4,-2,0).因为。为尸3的中点,所以。(2,0,1).

石•丽f

故CP=(-4，2,2),历=(2,0,1).所以cos〈而，CP)=西H守「司质瓦一褊

设异面直线PC,ND所成的角为仇贝1|cos<9=|cos〈近，丽〉|=呼.

7.若P,。分别为直线3x+4y—12=0与6x+8j+5=0上任意一点，则/。|的最小值为（）

9182929

A.-B.—C.—D.——

55105

【答案】C

【解析】

【分析】

先判定两直线平行，再求出两平行线之间的距离即得解.

3412

【详解】因为一=—w—-,所以两直线平行，

685

将直线3x+4y—12=0化为6x+8y—24=0,

由题意可知|尸。|的最小值为这两条平行直线间的距离,

即|-力24-旨5|=296所以做I的最小值为29

故选：C.

【点睛】本题主要考查平行直线的判定和两平行线之间的距离的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌

握水平.

8.阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数左（左>0且

左看1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A、5间的距离为2,动点尸与A、B

距离之比为当P、A、8不共线时，△尸48面积的最大值是（）.

A,正B.迪C.V2D.272

33

【答案】D

【解析】

【分析】以经过A、2的直线为x轴，线段4B的垂直平分线为了轴建系，利用需j=求出圆的方

程，可得圆的半径，进而可求出三角形面积的最大值.

【详解】如图，以经过A、2的直线为x轴，线段48的垂直平分线为歹轴建系，如图：

.V（x+1）12+/6

-.i=7L

7（x-i）2+/

两边平方并整理得：/+/一6x+1=0n（x—3）2+j?=8,

所以圆的半径为2、历，

:.APAB面积的最大值是一X2x26'=2后.

2

故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.若平面内两条平行线4：x+伍—1）＞+2=0与小ax+2y+l=0间的距离为壬，则实数。=

-5

（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【解析】

【分析】

由两直线平行求得。，并确定两直线不重合，然后求出两平行线的距离即可得.

【详解】・•・。・（。-1）=2,解得a=—1或a=2,

2/s

a二—1时，两直线方程为x—2y+2=0,—x+2y+1=0即x—2y—1=0,d=----，符合,

5

1q6

当a=2时，两直线方程x+y+2=0,2x+2y+l=0即x+y+—=0,d=土，不符合，

24

故选：B.

【点睛】易错点睛：本题考查两直线平行，考查平行间距离公式，解题时一是由平行的条件之一求出参数

值后要检验两直线是平行的（不重合），二是求出平行线间的距离，确定满足题意，否则易出错.

10.已知£、b,1和2为空间中的4个单位向量，且3+另+"=6,Ia-d\+Ib-d\+|c-d\

可能等于（）

A.2B.3C,4D.5

【答案】CD

【解析】

【分析】根据"个向量的和的模不大于n个向量的模的和可推出结论.

［详解］,/|fi!-+-1/|+|c-1/|>-d+b-d+c-d|=|a+Z>+c-3t7|,

又a+否+c=6,

所以卜一回+卜—17|+|c—1/|>|—3<7|=3,

Im|m|m

当且仅当—共线同向时等号成立，

因为为单位向量,且Z+5+工=6,

.……wa-d=m(b-d

若"d,b_d,c_d共线,则存在实数加，〃使得《一一

b-d=n\c-d|

m—11

(l-m]b+c=(-l-m)d।i-i_

即1),、'一，，可得m：w，方程组无解,

b-nc=[l-n)d1=n

、1+mn—1

IuiiUJ।m

所以a-d,5-d,c-d一定不共线.

|<7-17|+|Z>-1/|+|c-1/|>3.

故选：CD.

11.下列命题是真命题的是（）

A.若向=访|,则"I的长度相等而方向相同或相反

B.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

C.若两个非零向量方与函满足方+函=0,则方〃①

D.若空间向量在，①满足同〉|丽且在与函同向，则刀〉而

【答案】BC

【解析】

【分析】A中结合模长与向量的关系可判断错误；B中结合向量可平移和共线的概念判断正确;

C中可判断益与①为相反向量，正确；D中向量大小不能进行比较，错误

【详解】4若|£|=Z|,贝崎,B的长度相等，它们的方向不一定相同或相反，所以该选项错误；

R根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则与第三个向量必然共面，则这三

个向量一定共面，所以该选项正确；

c.若两个非零向量刀与函满足方+函=0,则益=-①，所以方〃丽，所以该选项正确；

D.若空间向量益，丽满足|加|〉|函且益与函同向，益与函也不能比较大小，所以该选项

错误.

故选：BC

【点睛】本题考查对平面向量及空间向量基本概念的辨析，命题真假的判断，属于基础题

12.如图所示，棱长为1的正方体A8C。-451GA中，P为线段48上的动点（不含端点），则下列结

论正确的是（）

LLU1ULLUI

A.平面_L平面44PB./POG不是定值

C.三棱锥4-QPC的体积为定值D.DC,1DXP

【答案】ACD

【解析】

【分析】A.易证明24,平面AXAP,得到面面垂直；B.转化

石•函=由+乖）•函=五彳•反;+乖•函，再求数量积；C./_0因=腺.即怔,根据底面积和

高，判断体积是否是定值；D.由。平面4〃尸，判断线线是否垂直.

【详解】A.因为是正方体，所以24,平面44P,24u平面。M尸，所以平面24尸，平面44P,

所以A正确;

B.AP-^Q=CM+4P)-^q=Z^-5q+4P-zjq

=Mcos45。+|4P||5C；|COS90O=1XV2X^-=1,故=故B不正确;

CVB「D、PC=Vp-B、D、c，△BQC的面积是定值，45//平面BQC，点尸在线段45上的动点，所以点P

到平面与。。的距离是定值，所以%「“0=腺.与呼是定值，故C正确；

D.DCX±4^1-Da工,4〃口45=4，所以。平面4〃尸，。尸＜=平面4〃尸，所以

DQ1DXP,故D正确.

故选：ACD

【点睛】本题考查点，线，面的位置关系，体积，空间向量数量积的综合判断题型，重点考查垂直关系，

属于中档题型.

第n卷(非选择题共90分)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知入射光线经过点回(-3,4),被直线/：x-y+3=0反射，反射光线经过点N(2,6),则反射光线

所在直线的方程为.

【答案】6x-v-6=0

【解析】

【详解】试题分析：回(-3,4)关于直线乙x-y+3=0的对称点为九T(l,0),所以反射光线所在直线的

方程是直线的方程：y-6=生卫(x—2)n6x-y—6=0.

2—1

考点：反射直线

14.如图所示，平行六面体ABCD-&B£Di中，A£=AD=AAl=l,ABAD=ZBAA[=120°,

NDAA[=60°,则线段AC,的长度是.

【答案】V2

【解析】

【分析】由平行六面体法则可得布=森+而+刀;，利用空间向量数量积的运算性质可求得线段幺。的长

度.

【详解】由题意可得益万=|方’石卜osl20°=Fx]—

=|A8|-|Z^|cosl20°=1

AB-AA.

=|2o|-|Z^|cos60°=1~x—=一

22

由平行六面体法则可得离=遂+力+存，

所以，AQ=(AB+AD+AAxj

-----►2(-2(-2/>->-(-(->->\

=AB+AD+AAX+2yAB-AD+AB-AAX+AD-AAA

=l+l+l+2x|-|=3-1=2,

I22

故西卜VL

故答案为：JL

15.抛物线/=4x的焦点为尸，过尸的直线与抛物线交于42两点，且满足匕；J=4,点。为原点,

四I

则"OF的面积为.

【答案】2

【解析】

I4FI

【分析】根据抛物线定义可得出14nl友口，由匕4得出2+1=4(/+1),再由

I跳I

AACFS&BDF,建立关系3■二=4,联立解出A点坐标即可求三角形面积.

1一乙

【详解】如图,

y

由题意可知夕=2,F(l,0),

\AF\

由=4得%+1=4(/+1),

\BF\

\CF\\AF\

又根据ANCESABDE可得，7—^=7—4

四||s

x—107^Ix.—1.1

即A加==4'即亡：=4,解得q=4,冲=7

.■.A点的坐标为2(4,4)或/(4,-4),

SAOF=|xlx4=2.

故答案为：2

16.如图所示，在正四棱柱48CD—451GA中，，4=2,AB=BC=1,动点P、0分别在线段

AC±,则线段P。长度的最小值是.

【答案】|

3

【解析】

【分析】

以点。为坐标原点，DA、DC、。，所在直线分别为x、歹、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量

法计算出异面直线G。、NC的公垂线的长度，即为所求.

【详解】由题意可知，线段尸。长度的最小值为异面直线G。、ZC的公垂线的长度.

如下图所示，以点。为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x、卜、z轴建立空间直角坐标系,

则点4(1,0,0)、C(0,l,0),q(0,1,2),£>(0,0,0),

所以，^C=(-l,l,0),Dq=(0,1,2),方=(1,0,0),

设向量〃=(x,y,z)满足［j_〃，n1DCX,

x=y

n-AC=-x+y=Q

由题意可得＜解得《y,取歹=2,则X=2,z=-l,

n-DC\=y+2z=0z-----

2

可得3=(2,2,—1),

2

因此，|PQ|=

IImin13

—、，2

故答案为：一.

3

【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将尸。长度的最小值转化为异面直线NC、G。的距离，实际上

就是求出两条异面直线的公垂线的长度，利用空间向量法求出两条异面直线间的距离，首先要求出两条异

面直线公垂线的一个方向向量的坐标，再利用距离公式求解即可.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.

已知平行六面体Z5CD—4与。12中，各条棱长均为机，底面是正方形，且/4幺。=/428=120°,

设AB=a，AD=b，=c-

⑴用b,"表示西及求|M|；

(2)求异面直线NC与8A所成的角的余弦值.

【解析】

【分析】⑴在图形中，利用向量的线性运算法则表示西，再由|西|=]1片求|西「

AC-BD,

⑵由cosQcBZ））=可求异面直线AC与BD[所成的角的余弦值.

\AC\\BDX\

【详解】（1）BD{=BA+AD+~DD}=^AB+AD+^=-3+6+0.

2

|BD1|=a+B+c-2a-b-2a-c+2b-c

=m2+m2+m2-0-2m2cos120°+2m2cos120°

=3m2，

.0.|BD1|=.

（2）AC=AB+AD=a+b^

则次•西=（N+B）・（B+3—））

-a-b+a-c-a+B+b-c-a-b

———2-2——

~a-c-a+b+b・c

=m2cos120°-m2+m2+m2cos120°

=—m2•

又|BDX|=®n，AC=41m，

cos(^C,西)=£叼=厂-病=—逅

'/\AC^BDy|V2mxV3m6

/.异面直线AC与BDi所成的角的余弦值是旦.

6

【点睛】本题考查空间向量的运算，用空间向量求异面直线的夹角.在不建立坐标系的情况下，空间向量的

运算与平面向量类似，但表示空间向量需要不共面的三个向量作为基向量.由空间向量求异面直线的夹角

时，应注意向量夹角和直线夹角的取值范围的不同，当向量的夹角的余弦值为负数时，相应异面直线的夹

角应为其相反数.

18.过点P(4,1)作直线/分别交x轴，y轴正半轴于A,B两点，0为坐标原点.

(1)当AAOB面积最小时，求直线/的方程；

⑵当10A|+10B|取最小值时，求直线I的方程.

【答案】(1)x+4y-8=0；(2)x+2y-6=0

【解析】

【分析】由题意设4。,0),8(0,6),其中。，b为正数，可设直线的截距式为土+斗=1,代点可得

ab

41।

一+―=1,

ab

(1)由基本不等式可得216,由等号成立的条件可得。和b的值，由此得到直线方程，

41

(2)|0^|+|05|=a+/)=(«+&)(-+-),由基本不等式等号成立的条件可得直线的方程.

【详解】由题意设8(0,6),其中。，b为正数，可设直线的截距式为二+°=1,•.•直线过点

ab

P(4,l),.-.1+1=1,

ab

41l~4~41

(1)由基本不等式可得1=二+七22/,，解得:ab>16,当且仅当一=—,即。=8且6=2时，上

ab\abab

式取等号，

IVy

A4O8面积S=—ab28,则当。=8,6=2时，A4O2面积最小，此时直线/的方程为一+二=1,

282

即x+4y—8=0,

(2)由于|。/+|。间=。+6=(。+颂3+』)=5+竺+@25+2、竺上=9,当且仅当竺=£,即

abab\abab

Q=6且b=3时取等号，

所以当a=6,A=3时，31+31的值最小，此时直线/的方程为%==1,即x+2y—6=0.

63

【点睛】本题考查直线的截距式方程，涉及不等式求最值，属于中档题.

7T

19.如图所示，在44BC中，ZABC=-,。为边上一点，且308=30C=2幺8,尸。，平面

4

ABC,2DA=2AO=PO,&DA//P0.

(1)求证：平面PBD1平面C0D；

(2)求直线PZ)与平面HOC所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)2叵.

11

【解析】

【分析】(1)根据题意证得COLN8,再由尸。，平面48C,得到POJ_OC,结合线面垂直的判定定

理，证得CO1平面PBD,进而得到平面PBD1平面COD.

(2)以OC、O5、0P所在射线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，求得平面8OC的一个法向量

和向量而，结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】(1)在V48C中，OB=OC,且NZBC=—,所以=

44

7T

所以N8OC=—,所以

2

又因为尸。_L平面NBC,OCu平面Z8C,所以POLOC,

又因为尸。、48u平面尸48,POcAB=0,

所以C。，平面「4S,即C。，平面

又由COu平面C。。，所以平面尸8。平面COZ).

(2)以OC、O8、。尸所在射线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

设04=1,则PO=O8=OC=2,DA^l,

则C(2,0,0),5(0,2,0),尸(0,0,2),Z)(O,-1,1),

所以丽=(0,—1,—1),5C=(2,-2,0),丽=(0,—3,1),

设平面BDC的一个法向量为n=（xj,z），

ri-BC=02x-2y=0一

所以＜即〈c八，令y=l,则x=l,z=3,所以〃=(1,1,3),

n-BD—0-3y+z=0

设尸。与平面ADC所成的角为e,

nl."丽臼—|lx0+lx(-l)+3x(-l)|_2V22

\PD[\n\而+(_1)2+(_])2XJ『+I2+3211

即直线PD与平面BDC所成角的正弦值为拽2.

11

20.如图，三棱柱A8C—481G中，4c5=90°，AC=BC=CQ=2,A1B1B1C.

（I）证明：4Qicq；

（II）若48=2百，在棱eq上是否存在点£,使得二面角的大小为30。，若存在，求CE

的长，若不存在，说明理由.

【答案】（I）见解析；（II）见解析.

【解析】

【详解】试题分析：（1）根据线面垂直的性质证明A1G，平面CBBC1从而得到线线垂直，即可证明:

A1CJCG、（2）建立空间坐标系，求出两个半平面的法向量，利用向量法进行求解即可.

解析：

（I）证明：连接3。为平行四边形，且5C=CG=2

BCCRi为菱形BCA1BXC

又•；1B[C,BC1平面4G8

:.B〔c14G

又•.•4G.♦.4GJL平面CB8]G4QiccA

（II）A[B=2G4cl=2BC[=2V2eq1BC

AC.CB、cq两两垂直

以C为坐标原点，声的方向为X轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz,如图所示，则

C（0,0,0）,^（2,0,0）,51（0,2,2）,C1（0,0,2）,B（0,2,0）,设E（0,0,a）

亚=（-2,0,a）,瓯=（-2,2,2）,西=（0,-2,2）,

易知，8G，平面481C,%=（0,—2,2）,

则平面/瓦。的一个法向量沅

设万=（x,y,z）是平面的一个法向量

n-AE=0\-2x+az=0（aa，八

则《—.：.\得万=—,——i,i

n-AB{=0[-2x+2y+2z=0122J

，解得：a=\

，在棱CG上存在点E，当C£=l时，得二面角£-/耳-。的大小为30。.

21.如图，在多面体尸KN8CD中，底面Z5CD是梯形，ADUBC,BC=2AD,ZABC=45°，

底面4BCD,PA//DK,4B=ZC=P4=2£)K=2,点£为3C的中点，点M在线段尸K

（2）如果直线VE与平面P8C所成的角的正弦值为姮，求点M的位置.

15

【答案】（1）证明见解析；（2）点〃与点K重合.

【解析】

【分析】（1）通过证明。£，幺。,。£，尸幺可证。£，平面「/。；

（2）以A为原点，4B,ZC,4P分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设两=兄灰（0WXW1）,利用

空间向量求出X即可得解.

【详解】（1）证明：在梯形/5CQ中，•••Z5=ZC,且NZ8C=45°，

•••ZACB=ZABC=45°-ABAC=90°，AAB1AC,

:点E为6c的中点，，8。=2幺。，

四边形是平行四边形，DEIIAB,：.DE1AC,

又：尸/，底面48C£）,OEu底面48CD,

又尸Zu平面P/C,NCu平面PNC,02口2。=2,•••£)£，平面PNC；

（2）以A为原点，48,ZC,4P分别为x）,z轴建立空间直角坐标系:

则8(200)、。(0,2,0)、尸(0,0,2)、£(1,1,0)、K(-1,1,1),

BC=(-2,2,0),而=(2,0,-2),灰=(-1,1,-1),

设两=2灰(0W/IW1),则两=(—九X-2),

则"(一九九2—㈤,施=(1+九1—九2-2),

设平面P8C的法向量为〃=(x,y,z),由〈一—得七-n,

in-PB~0i2x—2z