甘肃兰州安宁区2023-2024学年高二年级上册期中考试数学试卷（含答案）

2023-2024学年度第一学期期中考试试题

高二数学

一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题

目的一项）

1.直线工+与-3=0的倾斜角是（）

A.30°B,60°C.150°D120°

【答案】C

【解析】

【分析】由斜率可确定直线的倾斜角.

,瓜any~~~x+s/3k=一

【详解】由两-3=0得3,所以该直线的斜率为：3.

ta〃e=_B

设直线倾斜角为0,则0"。＜180。，且"〃一"T,所以8=150。

故选：C

2.已知尸（"）=0-5,尸（8）=03,PQB）=0.2,则尸（幺113）=（）

A.0.5B.0.6C,0.8D,1

【答案】B

【解析】

［分析］依题意根据尸（/U8）=尸（/）+尸（8）一尸计算可得；

【详解】解：因为尸（"）=0-5,尸⑻=03,P（AB）=0.2

则P（N5）/P⑷P⑻所以事件A与事件5不相互独立，

P（AU8）=尸（/）+P（B»P（AB）=0.5+0.3-0.2=0,6

故选：B

3.若直线4：、+砂+6=（）与/2：（"2）x+3y+2"=°平行，则、与4间的距离为（

8万

A.6B.3

873

C.6D.3

【答案】B

【解析】

【分析】由两直线平行的判定有3一。伍―2）=°且2/-18N0求参数外应用平行线距

离公式求4与4间的距离.

［详解］•.•直线4：%+»+6=0与4：(a-2)x+3y+2a=0平行,

2

勺/c9ci=—1,/1—3x+3y—2=0,x—yH—=0

...3_。伍_2)=0且2a2_i8w0,解得支2，,3

6-2

3

d=,2

直线（与,2间的距离,「+<-1）一

故选：B.

4.已知等差数列｛4｝的公差为2,若％心3，。4成等比数列，S"是｛4｝的前〃项和，则

9等于（）

A.一8B.一6C.10D.0

【答案】D

【解析】

2

【分析】由a1，a3,成等比数列，可得名=aia4,再利用等差数列的通项公式及其前n

项和公式即可得出.

2

【详解】Vai，a3,a4成等比数列，%=aia4,

...（%+2x2）2=a/（a1+3><2）,

化为2al=-16,

解得ax=-8.

9x8

.•.贝i]Sg=-8x9+2X2=O,

故选D.

【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力

与计算能力，属于中档题.

5.若直线/经过点尸（一2」），且直线’的一个法向量为v=（2「1）,则直线/的方程为（

）

A%+2y=0Bx+2y-4=0

Q2x-y+5-QD2x+y+3=0

【答案】C

【解析】

【分析】根据直线/的一个法向量为v=（2，—l）,得到号=2,写出直线方程.

【详解】因为直线/的一个法向量为丫=（2，一1）,

所以左=2,

则直线/的方程为vT=2（x+2）,即2x-了+5=0,

故选：C

6.在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣,“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗

青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样.马吃了牛的

一半，羊吃了马的一半.”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、

羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的

主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同.马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗

是马的一半.问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（）

2550100252550100200400

A.不亍'〒B./7亍C,〒〒不D,

50100200

777

【答案】D

【解析】

【分析】设羊户赔粮4升，马户赔粮%升，牛户赔粮生升，易知/，出，的成等比数列,

4=2,%+。2+。3=50,结合等比数列的性质可求出答案.

［详解】设羊户赔粮4升，马户赔粮在升，牛户赔粮气升，则，。2,。3成等比数列，且公比

,、―50_50。_100

4=2,%+%+%=50,则%。+4+4）=50,故%=1+2+2。丁,%~“「工

2

«3=2«i=-

故选:D.

【点睛】本题考查数列与数学文化，考查了等比数列的性质，考查了学生的运算求解能力，属

于基础题.

7.点尸G，3）到直线/:办+了-2a=°的距离为"，则d的最大值为（）

A.3B.4C.5D.7

【答案】A

【解析】

【分析】首先确定直线所过的定点，然后确定”的最大值即可.

【详解】直线方程即了=一""一2）,据此可知直线恒过定点河（2,0）,

当直线‘‘尸"时，"有最大值，

本题选择/选项.

【点睛】本题主要考查直线恒过定点问题，两点之间距离公式及其应用等知识，意在考查

学生的转化能力和计算求解能力.

8.曲线^=1+"^与直线质—>—2左+4=°有两个交点时，实数上取值范围是（

）

色』3口H

A.112'4」B.SRC.（3'4」D.

【答案】A

【解析】

【分析】曲线y=l+，4-/即+（y_i）2=4,（了汕，表示以2（0,1）为圆心，以2

为半径的圆位于直线＞=1上方的部分（包含圆与直线＞=1的交点C和。），是一个半圆,

如图直线y=《（x—2）+4过定点8（2,4）,要有2个交点，直线要在8C/E之间，求出

两直的斜率可得结果

【详解】解:曲线了=1+"-/即/+3-1）2=4,3油,表示以为圆心,

以2为半径的圆位于直线＞=1上方的部分（包含圆与直线＞=1的交点C和。），是一个

半圆，如图：

直线y=Hx-2）+4过定点8（2,4）,设半圆的切线BE的切点为E,

k,-4-1——3

则2C的斜率为“2+24.

设切线2E的斜率为《'，k'＞0,则切线3E的方程为了―4=k（x—2）,根据圆心/到线

距离等于半径得

|0-1+4-2^1|5

一加,k=n,

由题意可得左〈左〈心C,12＜-4,

故选：A.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）

9.下列说法正确的是（）

A.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率

B.点®2）关于直线y=x+1的对称点为0，1）

C.经过点0，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为％+了-2=°

D.直线x—V—2=°与两坐标轴围成的三角形的面积是2

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，利用斜率定义可知，当倾斜角为90。时，斜率不存在；B选项求解点关于

直线的对称点，满足两点的斜率与》=x+l乘积为-1,中点在己知直线了='+1上，进而求

出对称点；C选项要考虑截距均为0的情况，D选项求出与坐标轴的交点坐标，进而求出

围成的三角形的面积.

【详解】当倾斜角为90。时，斜率不存在，故A选项正确；设（°，2）关于直线了=“+1的对

[—1

m

〃+2加+]加=1

称点为（血〃），则满足〔22，解得：〔〃=1,故点（°，2）关于直线y=x+i的对

称点为（1」），B正确；当在X轴和y轴上截距都等于0时，此时直线为〉=x,故C错误;

直线》一了一2=°与两坐标轴的交点坐标为0，°）与（0，—2）,故与两坐标轴围成的三角形

-x2x2=2

的面积为2,D正确

故选：ABD

io.甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为5和甲、乙两人各射击一次，下列

说法正确的是（）

11

----1----

A.目标恰好被命中一次的概率为23

11

—x—

B.目标恰好被命中两次的概率为23

1211

—X-----1-----X-

C.目标被命中的概率为2323

D.目标被命中的概率为23

【答案】BD

【解析】

【分析】利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件、对立事件的概率公式可判断各选项的

正误.

]_1

【详解】甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为2和3,甲、乙两人各射击一次，

11121

—X--1---X—=—

在A中，目标恰好被命中一次的概率为23232,故A错误；

111

—x———

在B中，由相互独立事件概率乘法公式得：目标恰好被命中两次的概率为236,故

B正确；

邙-L二

在CD中，目标被命中的概率为I3,故c错误，D正确.

故选：BD.

11.已知数列缶"｝的前〃项和为I,下列说法正确的（）

A.若S"=I+1,则缶"｝是等差数列

B.若邑=3"—1,则也”｝是等比数列

C.若S'｝是等差数列,则风=9a5

D.若｛%＞是等比数列,且则

【答案】BC

【解析】

【分析】对于A,求出生,°2,%即可判断；

对于B,利用%=S"—S“T求出通项公式，再验证是否满足4=2,即可判断；

对于C,根据等差数列的求和公式即可判断；

对于D,当q=i时，可得$「$3—用=—看,即可判断.

【详解】解：对于A,若S"=/+l,则％=H=2,

%=S2—S]=3,%=S3—S2=5,则｛%｝不是等差数列，A错误;

对于B,若S〃=3"-1,则%=4=2,当〃22时，

%=S“-5„_1=r-l-（3--l）=2x3",满足%=2,

所以a“=2x3"T,则｛%｝是等比数列，B正确；

,I及=9（4+」9）=9生

对于C,也"，是等差数列，则2,c正确；

对于D,若口｝是等比数列，当4=1时，则岳A=3。1-4a；=—%-<0,D错误.

故选：BC.

12.已知圆又：/+3—2）2=1,点P为x轴上一个动点，过点尸作圆/的两条切线，

切点分别为A,B,直线48与"P交于点C,则下列结论正确的是（）

A.四边形R4MB周长的最小值为2+6

B.I//的最大值为2

8

C若尸（1,0）,则三角形尸4s的面积为与

D.若"丁°,则us的最大值为a

【答案】CD

【解析】

【分析】首先设“口，

对于选项A,根据题意，表达四边形尸©WB周长关于/的函数，由/的取值范围求函数的最

小值可判断A错误；

对于选项B,根据等面积法，求出58|关于/的函数关系，由/的取值范围求函数的最大

值可判断B错误；

对于选项C,根据题意，计算△尸48的底和高，求出面积判断C正确；

对于选项D,设动点尸（多°）,求出切线48的方程与直线P位的方程，二者联立消去也得

到二者交点0的轨迹是圆，CQ的最大值为圆心。与°距离加半径，可判断D正确.

【详解】对于选项A,设则|8尸|=|月尸1=而臼而『=户］

则四边形周长为2炉二i+2,则当Z最小时周长最小，又Z最小值为2,

所以四边形周长最小为2省+2,故A错误；

S四边形尸0MB=25想"=彳|2x—x1xVf2-1=—dAB\

对于选项B,2，即22

\AB\=^^-=2.IZ

所以/，因为功2,所以故B错误;

对于选项C,因为尸a°）,所以.上色即，=叵所以""23t2出,

1Q

-\AB\\PC|=-

所以三角形P/5的面积为25,故C正确；

对于选项D,设尸（见°）,2（再'凹）,则切线PN的方程为/》+（必一2）@—2）=1,

又因为直线P4过点Pg°），代入可得玉根+（乂一2）（0-2）=1化简得明-2必+3=0

设BQ,%),同理可得加工2-2%+3=0,

因此点48都过直线冽1_2^+3=0,即直线AB的方程为机x—2y+3=0,

y=--x+2

MP的方程为m

y=---x+2①

m

加x-2〉+3=0②

二者联立得,

2x

m=------x2+y2-—y+3=0

由①式解出2-y,代入②式并化简得

配方d）Y,”2

（0,-）1

所以点C的轨迹是以4为圆心，4为半径的圆,

OIcoI\OQ\+R=A+（-）+~=2+—=—

设其圆心为J,所以Ua的最大值为｛Y44444,故D正

确.

故选：CD.

【点睛】本题综合性较强，难度较大，具备运动变化的观点和函数思想是解题的关键，对

于AB选项，设变量1上0=‘，用f分别表达周长函数和距离函数求最值，对于D选项，设

出动点尸（私°）,分别表达直线N5和"P的方程，联立消去机，得到动点C的轨迹，进

一步求解答案.

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.对某班一次测验成绩进行统计，如下表所示：

分数段[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

频率0.030.040170.360.250.15

则该班成绩在［8°，1°°］内的概率为.

2

【答案】04##5

【解析】

【分析】根据测验成绩进行统计表，即可求得成绩在［80」00］内的概率，得到答案.

【详解】根据测验成绩进行统计表，可得该班成绩在旧。/。。］内的概率为

0.25+0.15=0.4.

故答案为：°-4

14.已知数列｛%｝的前〃项和I=3+2”,则数列｛%｝的通项公式为.

_（5,n—1

［答案］"2n-l,n>2

【解析】

【详解】当〃=1时，/=£=3+2】=5；当〃“时，

_5,〃=1

久=—Si=3+2〃—(3+2〃T)=2",所以a，，=〃>2

15.已知a>。，b>。,直线L(aT)x+yT=°,£x+2勿+1=0,且4U,则

21

----1----

ab的最小值为.

【答案】8

【解析】

【分析】根据两条直线的一般式方程及垂直关系，求出口，小满足的条件，再由基本不等

式求出最小值即可.

【详解】因为4U,所以（aT）xl+lx26=0,即a+2b=l,

211、/c7\cc4ba..l4ba_

----1----

+—y(a+26)=2+2+——+—>4+2J-------=8

因为a>0,b>Q所以。6b))ab\ab

4b_a1

ci———

当且仅当a即24时等号成立,

21

----1----

所以。b的最小值为8.

故答案为：8.

16.已知圆C的圆心在直线x+>=0上，圆C与直线％—y=0相切，且在直线％—y—3=0

上截得的弦长为后，则圆C的方程为.

【答案】（X—1尸+3+1）2=2.

【解析】

【分析】

设圆的圆心，由直线与圆相切可得半径，再由垂径定理即可得解.

【详解】由圆C的圆心在直线x+y=0上，.••设圆C的圆心为3一°）,

2/—1।

r=―^=y[2\a\

又,•,圆。与直线x—y=0相切，，半径72.

又圆C在直线X—3=0上截得的弦长为后，

圆心（a,一4）到直线x—y—3=0的距离72,

（/7A2

/+辿=/（2"3）232

2------------1—=Za

•••I），即22,解得0=1,

•••圆C的方程为（x—1）2+0+1）2=2.

故答案为：（xT）2+3+l）2=2.

四,解答题（本大题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤）

17.已知MB。的三个顶点分别为“（T°）,3（2,1）,。（-2,3）,求：

（1）8c边所在直线的方程；

（2）边上中线力。所在直线的方程；

（3）边的垂直平分线DE的方程

【答案】⑴x+2y-4=0

（2）2x—3y+6=0

（3）2x—jv+2-0

【解析】

【分析】（1）由两点式求直线8c的方程；

（2）由条件求。的坐标，再求直线40所在直线的方程；

（3）根据直线垂直时斜率的关系求直线QE的斜率，再求其方程.

【小问1详解】

因为直线BC经过8（2,1）和,（一2,3）两点，

y-1_x-2

由两点式得5c的方程为3T—2—2,即x+2y-4=0-

【小问2详解】

•.•8（2,1）,C（-2,3）,。为8c的中点，

・二点。的坐标为。2）,

A+Z=i_

由截距式得ZD所在直线方程为-32，即2x-3y+6=°.

【小问3详解】

k,—_3_-_1_—..1

8c的斜率1-2-22,则8c的垂直平分线£）£的斜率42=2,

由斜截式得直线DE的方程为N=2x+2,即2x—y+2=0.

18.某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在

规定时间内送达、延迟5分钟内送达、延迟5至10分钟送达、其他延迟情况，分别评定为

A，B，C，D四个等级，各等级依次奖励3元、奖励0元、罚款3元、罚款6元.假定评定为等级

3]_

48,C的概率分别是了于32.

（1）若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率；

（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为3元的

概率.

7

【答案】（1）§

3

（2）16

【解析】

【分析】（1）利用互斥事件的概率公式，即可求解；

（2）由条件可知两单共获得的奖励为3元即事件（4'2）°（幺2片），同样利用互斥事件和

的概率，即可求解.

【小问1详解】

设事件4B,C,D分别表示“被评为等级4BCD,,,

由题意，事件也尻°，°两两互斥,

1

P（D）=1313

所以483232,

又/U3="不被罚款,,,

317

P（AuB）=P（A）+P⑻=：+H

所以488.

7

因此“不被罚款”的概率为1；

【小问2详解】

设事件4，4，C，'表示“第i单被评为等级4B,C,D“，i=1,2,

则“两单共获得的奖励为3元”即事件（4层）°（44）,

且事件4为,44彼此互斥，

313

尸（4与）小电）丁=

，

p=尸［（/也）u（44）］=尸（/也）+/（44）=2=最

所以3216.

19.已知圆°的方程：/+/_2》_外+加=0.

（1）求实数加的取值范围；

275

（2）若圆°与直线/：x+2y-3=°交于M,N两点，且।5,求加的值.

【答案】（1）m<5

（2）4

【解析】

【分析】（1）根据圆的标准方程化简即可求得加的取值范围；

（2）利用点到直线的距离及垂径定理即可解得.

【小问1详解】

由题意得：

2

:方程x?+j2_2x_4y+机=0,可化为（X-1）?+（^-2）=5-m；

此方程表示圆，

:.5-m>0f即加<5

【小问2详解】

圆的方程化为（XT?+3_2）2=5一加，圆心C（l,2）,半径r=J5-掰,

^_|l+2x2-3|_2

则圆心COZ到直线/：x+2y-3=°的距离为Vl2+22出,

\MN\=^-r=672+（||W|）2

由于5,则有

20.已知也）是递增的等比数列，出,。6=8%,且%+%=20.

（1）求数列｛""｝的通项公式；

（2）数列也｝的前〃项和为S",且满足S”=24+〃，又■=log2a„；求数列

也十%｝的前〃项和J

【答案】（1）%=21

^±0-2-+2

（2）2

【解析】

【分析】（1）根据条件列出关于％应的方程组求解即可；

（2）利用构造法求出V的通项公式，然后使用分组求和法可得.

【小问1详解】

53

axq-axq-^q产,

记数列回｝的公比为”由题知加2+%-=20,即）=2°,

1

q=­g

解得2或4=2,

又｛4｝是递增的等比数列，所以4=2,所以%=i,

所以数列｛5｝的通项公式为例=2“二

【小问2详解】

当〃=1时，S]=4=2b]+1,得4=_]

当〃22时，2=S“-S“T=2b“+〃-（2%+〃-1）,整理得"-1=2（%-1）

所以也T｝是以2为公比，4T=-2为首项的等比数列，

所以”-1=-22二得”=-2〃+1,

又C“=log22"T=〃T,所以〃+g=-2"+1+〃-1=〃-2",

所以（=0-2）+（2-22）+（3一23）+-.+（〃一2"）

=（1+2+3+…+22+23+…+2"）

_n（n+l）2（1-+

——乙十乙

21-22

21.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含

9.50m）的同学将得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的

比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25.

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23.

丙：9.85,9.65,9.20,9.16

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.

（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

（2）求甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中恰有2人获得优秀奖的概率.

2

【答案】（1）5

7

（2）20

【解析】

【分析】（1）根据古典概型概率的计算公式直接计算概率；

（2）由（1）知，甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率，根据古典概型概率的计算

公式，分别计算出乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率，再计算出甲、乙、丙

在校运动会铅球比赛中恰有2人获得优秀奖的概率.

【小问1详解】

设事件/为“甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”，

因为比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将得优秀奖，

甲以往的10次比赛成绩中达到9・50m以上（含9.50m）的有9.80,

9.70,9.55,9.54,共4次，

42

P（A）=—=—

所以甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为105,

【小问2详解】

由⑴知，甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为尸（介:

设事件3为：“乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，

乙以往的6次比赛成绩中达到9.50m以上（含9.50m）的有9.78,9.56,9.51,共3次,

故

事件C为：“丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”,

丙以往的4次比赛成绩中达到9.50m以上（含9.50m）的有9.85,9.65,共2次,

尸©=冷

故

则甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中恰有2人获得优秀奖的概率为:

P=P(ABC)+P(A£C)+P(ABC)

2i<n2rni<2^ii7

二—X—X1H——X1X——F1X—X—=——

5212)5(2)2(5J2220

22.已知数列也"｝满足/j%=2%-3(-iy(〃eN)

(1)若”=%T,求证：4+1=4%

(2)求数列｛""｝的通项公式；

(3)若q+2a2+34+…+"%>42对一切正整数“恒成立,求实数几的取值范围.

【答案】（1）证明见解答

%=2"+(—1)”

(2)

/1、

(一°°,彳)

(3)2

【解析】

【分析】（1）根据递推关系分奇偶项讨论计算即可;

（2）结合（1）可得也"｝是以4=4为首项，4为公比的等比数列，计算可求数列｛4｝的

通项公式;

（3）分〃为奇数与偶数，求得S“，进而分离变量，当〃为奇数时，可得

2（〃-1）+登〉几当〃为偶数时，2（〃f+封〉々求得最小值即可.

【小问1详解】

由q=L%+i=2%—3(-l)"GeN*)

一2〃+2=2%“+|-3(-1)2'用=2。2〃+|+3

可得。2〃+1=2a2“-3(-l)2n=2a2“-3

所以a2n+2=2(2%“-3)+3=4%,-3

所以黑广a2n+2-1=4a2〃-4=4Q“-1)=4bti.

【小问2详解】

由％=1,%=2%-3(-l)i=5,所以4=%-1=5-1=4

结合⑴可得也｝是以4=4为首项，4为公比的等比数列，

所以4=%-1=4X4〃T=4〃=22",所以⑸=22"+1,

2

又⑸=2a2用+3=22"+1,解得a2^=2-'-1>

〃_,2"-1,〃=2左-1,左eN*

所以”〔2"+1,〃=2左入1<,即a〃=2"+(-1)"

【小问3详解】

当〃为偶数时，