复数及其应用-2025年高考数学一轮复习知识清单

专题10复数及其应用

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）

维构建・耀精向绐

复数的定义：形如a+bi（a,b£R）的敷叫做复数

其中实部是a,虚献b

诩(b=0))题型复数的基本概念及应用

复数的分类01

K0知识点一复数的基本痴四（bw0）（a:0时为纯虚数））题型02根据复数相等求参数

题型03复数的模长计算

题型04共匏复数及其应用

1复数的有关概念〉<共姬复数）

1■（复数的模）

复

数「:空酗盛］I：耍直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面

题型01复数与复平面的点一对应

及

O知识点二复数的几何意义；实轴与虚轴娜U做实轴，y轴叫做虚轴题型02复数与复平面向量——对应

其题型03复数的模的几何意义及应用

蔓的几何薪

应

用.一._—,二、复数的运算法则一力口、减、乘、题型01复数的四则运算

知识点三复数的四则运算题型02复数的乘方运算

Y、__o_______:____________________，/〜复数运…算的几二个重要~结-论-----

题型03复数范围内解方程

辘的定义

蔓的辐角T）八、

-----------辐角主值

T：。知识点四复数的三角形式题型01复数的代数式与三角式互化

一复数的三角旃C：亘cos0+isine）题型02复数三角形式乘除法运算

复数的三角吩及运氟―卜；赢的乘法霞：）题型03复数的新定义问题

复数的除法^

口识盘点・置翡非煤

知识点1复数的基本概念

1、复数的定义：形如。+历3，6GR）的数叫做复数，其中实部是“，虚部是从

2、复数的分类：

实数6=0,

复数z=a+历

「纯虚数a=0,

a,Z?£R虚数厚（）-

.非纯虚数存0.

3、复数的有关概念

复数相等a+Z?i=c+diu^a=c且Z?=d(a,b,c,d£R)

共粗复数a+Ai与c+di共辆0a=c且Z?=—d(a,b,c,d£R)

向量无的模叫做复数z=a+历的模，记作|z|或|a+bi|,

复数的模

即|z|=|〃+历尸r=7W+后(rK),a,bWR)

知识点2复数的几何意义

1、复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面;

2、实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上

的点都表示纯虚数；

3、复数的几何表示：复数z=a+6i«一一对应》复平面内的点Z(a,b)<.•对应》平面向量次.

知识点3复数的四则运算

1、复数的运算法则

设Z]=a+bi,z2-c+di(a,b,c,dGR),贝！I

(1)zi+z2=(a+历)+(c+di)=(a+c)+(b+(Z)i；

(2)zi-Z2=(a+bi)—(c+di)=(a—c)+(6—d)i；

(3)zi-Z2=(a+6i)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；

z,a+bi(a+6i)(c-di)ac+bdbc-ad,、、

(4)」=----=----------——7+-=——-l(C+6/17^0).

z2c+di(c+di)(c-di)c+d'c+d'

2、复数运算的几个重要结论

(1)|Z1+Z2『+|Z1—Z2|2=2(|Z1F+|Z2『).

(2)z-z=|z|2=|z|2.

(3)若Z为虚数,则|z|2先2.

(4)(l±i)2=±2i.

4n4,,+14n+2

(5)i=l；i=i；i=-i；i4«+3=-i.

知识点4复数的三角形式

1、复数的辅角

(1)辅角的定义：设复数z=a+bi的对应向量为近，以久轴的非负半轴为始边，向量成所在的射线(射

线。Z)为终边的角。，叫做复数z的辅角.

(2)辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这

些值相差2兀的整数倍.

规定：其中在0W8<2兀范围内的辅角8的值为辅角的主值，通常记作argz.

【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的.

2、复数的三角形式及运算

(1)定义：任何一个复数都可以表示成z=r(cos8+is讥8)的形式，其中r是复数的模，。是复数的辅角.

【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连.

(2)复数乘法运算的三角表示：已知Z】=r1(cos01+isin%),z2=r2(cos62+isin")，

则z1Zi=r1r2[cos(01+02)+isin®+02)]-

这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和.

(3)复数除法运算的三角表示:已知Zi=々(cos%+is三。1),z2=r2(cos02+isin02)

则迫=斐。s7+is讥黑=3_+is讥(88)].

z2r2(cos02+^in02)r2

这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，

商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差.

点突破•春分好•检

重难点01与复数有关的最值问题

求复数模的范围与最值问题的解题策略

(1)把复数问题实数化、直观化、熟悉化，即将复数问题转化为实数问题来处理，转化为实数范围内，求

模的范围与最值问题来解决；

(2)发掘问题的几何意义，利用几何图形的直观性来解答，把陌生的问题转化为熟悉的问题来解答；

(3)利用三角函数解决.

【典例1】(2024•山东烟台•三模)若复数z满足忖=|z-2-2i|,则目的最小值为()

A.1B.&C.若D.2

【答案】B

【解析】若复数Z满足忖=|z-2-纬

则由复数的几何意义可知复数Z对应的点集是线段的垂直平分线，其中0(0,0),4(2,2),

所以忖的最小值为=；亚三两=忘.故选：B.

【典例2】(2024•云南・二模)已知i为虚数单位，复数z满足|z-l|=|z+i|,贝的最小值为()

A.正B.gC.-D.0

223

【答案】A

设z=x+yi,(x,jwR),ffu|z-l|=|z+i|,所以(x-lj+/+(y+l『,即y=T,

所以—=Jx?+(y_])2=yjx2+(-x-l)2=也/+2x+l=[[x+g]+\~,

等号成立当且仅当y=-x=；,

综上所述，|z-i|的最小值为它.故选：A.

重难点02共轨复数与复数运算的综合问题

共辗复数问题的求解技巧：

1、若复数Z的代数式已知，则根据共轨复数的定义，可以写出I,再进行复数的四则运算.

2、己知关于z和I的方程，而复数z的代数形式位置，求解z.解决此类问题的常规思路是：设

z=a+bi（a,bqR）,则三=a-为，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程（组）求解.

【典例1】（2024•福建泉州•一模）（多选）已知复数z满足z=l-‘，则（）

Z

A.2.2=1B.22=zC.z+z=—1D.\z—'z\=

【答案】AD

【解析】设复数Z=4+历,3,4R）,nT^z2=a2-b2+2abi

因为复数z满足z=l—,可得z?=z—1，贝!I〃一〃+2〃历=〃+人i—1,

z

可得"—=a—1且2ab=b,

由2ab=Z?时，可得〃=—或b=0,

2

当时，可得/7=止匕时Z=L±Y^i；

当6=0时，方程/_〃+1=0,无解;

2222

对于A中，当z='+3i,可得％=,—1i,可得zG=l;

2222

当z=4—走i,可得1='+且4,可得z；=l，所以A正确;

2222

对于B中，当z=；+#i,可得」；+争，且白；一争，则所以B不正确；

对于c中，当2=工+3i,可得胃=1■一Yii,可得z+』=i,所以c不正确;

2222

对于D中，当z,+《L,可得I」一立i,可得z二=",贝止-非也;

222211

当z,一也i,可得且i,可得z-三一后，贝加-4=6,所以D正确.故选：AD.

222211

【典例2]（23-24高三下•湖南娄底•阶段练习）（多选）已知复数4*2的共轨复数分别为工,福，下列结论正

确的是（）

A.若4为纯虚数，则4+1=0

B.若2；+2；=。，则Z]=Z?=。

C.若[Z]_z?|=0,则Z]—z2=0

D.若|z-l|=|z+l|,贝”在复平而内对应的点的轨迹为直线

【答案】ACD

【解析】对于A,设4=历，Z]=—bi,故4+4=0成立，故A正确，

对于B,设z=i,z2=lf则满足z；+z；=0,但4WZ2。0,故B错误，

对于C,设4=〃+〃，z2=c+di,则Zi=a-bi,z2=c-di,

故Zi—Z2=(a—c)+(b—d)i,.-z2]=J(a-c)2+(Z?-d)2=0,

解得a=c,b=d,则Z]—z2=(a—c)+(d_Z?)i=0,故C正确，

对于D,设z=x+W,因为|z—l|=|z+l|,|z-l|=7(^-l)2+/»

|z+l|=J(X+l)2+y2,所以J(x+l)2+y2=J(%_])2+y2,

化简得x=0,故Z在复平而内对应的点的轨迹为直线，故D正确.故选：ACD.

法技巧・1g塞学霸

一、复数的分类

对于复数a+bi,

（1）当且仅当6=0时，它是实数；

（2）当且仅当a=b=O时，它是实数0；

（3）当厚0时，叫做虚数；

（4）当a=0且以0时，叫做纯虚数.

【典例1】（2024.广东东莞.模拟预测）若复数z满足（5+0（l+i）=4,则复数z的虚部是（

A.2B.-2C.3D.-3i

【答案】C

【解析】设z=a+6i,根据题意，可得（a-历+。（1+。=4,

化简为（a+6-1）+（。-b+l）i=4,

[a+b—1=4[a=2

根据复数相等，得,,解得八.

[a-0+11=n0[6=3

所以z=2+3i,即复数z的虚部是3.故选：C

【典例2]（23-24高三上.甘肃庆阳•阶段练习）（多选）下列各式的运算结果是实数的是（

A.z=i(l-i)2B.z=(l+i)2

C.z=(l+i)(l+2i)(l+3i)D.z=*

【答案】AC

【解析】A项中，z=i(l-i)2=i(-2i)=-2i2=2,故A正确;

B项中，z=(l+i)2=2i,故B错误；

C项中,z=(l+i)(l+2i)(l+3i)=(-l+3i)(l+3i)=-10,故C正确；

6i86i34i50i

D项中，z=8z=(ZKZl=Z=_2i,故D错误.故选：AC.

3+4i2525

二、求复数标准代数式形式的两种方法

1、直接法：将复数用已知复数式表示出来，利用复数的四则运算化简为复数的标准代数式；

2、待定系数法：将复数设为标准式，代入己知的等式中，利用复数相等的条件列出关于复数实部和虚部的

方程(组)，通过解方程(组)求出复数的实部与虚部.

【典例1】(2024•新疆・三模)复数z满足|z+2iRz|,则z的虚部为()

A.—iB.iC.-1D.1

【答案】c

【解析】设z=a+6i且,贝!|z+2i=a+bi+2i=a+(b+2)i,

因为|z+2i|=|z|,所以/+0+2)2=〃+心解得：b=-l,则z的虚部为-1.故选：C

【典例2】(2024.福建泉州.模拟预测)已知复数z满足月=2,|z-2|=2,则z+W=()

A.2石B.2C.-2D.-2.y/3

【答案】B

【解析】设复数z=a+bi,a,b^R,

222

由|z-2|=|z|=2,得Q(a-2)+/=y/a+b=2,解得。=1,b=±5/3,

1'•z=1i5/3/，,1,z+z=2-故选：B.

三、复数的几何意义

(1)任一个复数z=a+历(a,5GR)与复平面内的点Z(a,b)是---对应的.

(2)一个复数2=。+庆(°,AGR)与复平面内的向量覆=(a,6)是——对应的.

【典例1】(2024•四川自贡•三模)在复平面内，复数4，z?对应的向量分别是况=(-2,3),砺=(3,-2),

则复数一^对应的点位于()

Zi+Z?

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】因为复数句，z?对应的向量分别是西=(-2,3),08=(3,-2),

所以Z1=-2+3i,z2=3—2i9

所以7_3-2i_(3-2i)(l-i)_l5

Z1+Z2-2+3i+3-2i(l+i)(l-i)22

所以复数一^对应的点为(!，-：]，位于第四象限.故选：D

zi+z2(22)

【典例2】(2024•安徽马鞍山.三模)己知复数z满足zN=2(z+彳)=4,若z在复平面内对应的点不在第一象

限，则2=.

【答案】1-后

【解析】设2=。+历,a,b£R,则乞=。一历，

因为zN=2(z+z)=4,

z2=(〃+历)(〃一历)=/+/=4[«=1fa=l

则’2(z+Z)=2[(a+历)+(a-历)]=4a=4'解得=上或%=-后

又因为z在复平面内对应的点不在第一象限，可知640,

4Z—1

可知V,=所以Z=l-后,

b=-yJ3

故答案为：1-".

四、虚数单位i的乘方

计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，i"有如下性质：

F=i,i2=­1,i3=ii2=—i,i4=i3i=—ii=1,

从而对于任何wGN+,都有i4,1+1=i4"-i=(i4)fl-i=i,

同理可证i4"+2=—1,i4"+3=—i,i4«+4=l.

这就是说，如果"CN+,那么有i4"+i=i,i4n+2=-l,i4n+3=-i,i4«+4=l.

由此可进一步得(l+i)2=2i,(1—i)2=—2i,1q4=—1,1=—i.

【典例1】(2024•湖北・二模)已知复数z=^(l+i),则z20241()

A.1B.-1C.—iD.i

【答案】A

【解析】因为Z=[(l+i),所以z2=g(l+2i+i2)=i,

所以22。24=卜2)皿2=(以。“=1.故选：A

【典例2】(2024・河北•三模)已知复数三满足2(浮23+[2必)=i?如，贝匹的共辗复数的虚部是()

【答案】D

【解析】Efez(i2023+i2°24)-i2025,可得z(产5+产圻*1―,

i_i(l+i)_—l+i_1£.

所以z(l-i)=i,所以l^i-(l-i)(l+i)-2~~221

_ii1

所以z=所以1的共辗复数的虚部是故选：D.

五、复数方程的解

在复数范围内，实系数一元二次方程a/+°久+c=0(a70)的求解方法：

(1)求根公式法：

①当心0时，”=也"王②当△<0时，x=M-i

2a2a

(2)利用复数相等的定义求解，设方程的根为汽=租+7ii(zn,HG/?),

将此代入方程a/+版+。=0缶。0),化简后利用复数相等的定义求解.

【典例1】(23-24高三下•西藏拉萨•阶段练习)已知Z=l-i是方程z2+2〃z-)=0伍力wR)的根，则4+2=()

A.-3B.-1C.2D.3

【答案】A

【解析】由题意，得(1—i)2+2a(l—i)—b=0,即2。—b+(—2—2a)i=0,

所以2a—Z?=0,且一2—2Q=0,解得a=-1/=-2,

所以。+6=—3.故选：A.

【典例2】(2024.江苏盐城.模拟预测)(多选)已知4，Z2为方程％2+2%+3=0的两根，则()

A.\zx-zy=2y[2B.—+—=-7

114Z23

C.团+区|=26D.Z]—z2=Z]+z2

【答案】BC

【解析】方程d+2x+3=O的两根分另II为一l+0i和一1一仓，且Z[+Z[=-2,z/z=3,

所以不妨设Z[=-1+,z2=-l->/2i,

^=-l+V2i,所以卜-司=/1+6)-卜1+")|=。，故A错误；

11z.+z92

—+—=---"=一1，故B正确；

Z[Z[Z[Z[3

22

|Z1|+|z2|=2^(-1)+(>/2)=273.故C正确；

Z]-Z2=_2夜i,Z]+z2=—l-V2i-l+V2i=-2,

所以ZI-z?/Z]+Z2,故D错误.故选：BC.

六、复数的三角表示

将复数z=a+历（a,be.R）化为三角形式z=r［cos9+is讥8）时,要注意以下两点：

（1）r=y/a2+b2,

（2）cosO=；,sin0=T，其中8终边所在象限与点（a,6）所在象限相同，

当a=0,b>0时，argz=

【注意】每一个不等于零的复数有唯一的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，

两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等.

【典例1］（23-24高三下•江苏苏州•阶段练习）（多选）任何一个复数z=a+/?i（a,6eR,i为虚数单位）

都可以表示成2=/'（8$夕+15皿6）（厂20,6eR）的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫

弗发现：［r（cose+isin6）］"=k（cos”e+isin〃）（"N’）,我们称这个结论为棣莫弗定理，则下列说法正

确的有（）

A.复数2=1-7^的三角形式为z=2（cos］_isin|^

232024

B.当厂=1,5时，z+z+Z+--+z-0

2

jr

C.当厂=2,时，z^=—8

rr

D.当r=3,:时，“〃为偶数”是“z"为纯虚数”的充分不必要条件

4

【答案】BC

【解析】复数z=l-后的三角形式为z=21cosw+isinwj,故A错误；

当/=1,6=二时,z=cos—+isin—=i,

222

因为i4k+1+i袱+2+i#+3+i4K4=o,%ez,

所以Z+/+z3+…+Z2°24=0,故B正确;

TTz=2[cos]+isinj,

当丁=2,§时'

j兀..兀

z2cos—+ism—=23(cos7t+isinK)=—8,故C正确;

I33

g,。三时,z=J3cos—兀+「isi.n兀—,

I44

(兀..兀)

noc〃/mt..mt

z=3cos—+isin—3cos-----i-isin——

[I44JI44

几兀八

cos——=0

AnjrTT

若z〃为纯虚数，贝R，则多=g+E,所以冏=4k+2,左eZ,

.mt_42

sin——w0

I4

虽然〃=4左+2,ZeZ是偶数，但是偶数还有〃=软，keZ的形式的数，

所以“〃为偶数”是“z"为纯虚数”的必要不充分条件，故D错误.故选：BC.

【典例2】（2024•黑龙江哈尔滨.三模）复数z=a+6i（a,6eR,i是虚数单位）在复平面内对应点为Z,设

厂=|。4,。是以工轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角，则2=。+历=r（cos6+isin，），把

r（cose+isin。）叫做复数。+历的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，

(16

[厂(cos6+isine)]"=r"(cos〃e+isin“eX〃eN*),例如:----1-----1=cos2兀+isin27i=1,

227

复数Z满足：z3=l+i，则Z可能取值为（

【答案】D

【解析】设z=r(cos6+isin。),

兀..兀

贝”3=1+仁0cos—+isin—=r3(cos36+isin30),

44

所以r=啦，36»=2far+-,^eZ,^0=—+—,keZ,

4312

2kn7i2E71

所以Z=3cos--+一+isin--+一,kcZ

312312

17兀17K..17K

故％=2时，。=五，故z可取------Fisin-----,故选：D

1212

混易错•睢券我期

易错点1忽视复数2=。+方是纯虚数的充要条件

a=0

点拨：对复数为纯虚数理解不透彻，对于复数2=。+方为纯虚数0分0,往往容易忽略虚部不等于。.

【典例1](24-25高三上•湖南•开学考试)已知复数4=2-i,Z2=a+i(〃£R),若复数49为纯虚数，则实

数。的值为()

A-B-IC.-2D.2

【答案】A

【解析】由已知,复数21a=(2-D(a+i)=(%+l)+(2-a)i为纯虚数,

2a+1=0,1

所以2-"。，得"一5.故选：A-

【典例2](23-24高三上•广西・开学考试)已知i是虚数单位，若Z=?竺是纯虚数，则实数。=()

1-1

£

A--2BC.1D.

-42

【答案】C

【解析】z-罟(l+ai)(l+i)1—<2a+1.

1-----77-----=----------1-------1,

(l-i)(l+i)22

-0

因为z=¥是纯虚数，所以<’,解得a=l.故选：C.

1-1a+1八

------W0

[2

易错点2错误的理解复数比大小

a<c

点拨：两个复数不能直接比大小，但如果。+