复数-2025年高考数学一轮复习（天津专用）

第23讲复数

（9类核心考点精讲精练）

考情探究・

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

2024年天津卷，第10题,5分复数代数形式的乘法运算

2023年天津卷，第10题,5分复数代数形式的乘法运算复数的除法运算

2022年天津卷，第10题,5分复数的除法运算

2021年天津卷，第10题,5分复数的除法运算

2020年天津卷，第10题,5分求复数的实部与虚部

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握复数的概念，能够理解复数的实部虚部与共轨复数的概念

2.能掌握复数的四则运算法则

3.具备数形结合的思想意识，会借助图形，理解复数与向量的关系

4.会解复数方程问题

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出复数进行相关计算，求解实数虚数问题。

Fl•考点梳理。

1

⑴复数的定义

(2)复数的分类｛考点一、复数的概念

r知识点一.复数的有关概念《(3)复数相等

(4)共拆复数

(5)复数的模

考点五、复数的几何意义

知识点二.复数的几何意义

考点六、复数模长问题

复数

考点二、复数的四则运算

⑴复数的加、减、乘、除运算法则

知识点三.复数的四则运算考点三、复数相等

(2)几何意义

｛考点四、复数类型

考点七、复数方程问题

知识点四.复数常用结论考点八、复数最值与取值范围

考点九、复数轨迹问题

知识讲解

知识点一.复数的有关概念

(1)复数的定义：形如〃+历(〃，b£R)的数叫做复数，其中且是复数z的实部，么是复数z的虚部，i为虚数

单位.

(2)复数的分类：

复数z=a+历(a,6GR)

(实数Cb=O)

'虚数(b丰0)(当a=0时为纯虚数；

(3)复数相等：

a+bi=c+"i=a=c且b=d(a,b,c,dGR).

(4)共辗复数：

a+从与c+di互为共朝复数o4=c,b=—d(a,b,c,dGR).

(5)复数的模：

向量域的模叫做复数z=a+6i的模或绝对值，记作|a+历I或团,即团=|a+bi|=V^T"(a,bCR).

知识点二.复数的几何意义

⑴复数z=a+6i(a,6GR)一—对应复平面内的点Z(a,6).

(2)复数z=a+6i(a,6GR)——对应平面向量反.

知识点三.复数的四则运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则：

设zi=a+6i,Z2=c+di(a,b,c,dGR),贝!]

①加法：zi+z2=(a+6i)+(c+di)=(a+c)+(6+*i；

②减法：zi-Z2=(a+6i)—(c+di)=(a—c)+(6-d)i；

2

③乘法：z\'Z2=(a+bi),(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i；

④除法：鱼=当=t+督=粤+。i(c+di#».

Z2c+山(c+dj)(c—dj)c+dc-Vd

(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.

如图给出的平行四边形OZZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即放万+无，ZN=O方

—OZ\.

知识点四.复数常用结论

1.(1士i)2=±2i；—=i；—=-i.

2.—6+ai=i(a+6i)(a,bGR).

3.i12*4"=l,i4n+1=i,i4n+2=—1,i4n+3=—i(«GN).

4.i4n+i4)1+1+i4«+2+i4n+3=0(〃eN).

5.复数z的方程在复平面上表示的图形

⑴好团劭表示以原点。为圆心，以。和6为半径的两圆所夹的圆环;

(2)区一(a+历)|=r(r>0)表示以(a,6)为圆心，r为半径的圆

考点一、复数的概念

中典例引领

1.(24-25高三上•海南•开学考试)复数z满足z(2+i)=|3+4i|,则复数z的虚部是()

A.2iB.2C.-iD.-1

【答案】D

【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可根据虚部概念求解.

【详解】由2(2+。=|3+的可得2=粤=7^消=2-"

所以虚部为-1,

故选：D.

2.(2024•河南周口•模拟预测)已知复数z=(l+g\i为虚数单位，则z的虚部为()

A.2iB.-2iC.2D.-2

【答案】D

【分析】根据复数的除法和乘方的运算法则，结合复数虚部的定义进行求解即可.

3

【详解】(1+目3=(1-=(1-i)3=1+3x12•(一i)+3X1x(-i)2+(—i)3=1-3i-3+i=-2—

2i,

因此复数(1+1)3的虚部为-2.

故选：D

也

1.(23-24高三下•广西•阶段练习)设z=3^,则2=()

1+r+r

A.-1-3iB.-1+3iC.1-3iD.1+3i

【答案】B

【分析】根据复数的运算法则直接计算即可.

【详解】由题得，z=^^=斗=0?=3i—1.

l+r+rl-l—i—r

故选：B.

2.(2024•全国•模拟预测)2知z==,则z+z3+z5=()

1—1

A.iB.-iC.1+iD.1-i

【答案】A

【分析】运用复数的代数形式的乘除运算法则求得z=i,代入所求式计算即得.

【详解】因为2=台=需瘟=日三，

l-i(1-1)(1+1)2

所以z+z3+z5=i+i3+i5=i—i+i=i.

故选：A.

3.(2025・广东深圳•模拟预测)已知i为虚数单位，复数z,满足|z|=5,z在复平面中的第一象限，且实部

为3,贝屹为

【答案】3-4i

【分析】根据复数的几何意义以及模长公式即可求解.

【详解】由于复数z的实部为3,故设2=3+区(6>0),根据|2|=5,所以32+/=52,解得b=4,

所以z=3+4i,故2=3—4i,

故答案为：3-4i

考点二、复数的四则运算

典例引领

1.(2024・天津•高考真题)已知i是虚数单位，复数(而+i)-(V5-2i)=-

【答案】7—回

4

【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.

（详解】（遍+i）•（岔一2i）=5+-2V5i+2=7-V5i.

故答案为：一底.

2.（2023•天津•高考真题）已知i是虚数单位，化简誓的结果为_________

2+31

【答案】4+i/i+4

【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以2-3i,然后计算其运算结果即可.

(5+14i)(2-3i)52+13i

【详解】由题意可鳄土=4+i.

(2+3i)(2-3i)13

故答案为：4+i.

即时检测

1.(2023・全国•高考真题)设z=—，则2=()

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【答案】B

【分析】由题意首先计算复数z的值，然后利用共辗复数的定义确定其共轨复数即可.

【详解】由题意可得z=点==/=容2=#=1—2i,

14-r+rl—l+ir-1

则2=1+2i.

故选：B.

2.(2023•全国•高考真题)已知z=岩，贝吻―2=()

2+21

A.-iB.iC.0D.1

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算求出z,再由共辗复数的概念得到落从而解出.

【详解】因为z=总=（；二）（；「）=m=_5,所以2=5,即z-2=-i.

2+211）422

故选：A.

3.（2024・四川•模拟预测）已知复数z满足2（1-i）=3+5i,则复数z=（）

A.4+4iB.4-4i

C.-l+4iD.-1-4i

【答案】D

【分析】由已知等式化简求出兄从而可求出复数z.

【详解】因为2=誉=需普=学=一l+4i,

1—12

所以z=-1—4i.

故选：D.

5

考点三、复数相等

中典例引领

1.(2022•全国•高考真题)已知z=1-2i,且z+a2+b=0,其中a,b为实数，贝!!()

A.a=l,b=—2B.a=—l,b=2C.a=l,b=2D.a=-1,b=-2

【答案】A

【分析】先算出7,再代入计算，实部与虚部都为零解方程组即可

【详解】z=1-2i

z+az+6=1—2i+a(l+2i)+b=(1+a+b')+(2a-2)i

由z+az+6=0,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，

得｛‘Ml“噂12

故选:A

2.(2016・天津•高考真题)已知a,beR,i是虚数单位，若(1+i)(1-bi)=a,则1的值为_____.

b

【答案】2

【详解】试题分析：由(l+i)(l-i)=l+b+(l—b)i=a,可得二，所以｛，［j，(=2,故答

案为2.

【考点】复数相等

【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实

掌握其运算技巧和常规思路，如(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i(a,b,c,deR),

岩j=一等*(a,瓦c,dCR),.其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数。+万缶/6夫)的实部为以

虚部为氏模为“12+炉、共轨复数为a—bi.

即0^(

1.(2024•新疆乌鲁木齐•三模)若(1—2。(2+。=(1+历(£1,66&是虚数单位)，则a”的值分别等于()

A.4,-5B.4,-3C.0,-3D.0,-5

【答案】B

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的充要条件计算得答案.

【详解】・・・(l—2i)(2+i)=4—3i=a+bi,・・.a=4,b=-3.

则a,b的值分别等于4,-3.

故选：B.

2.(24-25高三下•全国・单元测试)设aER,(a+i)(l—ai)=2,则。=()

6

A.—2B.-1C.1D.2

【答案】c

【分析】结合复数的乘法运算，利用复数相等列方程组求解即可.

【详解】因为(a+i)(l—ai)-a—a2i+i+a=2a+(1—a2)i=2,

所以I2a；2,解得a=i.

故选：C

3.(24-25高三上•江苏南通•阶段练习)若集合A=[m2||m|=l,mEC),B={a+bi\ab=0},则/nB的元

素个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】通过讨论求得加2,。+历，利用集合交集运算求出4八8,从而求出结果.

【详解】因为I刈=1,且血GC,则zn=±1,或m=%+yi,且/+y2=1(y0),所以?n?=1,或/=/一

y2+2xyi,

因为ab=0,则a=0或b=0,当Q。0,b=0时，a+b\=a,当a=0,力。0时，a+bi=bi,当a=0且b=0

时，a+bi=0,

当a=l,且b=0,m2=1,贝Ua+bi=l=m2,

当a=-1,且b=0,x=0,y=±1时，m2=—1,则a+bi=mz=-1

x2—y2=0

Q2

“2+y2=i,即+历=济=7n2=j,或。_|,历=折=m=­i,

b=2xy

{a=0

综上=—所以/n8的元素个数为4

故选：D

4.(2024•辽宁•模拟预测)己知翟=2—i,x,yeR,则无+y=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】根据条件得出久+yi=(1+i)(2-i),再根据复数的乘法运算可得出x+yi=3+i,然后即可求出

x+y的值.

【详解】解：=2-i,.•・x+yi=(1+i)(2-i)=34-i,

•••x=3,y=1,•,•%+y=4.

故选：C.

考点四、复数类型

7

中典例引领

1.(2020•浙江•高考真题)已知adR,若a-l+(a-2)i(i为虚数单位)是实数，则a=()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】C

【分析】根据复数为实数列式求解即可.

【详解】因为(a—1)+(a—2)i为实数，所以a—2=0/a=2,

故选：C

【点睛】本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.

2.(2024•江西新余•模拟预测)已知复数z满足：|z|=1,1+Z+Z2+Z3为纯虚数，则这样的复数z共有()

个.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】法一：设该复数2=。+折(见6£冏，借助复数的运算法则计算出1+Z+Z2+Z3后结合纯虚数定

义即可得；法二：借助复数的三角形式及其几何意义计算即可得.

【详解】法一：设2=。+历9/£氏)，则1+Z+Z2+Z3的实部为。且虚部不为0,

l+z+z2+z3=l+a+bi+a2+2abi—h2+a3+3a26i—3ab2-63i

=(a3-3ab2+a2-+a+1)+(—63+3a2b+2ab+Z?)i,

则苏—3ab2+匠―力2+q+i=0,—/+3a2b+2ab+bH0,

因为|z|=1,故/+b2=1,即按=1—a2,

则有M—3ab2+次―力2+。+1=2a(2/+a—1)=0,解得a=0或g或—1,

当a=0时，b2=1,则—b3+3a2b+2ab+b——b+b=0,舍去；

当Q=—1时，fa2=0,即b=0,则—力3+3/力+2ab+b=0,舍去；

当a=工时，b2=则一b3+3a2b+2ab+b=--b++b+b=2bW0,

2444

故6=士亨，即z=?士?i,共有两个.

综上所述，这样的复数z共有两个.

法二：设Z的辐角为仇06[-

表示将复数z在复平面内逆时针旋转(r-1)0,

由几何图形的对称性：z与z2在复平面内应关于y轴对称，

贝懈得：”三或彳或兀或冶，

易知：3不±押，z=0,舍去，

故。=±$故有两个不同的复数z满足题意.

故选：B.

8

即时检测

1.(2024・北京大兴•三模)已知(爪-i¥为纯虚数，则实数爪=()

A.0B.1C.-1D.±1

【答案】D

【分析】根据复数代数形式的乘方运算化简(m-i)2,再根据实部为0,虚部不为0得到方程(不等式)组,

解得即可.

【详解】因为(m—i)2=m2—2mi+i2=m2—1—2mi,

又(a-i)2为纯虚数，所以［爪2-1=0,解得爪=±1.

1—2mH0

故选：D

2.(24-25高三上•湖南•开学考试)已知复数Zi=2-i,Z2=a+i(a€R),若复数为纯虚数，则实数a

的值为()

11

A.--B.-C.-2D.2

22

【答案】A

【分析】求出Z「Z2,再根据纯虚数概念得解.

【详解】由已知，复数Z「Z2=(2-。9+。=(2。+1)+(2-。》为纯虚数，

所以｛黄金；：'得。=-*

IL—afU,L

故选：A.

3.(2024•北京•三模)若复数2=。一1+59+1》为纯虚数，其中aCR,i为虚数单位，则喘=()

A.iB.-iC.1D.-1

【答案】A

【分析】由复数概念求出参数，结合复数四则运算即可求解.

【详解】由2=a-1+5(a+l)i是纯虚数可知a=1,所以誓■=二=与t=i，

1—ail—i2

故选：A

4.(23・24高三下•湖南•阶段练习)已知复数z满足|z+2i|=|z|,且z—l是纯虚数，则忘=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】设2=。+历，其中Q,b是实数，由|z+2i|=|z|求出b,再求出z—l,根据z—l的类型求出a,即

可得到z,最后根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得.

【详解】设2=。+历，其中a,b是实数，则由|z+2"=|z|,得〃+(b+2)2=次+力2,

所以b=-1,则z-l=a-l-i,

又因为z-l是纯虚数，所以@一1=。，解得a=l,即z=l-i,

9

所以力=(l—i)(l+i)=2.

故选：B

考点五、复数的几何意义

典例引领

1.(2023•北京・高考真题)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1,遮)，则z的共轨复数2=()

A.1+V3iB.1-V3i

C.-1+V3iD.-1-V3i

【答案】D

【分析】根据复数的几何意义先求出复数z,然后利用共轨复数的定义计算.

【详解】z在复平面对应的点是(-1,遮)，根据复数的几何意义，z=-l+V3i,

由共辗复数的定义可知，z=-1-V3i.

故选：D

2.(2023•全国•高考真题)在复平面内，(l+3i)(3-i)对应的点位于().

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.

【详解】因为(1+3i)(3-i)=3+8i-3i12=6+8i,

则所求复数对应的点为(6,8),位于第一象限.

故选：A.

1.(2024•云南•模拟预测)在复平面内，(l—i)(2+i)对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】先化简复数，再由复数的几何意义求解即可.

【详解】(1—i)(2+i)=2+i—2i—i2=3—i,

;其对应的点坐标为(3,-1),位于第四象限，

故选：D.

2.(23-24高三上•天津•期中)复数z在复平面内对应的点为(2,-1),则注的共轨复数的模为

10

【答案】V5

【分析】根据复数的几何意义可得z=2-i,即可根据复数的除法运算化简，进而由模长公式即可求解.

【详解】由题意可得z=2—i,所以岑=芋1=（3i+?d+i）=警=_]+2i

z—11—122

故共轲复数为一l+2i,|-l+2i|=V（-l）12+22=V5,

故答案为：V5

3.（23-24高三上•天津河北•开学考试）复数上在复平面内对应的点的坐标是_________.

2+1

【答案】&|）

【分析】由复数除法法则可得复数的代数表示，即可得其对应坐标.

【详解】忘=滥1匕=（+|"则其在复平面上的对应点的坐标为G，|）.

故答案为：&|）

4.（2024•青海西宁•二模）已知复数z=i2024—i,贝屹对应的点在复平面的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】根据条件，利用i的运算性质，得到z=l-i,从而有Z=l+i,即可求解.

【详解】因为Z=i2024—i=(i2)1012—i=i—i,所以2=1+)其对应的点为(1,1),

故选：A.

5.（23-24高三上•天津红桥•阶段练习）已知】为虚数单位，贝埸在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】根据题意得到z=/方，即可得到答案.

13.

【详解】令z=W=b

2+1（2+1）（2—1）"5-5

则z在复平面对应的点为在第四象限.

故选：D

考点六、复数模长问题

典例引领

1.（2023•全国•高考真题）|2+i2+2i3|=（）

A.1B.2C.V5D.5

【答案】C

【分析】由题意首先化简2+i2+2i3,然后计算其模即可.

11

【详解】由题意可得2+i2+2i3=2-1—2i=1-2i,

贝!!|2+i2+2i3|=|1-2i|=-^/l2+(―2)2=V5.

故选：C.

2.(2022・北京•高考真题)若复数z满足i-z=3—4i,则|z|=()

A.1B.5C.7D.25

【答案】B

【分析】利用复数四则运算，先求出z,再计算复数的模.

【详解】由题意有Z=上11=(31：)(丁=_4_3i,故|Z|=，(一4)2+(-3)2=5.

故选：B.

即时检测

I______________________

1.(2020•全国•高考真题)若z=l+i,则|Z2—2Z|=()

A.0B.1C.V2D.2

【答案】D

【分析】由题意首先求得z2-2z的值，然后计算其模即可.

【详解】由题意可得:z2=(1+I)2=2i,ffllz2-2z=2i—2(1+i)=-2.

故以2-2z|=|-2|=2.

故选：D.

【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.

2.(2020•全国•高考真题)设复数Z],Z2满足忆/=忆2|=2,+z2=V3+i,则|Z]-Z2|=.

【答案】2V3

【分析】方法一:令Zi=a+bi,QaER,bER),z2=c+di,(cER,deR),根据复数的相等可求得ac+bd=

-2,代入复数模长的公式中即可得到结果.

方法二：设复数z1*2所对应的点为Z1匕2,番=市1+及2,根据复数的几何意义及复数的模，判定平

行四边形OZ1PZ2为菱形，I而I=IOZ1I=|OZ2|=2,进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算氏-

Z2l.

【详解】方法一：设Zi=a+bi,(a€R,b€R),z2=c+di,(ceR,dER),

•••Zi+z2=a+c+(b+d)i=V3+i,

.,.{；；)=，，又|z/=|z2|=2,所以a2+》2=4,c2+d2-4,

(a+c)2+(b+d)2=a2+c2+b2+d2+2(ac+bd)=4

ac+bd—2

22

|zt—z2\—|(a—c)+(b—cT)i\—yj{a—c)+(6—d)=,8—2(ac+bd)

=V8T4=2V3.

12

故答案为：2VI

方法二：如图所示，设复数Z1，Z2所对应的点为Z1，22，m=被1+被2,

由己知I而I=V3TT=2=IOZJ=|0Z2|,

二平行四边形OZ1PZ2为菱形，且△OPZ1，ZkOPZ2都是正三角形，...NZ10Z2=120。,

2222

|Z/2|2=IOZJ+\OZ2\-2|0Z1||0Z21cos120。=2+2-2•2•2-(-1)=12

；♦忆1-Z2|=|Zj_Z21—2V3.

z2

【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是

一道中档题.

方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解

3.（2024•河南郑州・模拟预测）若z=2—i-券（久6R）且|z|=1,则x取值的集合为（）

A.{2}B.{3}C.{3,7}D.{1,3}

【答案】C

【分析】利用复数的四则运算化简复数z,根据|z|=l得方程，求解即得.

【详解】Z=2—i-土=（2f（2+i）一（小）=

2+i2+i2+i

因|z|=l,贝”殳著|=1,即专早=i,

可得，（5—%y+l=5,解得，％=3或7.

故选：C.

4.（2024•贵州•模拟预测）|1-1|=（）

A.V2B.V5C.2D.5

【答案】B

【分析】利用复数的运算得2-1=-l-2i,再利用模长的计算公式，即可解.

1

【详解】因为彳-1=-l-2i,所以p-1|=|-1-2i|=V1T4=V5,

故选：B.

考点七、复数方程问题

*典例引领

1.（2024•江西•模拟预测）已知1+i是实系数方程/+a久+b=0的一个根.则a+b=（）

13

A.4B.-4C.0D.2

【答案】C

【分析】利用实系数的一元二次方程的虚根成对原理结合韦达定理运算求解.

【详解】因为1+i是关于％的方程/+Q%+b=O(a,bGR)的一个根，

则1一i也是关于工的方程久2+。％+力=oQbGR)的一个根.

可得[Uki?=一?解得a=—2,b=2,

(.(1+i)x(1-i)=o

所以a+Z?=0.

故选：C.

2.(2024•四川宜宾•三模)已知复数z满足z2+z+1=0且2是z的共辗复数，贝Uz+2=()

A.-1B.IC.V3D.-V3

【答案】A

【分析】由韦达定理即可求解.

【详解】由求根公式可知，若z为方程z2+z+l=0的根，则其共辗复数2也是该方程的根，

故由韦达定理可知，z+z=-^=-l.

故选：A.

1.(24-25高三上・江苏•阶段练习)已知复数z满足z3=l+gi,则2=()

A.1+V3iB.鱼(cos^1+isin自

C.1+V3iD.皿cos^+isinS

【答案】D

【分析】设z=rcosd+rsin0i(r>0,6E[0,2兀))，根据复数的三角形式计算可得答案.

【详解】设z=rcosB+rsin历(厂>0,0G[0,2兀))，

所以z3二丁3cos36+ir3sin30=l+V3i,

可得sin30=旧,两式相除可得tan38=百，

(r3cos38=1

可得3e=：+/m(kez),6»=^+y(/cez),

因为ee[0,2兀)，所以”；口,,与甘，华,

当9=1时，r3sin^3x=V3,解得丁=遮，此时z=版((：05：+isin3),

当8=短时，r3sin^3x^=V3,解得厂3=一2,舍去，

当6=(时,r3sin^3x^=V3,解得丁=好,此时z=V^(cos£+isin)),

14

当。=华时，r'sin(3x皆)=旧，解得73=—2,舍去，

当时，r'sin(3x号)=百，解得r=冠，此时z=短(cos手+ising)

当。=等时，Nsin(3X詈)=旧，解得f3=一2,舍去，

结合选项，只有D正确.

故选：D.

2.(2024•山西阳泉•三模)已知2+i是实系数方程/+px—q=0的一个复数根，则p+q=()

A.-9B.-1C.1D.9

【答案】A

【分析】根据虚根成对原理2-i也是实系数方程d+PK-q=o的一个复数根，再由韦达定理计算可得.

【详解】因为2+i是实系数方程/+—q=o的一个复数根，

则2-i也是实系数方程/+px-q-0的一个复数根，

所以户蓝：笈一:解得忆一1

k-q=(2+1)(2-1)kq=-5

所以p+q=-9.

故选：A

3.(2024•重庆九龙坡•三模)设Zi，Z2是关于X的方程A2+p%+q=0的两根，其中p,qCR,若z1=一1+V^i

(i为虚数单位)，则工+工=()

Z1Z2

A.--2B.2£C.-2D.2

33

【答案】A

【分析】根据实系数一元二次方程在复数范围内根的关系求出另一个根，再代入求解即可.

【详解】因为关于X的方程式2+p%+q=0(p,qeR)的一个根为Zi=-1+V2i,

所以另一个根Z2=-1—V2i,

所以工_1__1।1_-1-Ti-i+-i__2

刈十石--1+V2i+-1-V2i_(-1+V2i)(-1-V2i)~-3,

故选：A.

4.(2024•天津河西•模拟预测)已知2i—3是关于汽的方程2%2+p%+q=0(p,q£R)的一个根，则

p+q=.

【答案】38

【分析】代入方程结合复数的概念及运算法则待定系数计算即可.

【详解】将％=2i-3代入方程2,+p%+q=。

得2(2i-3)2+p(2i-3)+q=(2p-24)i+10—3p+q=0,

所以In"cn=>DG'所以p+q=38.

(10-3p+q=0(q=26/1

故答案为：38

15

考点八、复数最值与取值范围

典例引领

1.(2024•黑龙江牡丹江•一模)已知i为虚数单位，复数z=a+bi,a,bER且满足|z-i|=V2,求点Z(a,b)

到直线y=x+3距离的最大值为()

A.0B.2V2-2C.V2D.2V2

【答案】D

【分析】根据模长求出轨迹方程再求出圆心和半径，最后应用圆心到直线距离求出距离的最大值.

【详解】z=a+bi,\z-i\=V2,

则|a+(b—l)i|=鱼，即。2+他一1)2=2,圆心为(0,1),半径为「=衣，

圆心(0,1)到直线x-y+3=0的距离d==V2,

故点Z(a,b)到直线y=久+3距离的最大值为d+r=&+企=2&.

故选：D.

2.(2024•山东烟台•三模)若复数z满足|z|=|z—2-2i|,则|z|的最小值为()

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】B

【分析】由复数的几何意义即可求解.

【详解】若复数z满足|z|=|z-2-2i|,则由复数的几何意义可知复数z对应的点集是线段。力的垂直平分

线，其中。(0,0),4(2,2),

所以|z|的最小值为(。川=[疗百=V2.

故选：B.

即时性w

1.(2024•云南•二模)已知i为虚数单位，复数Z满足|z-1|=|z+i|,则|z-i|的最小值为()

A.—B.-C.-D.0

223

【答案】A

【分析】由模长公式结合题设条件得条件等式丫=-％,结合模长公式将所求转换为求二次函数最值即可.

【详解】设z=%+WR),而|z—1|=|z+i|,所以(％—+y2=第2+@十1)2,即丫=一％,

所以|z-i|=y]x2+(y—1)2=+(一第一1)2=+2%+1=[(X+g1>y,等号成立当且仅

当y=-%=|,

16

综上所述，|z-i|的最小值为争

故选：A.

2.(2024•江苏泰州•模拟预测)若复数Zi，Z2满足出-3“=2,氏-4|=1,则历-z2|的最大值是()

A.6-V2B.6+V2C.7D.8

【答案】D

【分析】设Zi=a+bi,a,beR,复数z1在复平面内对应的点为Zi(a,b),z2-x+yi,x,y6R,复数z2在

复平面内对应的点为Z2(x,y),依题意可得Zi、Z2的轨迹方程，最后根据复数模的几何意义计算可得®-Z2|

的最大值.

【详解】设Zi=a+6i,a,beR,z2=x+yi,x,y6R,

因为|ZI-3i|=2,|z2-4|=1,

所以a?+(6—3)2=4,(x-4)2+y2=L

所以点Zi(a,b)的轨迹为以(0,3)为圆心，2为半径的圆，

点Z2(x,y)的轨迹为以(4,0)为圆心，1为半径的圆，

又口一Z2I表示点Z/a,b)与Z2(x,y)的距离，

所以|zi-Z21的最大值是J(0-4尸+(3—0)2+3=8,

故选：D.

3.(24-25高三上•江苏南通•阶段练习)设Z6C,且(z+5)(2+5)=4,则z?的实部的取值范围为()

A.[8,36]B.[9,49]

C.[10,64]D.[11,81]

【答案】B

【分析】z=a+bi(a,6€R),由(z+5)(2+5)=4,可得(a+5尸+L=4,设a=—5+2cos0,b=2sin0,

根据同角三角函数的基本关系及余弦函数的值域即可求解.

【详解】设z=a+bi(a,Z?e/?),贝!J。=a-历，

所以z+5=a+5+bi,Z+5=a+5—历，

所以(z+5)(2+5)=(a+5尸+扭=4.

设a--5+2cos仇b—2sin0,

z2=(a+hi)2-a2,—b2+2a历，故z?的实部为a?—b2,

所以a2—b2—4cos2。—2Ocos0+25+4sin20

=29-20cos6»e[9,49],

即z2的实部的取值范围为[9,49].

故选:B.

4.(23-24高三下•江西•开学考试)已知复数2=。+折(£1/67?).且[2—1—2|=1,则笔的取值范围为()

a+1

人[三±三耳B.(-8,三耳u[^,+8)

17

D.（-8，F]U[竽,+8）

c号,噌

【答案】C

【分析】根据复数的几何意义，得到复数Z在复平面内对应的点Z的轨迹是以(2,-1)为圆心，1为半径的圆C,

得到圆的方程2)2+(>+1)2=1，再由鬻=*+1,结合票的几何意义为过圆C上的点与定点力的直

线I的斜率匕利用直线与圆的位置关系，列出不等式，即可求解.

【详解】由复数z满足|2—i—z|=1,即为|z-2+i|=l,

根据复数的几何意义，可得复数z在复平面内对应的点Z(a,6)的轨迹是以(2,-1)为圆心，1为半径的圆C,

即圆C:(a-2)2+(b+1)2=1,

如图所示，空=空+1，

a+1a+1

又由M的几何意义为过圆C上的点与定点4(-1,1)的直线Z的斜率k,

a+1

直线2的方程为ka-b+k+1^0,

由题意可知，圆心C到直线/的距离dW1,即粤幺W1,

—3+V3QI-|-3—V3b—1.—3+V3

解得苧Q------,即------V----<-------

44-a+1-4

又由学=二+1,—i*zg1—V3/b+a1+V3

a+la+1可特丁《六三工.

考点九、复数轨迹问题

典例引领

1.(2024•江苏南京•三模)已知复数z满足|z-引2=z+2,则复数z在复平面内对应点的轨迹为()

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【答案】D

【分析】设2=乂+必(x,yGR),运用复数加、减运算及复数模的公式计算即可.

【详解】设z=%+yi(%,yGR),贝吃=x-yif

18

所以z+z=%+yi+x—yi=2%,z—z=(%+yi)—(x—yi)=2yi,

所以|z-团2=4y2,

又|z—z|2=z4-z,所以4y2=2x,即y2二

所以复数z在复平面内对应点的轨迹为抛物线.

故选：D.

2.(2024・广东揭阳•二模)已知复数