复数（解析版）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

第05讲复数

目录

第一部分：基础知识..................................................1

第二部分：高考真题回顾.............................................3

第三部分：高频考点一遍过...........................................4

高频考点一：复数的概念..........................................4

高频考点二：复数的几何意义......................................6

高频考点三：复数分类............................................9

高频考点四：复数模..............................................13

高频考点五：待定系数求复数z=a+bi15

高频考点六：复数的四则运算.....................................17

高频考点七：共拆复数............................................19

第四部分：新定义题(解答题)......................................21

第一部分：基础知识

1、复数的概念

我们把形如初，。/eR的数叫做复数,其中，叫做虚数单位,满足片=-1,全体复数所构成的集合

C=｛a+bi\a,b&R｝叫做复数集.

复数的表示:复数通常用字母z表示，即z=a+bi,a,beR,其中的a与匕分别叫做复数z的实部与虚

部.

2、复数相等

在复数集。=｛。+初I。力eR｝中任取两个数。+初，c+di,(a,b,c,de7?),我们规定

\a=c

a+bi=c+dio<.

b=d

3、复数的分类

对于复数。+初(a,AeR),当且仅当b=0时,它是实数；当且仅当a=5=0时，它是

实数0；当心70时，它叫做虚数；当。=0且时，它叫做纯虚数.这样，复数

z=a+初(a,beR)可以分类如下:

'实数(6=0)

复数'纯虚数(a=0)

虚数(6w0)<

非纯虚数(awO)

4、复数的几何意义

(1)复数的几何意义一一与点对应

复数的几何意义1：复数z=a+bi(a,beR)<---对应.复平面内的点Z(a,Z?)

(2)复数的几何意义一一与向量对应

复数的几何意义2：复数z=a+应(a力eR):一一对应，平面向量9=(a,6)

5、复数的模

向量无的模叫做复数z=a+〃a/eR)的模，记为|z|或+

公式：|zHa+4l=Ja2+/,其中

复数模的几何意义：复数z=a+应在复平面上对应的点Z(a,»到原点的距离；

特别的，5=0时，复数z=a+应是一个实数，它的模就等于IaI(a的绝对值).

6、共轨复数

(1)定义

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轨复数；虚部不等于0的两

个共轨复数也叫共辗虚数.

(2)表示方法

表示方法：复数z的共轨复数用I表示，即如果z=a+4•，则5=。_切.

7、复数代数形式的加法(减法)运算

(1)复数的加法法则

设4=。+历，Z2=c+di,(a,A,c,deR)是任意两个复数，那么它们的和：

Z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(c+d)i

显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数

(2)复数的减法法则

类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：

(c+成)+(x+M)=a+4的复数％+yi叫做复数a+bi减去复数c+成的差，记作(a+bi)-(c+di)

实部相减为实部

III

（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i

IIT

虚部相减为虚部

注意：①两个复数的差是一个确定的复数；

②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.

第二部分：高考真题回顾

1.（2023•北京•统考高考真题）在复平面内，复数2对应的点的坐标是（一1,6），贝心的共软复数2=（）

A.1+后B.1-/

C.—1+^3iD.—1—y/3i

【答案】D

【分析】根据复数的几何意义先求出复数z,然后利用共辗复数的定义计算.

【详解】z在复平面对应的点是（T,石），根据复数的几何意义，z=T+gi,

由共珑复数的定义可知，z=-l-V3i.

故选：D

2.（2023・全国•（乙卷文））|2+i2+2i3|=（）

A.1B.2C.75D.5

【答案】C

【分析】由题意首先化简2+i?+2i3,然后计算其模即可.

【详解】由题意可得2+i?+2i3=2—1—2i=l-2i，

则|2+尸+2i31=|1一2i|=+（_2）=下.

故选：C.

5（l+i3）

3.（2023・全国•（甲卷文））.（）

（2+D（2T）

A.-1B.1C.1-iD.1+i

【答案】C

【分析】利用复数的四则运算求解即可.

5(1+F)5(j)

【详解】=l-i

(2+i)(2-i)5

故选：c.

1-i_

4.（2023•全国•（新高考I卷））已知z=「；7，则z—I=（）

2+21

A.-iB.iC.0D.1

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算求出z,再由共辗复数的概念得到『从而解出.

1-i-2i1-1

【详解】因为==所以"尹即Z-

故选：A.

5.（2023•全国•（新高考II卷））在复平面内，（l+3i）（3-i）对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.

【详解】因为（l+3i）（3—i）=3+8i—3i?=6+8i,

则所求复数对应的点为（6,8）,位于第一象限.

故选：A.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：复数的概念

典型例题

例题1.（2024下•上海•高三开学考试）下列命题不正确的为（）

A.若复数4，4的模相等，则为,4是共轨复数

B.4，句都是复数，若Z1+z?是虚数，则与不是z2的共轨复数

C.复数是实数的充要条件是z=N

D.zeC,|z+i|+|z-i|=2,贝ijz对应的点z的轨迹为线段

【答案】A

【分析】根据共轨复数的定义可判断ABC,根据复数的几何意义可判断D.

【详解】对于A,若复数4，4的模相等，则4，Z2还可能是相等的复数，故A错误;

对于B,若Z和z?是共轨复数，则相加为实数，不会为虚数，故B正确；

对于C,若复数是实数，则z=a（awR）,从而N=a（aeR）,所以z=彳，

反之若z=N,贝!|由口+历=4一历（0,6611）得6=0,所以z=a,

所以复数是实数的充要条件是z=5,故C正确；

对于D,设z=>+历（a,b£R）,

由复数的几何意义可知|z+i|+|z-i|=2表示点（心切到点（0,-1）和（0,1）距离之和为2,

而点（。,-1）和（0,1）之间距离为2,所以z对应的点Z的轨迹为线段，故D正确.

故选：A

4-2i

例题2.（多选）（2。24上,云南昆明•高二统考期末）已知复数Z=H'则下列说法正确的是（）

A.z的虚部为一B.复数z在复平面内对应的点位于第二象限

C.z的共辗复数］=i+iD.|z|=V2

【答案】CD

【分析】由复数的乘、除法运算化简复数可判断A；由复数的几何意义可判断B；由共辄复数的定义可判断

C；由复数的模长公式可判断D.

4-2i（4-2i）（3-i）_12-10i+2i2

【详解】

3+i—（3+i）（3-i）—W-

对于A,z的虚部为T,故A错误；

对于B,复数z在复平面内对应的点为（1,-1）,位于第四象限，故B错误;

对于C,z的共辗复数三句+i，故C正确；

对于D,国==及,故D正确.

故选：CD.

练透核心考点

1.（2024上•广东深圳•高三统考期末）复数（2+讲的实部与虚部之和是（）

A.7B.13C.21D.27

【答案】B

【分析】根据复数的运算求解即可.

【详解】因为（2+if=（4+4i+i2）（2+i）=（3+4i）（2+i）=6+3i+8i+4i2=2+lli,

所以复数（2+以的实部与虚部之和是2+11=13,

故选：B.

2

2.（2024下•高一单元测试）已知复数z=『

①在复平面内Z对应点的坐标为（1,-1）;

②复数的虚部为-i;

③复数的共辗复数为i-l;

@|Z|=A/2；

⑤复数z是方程f-2元+2=0在复数范围内的一个根.

以上5个结论中正确的命题个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】利用复数除法运算求得z=l-i,根据复数在复平面内对应的点的坐标判断①的正误，根据复数的

概念判断②的正误，根据复数的共轨复数可以判断③的正误，根据复数模的概念判断④的正误，利用方

程在复数范围内求解判断⑤的正误.

[详解】因为z=fv="2（\D

所以在复平面内Z对应点的坐标为（1,-1）,所以①正确；

复数Z的虚部为-],所以②错误；

复数Z的共辗复数为1+i,所以③错误；

回=#+（-1）2=0,所以④正确；

方程f_2x+2=0在复数范围内的根为也m=1士i,

2

所以复数z是方程Y-2x+2=0在复数范围内的一个根，所以⑤正确;

所以正确的命题个数为3个，

故选：C.

高频考点二：复数的几何意义

典型例题

例题1.（2024下•全国•高一专题练习）"0＜机4"是"复数2=（3〃2-2）+（m-1》在复平面内对应的点位于

第四象限"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】求出复数Z=（3〃-2）+（〃Ll）i在复平面内对应的点位于第四象限的等价条件，利用集合的包含关

系及充分条件、必要条件求解.

【详解】因为复数Z=（3根-2）+（根-l）i在复平面内对应的点位于第四象限＜根＜1,

4、、、.224

而0＜相＜一成立推不出一＜相＜1成立，—cmvlnOcmc—,

所以0＜加＜g是复数Z=（3m-2）+（〃Ll）i在复平面内对应的点位于第四象限的必要不充分条件，

故选：B

例题2.（2024上•四川成都・高三树德中学校考期末）在复平面内，复数4,%?对应的点分别是（2,-1）,（1,-3）,

则立的模是（）

Z1

A.5B.75C.2D.41

【答案】D

【分析】由复数对应的点求出复数的代数形式，利用共轨复数和复数的除法化简，模长公式求模.

【详解】复平面内，复数4，z?对应的点分别是（2,-1）,（1,-3）,

l+3i（l+3i）（2+i）17.

则有4=2—i,z=1—3i,z=1+3i,--=-----=------------=----1--1

22Z12-i（2-i）（2+i）55

三

zi

故选：D

例题3.（多选）（2024•湖南长沙•长沙一中校联考模拟预测）已知复数4，4在复平面上对应的点分别为

A,B,且。为复平面原点若.z=^+』i（i为虚数单位），向量函绕原点逆时针方向旋转90。，且模伸

122

长为原来的2倍后与向量砺重合，则（）

A.22的虚部为走B.点5在第二象限

2

C.\z1+z2\=y/2D.p1=2

【答案】BD

【分析】结合复数的几何意义，依题意求解出对应的坐标，然后逐项判断即可;

【详解】因为4=#+；i,所以向对应的坐标为团=1,

OA向量与X轴夹角为atane=/r=g,e=2

“33o

~2

由题意可知，卜|=2,且丽=2,os[e+3，sin[e+T]=bLG）,选项B正确；

z2=—1+V3i,z2的虚部为6，选项A错误；

Zj+z?=^^-l+[g+6）i,所以2]+z?|=+g+g]=也,选项C错误；

-2—­=2,选项D正确；

Z14

故选：BD.

练透核心考点

;3

1.（2024上•广东佛山•高三石门中学校考期末）复数z=一—在复平面内所对应的点位于（）

1-2i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】根据复数的乘法和除法以及几何意义求解即可.

-i-i（l+2i）21（11

【详解】因为z=r==所以复数z在复平面内所对应的点J二位于第四象限，

1-21（1-21）（1+21）55155J

故选：D.

2.（多选）（2024下•高一单元测试）关于复数，下列说法错误的是（）

A.若|z|=l,贝ljz=±l或土i

B.复数6+5i与-3+4i分别对应向量方与历，则向量须对应的复数为9+，

C.若z是复数，则z2+l>0

D.若复数z满足14闫<忘，则复数z对应的点所构成的图形面积为兀

【答案】ABC

【分析】对于A,结合特殊值法，即可求解；对于B,结合向量的运算法则，即可求解；对于C,结合特

殊值法，即可求解；对于D,结合复数的几何意义，即可求解.

【详解】对于A,取z=；+#i,则回=1,故A错误；

对于B,AS=OB-（M=-3+4i-（6+5i）=-9-i,B错误；

对于C,Wz=i,但，=一1/2+1=0矢口C错误;

对于D,设复数2=%+何(%,丁€1<),则由14目<忘可知IV尤2+y2<2,

故复数Z对应的点所构成的图形面积为71X2-71X1=71,D正确.

故选：ABC.

3.(2024•全国•高一假期作业)复平面上两个点Z1,Z?分别对应两个复数40,它们满足下列两个条件：

①zz=z「2i；②两点Z”Z?连线的中点对应的复数为3+4i,若。为坐标原点，则△ZOZ?的面积为

【答案】20

【分析】设Z=“+bi(a,beR),根据复数的运算及集合意义可得点的坐标，再根据中点坐标公式列方

程求得的值，从而可得向量西，应■的坐标，根据向量的坐标运算确定模长与角度，从而得△4。4的

面积.

【详解】设马=。+瓦(a,beR),

则z2=4•2i=(Q+bi)-2i=—2b+2ai.

所以点Z],Zz的坐标分别为Z、(a,b),Z2(-2b,2a)

又两点Z],Z2连线的中点对应的复数为3+4i,

又OZ[=(a,b),OZ2=(-2b,2a),

OZi・OZ2=0,「.OZ；_LOZ2

,■,△ZjOZ,的面积为S=gX2&X4石=20.

故答案为：20.

高频考点三：复数分类

典型例题

例题1.(2024上•河北廊坊・高三河北省文安县第一中学校联考期末)若复数/瑞(aeR)为纯虚数，则。=

()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【分析】利用复数的除法运算法则以及纯虚数的定义求解.

【详解】因为匚声=后-TN1)=十J为纯虚数,

［tz+1=0,

所以,c解得a=T，

［。一140,

故选：A.

例题2.(2024下•全国•高一专题练习)复数z=(1+i)”/_(8+i)"z+15-6i(meR),求实数机的取值范围使

得：

(l)z为纯虚数；

(2)z在复平面上对应的点在第四象限.

【答案】⑴》=5

(2)—2<772<3

【分析】(1)根据Z为纯虚数，列出方程，即可求解；

(2)根据z在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解；

【详解】(1)z=(l+i)m2—(8+i)m+15—6i=(?/i2-8m+15)+(m2—m—6)i,

若z为纯虚数，则收一8加［1510,解得：m=5.

m—m-60

2

/、,口H+心f^-8m+15>0-

(2)由题思知，<2,，斛得：—2<m<3.

\m-m-6<0

例题3.(2023下•河北唐山•高一校联考期中)已知beR,a>0,复数z=a+历，且同=逐，复数z(l+i)

在复平面上对应的点在函数y=-3x的图像上.

⑴求复数z；

⑵若z-言(meR)为纯虚数，求实数"，的值.

【答案】⑴z=l+2,

(2)2

【分析】(1)利用复数的四则运算，得到z(l+i)=a-"(a+6)i,再根据条件得到6=2a,又由题设知

a2+b2=5,从而求出。力得到结果；

(2)利用(1)中的结果和复数的除法，再结合条件即可求出结果.

【详解】(1)因为z=a+Z?i(a,》£R),

所以z(l+i)=(Q+Z/i)(l+i)=Q+dd+"-Z?=a-b+(a+Z?)i,对应的点为(a—友〃+〃),

所以a+b=-3(a-b),得到Z?=2a,又忖=石，

所以/+/=5,又。>0,

[a2+b2=5

由，c一，解得。=11=2,

[b^2a

所以z=1+2i.

（2）由（1）知，z=l+2i,

*2m1机（1-i）1_m..

所以z----=1+21——-——-=1——m+（z2+—）1,

1+i222

l--=0

故2,得到m=2.

2+—。0

12

练透核心考点

1.（2024•天津滨海新•高三天津市滨海新区塘沽第一中学校联考期末）已知Z=（/n+l）+（2-m）i是纯虚数（其

中，"©R,i是虚数单位），则生且=;

Z

【答案】下

【分析】根据实部为0虚部不为0,解方程可得复数，进而根据复数的除法运算计算模长即可.

fm+l=0

【详解】由题意。八，解得机=-1,z=3i,

|2-加w0

6+3i6+3i亚包=6

z3i3

故答案为：5

2.（2024・全国•高一假期作业）已知复数z满足忖=5.

（1）若（4+3i>z是实数，求复数z；

7

（2）求,+2-i的取值范围.

【答案】（]）复数z=4—3i或~4+3i；（2）1•一石,g+

【分析】（1）利用实数概念及模长，即可得到复数z；

（2）利用点与圆的位置关系，即可得到取值范围.

【详解】（1）设2=々+加，a、Z?GR,则/+b2=25，

又（4+3。・2=44—3匕+（3々+4））1是实数，

「•3。+48=0,又/+b2=25,

/.a=4,6=—3或。=-4*=3,

复数z=4—3i或T+3i；

(2)-+2-i=］卜一(一4+2i)|

2

|z-(-4+2i)|表示复数z对应的点与T+2i对应的点A间的距离,

而复数z在以原点为圆心，半径为5的圆上，

如图所示，

5

2-

3.(2024下•全国•高一专题练习)已知〃工eR,复数z=(1+i)加？一(竽+3)m-(4+6i),当m为何值时,

(1)z为实数？

(2)z为虚数？

(3)z为纯虚数？

(4)z在复平面内对应的点在第四象限？

【答案】(1)m=6或机=-1(2)且相片一1(3)〃z=4(4)4<〃z<6

【分析】由题意得解得z=(〃广-3/-4)+(1-5%-6»,

(1)由“-5%-6=0,求出m即可；

(2)nr—5m—6^0,即可得出m；

,f"/一3m-4=0—HL,

(3)由12«，c，解得加范围；

[m一5加一6w0

f加之—3m-4>0

(4)根据象限特征，由2V/7解得加范围.

[m-5m-6<0

【详解】解：z=(l+i)M-(5i+3)机-(4+6i)=(疗-3m-4)+(m2-5m-6)i,

(1)由加之-5m—6=0得%=6或加=-1,

即当帆=6或加=-1时，z为实数；

(2)由加之一5机—6。0得根。6且mW—1,

即当机w6且相时，z为虚数；

/、-r加2-3加一4=0,/=

(3)由｛2得m=4,

m-5机一6。0,

即当m=4时，z为纯虚数；

、,m2-3m-4>0,“0

(4)由｛r2解得4<加<6,

m-5m-6<0,

即当4vmv6时，z在复平面内对应的点在第四象限.

【点睛】本题考查复数的有关概念及其运算法则、方程与不等式的解法，考查推理能力与计算能力.

高频考点四：复数模

典型例题

例题1.(2024,福建漳州•统考模拟预测)已知复数4,z?满足4+24=-3-i,|z「zj=l,则区+2i|的最

大值为.

【答案】^+i/i+Vio

【分析】设Z=x+yi,根据题意求得4,根据复数的几何意义求得Z?对应点的轨迹，再根据几何意义求目

标式的最大值.

【详解】令复数4=x+yi,x,yeR,则2=x—yi,

所以4+2%=3x-yi=-3-i,所以x=-l,y=l,即4=T+i.

又因为区-4=1,即在复平面内，复数z之所对应的点的轨迹是以(-M)为圆心，1为半径的圆.

又点(-M)到点(0,-2)的距离为7(-1-0)2+(1+2)2=回，

所以|z?+2i怕勺最大值为拘+1.

故答案为：V10+1.

例题2.(2024•全国,高三专题练习)已知复数z满足|z+科+卜-科=4,贝的最大值是.

【答案】史占6

33

【分析】根据复数模公式，复数的几何意义及椭圆的定义可得复数z对应的点Z(x,y),然后利用三角代换

结合条件即可求解.

［详解］设2=苫+优,(北)€口)，由上+若|+卜_6卜4,得J(x+石『+尸++=4>2后,

因此在复平面内，复数z对应的点Z(x,y)在以(土道,0)为焦点，长轴长为4的椭圆上，

22

所以可设椭圆方程为：■+4■=1(〃>b>0),则a=2,C=5b=l,

所以椭圆方程为=+y2=i,

4

而|z-i|表示点z与点（0,1）的距离，可设Z（2cos6,sin。）,

所以Z（2cos0,sin6>）与点（0,1）的距离d=J（以os。）?+（sine-l『=V-3sin26»-2sin6'+5

IJ.〃[丫]6

VI3；3

所以当sin。=一时，d=处,即|z-i|的最大值是生回.

33113

故答案为：鹿

3

例题3.（2024・全国•高三专题练习）在复平面内，已知复数z满足|z|=1,i为虚数单位，则|z-3-4i|的最

大值为.

【答案】6

【分析】将问题化为定点（3,4）到圆/+丁=1上点距离的最大值，即可求解.

【详解】令2=芯+其且x,yeR,则f+y2=l,即复数z对应点在原点为圆心，半径为1的圆上，

而|z-3-4i|=J（x-3>+（y-4）2,即点（羽V）到定点（3,4）距离的最大值，

所以|z-3-4i|的最大值为J（0-3）2+（0-4）2+1=6.

故答案为：6

练透核心考点

1.（2024•天津滨海新•高三天津市滨海新区塘沽第一中学校联考期末）已知z=（〃?+l）+（2-%）i是纯虚数（其

中，*R,i是虚数单位），则色=;

【答案】小

【分析】根据实部为。虚部不为0,解方程可得复数，进而根据复数的除法运算计算模长即可.

【详解】由题思L,解得加=-1,「.z=3i,

6+3i6+3i3s

z3i3

故答案为：行.

2.（2024•全国•高一假期作业）若zeC,且满足Iz+l-i|=l,则I2-1-”的最大值为.

【答案】3

【分析】根据复数模的几何意义，结合图形，即可求解.

【详解】|z+l-i|=|z—（T+i）|=l,复数z的轨迹表示以点（-1,1）为圆心，1为半径的圆，|z-l-i|=|z-（l+i）|

表示圆上的点到点（1,1）的距离,

如图，当过点（L1）和圆的圆心，即|以|=3为最大值.

故答案为：3

3.（2024•全国•高一假期作业）设复数4、z2,满足闵=闫=1,z「zz=6i,则|z+z』=.

【答案】1

【分析】设4=玉+用，z2=^+y2i（^,^2,y1,y2eR）,利用复数的模长公式、复数的运算以及复数相等可

得出％、%以及X；的值，再利用复数的加法以及复数的模长公式可求得忖+Zzl的值.

【详解】设4=玉+卬，z2=x2+y2i（%1,x,,y1,y2eR）,

因为闻=阂=1,则+=尤;+贡=1,

%

又因为z「Z2=（玉+用）一（々+%。=（占一2）+（%-%》=后，

x-=0fx.=x9

所以，瓜，即6，

[X+%二0X=

由占2+父=%+%,可得（乂―%）（乂+为）=。，故｛用，解得＜2

*%=。3

%=

2

31

由x；+y；=无；+[=1,可得

所以，z1+z2=2xI+(yl+y2)i=2xl,所以，卜+z?|=2卜|=2xg=1.

故答案为：1.

高频考点五：待定系数求复数z=a+bi

典型例题

例题1.(2024•全国•高一假期作业)设复数4、z2,满足闻=闾=1,z「z?=后,则Iz+z?k.

【答案】1

【分析】设4=玉+m，z2=x2+y2i(x1,x2,y1,^2eR),利用复数的模长公式、复数的运算以及复数相等可

得出为、%以及X；的值，再利用复数的加法以及复数的模长公式可求得|Zj+Z21的值.

【详解】设21=玉+印，z?=%+%可%,%,%,%eR),

因为阂=阂=1,则无;+y；=考+%=1,

又因为z「Z2=(AJ+y,i)-(x2+y2i)=(%1-x2)+()；1-j2)i=5/31,

x}-x?=0

所以，后，即＜

〔乂-％=，3

由牙+*=考+4，可得(％_%)(必+%)=0,故「-一解得《

=13

由X；+y；=邸+[=1,可得弁=；,

所以，4+Z?=2芯+(x+%)i=2%，所以，|Z|+Z2|=2㈤=2x；=l.

故答案为：1.

例题2.(2024•全国•高三专题练习)满足z2eR，|zT=l的一个复数z=.

【答案】0(。或2i中的一个，答案不唯一)

【分析】设2=。+历(a,beR),根据deR可得出。=0或匕=0,分。=0、8=0两种情况讨论，结合复数

的模长公式可求得复数z的值.

【详解】设z=a+6i(a,beR),则z?=(a+6i)2=]一〃+2口历，

因为z'eR,贝【J仍=。,即。=0或6=0.

当4=0时，即z=bi,由|z-i|=@-1*=忸-1|=1,解得6=0或2,此时，z=0或2i；

当b=0时，即z=a,由|z-i|=|a-i卜J/+]=i,解得。=(),止匕时，z=o.

综上所述，z=0或2i.

故答案为：0(0或2i中的一个，答案不唯一)

练透核心考点

1.(2024•全国•高一假期作业)若复数4和复数z?满足㈤=1,㈤=1,k+Zz|=l,贝U—L=.

Z1-2

【答案】好总也

33

【分析】设4=。+历,(a,beR),Z2=c+di,(c,deR),根据复数的运算及模的公式即可求解.

【详解】设Z]=a+bi,(〃,Z?£R),Z2=c+di,(c,dcR),S.a2+b2=l,c2+J2=1,

则4+z2=(a+c)+(b+d)i,

又|zi+Z2|=l,所以(a+c)2+(b+d)2=1,

即a?+2〃。+。2+/+2〃d+Q2=i,贝ij2ac+2bd=-1,

因为Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i,

所以|Z]一z2|=y](a-c)2+(b-d)2=yja2+c2+b2+d2-2ac-2bd二石，

故答案为：旦.

3

2.(2024•全国•高三专题练习)在复平面内，已知复数z满足|z|=1,i为虚数单位，则|z-3-4i|的最大值

为.

【答案】6

【分析】将问题化为定点(3,4)到圆/+丁=1上点距离的最大值，即可求解.

【详解】令z=x+yi且x,ywR,则V+y2=i,即复数z对应点在原点为圆心，半径为1的圆上，

而|z-3-4i|=J(x-33+(y-4)2,即点(x,y)到定点(3,4)距离的最大值，

所以|-3-4i|的最大值为J(0一3)2+(0-4>+1=6.

故答案为：6

高频考点六：复数的四则运算

典型例题

例题1.(2024・湖南邵阳•统考一模)下列各式的运算结果不是纯虚数的是()

A.(1+i)2B.(1-i)2

1_i

C.-一7D.(1+i)4

l+i

【答案】D

【分析】利用复数代数形式的乘法和除法运算对选项一一化简即可得出答案.

【详解】对于A,(l+i)2=l+i2+2i=2i,故A正确；

对于B,(1—i)2=1+i2—2i=—2i,故B正确；

l-i_(l-i)-_-2i

对于c,故C正确;

1+i(l+i)(l-i)2

对于D,(1+i)4=(l+i)2(l+i)2=2i-2i=4i2=-4,故D错误.

故选：D.

例题2.（2024上•贵州遵义•高二统考期末）若z=l+i,则|z+'i|=（）

A.2B.1C.V2D.2A/2

【答案】D

【分析】根据复数的共轨复数的概念，乘法、加法运算，复数模得解.

【详解】|z+z-i|=|（l+i）+（l-i）i|=|l+i+i+l|=|2+2i|=V22+22=272.

故选：D

例题3.（2024・全国•高一假期作业）设复数4、z2,满足团=阂=1,z「z?=后,则1Z+z?卜.

【答案】1

【分析】设4=玉+羽，z2=x2+y^xvx2,yvy2^,利用复数的模长公式、复数的运算以及复数相等可

得出为、%以及x；的值，再利用复数的加法以及复数的模长公式可求得I4+Z2I的值.

【详解】设4=玉+羽，z2=x2+y2i（^,x2,eR）,

因为团=闾=1,则+=*+£=1,

又因为Zi-z?=（占+源）-（々+%）=（占-七）+（乂-%》=后，

x-=0玉二马

所以，卜-乃二忖即

%一%=退

73

%=

y+y=02

由尤;+犬=考+代，可得（%-%）（必+%）=。，故，后,解得

〔％一%=。3

%=

2

31

由片+犬=%+1=1,可得

所以，Zi+Z2=2%+(x+y2)i=2%,所以，,+Z2|=2㈤=2x；=l.

故答案为：1.

练透核心考点

1.（2024上•浙江湖州•高三统考期末）已知复数z满足（z-l）i=4+3i（i为虚数单位）,贝鱼+彳=（）

A.8B.6C.—6D.-8

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算及共轨复数的概念求解即可.

【详解】因为（z—l）i=4+3i,

解得2-1="4+三3i=3-4i,即z=4-4i,

i

所以z+N=4—4i+4+4i=8,

故选：A

2.（2024•全国•模拟预测）若z=上%，则彳等于（）

1-1+1

A.4+3iB.4-3iC.-4+3iD.-4-3i

【答案】B

【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数z,再由共轨复数的定义即可得出答案.

【详解】因为z=3-4i=-3-t4li=4+3i,所以z_=4-3i.

1-i+r-i

故选：B.

3.（2024•全国•高三专题练习）复数z=l+2i+3i2+…+2022i202i+2023i2022的虚部为

【答案】1012

【分析】根据错位相减法求和，复数乘除法，i乘方的周期性等相关知识直接求解.

［详解】由题意得z=l+2i+3i2+---+2O22i2021+2023i2022,

所以z・i=i+2/+3i3+…+2022严+2023严,

所以（1-i）z=1+i+i?+…+i2022-2O23i2023

1：2023

I-1

-2O23i2023=—+2023i=i+2023i=2024i,

1-i1-i

2024i(2024i)(l+i)

所以z=

1-i(l-i)(l+i)

2024i-2024

----------------=-1012+1012i,

2

所以复数z的虚部为1012.

故答案为：1012

高频考点七：共辗复数

典型例题

例题1.（2024上・浙江湖州•高三统考期末）已知复数z满足（z-l）i=4+3i（i为虚数单位）则z+z=()

A.8B.6C.-6D.-8

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算及共轨复数的概念求解即可.

【详解】因为（z—l）i=4+3i,

解得z-l=——=3-4i,即z=4-4i,

1

所以z+N=4—4i+4+4i=8,

故选：A

例题2.（2024上•四川成都・高三树德中学校考期末）在复平面内，复数Z，4对应的点分别是（2,-1）,（1,-3）,

则义的模是（）

4

A.5B.75C.2D.V2

【答案】D

【分析】由复数对应的点求出复数的代数形式，利用共辗复数和复数的除法化简，模长公式求模.

【详解】复平面内，复数4，Z?对应的点分别是（2,-1）,（1,-3）,

z1+3i(l+3i)(2+i)17.

则有Z]=2-i,z=1-3i,z=1+3i,--2-----------------------------------1---1

2242-i(2-i)(2+i)55

故选：D

2+4i

例题3.（2。24上天津•高三校联考期末）设“G+L则②的共轨复数为—

【答案】3-2i

【分析】由复数的运算化简z,再求共辗复数.

2+4i._(2+4i)(l-i),_6+2i

【详解】因为z=1+i+1-(l+i)(l-i)+1-2+i=3+2i,

故』=3-2i.

故答案为：3-2i.

练透核心考点

1.（2024•陕西宝鸡•统考一模）已知复数2=上幸，2为z的共辗复数，则|z|-2在复平面表示的点在（）

1+V3i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】首先利用除法运算化简复数Z,并求彳和忖，再根据复数的几何意义，即可求解.

【详解】z=j^=-2-2V3i16.

------------1,

1+V3i+一后)422

在第四象限.

故选：D

.1—

2.（2024•全国•模拟预测）已知复数z=l-i,贝！|——z)

Z

372

贬R回rD,