复数 （分层训练）（解析版）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

第05讲复数（分层精练）

A夯实基础

一、单选题

1.（2024下•广东•高三校联考开学考试）（3+2i）（2-2i）=（）

A.-10+2iB.-10-2iC.10+2iD.10-2i

【答案】D

【分析】根据复数的运算求解即可.

【详解】（3+2i）（2-2i）=6-6i+4i-4i2=10-2i.

故选：D

2.（2024下•重庆•高三重庆八中校考开学考试）若复数z=a2+i（a—l+i）是纯虚数，则实数

a=（）

A.1B.-1C.±1D.0

【答案】B

【分析】利用复数的定义及乘法法则计算即可.

【详解】由z=a?+i（a—l+i）=a?—l+（a—l）i,

根据题意可知卜二1=>a=-L

故选：B

3.（2024•吉林延边•统考一模）已知复数z满足（l+i）z=3+5i（i是虚数单位），则目=（）

A.V15B.4C.历D.5

【答案】C

【分析】利用复数的除法运算求出复数z,再利用模长公式计算即可.

,、3+5i（3+5i）（l-i）

【详解】因为（l+i）z=3+5i,所以7=0='（［+"|；_1,=4+以

所以|z|=G7F=a.

故选:C.

4.（2024上•山东青岛•高三统考期末）复数z=a+i（QER,i为虚数单位），N是z的共

辗复数，若（z+l）（N+l）=l,则。=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】由共舸复数的概念以及复数的乘法运算可得结果.

【详解】因为z=a+i,所以5=a-i,

(z+l)(z+1)=(a+l+i)(o!+l—i)=(«+1)-+1=1,

解得＜2=-l,

故选：B.

5.(2024下•山东•高三山东省实验中学校联考开学考试)已知复数

z=-l+i,z-az=-6+&i(a,Z?eR),则6=()

A.-5B.-4C.-3D.-1

【答案】B

【分析】利用复数相等的条件得到方程组，求出答案.

【详解】(-L+i)—a(-l—i)=-6+为，故a—l+(l+a)i=-6+历，

[〃-1=-6\ct——5

所以心，解得7/

[l+a=b[b=-4

故选：B

6.(2024下•云南红河•高二开远市第一中学校校考开学考试)已知复数z满足(2-i)z=2,

则z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】利用复数的除法法则得到z=手，得到z在复平面内对应的点坐标，得到答案.

22（2+i）4+2i4+2i

【详解】7^-（2-i）（2+i）-4-i2-5

42

故z在复平面内对应的点坐标为,位于第一象限.

555

故选：A

7.(2024•山西晋城•统考一模)设z在复平面内对应的点为(1,-2),则工7在复平面内对应

Z+1

的点为()

A.

C.

【答案】C

【分析】利用复数运算法则化简二即可求解.

【详解】依题意得z=l-2i,

"z2_l+2i_(l+2i)(l+i)_-l+3i_13.

所以-----=------------=-------=1—1

z+i1-i(l-i)(l+i)222

则三在复平面内对应的点为J1/1.

z+i\2

故选：C

8.（2024下•江西•高三校联考开学考试）已知复数z=a+bi（a,beR）.且|2-i-z|=l,则詈

的取值范围为()

--3-x/3-3+V3

A.----------,----------

44

[1-731+6

4，4

【答案】C

【分析】根据复数的几何意义，得到复数z在复平面内对应的点Z的轨迹是以（2,-1）为圆心,

1为半径的圆C,得到圆的方程（a-2）2+（b+l）2=l,再由史］=铝+1,结合组的几何

意义为过圆C上的点与定点A的直线/的斜率左，利用直线与圆的位置关系，列出不等式，

即可求解.

【详解】由复数z满足|2-i-z|=l,即为|z-2+，=1,

根据复数的几何意义，可得复数z在复平面内对应的点Z（4,》）的轨迹是以（2,-1）为圆心，1

为半径的圆C,即圆C:（a-2）2+S+l）2=l,

如图所不，=7+1，

Q+1Q+1

又由U的几何意义为过圆C上的点与定点A（-U）的直线/的斜率左,

直线/的方程为以一人+女+1=0,

|34+2|

由题意可知，圆心C到直线/的距离dWl,BPS=^<1,

A/V+1

解得土立V左V士在，即土立工丝_<士避，

444a+14

又由上q=B+i,可得・士4*/+上.

a+1a+14a+14

故选：C.

9.（2024上•河南南阳•高三统考期末）设复数z=-g-*i的共辗复数为1，则下列结论正

确的有（）

_2%..2〃z1

A.z=cos---F1sin—B.一7二一

33z22

Z-

c.-=1D.Z2+Z2=2

z

【答案】AC

【分析】根据已知条件，结合共辗复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算法则，即可

求解.

【详解】对于A,z=--+^i=cos—+isin—,故A正确;

2233

z

对于B,了故B错误;

对于C,=1,故C正确;

对于D,^ftUz2+z2=-l

故D错误.

故选：AC

10.（2024上•山东日照•高三统考期末）设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有

()

A.若zwR,则z=zB.若Z2©R,贝1JzeR

C.若(l+i)z=l—i,则|z|=lD.若z?+1=0,则z=i

【答案】AC

【分析】利用共甄复数的定义可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；利用复数的除

法化简复数z,利用复数的模长公式可判断C选项；解方程z2+l=0,可判断D选项.

【详解】对于A选项，若zeR,贝A对；

对于B选项，若Z?£R,不妨取z=i,则z2=-l£R,但z^R,B错；

对于C选项，若(l+i)z=l—i,则=.、=-i,故|z|=l,c对；

1+1

对于D选项，若z2+l=0,则z2=-l，解得z=±i,D错.

故选：AC.

三、填空题

11.(2024下•广东深圳•高三深圳中学校考开学考试)设aeR,若复数(q-2i)(2+i)在复

平面内对应的点位于虚轴上，则.

【答案】T

【分析】由复数的乘法运算结合复数的几何意义求解即可.

【详解】(a-2i)(2+i)=2a+ai—4i+2=2a+2+(a-4)i,

复数(a-2i)(2+i)在复平面内对应的点为(2a+2,a-4),

所以2a+2=0,解得：。=-1.

故答案为：-1.

12.(2024上•全国•高三统考竞赛)设z=(2+i)2-(l+2i))则|z+8i|=.

【答案】10

【分析】由复数四则运算以及模的运算公式即可求解.

【详解】由题意z=(2+i)2-(l+2i)2=(3+4i)-(-3+4i)=6,所以

|z+8i|=|6+8i|=736+64=10.

故答案为：10.

四、解答题

13.(2024上•北京房山•高二统考期末)已知复数z=l-2i.

⑴求|z|；

(2)若Z]=-——,求Z]；

3+41

⑶若%|=6,且zz?是纯虚数，求zZ.

【答案】⑴指

⑶z?=2-i或z?=-2+i

【分析】（1）根据模的计算公式直接求解；

（2）利用复数的除法进行计算；

（3）设4=°+4，根据条件列方程求解即可.

【详解】（1）|Z|=#+（_2）2=J；

zl-2i（l-2i）（3-4i）3-4i-6i+8i2-5-10i12.

）13+4i3+4i（3+4i）（3-4i）32-（4i）2555，

（3）设Z2=笠+初,

22

则|z2|=y/a+b=#，所以。之+/=5（D

zz2=（l-2i）（〃+历）=（Q+2b）+（b-2a）i,

因为ZZ2是纯虚数，所以a+2b=0力—2aw0②

[Q=2\a=—2

由①②联立，解得八I或八I

[〃=-1Ib=I.

所以z?=2-i或Z2=-2+i.

14.（2024・全国•高一假期作业）己知z为复数，z+2i和二均为实数，其中i是虚数单位.

2-1

⑴求复数z和阂；

17

（2）若4=三+—-——不在第四象限，求机的取值范围.

m—1m+2

【答案】（l）z=4—2i；Iz|=26

⑵-Vu4

【分析】（1）设z=a+历（a,beR）,依据题设，建立方程求出。力,即可求得z,再求其模;

4m-3„

------>0

（2）先求出％=4竺M2一—3+‘2m一—3，再根据题意建立不等式组丁一:求解即可.

m—\m+23<0

、m+2

【详解】（1）设2=。+历（a,Z?£R）,则z