福建省宁德市部分达标高中2024-2025学年高三年级上册期中考试数学试卷（含答案解析）

福建省宁德市部分达标高中2024-2025学年高三上学期期中考

试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设集合N={x|-l<xV3},5={1,2,3,4},则/口8=()

A.{2,3}B.{1,2}C.{1,2,3}D.{1}

、4-，）的最小正周期为（

2.函数〉=tan(—)

71

兀2兀2

A.4B.——C.8D.

2T

3.在中国传统的十二生肖中，马、牛、羊、鸡、狗、猪为六畜，贝『'甲的生肖不是马”是"甲的生

肖属于六畜''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知复数2=卜2+©『，则三的虚部为（）

A.-9布B.973C.-10D.10

5.在梯形/8CO中，~BC=5AD，4c与BD交于点、E,则丽=)

1—■1—■

A.-AD--ABB.-AD--ABC.-AB--ADD.-AB——AD

66776677

6.将函数了=««（尤+夕）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数

y=/（x）的图象.若y=/（x）的图象关于点对称，则|同的最小值为（)

712兀_715兀

A.—B.—C.一D.

336~6

7.已知/(孙。0),贝111—16——9/的最大值为(

A.-48B.-49C.-42D.-35

sina—cosa2tan3a

0Q•后则a的值可以为（）

sina+cosa1-tan23a'

7171兀71

A.B.------C.—D.-

1220105

试卷第1页，共4页

二、多选题

9.若/(x)与g(x)分别为定义在R上的偶函数、奇函数，则函数〃(x)=/(x)g(x)的部分图

象可能为()

10.如图，在V/3C中，AB=AC=3,3c=2,点。,G分别边/C,BC上，点瓦尸均在边N8

上，设DG=x,矩形。所G的面积为S,且S关于x的函数为S(x),则()

A.V/2C的面积为2后B.以1)=竽

C.S(x)先增后减D.S(x)的最大值为血

11.已知向量£,b>)满足忖=6,W=L<a,b>=^,(c-a)(c-5)=3,则()

A..-囚=4也B.口的最大值为而

C.归-4的最小值为回;商D.的最大值为

填空题

试卷第2页，共4页

12.log2A/S^"=•

13.已知0>：,函数/(x)=sin]x-0)在[0,0兀]上单调递增，则0的最大值为.

Xy

14.已知函数/(%)=丁-加，g(x)=--m,若/(x)与g(x)的零点构成的集合的元素个数

ee

为3,则冽的取值范围是.

四、解答题

15.VABC的内角A,B,C的对边分别为仇。,已知csin/cosB=asinBsinC.

⑴求角5；

...Q

(2)若Q=3,VNBC的面积为5,求b.

16.已知函数/(x)=x3-x-4y[x.

⑴求曲线y=/(x)在点(4J(4))处的切线方程；

⑵若〃x)>lnw恒成立，求机的取值范围.

17.已知函数/'(x)=l-4sin(x-Tsinx.

⑴将/(x)化成/(x)=Nsin(tar+(p)+8(A>0,(o>0,|夕|<])的形式；

⑵求/(x)在0,；上的值域；

(3)将[(X)的图象向左平移三个单位长度后得到函数〃(x)的图象，求不等式0的解集.

6

18.已知函数/'(x),g(x)满足/(》)=2^-「+办，

〃x)+g(x)=(2e2-l)e-^+(2-+2a.

⑴若/'(x)为R上的增函数，求。的取值范围.

(2)证明：/(尤)与g(x)的图象关于一条直线对称.

⑶若应-2收，且关于尤的方程/(x)+/(e;"7)=2g(2r)在内有解，求加的取值

范围.

19.若存在有限个修,使得且/⑺不是偶函数，则称〃x)为“缺陷偶函

数”，X。称为/(X)的偶点.

试卷第3页，共4页

⑴证明：〃(x)=x+x5为“缺陷偶函数，，，且偶点唯一.

(2)对任意x,0R,函数［(x),g(x)都满足〃x)+/(y)+g(尤)-2g(y)=/+y.

①若y=对立是“缺陷偶函数”，证明：函数尸(X)=Xg(X)有2个极值点.

X

②若g(3)=2,证明：当x>l时，g(x)>|ln(x2-l).

参考数据：In上芭。0.481,V5-2.236.

2

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案CDDAAAABACACD

题号11

答案BC

1.C

【分析】由交集的定义求解即可.

【详解】因为/={x|T<xV3},5={1,2,3,4},

所以/c8={xk1<xV3}c{1,2,3,4}={1,2,3}.

故选：C.

2.D

【分析】根据给定条件，利用正切函数的周期公式求出结果.

兀兀2

【详解】函数y=tan(gx-g)的最小正周期为‘一耳一彳.

71

故选：D

3.D

【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.

【详解】若甲的生肖不是马，则甲的生肖未必属于六畜；

若甲的生肖属于六畜，则甲的生肖不一定是马.

故“甲的生肖不是马''是"甲的生肖属于六畜''的既不充分也不必要条件.

故选：D

4.A

【分析】禾！］用(。+6丫=/+3。%+3M2+/公式展开化简，借助共辗复数知识即可得到.

【详解】由题意可得：z=(-2+V3i)3=-8+3x(-2)2xJ5i+3>(?

化简得：z--8+12V3i+18-3V3i=10+9^i,

所以1=10-96i,所以I的虚部为-9力.

故选：A.

5.A

答案第1页，共11页

【分析】根据相似可得即=即可由向量的线性运算即可求解.

—■1—•—.1—.

【详解】由于就=5而，故ED=—BE,进而£。=;应），

56

故而」（25-函」石-」戒

【分析】根据函数图象的平移可得/（X）=cos（gx+q,即可根据对称得夕=^+而,左©2求

解.

【详解】由题意可得/（x）=cos（；x+o|,

由于y=/（x）的图象关于点对称，故=cos]-*+T=°，

7itir27r

故----F夕=---Fkit,左£Z，解得（p=F左兀,左£Z,

623

取a=一1,为最小值，

故选：A

7.A

【分析】由题意知4+3=1,然后根据基本不等式即可求解.

xy

【详解】因为犬+丁=苫2/（QK0）,所以3+3=1,

%y

所以16/+9/='+"116/+9/）=25+（+■225+2^^1^=49,

当且仅当年=＜，即f=:，/=：时，等号成立，

xy43

所以1-16/—9/的最大值为1-49=-48.

故选：A.

8.B

【分析】根据二倍角的正切公式以及弦切互化可得tan[c-：）=tan6a,进而得

答案第2页，共11页

jr]

a=-------kji,keZ,即可求解.

205

■、乂.十sina-cosatana-l（兀、2tan3a〃

【详施星】由于二---------=-------=tan,------k=tan6a,

sina+cosatana+1<4）1-tan3a

",sina—cosa2tan3a（兀

故由----------=-----z—可得txana一-=tan6a,

sina+cosa1-tan3av4J

JI兀1

故。—=6a+kn,k£Z,则a=-------kTi,kGZ,

4205

71371

取左=0,a=----,取左=—1,a=—,

2020

7T

因此只有-二符合要求,

20

故选：B

9.AC

【分析】利用函数奇偶性的定义可得结论.

【详解】因为/'(X)与g(x)分别为定义在R上的偶函数、奇函数,

所以〃（-X）=/（-x）g（-尤）=一/（x）g（X）=-〃（X）,

所以函数Mx)=f(x)g(x)为奇函数，所以“X)的图象关于原点对称.

故选：AC.

10.ACD

【分析】根据面积公式即可求解A,根据相似即可得CM=30化=土星，

AB9

=殍一警，进而可得5(必=一/1-|1+后(0<》<3),根据二次函数的性质

即可求解BCD.

【详解】取2c的中点N,连接/N,则/NL8C,且NN=j3272=2行,

所以VABC的面积为工x2x20=2贬,A正确.

2

过C作垂足为石，设CH与。G交于点M,

由等面积法可得1/氏8=2后，则。〃=勺a.由第=型，得CM=CH-DG=4^

23CHABAB9

则MH=CH-CM=匕^一±/空,

39

所以5(月=06.。£=06.须=彳(3》一/)=一±^1卜一|]+四(0<x<3),

答案第3页，共11页

则可1）=半，则S（x）在［。,|）上单调递增，在|,3）上单调递减,

所以S（无）的最大值为Q,B错误，C,D均正确.

故选：ACD

AEHF

11.BC

【分析】根据向量的模长及夹角，不妨设B=（l,0）,5=（3,3V3）,C=（x,y）,通过

（c-a）-［c-b）=3,可求出之是以原点为起点，终点在以尸亭］为圆心，「=?为半

径的圆上的向量.根据向量模长的坐标运算可判断A项；根据圆上一点到圆上一点距离的最

大值为直径可判断B项，根据圆内一点A到圆P上一点距离的范围为［―|/以/+|/刊］可判

断C,D项.

【详解】根据题意不妨设B=（l,0）,5=（3,373）,c=（x,y）,

则,菖=［一3/-3®）,c-b=（x-l,y）,所以

修一2>（3-$）=（X-3）（%-l）+y卜―3班卜3,

化简得（x-2y+，-竺］=学，记为圆P,即展是以原点为起点，终点在以P卜孚］为

<2J4V）

圆心，厂=叵为半径的圆上的向量.

2

对于A,a-b=（2,343）,所以收“卜西+口6丁=技,故A错误；

对于B,同=旧+F表示原点（0,0）到圆尸上一点的距离，

因为原点（0,0）在圆尸上，所以同的最大值为圆尸的直径，即2乂苧=屈，故B正确；

对于C,D,区-司=,（37），（36-y『表示点A（3,3、）到圆尸上一点的距离,

因为点A（3,36）在圆p内，所以区-目的最小值为

答案第4页，共11页

忸一同的最大值为r+|/P|=苧+/(3-2『+：-孚'=后;用，故C正确,D错误.

故选：BC.

-15

12.—

2

【分析】利用对数的运算法则计算即可.

r22

【详解】log2亚=log2，⑵)5=log2A/5=log22=，og2=y-

故答案为：

2

13.3

4

【分析】利用整体法，结合正弦函数的单调性即可求解.

【详解】由于xe[0,s],所以x-ge,

要使〃x)=sin(x-£|在[0,5]上单调递增，则0兀一解得:

3

故口的最大值为了，

4

_,3

故答案为：—

4

14.

【分析】由函数零点的定义转化为直线歹=加与函数＞==2的图象共有3个交点求解.

ee

【详解】由g(%)=0,得当Y=冽，令函数》=《X，一次函数＞X在R上单调递增，值域为

eee

R,

因此直线＞=机与函数y=彳x的图象有且只有一个交点，即函数g(x)有1个零点修；

e

由/(无)=0,得丁X=加，令函数/")=X之，依题意，函数/(X)有不同于m的两个零点,

ee

即直线＞=加与函数了=〃(x)的图象有两个交点，且交点横坐标不能是％,

由以工)=之，求导得“(、)=一，当X＜1时，"(x)〉o；当x〉l时，〃(x)＜0,

ee

即函数〃(X)在(-8,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，A(x)mM=/?(1)=-,

答案第5页，共11页

而力（0）=0,当x＞0时，〃（x）＞0恒成立,

则当。＜机＜,时，直线了=机与函数y=访00的图象有两个交点,

e

当/（无）=g（x）,即三=今时，x=0或x=2,则当x=0或x=2时，/（X）与g（x）的零点相

ee

同,

212

由%=0,得加=0,由x=2,得加==■,因此0＜加＜一且冽

eee

所以m的取值范围是（0,马Ug」）.

eee

故答案为：（0,2）U（43

eee

【点睛】思路点睛：己知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都

是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：

①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；

②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式;

③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围.

7T

15.⑴〜

（2）6=3

【分析】（1）由正弦定理边化角，即可求得答案；

（2）由三角形面积求出c,再利用余弦定理即可求得答案.

【详解】（1）由题意知csin4cosB=asinBsinC,即sinCsin/cosB=sinZsinBsinC,

由于4c£（O,Ji）,sin/wO,sinCwO,

故cos5=sin8,即tan5=l,结合BE（0,兀），则5=工;

4

rrQ1Q

（2）4=3,B=],V4BC的面积为5，则/〃csinB=5，贝＞Jc=3V^，

/y

2

故/=a+/一2accosB=27-2x3x3也义——二9，

2

故b=3.

16.（l）y=46x-132

⑵。＜加＜二

e

【分析】（1）根据导数，即可求解斜率，根据点斜式即可求解直线方程，

（2）求导，构造函数〃（。=3———2,求导，”（。=15/一1,利用导函数的单调性以及正负

答案第6页，共11页

确定函数的单调性，即可求解函数最值得解.

【详解】(1)由〃X)=Y-X-4五可得/'(刈=3/_1_2

故/'(4)=48-1-=46,又/(4)=64-4_8=52,

故y=/(久)在点(4J(4))处的切线方程为歹=46(x-4)+52，即y=46尤-132

(2)/'(x)=3尤2_]_2二=3x?4尸一2仅八),

TXy/X

令〃(%)=3%2G一五一2,令G=t>o,则〃(。=3/-'-2,//«)=15〃一1,

由于〃⑺在(。,+8)单调递增，故当/>:口粗3>0,〃3单调递增，当

0<^<4|」,/(x)<O,4x)单调递减,

一X41行一2<0,且当，>—2,又九(1)=0,

故当0</<1时，〃(。<0,而％>1,〃(。〉0,

因此0cx<1时，〃(x)<0,而x>l,/z(x)〉0,

故0<x<l时，/'(x)<0,而x〉lJ'(x)〉0,

故/(X)在(0,1)单调递减,在(1,+8)单调递增，故/@僵=〃1)=-4,

因此ln〃z<f(x)而n=-4,i^o<m<—,

当x=0时，/(0)=0,此时0〈加〈二也满足，

e

综上可得0<〃?<4

e

17.⑴，(x)=2sin(2%+:

⑵[1,2]

(3)卜ku,—卜kit，左£Z

44_

【分析】(1)根据三角恒等变换即可求解，

(2)利用整体法，结合三角函数的性质即可求解,

71

(3)利用函数平移可得"x)=/X+-=2cos2x,即可利用余弦函数的性质，结合整体法

答案第7页，共11页

求解.

【详解】(1)由/(x)=l-4sin[x-T•卜nx可得

=2cos2x--=2sin]2x+j；

I3.

/、八兀rIc兀兀2兀

(2)xG0,—,贝+

4663

故sm12x+te/,ljJ，故/(x)=2sin[2x+[JqL2],

故值域为[1,2],

(3)由题意可得〃(x)=,卜2sinl2x+灯=2cos2x

故力(x)20,即2cos2x>0,故一T+2左兀<2x-~+kGZ,

TTTT

解得---\-kn<x<—+kit,左£Z,

44

TTTT

故不等式的解集为-7+也,7+航，4ez

44

18.(1)[-2V2,+8)

(2)证明见解析

⑶[91]

【分析】(1)求导，利用/''(x)NO对xeR恒成立，可求”的取值范围；

(2)求得g(x)的解析式，根据g(x)=/(2-x)可得结论;

(3)可得g(2r)=/(x),结合已知可得了(e:%)=〃x)在内有解，结合(1)的单

调性可得e*-皿=x,构造函数可得加的取值范围.

【详解】(1)由/3=21-b+办，可得/■'(尤)=26工+尸+。，

因为“X)为R上的增函数，所以/'(x"0对xeR恒成立,

所以2e*+尸+a20对xeR恒成立，所以。2-(2e*+/)对xeR恒成立,

因为2e*+b>2j2e*-eT=272，所以-(2e*+e-A)<-272,

答案第8页，共11页

当且仅当2e'=「，即e—日时取等号，所以［-(2/+片*)］1m*=-2亚，

所以42-2忘，所以。的取值范围为［-2血,+oo).

(2)因为/(x)=2e*+亦，/(x)+g(x)=(2e2-l)e^+^2—^［e*+2a,

所以g(x)=(2e?-l)e「*+(2-二*”+2a-(2e*-e^x+ax)

2

即g(x)=2e-尸一ge*+2a-ax=2e2T一产+a(2-x),所以g(无)=/(2-无)，

函数了=/(x)关于y对称的函数为y=/(-尤)，

再把了=/(-无)向右方平移2个单位得到y=/■［-(x-2)］=〃2-x),

所以函数V=g(x)与y=/(无)关于对称尤=1；

(3)由(2)可得8(2-"=2广(2-6-6(2一"-2+0［2-(27)］=26"-「+办=/(工)，

又因为〃x)+/(e*-m)=28(2-》)在［-1,1］内有解,

所以/(x)+/(e，-加)=2/(尤)在［-1,1］内有解，

所以/(e，-根)=/(x)在［-川内有解,，

由(1)可知时，/(无)为R上的增函数，

所以e*-4=x,所以加=e*-x在［-1』内有解,

令/z(x)=e*-x,求导可得“(x)=e*-1,

当xe(-1,0)时，〃(x)<0,函数在(-1,0)上单调递减,

当xe(0,1)时，h'(x)>0,函数在(0,1)上单调递增,

所以〃(幻血"=伙0)=1，又〃(-1)=工+1<1.5,A(l)=e-l>1.5,

e

所以"(x)1mx=A(l)=e-l,

所以％的取值范围为

【点睛】方法点睛：对于有解问题，往往利用函数的单调性转化为两自变量的值相等问题解

决，从而转化为函数的值域问题或两函数图象有交点问题解决.

19.(1)证明见解析

(2)证明见解析

答案第9页，共11页

【分析】(1)根据Mx)="-x),即可解方程求解,

(2)①根据”无)+g(x)-/=-〃y)+2g(y)+y=。，取夕=》，可得g(x)=丁-；+2.,

即可对尸(无)=xg(x)求导