等式与不等式-2025年高考数学一轮复习（天津专用）

第02讲等式与不等式

（6类核心考点精讲精练）

IN.考情探究•

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

2019年天津卷，第10题,5分解不含参数的一元一次不等式

2017年天津卷，第2题,5分必要条件的判定及性质解不含参数的一元一次不等式

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度为低难度与中档难度，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握不等式的性质，能够运用不等式的性质进行比较大小

2.能掌握一元二次不等式的性质

3.掌握一元二次不等式根与系数的关系

4.会解一元二次不等式、能够解决一元二不等式的恒成立与存在成立等问题

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般考查不等式的性质，一元二次不等式的性质等。

IT）.考点梳理・

I1.两个实数比较大小的方法I考点一、等式与不等式的性质

「知识点一.等式与不等式的性质Y2.等式的性质<考点二、比较大小

3.不等式的性质考点三、最值与取值范围问题

等式与不等式

1.一元二次不等式的概念「

2.二次函数与一元二次方程的根、一元二次不考点四、一元二次不等式

1知识点二.一元二次不等式<等式的解集的对应关系<考点五、一元二次方程跟的分布

3.一元二次不等式的解法考点六、一元二次不等式恒成立

4三.个“二次”间的关系

知识讲解

知识点一.等式与不等式的性质：

1.两个实数比较大小的方法

1

(1)作差法

a-b>0<=>a>b,

a-b=0Qa-b,

a-b<0<=>a<b.

(2)作商法

>l(aeR,b>0)Qa>b(aER,b>0),

£=l(a,bH0)=a=b(a,bW0),

<l(aER,b>0)QaVb(aER,b>0),

2.等式的性质

(1)对称性:若a=b,则b=a.

⑵传递性:若b=c,则a=c.

⑶可加性：若a=b,贝！Ja+c=b+c.

(4)可乘性：若a=b,则ac=bc;若a-b,c=d,则ac=bd

3.不等式的性质

⑴对称性：a>b=>b<a;

(2)传递性：a>b,b>c=a>c\

(3)可加性a>b=>a+c>b+c;a>b,c>d<=>a+c>b+d

(4)可乘性：a〉b,c>0<=»ac>bc;a>b,c<0<=>ac<cb',a>b>0,c>d>0oac>bd\

⑸可乘方：a>b>0<=^>an>(nGN,n>l);

(6)可开方a>b>0=\[a>\[b(nGN,n>2).

知识点二.一元二次不等式

1.一元二次不等式的概念

只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不

定义

等式

ax-\~bx-\-c>0,ax-\~bx~\-c<0,axbx~\~,ax~\~bx-\-c^O,其中aWO,

一般形式

a,b,。均为常数

2.二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系

判别式A=6—4ac4>0A=0/〈0

二二王

二次函数y=ax+bx

+c(a>0)的图象

有两个相等的实数

一元二次方程a/+有两个不相等的实

没有实数根

8x+c=0(a>0)的根数根耳，x(x<x)根％=入2=~~~

2l22a

2

ax-\~bx~\-c>0(a>0)

{xx〈莅，或x>&}R

的解集L2a.

ax+bx~\~c<0(a>0)

{x〈王}0叁

的解集

3.一元二次不等式的解法

1.将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax12+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a

>0).

2.求出相应的一元二次方程的根.

3.利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.

方程的根一函数草图一观察得解，对于a<0的情况可以化为a>0的情况解决

注：对于二次型一元二次不等式应首先考虑二次项系数的情况，当二次项系数为0时，按照一次不等式来

解决，对于二次项系数为负数的情况一般将二次项系数变为正数之后再解。

注：对于含参一元二次不等式内容首先考虑能不能因式分解，然后就二次方程根进行分类讨论，同时注意

判别式韦达定理的应用。

4.三个“二次”间的关系

判别式A=b2—4acA>0A=0A<0

1/

二次函数y=ax?+bxV

x\]plxX

+c(a>0)的图象2。陆%27

有两相等实根Xi=X

一元二次方程ax2+bx有两相异实根X1,2

__b_没有实数根

+c=0(a〉0)的根X(Xi<X)=

222a

ax2+bx+c>0(a>0){xx>x?(1zb'

<xIxW——.R

的解集或XVxJ2a]

ax2+bx+c<0(a>0)

{xXjVxVx?}00

的解集

考点一、等式与不等式的性质

典例引领

1.(2024•辽宁•模拟预测)若a>b,则下列说法正确的是()

A.a2>b2B.lg(a—ft)>0C.a5>b5D.|a3|*>|b3|

【答案】C

【分析】利用特殊值判断A、B、D,根据嘉函数的性质判断C.

【详解】对于A：当a=0、b=-1,满足a>b,但是a2Vb2,故A错误；

对于B：当a=0、b=—1,满足a>b,但是lg(a—b)=Igl=0,故B错误；

对于C：因为y=必在定义域R上单调递增，若a>b,则。5>胪，故c正确

对于D：当a=l、b=-1,满足a>b,但是炉|=也3],故口错误.

故选：C

2.(2024,山东滨州•二模)下列命题中，真命题的是()

A.若a>b,则ac>beB.若a>b,则小>接

C.若tie?之be2,则a之bD.若a+2b=2,则加十#24

【答案】D

【分析】由不等式的性质可判断A,B,C,利用基本不等式。+力22倾，当且仅当a=b时等号成立，即可

判断D.

【详解】对于A,由a>b,c=。可得ac=bc,故A错误；

对于B,由a>0,h<0,|a|<|b|,可得a2Vb2,故B错误；

对于C,若以22be?,且当c=0时，可得a,b为任意值，故C错误；

对于D,因为2a+4匕=2。+22b之272a•22b=272。+2b=4,当且仅当a=2b=1时，等号成立，

即2a+4匕24,故D正确.

故选：D.

也即咪机

1.(22-23高三上•甘肃定西•阶段练习)已知a>b>0,c<0,则下列正确的是()

A.ac>beB.ac>bcC.D.ab-be>0

cLcL

【答案】D

【分析】对于ACD,利用作差法判断，对于B,利用幕函数的性质比较.

【详解】对于A,因为a>b>0,cV0,所以ac-be=(a-b)cV0,所以acVbc,所以A错误；

对于B,因为y="(c<0)在(0,+8)上递减，且a>b>0,所以a。V〃，所以B错误；

对于C,因为a>b>0,eV。，所以g—-2=~2~<0,所以刍<弓，所以C错误；

ccccC

对于D,因为a>b>0,cV0,所以ab—be=b(a—c)>0,所以D正确.

故选：D

2.(2024•安徽淮北•二模)已知见beR,下列命题正确的是()

A.若ab=1,则a+bN2

B.若工<工，则a>b

ab

C.若a>b,则ln(a—b)>0

4

,,-1-1

D.右a>b>0,则H—>bH—

CLba

【答案】D

【分析】举反例即可推出A,B,C错误，D利用反比例函数单调性和不等式可加性即可证得.

【详解】当a=—l,b=—1时，a+b=—2,所以A错.

当a<0,b>0时，a<b,所以B错.

当Q=2,b=l时，ln（a—h）=0,所以C错.

若a>b>0,贝心〉工>0,则a+<>b+L成立，所以D正确.

baba

故选：D

3.（2024•天津•一模）已知a,6€R,则“b>|a|”是‘壮<广”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.

【详解】因为a,beR,当b>|a|时，有b>⑷20,则a?<按成立，即充分性成立；

022

当｛/二r时，0<（-1）,即a2<62成立，而—即b>|a|不成立，进而必要性不成立.

所以a,beR,"b>|a|"是“a?<房”的充分不必要条件.

故选：A.

4.（2023•山西临汾•模拟预测）若a,bGR,则“a<b”是“a3—a2b<0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】

利用不等式的性质，结合充分必要条件的定义即可得解.

【详解】当a<b时，取a=0,则a3—a2b=0,即充分性不成立；

当a3—a2b<0时，有a2（a—b）<0,则aK0,故a2>0,

所以a—b<0,即a<b,即必要性成立；

综上，“a<b”是“。3一02b<0"的必要不充分条件.

故选：B.

考点二、比较大小

典例引领

1.（22-23高三上.天津河东•期中）若a=竽，&in21n3,。=中，则a”c的大小关系是（)

5

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c

【答案】c

【分析】根据a>boa-b>0,因此要比较a,b的大小，作差，通分，利用对数的运算性质，即可求得a,

b的大小；利用对数函数y=lnx的单调性，可知ln2m>ln6>0,然后利用不等式的可乘性，即可得出a,

c的大小.

22

,七版、hj],ln6,„(In2+ln3)2-41n21n3(In2-ln3)n.,

【详解】角牛：a—b=--4--In21n3=-------4------=----4---->0,..a>b,

而ln(2n)>ln6>0,即c>a,

因此c>a>b.

故选：C.

2.(2024•四川成都•模拟预测)已知a,b为实数，则使得“a>b>0”成立的一个必要不充分条件为

()

11

A.-[B.ln(a+1)>ln(b+1)

C.a3>b3>0D.Va-1>>Jb-1

【答案】B

【分析】利用不等式的性质、结合对数函数、幕函数单调性，充分条件、必要条件的定义判断即得.

【详解】对于A,工>:，不能推出a>6>0,如反之a>b>0,则有工<1,

ab—3—2ab

即1>3是a>b>。的既不充分也不必要条件，A错误；

对于B,由ln(a+1)>ln(b+1),得a+l>h+l>0,即a>b>—1,

不能推出a>b>0,反之a>b>0,则

因此ln(a+1)>ln(6+1)是a>b>0的必要不充分条件，B正确；

对于C,a3>h3>0<=^a>Z)>0,a3>b3>0是a>b>0的充分必要条件，C错误；

对于D,由Va—1>7b-1,得。>6>1>0,反之Q>b>0不能推出。>b>1,

因此是a>b>0的充分不必要条件，D错误.

故选：B.

即时校(

1.(22-23高三上•天津河西•期末)若a,b,c£R,a>b,则下列不等式成立的是()

A.—<—B.a2<£>2c.-j—>-z—D.u\c\>b\c\

abc2+lc2+l1111

【答案】c

【分析】举反例排除ABD,利用不等式的性质判断C即可得解.

【详解】对于A,取a=1,6=—1,满足a>b,但工>：,故A错误；

ab

对于B,取a=l,b=—l,满足a>b,但次=52,故B错误;

6

对于D,取c=0,则a|c|=b|c|,故D错误;

对于C,因为C2+121>0,则六>0,

又a>b,所以-2A■>29故C正确.

cz+lcz+l

故选：C.

2.（2023•天津•一模）设a>0,b>0,则“a>b”是“工〈工”的（）

ab

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用作差法结合得出工的等价条件，即可得出结论.

ab

【详解】因为a>0,b>0,由一<，可得|==4>0,则a—>0,即a>b,

abbaab

因此，若a>0,b>0,则“a>b"是△<<”的充要条件.

ab

故选：C.

3.（23-24高三上•天津和平•开学考试）已知a是实数，贝lj"a>1”是“a+工>2”的（）.

a

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】判断“a>1”和“a+工〉2”之间的逻辑推理关系，即得答案.

a

【详解】当a>l时，a+工一2=正如口="史>0,

aaa

故a+1>2,即a>1成立，则a+工>2成立；

aa

当。=决寸，a+}=；+2>2,但推不出a>1成立，

故“a>l”是“。+工>2”的充分不必要条件，

a

故选：A

4.（2024•北泉西城•一'模）设。=t—=t+=t（2+t）,其中—1VCV0,则（）

A.b<a<cB.c<a<b

C.Z）<c<aD.c<b<a

【答案】c

【分析】借助正负性、对勾函数的性质及二次函数的性质判断即可得.

【详解】由—1vtV0,故8,—1）,故a=t—3>0,

由对勾函数性质可得b=t+|<-（1+1）=-2,

c=t(2+t)<0,且c=t•(2+t)=曰+2t=(t+1)2—1之一1,

综上所述，有b<cVa.

7

故选：C.

考点三、最值与取值范围问题

典例引领

1.（2024高三•全国•专题练习）已知12<a<60,15<b<36,贝ija-b的取值范围是，押取

值范围是.

【答案】（-24,45）&4）

【分析】根据不等式的性质即可求解.

【详解】因为15<b<36,所以一36<-b<-15.

又12<aV60,

所以12—36Va-bV60—15,

所以-24Va—b<45,

即a-b的取值范围是（一24,45）.

11112a6O

为

所以

因<<<<

一

一------

b36b15

3615

艮畤<三<4,

3b

所以?的取值范围是Q,4）

答案：（—24,45）,（g4）

2.（2024•全国•模拟预测）已知实数比，y满足一1<久<y<l,则％+y的取值范围是

【答案】（一2,2）

【分析】根据不等式的性质即可求解.

【详解】由一1<x<y<1可得一1<x<1,-1<y<1,所以一2<x+y<2,

故答案为：（-2,2）

即0睁（

1.（2024高三•全国•专题练习）若实数x,y满足lWxy2W4,3Wx2yW5,则xy5的取值范围是.

【答案】向y]

【详解】

,111J-164

因为（xy2）3£[l,64],—e3],所以xy5=（xy2）3•氏八氐?].

x2y5

2.（2024•河北石家庄•二模）若实数x,y,z20,且x+y+z=4,2%一y+z=5,则M=4x+3y+5z

的取值范围是.

【答案】[15,19]

8

【分析】先得到汽=3-条y=1-1，并根据居y,z20得到0Wz43,从而求出闻=£+15E[15,19].

【详解】因为％+y=4—z,2%—y=5—z,故％=3—日,y=1—导

f3-f-0

由％,y,z2。得Jj_£>0,解得0WzW3,

Iz>0

故M=4x+3y+5z=4（3-1）+3（1-§+5z=3+15€[15,19].

故答案为：[15,19]

3.（23-24高三下•重庆渝北•阶段练习）已知三个实数a、b、c,其中c>0,bW2a+3c且be=。2,则三至

b

的最大值为.

【答案】I

【分析】依题意可得2a+3c,进而得a2—2ac—3c2wo,即可求出f的范围，于是三名=竺孝=£一

cabaa

25，令:=3f©=t—2t2,利用二次函数的单调性即可求解最值.

【详解】当c>0时满足b<2a+3c且be=a2,

2d+3c,即4—2tie—3c24o,进而(-)—2x——3W0,解得-1W*w3.

c\c/cc

所以*>|■或臼<—1,

a3a

令展=t,tE[w，+8)U(—8—1],

令用)=-2/+1=-2«-3+1,t£[p+co)u(-oo-l],

所以f(t)在(-8,-1]上单调递增，在*,+8)上单调递减，

又，G）4—3,所以/⑴4，

即ajc的最大值为!.

b9

故答案为：，

4.（2024•浙江•模拟预测）已知正数a,b,c满足/+。2=16,Z）24-c2=25,则/c=/+^的取值范围

为.

【答案】9</c<41

【分析】

根据不等式的性质即可求解.

【详解】

•・•正数a、b、c满足a?+c2=16,炉+/=25,

c2=16—a2,次>o所以o<c2V16

9

同理：有c2=25-/得到0<©2<25,所以0<c2<16

两式相加：a2+b2+2c2=41

即a?+b2-41—2c2

又16<-c2<0,即一32C一2c2<0

•••9<41-2c2<41

即9<k<41.

故答案为：9<fc<41

5.（2024•广东•三模）设实数x、y、z、t满足不等式1Wx<yWz<tW100,贝仁+三的最小值为_____.

yt

【答案】1/0.2

【分析】令x=Lt=10。，根据分母最大分子最小时分式的值最小可得工+三2工+高，结合基本不等式和

yty100

三21计算即可.

y

【详解】因为lWxWyWzWtWIOO,所以221,

当且仅当工=热即yz=100时等号成立,

y100

即工+?的最小值为"

yt5

故答案为：

考点四、一元二次不等式

典例引领

1.（2024•上海•高考真题）已知xGR,则不等式/-2%-3<0的解集为

【答案】{x|-1<刀<3}

【分析】求出方程/-2x-3=0的解后可求不等式的解集.

【详解】方程/一2万一3=0的解为x=—l或x=3,

故不等式/-2x-3<0的解集为{久[-1<x<3},

故答案为：&|一1<》<3}.

2.（23-24高三上•河北石家庄•阶段练习）不等式篝<0的解集是（）

2x4-3

A{x\-l<x<l}B.{十|<x<g}

C.{%|%<一:或久>曰}D.{x\x<—>|]

【答案】B

【分析】化分式不等式为一元二次不等式求解即得.

10

【详解】不等式表|<0化为：(2x+3)(3x—2)<0,解得一|<久<|,

所以不等式黑<0的解集是{刈—|<x<刍.

故选：B

1.(23-24高三下•陕西安康•阶段练习)在区间[0,5]内随机取一个实数a,则关于x的不等式d+(2-

a)x—2a<0仅有2个整数解的概率为()

A.-2B.—3C.-1D.—1

510510

【答案】C

【分析】利用一元二次不等式解得xe(-2,a),可得区间(-2,a)内仅包含-1,。两个整数，再利用几何概型

概率公式可得结果.

【详解】根据题意可得不等式/+(2-a)x-2a<0等价于(x+2)(x-a)<0；

因为ae[0,5],所以不等式的解集为(—2,a)；

依题意可得区间(-2,a)内仅有两个整数，即包含-1,。两个整数，可得0<aWl；

由几何概型概率公式可得其概率为P=芸=J

5—(J5

故选：C

2.(2024高三•全国•专题练习)已知a,b6R且ab40,若Q-a)Q-切(久—2a—b)20在x20上恒

成立，贝U()

A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0

【答案】c

【分析】对a,b的符号分正负两种情况讨论，结合穿根法及三次函数的性质分析即可得到答案.

【详解】由abH0得aH0,bH0,/(%)=(x—a)(x—b)(x—2a—b)=0=>xr=a,x2=b,x3=2a+b

①若a>0,b>0,则2a+b>0,且2a+b>a,2a+b>b,

根据穿根法可知％e{a,2a+b)或％e(b,2a+b)时不符合题意，舍去；

②若a>0,bVO,要满足题意则a=2a+b>b=a+b=0,符合题意，如图所示；

③当aV0,b>0时，同理要满足题意需2a+b=b>a=a=0,与前提矛盾；

④当aVO,bVO,止匕时2a+b<。，则f(%)=(%-a)(%—b)(久一2a—5)的三个零点都是负数，由穿根法

11

可知符合题意；

综上可知满足(x-a)(x-6)(x-2a-b)>0在x>0恒成立时，只有b<0满足题意.

故选：C.

3.(23-24高三下•上海•阶段练习)设a>0,若关于x的不等式/—ax<0的解集是区间(0,1)的真子集,

贝b的取值范围是.

【答案】(0,1)

【分析】

解一元二次不等式结合真子集的概念即可得解.

【详解】

因为a>0,所以/-ax<0=>0<x<a,

又不等式/一a久<0的解集是区间(0,1)的真子集，则a6(0,1).

故答案为：(0,1).

4.(2023•全国•模拟预测)定义：若集合4,8满足2C8片0,存在a64且a任8,且存在beB且6任力，

则称集合4B为嵌套集合.已知集合A=[x\2x一/W0且久eR+},B={x|x2-(3a+l)x+2a2+2a<0},

若集合4B为嵌套集合，则实数a的取值范围为()

A.(2,3)B.(-oo,1)C.(1,3)D.(1,2)

【答案】A

【分析】作出函数丫=/,>,=2欠的图象，结合函数图象即可求出集合4分类讨论求出集合B,再根据嵌套

集合的定义即可得解.

【详解】因为所有4K0,B#0,

由2%一第24o,得2%<x2,

如图，作出函数y=%2,y=2"的图象，

由图可知，不等式2%-/工0(久>0)的解集为[2,4],

所以4=[x\2x-%2<0且％ER+}=[2,4],

由%2—(3a+l)x+2G2+2a<0,得(％—2d)[x—(a+1)]<0,

当2a=a+l,即a=l时，则8=0,不符题意；

12

当2Q>Q+1,即Q>1时，则8=(a+1,2a),

由a>1,得a+1>2,

(a>1

根据嵌套集合得定义可得a+K4,解得2<aV3；

(2a>4

当2aVa+l,即aVl时，则8=(2a,a+1),

由a<1,得2aV2,

(a<1

根据嵌套集合得定义可得a+K4,无解，

(a+1>2

综上所述，实数a的取值范围为(2,3).

故选：A.

考点五、一元二次方程跟的分布

典例引领

1.(23-24高三上•四川•阶段练习)若关于%的方程/-2ax+a+2=0在区间(-2,1)上有两个不相等的

实数解，贝!la的取值范围是()

A-(-M

C.(一8,一§U(-1,+8)D.(-8,-g)U(1,+8)

【答案】A

【分析】

A>0

令g(%)=x2—2ax+a+2,依题意可得，解得即可・

9⑴>0

【详解】

令9(%)=x2-2ax+a+2,因为方程%2-2ax+a+2=0在区间(一2,1)上有两个不相等的实数解,

A>0A=4a2-4(a+2)>0

—2<a<1,,;2<a<1，解得-•!<"-1,

所以g(-2)>0'即n

4+4a+a+2>05

。⑴>o1—2a+a+2>0

所以a的取值范围是(—a―1).

故选：A.

2.(21-22高三上•江苏南通•期中)已知关于x的不等式a/+2b久+4<0的解集为其中m<0,

则卷+g的最小值为

A.-2B.1C.2D.8

【答案】C

13

【分析】由不等式的解集结合基本不等式得到a=1,b>2,从而利用基本不等式求出?+1的最小值.

4ab

【详解】由题意可知，方程a/+2bx+4=0的两个根为m,—,则zn解得：a=1,故血+±=-2b,

mmam

m<0,

所以2b=—TH—士22鼠m）丁==4,当且仅当一瓶二一£,即血=一2时取等号，则b22,

m~\l\mJm

所以二+1=2+:22屋=2,当且仅当即b=4时取等号，

4a匕4匕74b4b

故：的最小值为2.

4ab

故选：C.

即时检测

1.（2024高三•全国•专题练习）关于K的方程a/+（a+2）x+9a=0有两个不相等的实数根久力冷，且%1<

1Vx2,那么Q的取值范围是（）

A2.2n、2

A.—VaV-B.a>—

755

22

C.a<—D.----<a<0

711

【答案】D

【分析】说明a=0时，不合题意，从而将a/+（a+2）%+9a=0化为/+（1+：）冗+9=0,令y=/+

（1+勺％+9,结合其与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，可列不等式即可求得答案.

【详解】当a=0时，a/+（a+2）%+9a=0即为2%=0,不符合题意；

故aW0,ax2+（a+2）x+9a=0即为％2+^l+|^x+9=0,

令y=/+（i+g%+9,

由于关于％的方程a/+（a+2）x+9a=0有两个不相等的实数根%力冷，且％1<1<x2f

则y=ax2+（a+2）x+9a与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，

故％=1时，y<0,即1+（1+，x1+9<0,解得白〈一11,故一Z〈QV0,

故选：D

2.（2023•北京海淀•模拟预测）已知关于x的不等式/+a%+匕>0（。>0）的解集是{第|%Wd},,则下列

四个结论中错误的是（）

A.a2=4b

B.a2+7>4

b

C.若关于x的不等式%2+q%-bV0的解集为（勺，M），则％i第2>0

D.若关于x的不等式%2+口％+匕v。的解集为（％],冷），且吊一％21=4,贝！Jc=4

【答案】C

14

【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理，基本不等式进行求解即可.

【详解】由题意△=十一4匕=0,a2=4b,所以A正确；

对于B:/+：=4+刍22/a2-=4,当且仅当/=之即。=鱼时成立，

ba'7aza”

所以B正确；

n2

对于C,由韦达定理，可知/久2=-卜=-1V。，所以C错误；

2

对于由韦达定理，可知％汽。，n

D,1+2=-%1%2=b-C=-4-C,

则出一亚1=+%2)2-4/％2=Ja2_4住-c)=2&=4,解得c=4,

所以D正确，

故选：C.

3.(21-22高三上•上海浦东新•阶段练习)如果二次方程/—p%—4=。(「《62)的正根小于3,那么这

样的二次方程有一个.

【答案】7

【分析】令/⑶=/—2久―q(p,qeN*),则由题意可得勿累：，再结合p,q€N*可求出结果.

[详解】设/'(X)-x2-px-q(p,qeN*),

因为f(O)=-q<0,/(3)=9-3p—q>0，

所以3p+q<9,又p,qeN*,

当p=l时，q=1,2,3,4,5,当p=2时，q=1,2.

所以共7种可能.

故答案为：7

考点六、一元二次不等式恒成立

典例引领

1.(2024高三•全国•专题练习)若不等式(a—2)/+2(a—2)%—4<0对一切xeR恒成立，则实数a

的取值范围是()

A.(-oo,2]B.[-2,2]

C.(-2,2]D.(-co,-2)

【答案】C

【分析】对二次项系数进行分类讨论可得a=2符合题意，当a力2时利用判别式可求得结果.

【详解】当a-2=0,即a=2时，不等式为一4<0对一切xeR恒成立.

当心2时,需满足人假”算着6；”2)<0,

15

即｛°n'解得一2<a<2.

I。-2+4>0

综上可知，实数a的取值范围是（一2,2］.

故选：C

2.（2024•陕西西安•模拟预测）当时，不等式%2一口％+140恒成立，则实数a的取值范围

是.

【答案】［|,+8）.

【分析】根据题意分离参数a,进而构造函数求定区间的最值即可.

【详解】当时，不等式/一ax+1wo恒成立，

所以当1<久<2时，a2二^=x+工恒成立，则a2（x+「），

XX\"max

令g（x）=比+［，则g（x）在［1,2］单调递增，

所以g（x）max=g⑵=2+=也所以a21

故答案为：［|,+8）.

也即时检测

1.（2024高三•全国•专题练习）已知b>0,若对任意的xG（0,+oo）,不等式4a久3+8/—ab久—2b<0

恒成立，则/+2a+4b+ab的最小值为.

【答案】16-8V2

【分析】先把原不等式分解为二次不等式，分类讨论后运用整体代换和基本不等式即可.

【详解】原不等式4ax3+8x2—abx—2b<0（4x2—6）（ax+2）<0,

由b>0,知OVxvj时，4x2—b<0,%>当时，4%2-h>0,

故由原不等式知0V%VF时a%+2>0,x>彳时a%+2<0,

由怛成又知aV0且axf+2=0,即。=

故所求式小+2a+4b+ab=（牛+皿）-隽+4班），

设t=金+Vb,贝（Jt之2xy/b-2V2,

则所求式=4（产-_4）=4［卜一丁—司递增,

故最小值在t=2四时取得：4X（8-2V2-4）=16-8/.

故答案为：16—8A/2.

2.（22-23高三上•河北衡水•阶段练习）已知对任意实数％>0,不等式（2/一研一10）111；20恒成立,

则实数Q的值为.

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【答案】Vlo

【分析】对id正负分情况讨论，得出％=。是其唯一零点.不等式（2%2一Q%一io）ln->0对任意的%>0

aa

恒成立.得到％=。也是2/-a%-10=0的根,求解即可.

【详解】由题知,显然a>0,当%>。时In->0；当％=。时In-=0；当0V%V。时In-<0；

aaa

因为不等式（In%—lna）（2x2—ax—10）>0对任意的l>0恒成立.

当%>a时，2/—ax—10>0；当0V久Va时，2/—ax—10<0.

结合二次函数性质，％=a是方程2/一一io=o的根，即2a2一十一1。=。，

因为Q>0,所以a=同.

故答案为：V10.

3.（2024•陕西榆林•三模）已知a6（0,2兀），若当工€[0,1]时，关于％的不等式（sina+cosa+1）/一

（2sina+1）%+sina>0恒成立，则a的取值范围为（)

A・后居）B.—）C,D.G，为

【答案】A

sina+i

【分析】令f(')=(sina+cosa+l)x2—(2sina+l)x+sina,易得/(x)的对称轴为久=$也：二】6(0,1),

/(0)>0

/(1)>0

则《,进而可得出答案.

sina+-\

>0

sina+cosa+1\

【详解】令/(%)=(sina+cosa+l)x2—(2sina+l)x+sina,

/(0)>0啊(sina>0

由题意可得

/⑴>0'Icosa>0

又因为a